中考數(shù)學(xué)第二編中檔題突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇中檔題型訓(xùn)練(五)圓的有關(guān)計(jì)算、證明與探究試題

1、1中檔題型訓(xùn)練(五)圓的有關(guān)計(jì)算、證明與探究圓的有關(guān)計(jì)算與證明是河北中考的必考內(nèi)容之一，占有較大的比重，通常結(jié)合三角形、四邊形等知識(shí)綜合考 查，以計(jì)算題、證明題的形式出現(xiàn)，解答此類問題要熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，特別是切線的性質(zhì)和判定，同時(shí)要 注意已知條件之間的相互聯(lián)系.【例 1】(2016 天水中考)如圖，點(diǎn) D 為OO上一點(diǎn)，點(diǎn) C 在直徑 BA 的延長線上，且/ CDA=ZCBD.(1) 判斷直線 CD 和OO的位置關(guān)系，并說明理由；(2) 過點(diǎn) B 作OO的切線 BE 交直線 CD 于點(diǎn) E,若 AC= 2,OO 的半徑是 3,求 BE 的長.【思路分析】 連接 OD 根據(jù)圓周角定理求出/

2、 DABFZDBA= 90,從而得出/ CDAbZADO= 90，再根 據(jù)切線的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出 DC,由切線長定理得出 DE= EB,在Rt CBE 中根據(jù)勾股定理 得出方程，求出方程的解即可.【學(xué)生解答】解： 直線 CD 和OO的位置關(guān)系是 相切理由是：連接OD.TAB 是OO的直徑，二/ ADB= 90,./DABZDBA= 90 .v/CDA=ZCBDDABZCDA= 90 .vOD= OADAB=ZADOCDA /ADO= 90,即 ODLCE直線 CD 是OO的切線，即直線 CD 和OO的位置關(guān)系是相切；(2) vAC=2, OO 的半徑是 3, OC= 2

3、+3=5,OD= 3.在RtCDO 中,由勾股定理得 CD= 4.vCEBOO于點(diǎn) D, EBBOO于點(diǎn) B, DE= EB, / CBE= 90,設(shè) DE= EB= x,在Rt CBE 中，由勾股定理，得 cE= BE2+ BC,則 (4 + x) = x + (5 + 3),解得 x= 6,即 BE= 6.(針對(duì)訓(xùn)練1. (2016 畢節(jié)中考)如圖，以厶 ABC 的 BC 邊上一點(diǎn) O 為圓心的圓，經(jīng)過 A, B 兩點(diǎn)，且與 BC 邊交于點(diǎn) E, D 為 BE 的下半圓弧的中點(diǎn)，連接 AD 交 BC 于點(diǎn) F, AC= FC.(1) 求證：AC 是OO的切線；(2) 已知圓的半徑 R= 5

4、 , EF= 3,求 DF 的長.解：如圖，連接 AE AO.vBE 為半圓，BAE= 90 .vBD= ED,BAD=ZEAD= 45,AFC=/B+45,CAF=ZEACb 45.vAC=FC,AFC=ZCAF/B+45 =/EAO 45,B=ZEAC.vOA=OBOAB=ZB,EAC=ZOAB/OAC=ZOA&ZEAC=ZOA&ZOAB=ZBAE= 90, ACLOA -AC 為OO為切線；(2 )如圖，連接 OD.v BD=DE, / BOD=ZDOE= 90 .在Rt OFD 中 , OF= 5 3 = 2 , OD= 5, DF= OF+ OD=29.2. (201

5、6 承德二中一模)已知如圖，以Rt ABC 的 AC 邊為直徑作OO交斜邊 AB 于點(diǎn) E ,連接 EO 并延長交 BC 的延長線于點(diǎn) D,點(diǎn) F 為 BC 的中點(diǎn)，連接 EF.(1) 求證：EF 是OO的切線；(2) 若OO的半徑為 3, / EAC= 60,求 AD 的長.解：連接 FQ 易證 OF/ AB.vAC 是OO的直徑， CEL AE,vOF/ AB, OF 丄 CE又vOE= OC OF 是線 段 CE的垂直平分 CE - FC= FE, / FEC=ZFCE.vOE= OC OEC=ZOCEvRtAABC 中，/ ACB= 90,即 / OCE-ZFCE= 90 , /OEC

6、FZFEC= 90,即ZFEO= 90, EF 為OO的切線；(2)vOO的半徑為 3, AO=C8 E83.v/EAC=60 , OA= OEEOA= 60,COD=ZEOA= 60 .v在RtOCD 中，ZCOD= 60 ,OC= 3, CD= 3 3.v在RtACD 中，ZACD= 90 ,CD= 3 3,AC=6, AD= 37.-1圓的切線性質(zhì)與判定類型1類型纟圓與相似2【例 2】如圖，已知 AB 是OO的弦，OB= 2,ZB= 30, C 是弦 AB 上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn) A, B 重合），連接 CO 并延長 CO 交OO于點(diǎn) D,連接 AD.弦長 AB=_;（結(jié)果保留根號(hào)）（2）

7、當(dāng)/D- 20。時(shí)，求/ BOD 的度數(shù)；（3）當(dāng) AC 的長度為多少時(shí)，以 A, C, D 為頂點(diǎn)的三角形與以 B, C, O 為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)寫出解答過 程.【思路分析】 結(jié)合垂徑定理過點(diǎn) O 作 BC 的垂線，再由特殊直角三角形得2AB_23OB=；3，貝 y AB= 2：3;（2）結(jié)合“三角形的外角定理”和“同圓或等圓中，同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半”即可解答；（3）首先分析要使厶 DAC 與厶 BOC 相似，只能/ DCA=ZBCO= 90,此時(shí)，/ BOC= 60,/ BOD= 120 ,A/DAC= 60 ,二厶 DA3ABOC.v/BCO= 90,即卩 OCLAB / A

8、C=?AB=：3.【學(xué)生解答】解：(1)2 .3; (2)連接 OA.：OA= OB= ODBAO=/ B= 30，/ D=/ DAO=20,A/DAB=/BAOF/DAO=50,A/BOD= 2/DAB= 100 ;(3)v/BCO=ZDACF/D,A/BCO/DAC/BCO/D,. 要使 DAC 與厶 BOC 相似，只能/ DCA=/ BCO=90,此時(shí)/ BOC= 60,/ BOD= 120 ,A/DAG= 60。，丄1DA3ABOC.v/BCO= 90,即卩 OCLAB / AC=qAB=妝c針對(duì)訓(xùn)練3.（2016 黃岡中考）已知：如圖，在 ABC 中，AB= AC,以 AC 為直徑的

9、OO交 AB 于點(diǎn) M,交 BC 于點(diǎn) N,連接AN,過點(diǎn) C 的切線交 AB 的延長線于點(diǎn) P.求證：（1） / BCP=/ BAN的直徑，/ ANG= 90, / NAO/ ACN= 90,vAB= AC, / BAN=/ CANvPC是OO的切線，/ ACP= 90, / ACN/ PCB= 90, / BCP=/ CAN / BCP=/ BAN (2)連接 MNvAB=AC, / ABC= / ACB 又v四邊形 AMNC 為OO的內(nèi)接四邊形，/ ACB/ AMN= 180,又v/CBPF/ ABG=180,PBC=/ AMN 由(1)知/BCP=/ BAN BPCAMNA -AM=

10、CB MN BP4. （2016 廣東中考）如圖，OO 是厶 ABC 的外接圓，BC 是OO的直徑，/ ABG= 30,過點(diǎn) B 作OO的切線 BD,與 CA 的延長線交于點(diǎn) D,與半徑 AO 的延長線交于點(diǎn) E ,過點(diǎn) A 作OO的切線 AF,與直徑 BC 的延長線交于點(diǎn) F.(1)求證： ACMADAE;解：(1)vBC 為OO的直徑，/ BAC= 90,又/ ABC= 30, / ACB= 60,又 OA= OC OAC 為等邊三角形，即/ OA=/AO= 60 ,vAF 為OO的切線，/ OAF= 90, / CAF=/ AFC= 30,vDE 為OO的 切線，/ DBC=/OBE=

11、90 , / D=/ DEA= 30 , / D=/ CAF / DEA=/ AFC ACFADAEAM CBMN=麗證明：（1）vAC 為OO(2)若SA AOC=-3,求 DE 的長;連接 EF,求證：EF 是OO的切線.r32 3, BE=、3, DE= 3 3; (3)如圖，過點(diǎn) O 作 OMLEF 于點(diǎn) M ： OA= OB / OAF=ZOBE= 90。，/ BOE= /AOFOAFAOBE-OE= OF,v/EOF=120,OEMkZOF 申 30,./ OEB=ZOEM30,即卩OE平分/ BEF 又/ OBE=/ OMM90，. OM= OB EF 為OO的切線.圓與銳角三角

12、函數(shù)【例 3】(2016 荷澤中考)如圖，AB 是OO的直徑，點(diǎn) C 在OO上,連接 BC, AC,作 OD/ BC 與過點(diǎn) A 的切線交 于點(diǎn) D,連接 DC 并延長交 AB 的延長線于點(diǎn) E.(1) 求證：DE 是OO的切線；CE 2(2) 若DE=3 ,求cos/ ABC 的值.CE 2【思路分析】(1)連接 OC 欲證 DE 是OO的切線，只需證得OCL DE (2)由時(shí) ,可設(shè) CE- 2k(k0),貝UDE-3k ,在Rt DAE 中，由勾股定理求得 AE-DEAD-2 2k ,貝 UtanE-AD=2,所以在Rt OCE 中 ,tanE-塵*7AE 4CE-OC 求得 OC-京

13、在Rt AOD 中 ,由勾股定理得到 OD-Ag AD=黑 k,從而求出cos/ ABC 勺值.【學(xué)生解答】解： 如圖，連接 OC.vAD 是過點(diǎn) A 的切線，AB 是OO的直徑， AD 丄 AB./ DAB=90.vOD/ BC,/DOC=/BCO/DOA=/CBA.vOC= OB/BCO=/CBA/DOC=/DOA 在CODOC= OA和厶 AOD 中， /DOC=/DOACODAAODSAS, /OC-/DAB= 90.即 OCLDE 于點(diǎn) C.vOC 是OO的半OD- OD徑， DE 是OO的切線；CE 2(2)由DE-3，可設(shè) CE- 2k(k0),貝 y DE= 3k ,AD 邁

14、亠亠OC OCtanE-A-.v在Rt OCE 中 ,tanE-況-不,6OA 3-k, cos/ ABC=cos/ AOD OD-可.c針對(duì)訓(xùn)練-5. (2016 唐山九中一模)如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于OO,對(duì)角線 AC 為OO的直徑，過點(diǎn) C 作 AC 的垂線交 AD 的延長線于點(diǎn) E,點(diǎn) F 為 CE 的中點(diǎn)，連接 DB DC DF.(1) 求/ CDE 的度數(shù)；(2) 求證：DF 是OO的切線；(3) 若 AC= 2 5DE 求tan/ ABD 的值.解：(1)vAC 為OO的直徑，/ ADC= 90, / EDC= 90; (2)連接 DQv/EDC= 90 , F 是 EC

15、的中 點(diǎn)， DF=FC, / FDC=/ FCDvOD- OC / OCD-/ ODC / ODO / FDC=/ OCD/ FCD / ODF= / OCFvEC 丄 AC, / OCF=90, / ODF- 90, DF 是OO的切線；(3)在厶 ACD 與厶 ACE 中，/ ADC=AC AD9廠_2/ACEM90 , /EAC-/CADACDAAEC忑=,AC-AD- AE.又vACM2 , 5DE, 20D=(AEAOC 為等邊三角形,30BAD- DC= k，在Rt DAE 中，AE=_DEAD=2 2k , 2-QCOC=OA=OB= 1，又/BEO=4AE ACDE) - AE (AE 5DE)(AE+ 4DE)= 0, AE- 5DE ADM4DE 在Rt ACD 中，AC-AD+CD, CD- 2DE.又在OO5中，/ ABD=ZACD tan/ ABD=tan/ACD=2.CDCF 1(2016 自貢模擬)如圖，AB 是OO的直徑，弦 CDL AB 于點(diǎn) G,點(diǎn) F 是 CD 上一點(diǎn)，且滿足-=-，連