二重積分積分區(qū)域的對稱性_第1頁
二重積分積分區(qū)域的對稱性_第2頁
二重積分積分區(qū)域的對稱性_第3頁
二重積分積分區(qū)域的對稱性_第4頁
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文檔簡介

1、情形一：積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對稱定理4 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù)，且關(guān)于軸對稱，則1)當(dāng)（即是關(guān)于的奇函數(shù)）時，有 .2)當(dāng)（即是關(guān)于的偶函數(shù)）時，有 . 其中是由軸分割所得到的一半?yún)^(qū)域。例5 計算，其中為由與圍成的區(qū)域。解：如圖所示，積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，且即是關(guān)于的奇函數(shù)，由定理1有.類似地，有：定理5 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù)，且關(guān)于軸對稱，則其中是由軸分割所得到的一半?yún)^(qū)域。例6 計算其中為由所圍。解：如圖所示，關(guān)于軸對稱，并且，即被積分函數(shù)是關(guān)于軸的偶函數(shù)，由對稱性定理結(jié)論有：.定理6 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù)，且關(guān)于軸和軸都對稱，則（1）當(dāng)或時，有 .（2）當(dāng)時,有其中為由軸和軸分割所的

2、到的1/4區(qū)域。9例7 計算二重積分，其中： .解：如圖所示，關(guān)于軸和軸均對稱，且被積分函數(shù)關(guān)于和是偶函數(shù)，即有，由定理2，得其中是的第一象限部分，由對稱性知,，故.情形二、積分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對稱定理7 設(shè)平面區(qū)域,且關(guān)于原點(diǎn)對稱,則當(dāng)上連續(xù)函數(shù)滿足1)時,有2)時,有. 例8 計算二重積分,為與所圍區(qū)域.解:如圖所示,區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對稱,對于被積函數(shù),有,有定理7,得.情形三、積分區(qū)域關(guān)于直線對稱定理8 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù),且,關(guān)于直線對稱,則1); .2)當(dāng)時,有.3)當(dāng)時,有.例9 求,為所圍.解:積分區(qū)域關(guān)于直線對稱,由定理8,得,故 .類似地，可得：定理9 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù),且,關(guān)于直線對稱,則 （1）當(dāng),則有；(2)當(dāng),則有.例10 計算,其中為區(qū)域:, .解:如圖所示,積分區(qū)域關(guān)于直線對稱,且滿足,由以上性質(zhì),得:.注：在進(jìn)行二重積分計算時,善于觀察被積函數(shù)的積分區(qū)域的特點(diǎn),注意兼顧被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的

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