極坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程

1、全面解析極坐標(biāo)極坐標(biāo)及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用1.極坐標(biāo)概述第一個(gè)用極坐標(biāo)來(lái)確定平面上點(diǎn)的位置的是牛頓。他的流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)，大約于1671年寫成，出版于1736年。此書包括解析幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線，書中創(chuàng)見之一，是引進(jìn)新的坐標(biāo)系。瑞士數(shù)學(xué)家J.貝努力利于1691年在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章，所以通常認(rèn)為J.貝努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者。J.貝努利的學(xué)生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用，而且自由地應(yīng)用極坐標(biāo)去研究曲線。 在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，是人們公認(rèn)的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但它并不是確定點(diǎn)的位置的唯一方法。有些復(fù)雜的曲線用直角坐標(biāo)表示，形式

2、極其復(fù)雜，但用極坐標(biāo)表示，就變得十分簡(jiǎn)單且便于處理，在此基礎(chǔ)上解決平面解析幾何問(wèn)題也變的極其簡(jiǎn)單。通過(guò)探究極坐標(biāo)在平面解析幾何中的廣泛應(yīng)用，使我們能夠清楚的認(rèn)識(shí)到，用極坐標(biāo)來(lái)解決某些平面解析幾何問(wèn)題和某些高等數(shù)學(xué)問(wèn)題比用直角坐標(biāo)具有很大的優(yōu)越性，故本文對(duì)其進(jìn)行了初步探討。 國(guó)內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)，不僅在數(shù)學(xué)理論方面，很多學(xué)者對(duì)極坐標(biāo)以及極坐標(biāo)方程做了深入探究，而且在如物理、電子、軍事等領(lǐng)域，很多學(xué)者對(duì)極坐標(biāo)也有較深的研究。由此看來(lái)，極坐標(biāo)已應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。1.1 極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)，叫作極點(diǎn)，引一條射線，叫做極軸，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)。對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)，

3、用表示線段的長(zhǎng)度，表示從到的角度，叫點(diǎn)的極徑，叫點(diǎn)的極角，有序數(shù)對(duì)就叫點(diǎn)的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫極坐標(biāo)系，記作若點(diǎn)在極點(diǎn)，則其極坐標(biāo)為=0，可以取任意值。 圖1-1 圖1-2 如圖1-2，此時(shí)點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有兩種表示方法：(1) 0， (2) 0， 同理，也是同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。又由于一個(gè)角加后都是和原角終邊相同的角，所以一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一。但若限定， ，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對(duì)應(yīng)了。1.2 曲線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中，曲線可以用含有這兩個(gè)變數(shù)的方程來(lái)表示，這種方程叫曲線的極坐標(biāo)方程。求曲線的極坐標(biāo)方程的方法與步驟：1°建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；2

4、°寫出適合條件的點(diǎn)的集合；3°；4°化簡(jiǎn)所得方程；5°證明得到的方程就是所求曲線的方程。三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程： 圖1-3過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，的反向延長(zhǎng)線為極軸，建立極坐標(biāo)系。設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，連結(jié)，作，垂足分別為那么曲線就是集合.設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，得 即 這就是橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程。其中當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓，定點(diǎn)是它的左焦點(diǎn)，定直線是它的左準(zhǔn)線。時(shí)，方程表示開口向右的拋物線。時(shí)，方程只表示雙曲線右支，定點(diǎn)是它的右焦點(diǎn)，定直線是它的右準(zhǔn)線。若允許，方程就表示整個(gè)雙曲線。1.3 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)

5、系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，其直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)是，從點(diǎn)作，由三角函數(shù)定義，得.圖1-4進(jìn)一步有 注：在一般情況下，由確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)所在的象限取最小角。2 極坐標(biāo)在平面解析幾何中的應(yīng)用2.1極坐標(biāo)法求到定點(diǎn)的線段長(zhǎng)度解析幾何中涉及到某定點(diǎn)的線段長(zhǎng)度時(shí)，可以考慮利用極坐標(biāo)法求解。但是絕大多數(shù)解析幾何問(wèn)題中題設(shè)條件是以直角坐標(biāo)方程形式給出的，在求解過(guò)程中運(yùn)算繁瑣復(fù)雜，將此類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用極坐標(biāo)方程求解，十分簡(jiǎn)潔，收到良好的效果。巧設(shè)極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。2.1.1以定點(diǎn)為極點(diǎn)如果題設(shè)條件與結(jié)論中，涉及到過(guò)某定點(diǎn)的線段長(zhǎng)度

6、問(wèn)題，應(yīng)該取該點(diǎn)為極點(diǎn)，先將直角坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，施行平移公式、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式，化普通方程為極坐標(biāo)方程求解。例1 設(shè)等腰的頂角為，高為，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，到三邊 的距離分別為，并且滿足關(guān)系，求點(diǎn)的軌跡。圖2-1解: 如圖2-1所示,以為極點(diǎn),的平分線為極軸,建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)為,則由得 化簡(jiǎn)得 化成直角坐標(biāo)方程為 這是以為圓心，以為半徑的圓，所求的軌跡是該圓在等腰內(nèi)部的部分。 2.1.2以原點(diǎn)為極點(diǎn)如果題設(shè)條件或結(jié)論中涉及到直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的線段長(zhǎng)度時(shí)，應(yīng)選取原點(diǎn)為極點(diǎn)，應(yīng)用互化公式，將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程求解。例2 已知橢圓，直線:，是上一點(diǎn)，射線交橢圓于，又點(diǎn)在上，且滿足，

7、當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。解: 如圖2-2所示，以為極點(diǎn)，為極軸，建立極坐標(biāo)系。則由互化公式知橢圓的極坐標(biāo)方程為 (1)直線的極坐標(biāo)方程為 (2) ，則由(1)式知 由(2)式知又,有所以 即 點(diǎn)的軌跡是以為中心，長(zhǎng)軸、短軸分別為且長(zhǎng)軸平行與軸的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。圖2-22.1.3以焦點(diǎn)為極點(diǎn) 凡涉及圓錐曲線的焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度的問(wèn)題，應(yīng)選取焦點(diǎn)為極點(diǎn)(橢圓左焦點(diǎn)，雙曲線右焦點(diǎn))，應(yīng)用圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程求解。例3 設(shè)為拋物線的頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，且為過(guò)的弦。已知。圖2-3解: 如圖2-3所示，以為極點(diǎn)，的反向延長(zhǎng)線為極軸，建立極坐標(biāo)系。則拋物線的極坐標(biāo)方程為 于是

8、 2.2 極坐標(biāo)簡(jiǎn)解與角有關(guān)的解析幾何題含有已知角或公共頂點(diǎn)的一類解析幾何題，運(yùn)用極坐標(biāo)系（或化直角坐標(biāo)系為極坐標(biāo)系）進(jìn)行解題，?？杀芊本秃?jiǎn)，化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。下面分類舉例說(shuō)明。2.2.1含有已知角，角頂點(diǎn)為極點(diǎn)例4 已知在的兩邊上，=，的面積為8，求的中點(diǎn)的軌跡方程。圖2-4解：以為極點(diǎn)，為極軸，建立極坐標(biāo)系，如圖2-4所示，設(shè)，則 即 (1) 因?yàn)?所以 (2) (3)得 (4)(1)代入(4)并化簡(jiǎn)，得即為所求。2.2.2含有已知角，坐標(biāo)軸平移，化角頂點(diǎn)為極點(diǎn)例5 已知曲線：，頂點(diǎn)（2，0），點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是以為斜邊的等腰直角三角形，頂點(diǎn)按順時(shí)針排列，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最大值及

9、點(diǎn)的坐標(biāo)。圖2-5解: 曲線化為：，以點(diǎn)為新坐標(biāo)系原點(diǎn)，則曲線為 以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系。如圖2-5所示，則曲線為 (1)設(shè)，則 (2)(2)代入(1)得 即 所以點(diǎn)的軌跡方程為 即 (3)故當(dāng)過(guò)（3）的圓心時(shí)，的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.2.3 極坐標(biāo)法證明幾何定理在平面幾何證明中，極坐標(biāo)法是一種重要的方法，應(yīng)用十分廣泛，下面以部分平面幾何中著名定理為例，談?wù)剺O坐標(biāo)法在證明中的應(yīng)用。2.3.1應(yīng)用圓心是，半徑是的圓的方程來(lái)證明例6 求證：圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積（托列迷定理）。證明：如圖2-6，以為極點(diǎn)，的延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系。設(shè)圓的半徑為， 則：. 、三點(diǎn)都在上， 另由正弦定理得 圖2-62.3.2應(yīng)用極點(diǎn)在圓上，圓心為的方程證明例7 自圓上一點(diǎn)引三弦，并以它們各自為直徑畫圓。求證：所畫三圓的其它三交點(diǎn)共線（沙爾孟定理）。圖2-7證明：如圖2-7 ,分別是的直徑，分別是的交點(diǎn)，以為極點(diǎn)，的延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系，為簡(jiǎn)便計(jì)，設(shè)，極軸與的交角分別為，則所以 （1） （2） （3）設(shè)，則由（1）、（2）得 取，得，代入（1）中，得.點(diǎn)坐標(biāo)為.同理應(yīng)用輪換得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為.顯然三點(diǎn)坐標(biāo)滿足法線式方程故三點(diǎn)共線，命題獲證。2.3.3應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程、兩點(diǎn)或直線方程和