平行四邊形培優(yōu)講義

1、)(平行四邊形培優(yōu)題周長(zhǎng)面積類(lèi)以不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形，最多能作（）A.1B.2C.3D.4如圖，ABC為等邊三角形，P是4ABC內(nèi)任意一點(diǎn)PDAB,PEBC,PFUAC，若ABC的周長(zhǎng)為12,則PD+PE+PF=.精品資料分享BDC如圖：AnBnCi分別是BC,AC,AB的中點(diǎn)，A2,B2,C2分別是B©,Aq,ABi的中點(diǎn)一這樣延續(xù)下去.已知4ABC的周長(zhǎng)是1,4A1B1cl的周長(zhǎng)是L1,ABC的周長(zhǎng)是L2AnBnCn的周長(zhǎng)是Ln,貝ULn=D、E為BC上的點(diǎn)，連接如圖，在4ABC中，AB=AC.M、N分別是AB、AC的中點(diǎn),2DN、EM.若AB=13cm,BC

2、=10cm,DE=5cm,則圖中陰影部分的面積為cm.如圖，一個(gè)平行四邊形被分成面積為S1,S2,S3,S4的四個(gè)小平行四邊形，當(dāng)CD沿AB自左向右在平行四邊形內(nèi)平行滑動(dòng)時(shí)，S1S4與S2S3的大小關(guān)系為（）A.SS4>S2s3B.S1S4VS2s3C.S1S4=S2s3D.不能確定如圖，點(diǎn)P是CABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上任意一點(diǎn)，過(guò)P作EFIIBC,分別交AB、CD于E、F,過(guò)P作HG/AB,分別交AD、BC于G、H,請(qǐng)問(wèn)四邊形AEPG和PHCF的面積相等嗎？并說(shuō)明理由.如圖，設(shè)P為平行四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，PAB,APBC,PDC,PDA的面積分別記為Si,S2,S3,S4,則可以得出

3、何結(jié)論？平行四邊形+角平分線(xiàn)（含垂直）如圖，在？ABCD中，/A=65,DELAB,垂足為點(diǎn)E,點(diǎn)F為邊AD上的中點(diǎn)，連接FE,則/AFE的度數(shù)為（）A. 40°B. 50C. 60°D. 70°如圖，在？ABCD中，AE平分/BAD交邊CD于點(diǎn)E.若AD=3,AB=4,則EC長(zhǎng)為()A. 3B. 2C. 1D. 0.5如圖，？ABCD的對(duì)角線(xiàn) AC , BD交于點(diǎn)O, AE 平分/ BAD 交 BC 于點(diǎn) E,且/ ADC=601 -AB =BC ,連接OE.下列結(jié)論：/ CAD=30 2； Sabcd = AB?AC ; OB=AB ;Z COD=60 ,成立

4、的個(gè)數(shù)有(C. 3個(gè)D, 4個(gè)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10,/BAD的平分線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E,與DC交于點(diǎn)F,且點(diǎn)F恰好為DC的中點(diǎn)，DGLAE,垂足為G.若DG=3,則AE的邊長(zhǎng)為()A. 2依B. 4C. 8D. 16如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,F為AD的中點(diǎn)，CEXAB于E,設(shè)/ABC=x(60°wq90°).(1)當(dāng)a=60時(shí)，求CE的長(zhǎng)；(2)當(dāng)60°<8<90°時(shí)，是否存在正整數(shù)k,使得/EFD=k/AEF?若存在，求出k的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.在？ABCD中，/BAD的平分線(xiàn)交直線(xiàn)B

5、C于點(diǎn)E,交直線(xiàn)DC于點(diǎn)F.(1)在圖1中證明CE=CF;(2)若/ABC=90,G是EF的中點(diǎn)(如圖2),直接寫(xiě)出/BDG的度數(shù)；(3)若/ABC=120,FG/CE,FG=CE,分別連接DB、DG(如圖3),求/BDG的度數(shù).在?ABCD中，/ADC的平分線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E、交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,連接AC.(1)如圖1,若/ADC=90,G是EF的中點(diǎn)，連接AG、CG.求證：BE=BF.請(qǐng)判斷那GC的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖2,若/ADC=60,將線(xiàn)段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至FG,連接AG、CG.那么"GC又是怎樣的形狀.(直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明)(1)如圖所示，

6、BD,CE分別是那BC的外角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AFBD,AGXCE,垂足分另1J為F,G,連接FG,延長(zhǎng)AF,AG,與直線(xiàn)BC分別交于點(diǎn)M、N,那么線(xiàn)段FG與祥BC的周長(zhǎng)之間存在的數(shù)量關(guān)系是什么？即：FG=AB+BC+AC)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)MBCN(2)如圖，若BD,CE分別是那BC的內(nèi)角平分線(xiàn)；其他條件不變，線(xiàn)段FG與祥BC三邊之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明.(3)如圖，若BD為祥BC的內(nèi)角平分線(xiàn)，CE為"BC的外角平分線(xiàn)，其他條件不變，線(xiàn)段FG與四BC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想即可.不需要證明.答：線(xiàn)段FG與"BC三邊之間數(shù)量關(guān)系是平

7、行四邊形的綜合題已知：如圖，/BAC=90*AD_LBC于D,/1=N2,EF_LBC于F.求證：AF與EG互相平分如圖，已知AABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE,連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=AE,連接AF、BE和CF.(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)絲”表示，并加以證明；(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由；(3)若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積.已知，如圖，在?ABCD中，AE±BC,垂足為E,CE=CD,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn)，連接DF、EG、AG,/1=/2.(1)若CF=2,AE=3,求BE的長(zhǎng)

8、；1(2)求證：/CEG=/AGE.2如圖，已知？ABCD中，DEBC于點(diǎn)E,DH±AB于點(diǎn)H,AF平分/BAD,分別交DC、DE、DH于點(diǎn)F、G、M,且DE=AD.(1)求證：AADGFDM.(2)猜想AB與DG+CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.已知平行四邊形ABCD,對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)P在邊AD上，過(guò)點(diǎn)P作PEXAC,PFXBD,垂足分另1J為E、F,PE=PF.(1)如圖，若PE=JW,EO=1，求/EPF的度數(shù)；(2)若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF=BC+3124，求BC的長(zhǎng).如圖，？ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE,F為CD邊上一點(diǎn)，且滿(mǎn)

9、足/DFA=2/BAE(1)若/D=105,/DAF=35.求/FAE的度數(shù)；(2)求證：AF=CD+CF.已知如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=a,AC為對(duì)角線(xiàn)，BM/AC,過(guò)點(diǎn)D作DE/CM,交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,交BM的延長(zhǎng)線(xiàn)于E.(1)求證：AADFBCM;(2)若AC=2CF,/ADC=60,AC±DC,求四邊形ABED的面積(用含a的代數(shù)式表示).平行四邊形的幾何變換已知：如圖，|_ABC是等邊三角形，D、F分別為CRBA上的點(diǎn)，且CD=BF,以AD為邊作等邊|_ade。求證：(1)|_ACD三CBF(2)四邊形CDEF為平行四邊形如圖，在?ABCD的形外分別作等腰直

10、角AABF和等腰直角那DE,/FAB=/EAD=90，連接AC、EF.在圖中找一個(gè)與4FAE全等的三角形，并加以證明.如圖，那BC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊AADE,過(guò)點(diǎn)C作CF/DE交AB于點(diǎn)F.（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖），求證：EF=CD;（2）在（1）的條件下直接寫(xiě)出AAEF和祥BC的面積比；（3）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.在AABC中，AC=BC,/ACB=90，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).（1）如圖1,E為線(xiàn)段DC上任意一點(diǎn)，將線(xiàn)段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

11、得到線(xiàn)段DF,連接CF,過(guò)點(diǎn)F作FHLFC,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)H.判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2,若E為線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明.如圖1,P為RtAABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線(xiàn)AC上)，/ACB=90,M為AB邊中點(diǎn).操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC,連續(xù)PM并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使ME=PM,連接DE.探究：(1)請(qǐng)猜想與線(xiàn)段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論；(2)請(qǐng)你利用圖2,圖3選擇不同位置的點(diǎn)P按上述方法操作；(3)經(jīng)歷(2)之后，如果你認(rèn)為你寫(xiě)的結(jié)論是正確的，請(qǐng)加以證明；如果你認(rèn)為你寫(xiě)

12、的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請(qǐng)用圖2或圖3加以說(shuō)明；(注意：錯(cuò)誤的結(jié)論，只要你用反例給予說(shuō)明也得分)(4)若將“RtABC改為任意"BC,其他條件不變，利用圖4操作，并寫(xiě)出與線(xiàn)段DE有關(guān)的結(jié)論(直接寫(xiě)答案).如圖，在DABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CELCD交AD于點(diǎn)E,將線(xiàn)段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EF,點(diǎn)P為直線(xiàn)CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合).(1)在圖1中畫(huà)圖探究：當(dāng)點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連結(jié)EP并把EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EQ.作直線(xiàn)QF交直線(xiàn)CD于H,求證：QFXCD.(2)探究：結(jié)合(1)中的畫(huà)圖步驟，分析線(xiàn)段QH、PH與CE之間是否存在一種特定的數(shù)量關(guān)系？

13、請(qǐng)?jiān)谙旅娴目崭裰袑?xiě)出你的結(jié)論；若存在，直接填寫(xiě)這個(gè)關(guān)系式.當(dāng)點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上且位于H點(diǎn)右邊時(shí)，;當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，.(3)若AD=2AB=6,AE=1,連接DF,過(guò)P、F兩點(diǎn)作。M,使。M同時(shí)與直線(xiàn)CD、DF相切，求。M的半徑是多少？三角形中位線(xiàn)如圖，在4ABC中，D、E、F分別為BC、AC、AB 的中點(diǎn)，AHLBC 于點(diǎn) H, FD=8cm ,則HE的值為()A. 20cmB. 16cmC. 12cmD. 8cm(1)證明三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半；要求根據(jù)圖1寫(xiě)出已知、求證、證明；在證明過(guò)程中，至少有兩處寫(xiě)出推理依據(jù)(巴知”除外)(2)如圖2,在？

14、ABCD中，對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為O,A,、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，A2、B2、C2、D2分別是OA、OB1、OC1、OD1的中點(diǎn)，以此類(lèi)推.若？ABCD的周長(zhǎng)為1,直接用算式表示各四邊形的周長(zhǎng)之和？(3)借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜C可能是多少？1觀(guān)察探究，完成證明和填空.已知：祥BC是任意三角形.(1) 如圖1所示，點(diǎn)M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，求證：/MPN=/A.一AM1AN1(2) 如圖2所示，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且£=1,4=1，點(diǎn)p,、P2AB3AC3是邊BC的三等分點(diǎn)，你認(rèn)為/MP1N+/MP2N=ZA是否正確？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

15、，一.,一AM1AN1一(3)如圖3所不，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且=,=,PrP2、AB2010AC2010P2009是邊BC的2010等分點(diǎn)，則/MP1N+/MP2N+/MP2009N=.(請(qǐng)直接將該小問(wèn)的答案寫(xiě)在橫線(xiàn)上)平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,/B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線(xiàn)BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),在線(xiàn)段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)B,A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以C,D,Q,P為頂點(diǎn)的梯形面積等于60cm2?(3)是否存在點(diǎn)P,使4PQD是等腰三角形？若存