距離空間 泛函分析第四章習題第一部分(1-18)

1、實變函數(shù)與泛函分析第四章習題1-18第四章習題第一部分(1-18)1. 在R1中令r1(x, y) = (x - y)2，r2(x, y) = | x - y |1/2，問r1, r2是否為R1上的距離？解顯然r1, r2滿足距離空間定義中的非負性和對稱性但r1不滿足三角不等式：取點x = -1, y= 0, z = 1，則r1(x, z) = 4 > 2 = r1(x, y) + r1(y, z)，所以r1不是R1上的距離。而"x, y, zÎR1，r2(x, y) = =r2(x, z) + r2(z, y)；所以r2是R1上的距離2. 設(shè)(X, r)是距離空間，

2、令r1(x, y) = ，"x, yÎX證明(X, r1)也是距離空間證明顯然r1滿足距離空間定義中的非負性和對稱性，故只需證明r1滿足三角不等式即可實際上"x, y, zÎX，3. 設(shè)(X, r)是距離空間，證明| r(x, z) - r(y, z) | £ r(x, y)，"x, y, zÎX；| r(x, y) - r(z, w) | £ r(x, z) + r(y, w)，"x, y, z, wÎX證明"x, y, z, wÎX，由三角不等式有- r(x, y) &#

3、163; r(x, z) - r(y, z) £ r(x, y)，故第一個不等式成立由第一個不等式可直接推出第二個不等式：| r(x, y) - r(z, w) | £ | r(x, y) - r(y, z) | + | r(y, z) - r(z, w) | £ r(x, z) + r(y, w)4. 用Cauchy不等式證明(| z1 | + | z1 | + . + | zn | )2 £ n(| z1 |2 + | z1 |2 + . + | zn |2 )證明在P159中的Cauchy不等式中令ai = | zi |，bi = 1，"

4、i = 1, 2, ., n即可5. 用圖形表示Ca, b上的S(x0, 1)注我不明白此題意義，建議不做6. 設(shè)(X, d)是距離空間，AÍ X，int(A)表示A的全體內(nèi)點所組成的集合證明int(A)是開集證明若A = Æ，則int(A) = Æ，結(jié)論顯然成立若A ¹ Æ，則"xÎ A，$r > 0使得S(x, r) Í A對"yÎ S(x, r)，令s = r - d(x, y)，則s > 0，并且S(y, s) Í S(x, r) Í A；所以yÎ

5、; int(A)故S(x, r) Í int(A)，從而int(A)是開集7. 設(shè)(X, d)是距離空間，AÍ X，A ¹ Æ證明：A是開集當且僅當A是開球的并證明若A是開球的并，由于開球是開集，所以A是開集若A是開集，"xÎA，存在r(x) > 0，使得S(x, r(x) Í A顯然A = ÇxÎA S(x, r(x)8. 舉例說明對于一般的距離空間X，并不是總有，"xÎX，r > 0例設(shè)X = a, b，定義d : X ´ X ® R為d(a, a)

6、 = d(b, b) = 0，d(a, b) = 1則(X, d)是距離空間當r = 1時，不論x為a還是b，總有9. 設(shè)(X, d)是距離空間，證明：，證明由于，故由于和都是閉集，所以也是閉集，所以另一方面，由，得，所以；這樣就證明了第一個等式由得，所以。10. 證明：距離空間中的閉集必為可列個開集的交，開集必為可列個閉集的并證明由開集與閉集的關(guān)系，實際上我們只需證明第一部分即可設(shè)(X, d)是距離空間，AÍ X，A是閉集若A = Æ則結(jié)論顯然成立，下面設(shè)A ¹ Æ"nÎN+，定義An = ÇxÎA S(x, 1

7、/n)，則An是開集，且AÍ An因此AÍÈn An若xÏ A，則由于A是閉集，$NÎN+，使得S(x, 1/N)È A = Æ；即xÏ AN，所以xÏÈn An這樣就證明了A = Èn An因此距離空間中的閉集必為可列個開集的交11. 設(shè)(X, d)是距離空間，是基本列，且有收斂子列證明證明，由于是基本列，存在自然數(shù)，當時由于子列，存在自然數(shù)，當時，且當時，因，故，從而12. 設(shè)在非空集合X上定義了兩種距離和，且存在正數(shù)和，使得對任意的x, y ÎX總有a d1(x, y)

8、 £ d(x, y) £ b d1(x, y)證明：在距離空間(X, d)和(X, d1)中，基本列與收斂點列是共同的并舉出這種空間的例子證明設(shè) xn 是(X, d)中的基本列，則對"e > 0，$NÎN+，當m, n > N時d(xm, xn) < ae此時有d1(xm, xn) £ d(xm, xn)/a < ae /a = e，所以 xn 也是(X, d1)中的基本列相反方向的證明是類似的關(guān)于收斂點列的證明與關(guān)于基本列的證明類似一個簡單的例子就是在至少兩個點的距離空間(X, d)中定義新的距離d1，使得d1 = 2

9、d13. 設(shè)X是正整數(shù)集合，令d(x, y) = | x y |，證明(X, d)是完備距離空間證明首先從距離定義看，(X, d)實際上是R1的子空間，當然是距離空間因R1是完備的，而X又是R1中閉集，所以(X, d)是完備距離空間14. 設(shè)X是正整數(shù)集合，令d(x, y) = | 1/x 1/y |，證明(X, d)不是完備距離空間證明首先直接驗證可知(X, d)是距離空間"nÎN+，設(shè)xn = n則 xn 是(X, d)中的基本列若 xn 收斂于xÎ X，則d(xn, x) ® 0，即| 1/xn 1/x | ® 0 (當n ®

10、¥時)由此推出1/x = 0，而這是不可能的所以基本列 xn 不收斂，因此(X, d)不是完備距離空間15. 證明：離散距離空間(X, d)是完備距離空間證明設(shè)是(X, d)中的基本列，則存在自然數(shù)，當時由離散距離空間定義知，所以應有；即從項開始為常序列，因此必為收斂列所以(X, d)是完備距離空間。16. 證明：c是可分的完備距離空間證明首先證明c是完備距離空間設(shè)是基本列，存在自然數(shù)，當時記，則，（）可見對，數(shù)列是中的基本列，因此設(shè)，并記顯然當時，有，取則有由于是收斂列，存在使得當時，此時故是中的基本列，所以由前面可見，存在自然數(shù)，當時有，故有，即，所以基本列是收斂的下面證明c是可分的在c中，令則A顯然為可數(shù)集，且A在c中稠密，所以c是可分的17. 證明：s是可分的完備距離空間證明首先證明s是完備距離空間設(shè)是基本列，存在自然數(shù)，當時記，容易看出，數(shù)列是中的基本列，因此設(shè)，并記注意，故 (對任意自然數(shù))令得到，(