中考數(shù)學(xué)壓軸題北京專沖刺：中考數(shù)學(xué)壓軸題北京專沖刺3

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題沖刺第三講新定義問題中考點津新定義題型的構(gòu)造注重學(xué)生數(shù)學(xué)思考的過程及不同認知階段特征的表 現(xiàn)其內(nèi)部邏輯構(gòu)造呈現(xiàn)出比較嚴謹、整體性強的特點其問題模型可以表示 為閱讀材料、研究對象、給出條件、需要完成認識而規(guī)律探究、方法運用、學(xué)習(xí)策略等則是“條件”隱形存在的“魂”這種新定義問題雖然在構(gòu)造方式 上“五花八門”， 但是經(jīng)過整理也能發(fā)現(xiàn)它們存在著一定的規(guī)律.新定義題型是近幾年北京中考最后一題的熱點題型“該類題從題型上看， 有展示全貌，留空補缺的；有說明解題理由的；有要求歸納規(guī)律再解決問題的; 有理解新概念再解決新問題的，等等這類試題不來源于課本且高于課本，結(jié) 構(gòu)獨特.北京第 25 題分析北

2、京第 29 題分析年份201420 仃考點新定義問題一一先學(xué)習(xí)后判斷，函數(shù)綜合給出新定義，學(xué)習(xí)，應(yīng) 用佳題點撥例題 1 在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點Q，使得P、Q兩點間的距離小于或等于 1，則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點.(1)當LO的半徑為 2 時,點P在直線y二-x上，若P為LO的關(guān)聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍.(2)LC的圓心在x軸上，半徑為 2,直線y=-x與x軸、y軸交于點A、B若線段AB上的所有點都是LC的關(guān)聯(lián)點，直接寫出圓心w1 或 2wxw2 2【答案】(1)F2，B，wXW二 或于，(2)2wx在點jo中，U O的關(guān)聯(lián)點是C的橫坐標的

3、取值范圍.【解析】試題分祈 M 1)由題 It 得p 只零在以 0 為便心，半涇為 1 和 3 兩圓之間 Pf可，由邂=0 號的值可知出 為鈕的關(guān)聯(lián)點$滿足條件的 P 只需在以 O 為圓心半彳勁 1 和 3 兩圓之間艮呵所以,P橫坐標范圍是 華 W 進豐 或 密肛半,一分四種情況討論即可，當圜過點 A CA=3 時當圓與小圓三444擔創(chuàng)叮匚豈.凰.過魚:吐自園這虜.2主.賞颶毎二_ _試題解析：(1),2_2點 P 與。的最小距離為才，點 P，為，二。的關(guān)聯(lián)點為 F2和 F3.設(shè)點 P 的坐標為 P (x ,-x)與。的最小距離為 1,點 F3與。的最小距離根據(jù)定義分析，可得當直線題意；y=_

4、x上的點 P 到原點的距離在1 到 3 之間時符合當 OP=1 時， 由距離公式可得,OP=解得當 OP=3 時， 由距離公式可得,OP=/；：,x2x9,解點的橫坐標的取值范圍為一仝 XW 二 或二 XW22 2 2j廣、，八/鶯尸 -:廣O; 八0 f ” ”%、t 1idi j0t魚f %J tt-jpvf3 /十”V一/J丁嚴 x+1 印由、軸的交點分 mA. B 兩點，令 H 得，得1 令得孟=0 得Z(1.0) (OJ：S分析得：如團 1當同過點 A 04,此時 CA=3.二點 C 坐標為 j C(-2t0) I十-、* % #R/ 、/ / 1:廣、(Sfcb亠；I C / .1

5、j/f * 、 抵J%h0 A f/JFV圖1如圖 2,當圓與小圓相切時，切點為 D, CD=1,yJ/fff# L _1ffi J - * ys J) 求II%*i h 1 j.,:1c * 9 iX3 即!工y*J/ /I圉2又丁直線 AB 所在的幽裁解析式為仆*1：/直線 AB 與軸形成的夾甬是 4 寧，./. RTA 呂 CD 中，CA-V2 ,/亡點坐標為（1-72,0；A C 點的橫坐標的取値范圍為 如圖 3,當圓過點 A 時，AC=1 ,C 點坐標為（2,0）如圖 4,當圓過點 B 時，連接 BC ,此時 BC =3,在 Rt OCB 中，由勾股定理得OC=二品,C 點坐標為（2

6、 2 ,0）.0 4 P CE4C 點的橫坐標的取值范圍為 2兀 2 2 ;綜上所述點 C 的橫坐標的取值范圍為-W22例題 2 在平面直角坐標系 xOy 中，點 P 的坐標為（，點 Q 的坐標為（，）,且，若 為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與 某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點 P,Q 的“相關(guān)矩形”。下圖為點 P, Q 的“相關(guān)矩 形”的示意圖。14101!1V1 1| 11JJ （1）已知點 A 的坐標為（1，0），1若點 B 的坐標為（3，1）求點 A，B 的“相關(guān)矩形”的面積；2點 C 在直線 x=3 上，若點 A,C 的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線 AC 的表 達式；（2）的半徑

7、為_，點 M 的坐標為（m,3）。若在上存在一點 N,使得點 M,N的“相關(guān)矩形”為正方形，求 m 的取值范圍。分析：（1）由相關(guān)矩形的定義可知：要求 A 與 B 的相關(guān)矩形面積，則 AB 必 為對角線，利用 A、B 兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度， 進而可求出 該矩形的面積；由定義可知，AC 必為正方形的對角線，所以 AC 與 x 軸的夾角必為 45,設(shè)直 線 AC 的解析式為；y=kx+b，由此可知 k= 1，再（1，0）代入 y=kx+b，即可 求出 b 的值；（2）由定義可知，MN 必為相關(guān)矩形的對角線，若該相關(guān)矩形的為正方形，即 直線 MN 與 x 軸的夾角為 45,由因為點

8、 N 在圓 0 上，所以該直線 MN 與圓 0 一定要有交點，由此可以求出 m 的范圍.解答：（1）：A （1, 0），B （3，1）由定義可知：點 A, B 的“相關(guān)矩形”的底與高分別為 2 和 1,點 A, B 的“相關(guān)矩形”的面積為 2X仁 2;由定義可知：AC 是點 A, C 的“相關(guān)矩形”的對角線, 又點 A, C 的“相關(guān)矩形”為正方形直線 AC 與 x 軸的夾角為 45,設(shè)直線 AC 的解析為：y=x+m 或 y=-x+n把( 1, 0)分別 y=x+mm=-1,直線 AC 的解析為：y=x-1 ,把(1, 0)代入 y=-x+n ,n=1, y=-x+1 ,綜上所述，若點 A,

9、 C 的“相關(guān)矩形”為正方形,*./y直線 AC 的表達式為 y=x-1 或 y=-x+1 ;J(2)設(shè)直線 MN 的解析式為 y=kx+b ,水v點 M, N 的“相關(guān)矩形”為正方形，少 VJ J 5 x由定義可知：直線 MN 與 x 軸的夾角為 45 ,/ %/ a k= 1 ,-4點 N 在 O 上，當直線 MN 與 O 有交點時，點 M N 的“相關(guān)矩形”為正方形，當 k=1 時，作 O 的切線 AD 和 BC,且與直線 MN 平行，其中 A、C 為 O 的切點，直線 AD 與 y 軸交于點 D,直線 BC 與 y 軸交于點 B, 連接OA OC把 M (m, 3)代入 y=x+b ,

10、b=3-m,直線 MN 的解析式為：y=x+3-mvZADO=45, /OAD=90,OD=2OA=2D( 0 , 2)同理可得：B (0 , -2 ),令 x=0 代入 y=x+3-m, y=3-m, -2 3-m 2,1w m0,對于任意 的函數(shù)值 y,都滿足-Mvy 如，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的 M 中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其 邊界值是 1.（1） 分別判斷函數(shù) y=2 （x 0）和 y=x+1 （- 4$電）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；（2） 若函數(shù) y=- x+1 （a 承希，ba）的邊界值是 2，且這個函數(shù)的最大值

11、也是 2,求 b 的取值范圍；（3） 將函數(shù) y=x2（ - 1 承Wn，m%）的圖象向下平移 m 個單位，得到的函數(shù)的 邊界值是 t，當 m 在什么范圍時，滿足一壟W?i$.1/分（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義和函數(shù)的邊界值的定義進行答題；析（2）根據(jù)函數(shù)的增減性、邊界值確定 a=- 1;然后由 函數(shù)的最大值也是 2” 來求 b 的取值范圍；（3）需要分類討論：mv1 和 mN兩種情況由函數(shù)解析式得到該函數(shù)圖象過點（-1, 1）、（ 0,0）,根據(jù)平移的性質(zhì)得到這兩點平移后的坐標分別是（-1， 1 - m） （0,- m）；最后由函數(shù)邊界值的定義列出不等式 專目-mW或-y=x+1 （- 4$電）

12、是有界函數(shù).邊界值為：2+1=3;(2)v函數(shù) y=- x+1 的圖象是 y 隨 x 的增大而減小,當 x=a 時，y= - a+1=2，貝Ua=- 1 f - 2- b+laa-（3）若 m 1，函數(shù)向下平移 m 個單位后，x=0 時，函數(shù)值小于-1，此 時函數(shù)的邊界 t，與題意不符，故 m1.當 x=- 1 時，y=1 即過點（-1，1）當 x=0 時，y最小=0，即過點（0，0），都向下平移 m 個單位，則（-1，1 - m）、（ 0，- m）昱1 - mW或1 - m-，440WnQ或上知勻.44模擬訓(xùn)練1 昌平29.在平面直角坐標系 xOy 中，給出如下定義：對于。C 及。C 外一點

13、 P，M，N 是。C 上兩點，當/ MPN 最大時，稱/ MPN 為點 P 關(guān)于。C 的“視角”.（1）如圖，。O 的半徑為 1，1已知點 A （ 0，2），畫出點 A 關(guān)于。O 的“視角”;若點 P 在直線 x = 2 上，則點 P 關(guān)于。O 的最大“視角”的度數(shù)_ ;2在第一象限內(nèi)有一點 B （m，m），點 B 關(guān)于。O 的“視角”為 60求點K- m0）不是有界函數(shù).B 的坐標;3若點 P 在直線y X+ 2 上且點 P 關(guān)于。0 的“視角”大于 60求 點 P 的橫坐標 Xp的取值范圍.(2)0C 的圓心在 x 軸上，半徑為 1,點 E 的坐標為(0, 1),點 F 的坐標為(0, -

14、1),若線段 EF 上所有的點關(guān)于OC 的“視角”都小于 120,直接寫出點 C 的橫坐標 xC的取值范圍.面直角坐標系 xOy 中，對于半徑為 r(r 0)的OO 和點 P,給出如下定義：若 r PO-2V-22329.在3-211 1Illy-2 -1 0123-1-2-2詞O2 3X(3)當OO 的半徑為 2 時，直線 y =11 X b (bM0)與 x 軸交于點 M，與3y 軸交于點 N，若線段 MN 上存在OO 的“近外點”，直接寫出 b 的取值范圍.加54321-7 65 -4 3 2 -10-11 2 3 4 5 6 7 J2-3-4-5-L4J21站dW-7-6-51 2 j

15、 4 5 6 7x-4-5備川圖3 東城29 在平面直角坐標系 xOy 中， 點 P 與點 Q 不重合以點 P 為圓心作經(jīng)過點 Q 的 圓，則稱該圓為點 P，Q 的相關(guān)圓”.(1) 已知點 P 的坐標為(2, 0)，1若點 Q 的坐標為(0, 1)，求點 P，Q 的相關(guān)圓”的面積；2若點 Q 的坐標為(3, n)，且點 P，Q 的相關(guān)圓”的半徑為.5，求 n 的值.（2）已知 ABC 為等邊三角形，點 A 和點 B 的坐標分別為（J3 , 0）, U3 ,0），點 C 在 y 軸正半軸上若點 P, Q 的 相關(guān)圓”恰好是厶 ABC 的內(nèi)切圓且點 Q 在直線 y=2x 上，求點 Q 的坐標.（3

16、）已知 ABC 三個頂點的坐標為：A（七，0），B（9，0）,C（ 0，4），點 P2的坐標為（0，3），點 Q 的坐標為（m, 3）若點 P, Q 的相關(guān)圓”與 ABC2 2的三邊中至少一邊存在公共點，直接寫出m 的取值范圍.氣43j2-11jiii11 1JJ11J5 4 -3 -2 -L-2j4 房山29.如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 與點 B 的坐標分別是（1, 0），（7，0）.（1）對于坐標平面內(nèi)的一點 P,給出如下定義：如果/ APB=45,貝 U 稱點 P 為線段 AB 的“等角點”.顯然，線段 AB 的“等角點”有無數(shù)個，且 A、B、P 三點共圓.設(shè) A、B、P

17、 三點所在圓的圓心為 C,直接寫出點 C 的坐標和。C 的半徑；y 軸正半軸上是否有線段 AB 的“等角點”？如果有，求出“等角點” 的坐標；如果沒有，請說明理由；(2) 當點P在y軸正半軸上運動時， / APB是否有最大值？如果有， 說明此 時/APB最大的理由，并求出點 P 的坐標；如果沒有，也請說明理由5 豐臺29.在平面直角坐標系 xOy 中，對于點 P （x, y）和 Q（x, y）,給出如下定義： 若yuy（xm），則稱點Q為點 p 的“可控變點”._y （x 0 ）例如：點（1 , 2）的“可控變點”為點（1, 2）,點（-1, 3）的“可 控變點”為點（-1,- 3）.（1）

18、點（-5,- 2）的“可控變點”坐標為 _;（2） 若點 P 在函數(shù) y =x216 的圖象上，其“可控變點” Q 的縱坐標 y 是 7,求“可控變點” Q 的橫坐標；（3）若點 P 在函數(shù) y = -x2*16 （-5乞xa）的圖象上，其“可控變點” Q 的縱坐標 y的取值范圍是-16乞y乜16，求實數(shù) a 的取值范圍.6 海淀29.在平面直角坐標系 xOy 中，對于 P, Q 兩點給出如下定義：若點 P 到兩坐 標軸的距離之和等于點 Q 到兩坐標軸的距離之和，則稱 P，Q 兩點為同族 點下圖中的 P，Q 兩點即為同族點.1作g2B* 旺.11 I1 !1a-3 -2 -101123(1)

19、已知點 A 的坐標為(-3，1)，1在點 R( 0,4)2,2),T( 2,-3)中，為點 A 的同族點的是_；2若點 B 在 x 軸上，且 A,B 兩點為同族點，則點 B 的坐標為_；(2) 直線 I:y=x-3，與 x 軸交于點 C,與 y 軸交于點 D,1M 為線段 CD 上一點， 若在直線x=n上存在點 N,使得 M, N 兩點為 同族點，求 n 的取值范圍；2M 為直線 I 上的一個動點，若以(m, 0)為圓心，-.2為半徑的圓上 存在點 N，使得 M , N 兩點為同族點，直接寫出 m 的取值范圍.27 懷柔29.在平面直角坐標系xOy中， 點P和點P/關(guān)于y=x軸對稱， 點Q和點

20、P， 關(guān) 于R (a,0 )中心對稱，則稱點 Q 是點 P 關(guān)于 y=x 軸，點 R (a,0 )的“軸中 對稱點”.(1)如圖 1，已知點 A( 0,1).若點 B 是點 A 關(guān)于 y=x 軸，點 G(3,0 )的“軸中對稱點”，則點 B 的坐標若點(-3,0 )是點 A 關(guān)于 y=x 軸，點 R(a,0 )的“軸中對稱點”，則 a= ;(2) 如圖 2,OO 的半徑為 1，若。O 上存在點 M 使得點M是點 M 關(guān)于 y=x軸，點 T (b，0)的“軸中對稱點”，且點M在射線 y=x-4(x4)上.1。O 上的點 M 關(guān)于 y=x 軸對稱時，對稱點組成的圖形是;2求 b 的取值范圍；(3)

21、0E 的半徑為 2,點 E (0, t )是 y 軸上的動點，若。E 上存在點 N,使得 點 NT是點 N 關(guān)于 y=x 軸，點(2, 0)的“軸中對稱點”，并且 NT在直線P1上，請直接寫出 t 的取值范圍.8 石景山備用圖29 .在平面直角坐標系xOy中， 點P的坐標為(a,b)， 點P的變換點P的坐標定 義如下：當a b時，點P的坐標為(-a,b);當a b時，點P的坐標為(-b,a).(1)_點A(3,1)的變換點A的坐標是_ ；點B(4,2)的變換點為 B，連接OB，OB，貝U .BOB= _；(2)已知拋物線y =7x 2)2m與x軸交于點C，D(點C在點D的左側(cè))，頂點為E點P在

22、拋物線y(x 2)2m上，點P的變換點為P.若點P恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECP D是菱形，求m的值；(3)若點F是函數(shù)y = -2x -6(-4x-2)圖象上的一點，點F的變換點 為F，連接FF，以FF為直徑作。M，OM的半徑為r，請直接寫出r的取 值范圍-5 -4 -3 -2 -I023-0), 0B= - m2m2=、2m = 2,則厶 AOB 的縱橫比M_ , AOE 的縱橫比、2_ ;2點在 F 第四象限，若 AOF 的縱橫比為 1,寫出一個符合條件的點 F 的坐標;13點 M 是雙曲線 y 二一上一個動點，若 AOM 的縱橫比為 1,求點 M 的坐標;2x（2）如圖 3,點

23、 A（1, 0）,OP 以 P（0,3）為圓心，1 為半徑，點 N 是OP 上一個 動點，直接寫出 AON 的縱橫比 的取值范圍.圖3依題可得1252=( 5)2,解得n = _2.(2) ABC 內(nèi)切圓的圓心的坐標為(0, 1),半徑為 1. 即點 P 的坐標為(0, 1),且 PQ=1.因為點 Q 在直線 y=2x 上，所以令 Q (n,2n).可得n2(2n-1)2=12.解得n=0或n=上.5所以 Q 的坐標為(0, 0)或(4,-)55 B ( 2 ,2 ) . 4 分點 P 關(guān)于。O 的“視角”大于 60點 P 在以 0 為圓心 1 為半徑與 2 為半徑的圓環(huán)內(nèi).點 P 在直線y3

24、x 2上，由上可得 xP=0 或 33 0 xP 空 3 .332 朝陽29解:(1) B, C.(2)vE(3,4)E0=5.心 5, 35r -5.2.10 . *r二5.(3)二乞b豈2一3或-2 . 3乞b_ 二333東城29.解:PQ=5，點 P, Q 的相關(guān)圓”的面積5n；(3) 點 P, Q 的相關(guān)圓”與 AC 相切時，半徑最小為-;2點 P, Q 的相關(guān)圓”過點 B 時，半徑最大為310.2所以 m 的取值范圍：_3喬:和3V：3詢.7 分2 2 2 24 房山 29.( 1)圓心 C 的坐標為(4,3)和(4,-3)；半徑為蘭； 3 分y 軸的正半軸上存在線段 AB 的“等角

25、點”4 分如圖所示： 當圓心為 C(4,3)時， 過點 C 作 CD 丄 y 軸于 D, 則D(0,3) , CD=4C 的半徑 r=3.24,0C 與 y 軸相交，設(shè)交點為 Pi、P2,此時 Pi、P2在 y 軸的正半軸上 連接 CPi、CP2、CA,貝 U CPi=CP2=CA=r=3/2/CD 丄 y 軸，CD=4, CPi=32 DPi=CP12- CD2=、2=DP2 Pi(0,3+ .2 ) P2(0,3-(2)當過點 A, B 的圓與 y 軸正半軸相切于點 P 時，/ APB 最 大.6 分理由如下：如果點 P 在 y 軸的正半軸上，設(shè)此時圓心為 E，則 E 在第一 象限在 y

26、軸的正半軸上任取一點 M (不與點 P 重合)，連接 MA, MB , PA, PB,設(shè) MB 交于OE 于點 N,連接 NA,點 P,點 N 在OE 上，APB=ZANB,vZANB 是厶 MAN 的外角， / ANBZAMB，即ZAPBZAMB.此時，過點 E 作 EF 丄 x 軸于 F,則 AF=丄 AB=3, OF=42連接 EA, EP,vOE 與 y 軸相切于點 P,則 EP 丄 y 軸，四邊形 OPEF 是矩形，OP=EF , PE=OF=4.OE 的半徑為 4, 即 EA=4,在 RtAAEF 中，EF=EA2- AF2= 42- 33= 7,OP=7即 P(0,7). 8 分

27、T-5 豐臺29解：(1)點 M 坐標為(-5, 2).(2)依題意，y=X216 圖象上的點 P 的 可控變點”必在 函數(shù)2-X 16 x _ 0 x -16 x：0的圖象上.可控變點”Q 的縱坐標 y 是 7,當一 x2.17，解得 x =32分當X2-16=7，解得 x.邁 3. 3 分故答案為- .23 或3. . 4分，6(3)依題意，y=X2+16 圖象上的點 P 的可控變點” 2必在函數(shù)_x/16-0)Ax -16(xv0)1 1|1a的圖象上(如圖).蕓0V -1 y 1.-8 分7 懷柔29 解：(1) B (5,0 ) . 1 分 a=-1. . 2 分(2). 圓3 分當

28、以 1 為半徑的圓過（4,0 ）時，圓心坐標（3,0 ）.當以 1 為半徑的圓與射線 y=x-4 相切時,圓心坐標（丄,0 ）4 分(3)1. 8 分 8 石景山29. (1)A(-3,1);.BOB =90 .2 分(2)解法一：由題意得，y = -(x 2)2m的頂點E的坐標為E(2,m),m 0.點P恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECP D是菱形， 點P的坐標為P ( -2, -m).如圖 1,若點P的坐標為P(2, -m),點P在拋物線y = -(x 2)2m上,2-m - -(2 2) m.m=8，符合題意.5 分如圖 2,若點P的坐標為P(-m,2)，由題意得，y = + X 2) m的頂點E的坐標為E(- 2m,m 0. 點P在拋物線y =-(x 2)2m上,設(shè)點P的坐標為(x, -(x 2)2m).若x -(x 2)2m，則點P的坐標為P (-x,-(x 2)2m),3 分 點P恰好在拋物線的對稱軸上，且四