中考數(shù)學壓軸題北京專沖刺：中考數(shù)學壓軸題北京專沖刺3

1、中考數(shù)學壓軸題沖刺第三講新定義問題中考點津新定義題型的構造注重學生數(shù)學思考的過程及不同認知階段特征的表 現(xiàn)其內部邏輯構造呈現(xiàn)出比較嚴謹、整體性強的特點其問題模型可以表示 為閱讀材料、研究對象、給出條件、需要完成認識而規(guī)律探究、方法運用、學習策略等則是“條件”隱形存在的“魂”這種新定義問題雖然在構造方式 上“五花八門”， 但是經過整理也能發(fā)現(xiàn)它們存在著一定的規(guī)律.新定義題型是近幾年北京中考最后一題的熱點題型“該類題從題型上看， 有展示全貌，留空補缺的；有說明解題理由的；有要求歸納規(guī)律再解決問題的; 有理解新概念再解決新問題的，等等這類試題不來源于課本且高于課本，結 構獨特.北京第 25 題分析北

2、京第 29 題分析年份201420 仃考點新定義問題一一先學習后判斷，函數(shù)綜合給出新定義，學習，應 用佳題點撥例題 1 在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點Q，使得P、Q兩點間的距離小于或等于 1，則稱P為圖形M的關聯(lián)點.(1)當LO的半徑為 2 時,點P在直線y二-x上，若P為LO的關聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍.(2)LC的圓心在x軸上，半徑為 2,直線y=-x與x軸、y軸交于點A、B若線段AB上的所有點都是LC的關聯(lián)點，直接寫出圓心w1 或 2wxw2 2【答案】(1)F2，B，wXW二 或于，(2)2wx在點jo中，U O的關聯(lián)點是C的橫坐標的

3、取值范圍.【解析】試題分祈 M 1)由題 It 得p 只零在以 0 為便心，半涇為 1 和 3 兩圓之間 Pf可，由邂=0 號的值可知出 為鈕的關聯(lián)點$滿足條件的 P 只需在以 O 為圓心半彳勁 1 和 3 兩圓之間艮呵所以,P橫坐標范圍是 華 W 進豐 或 密肛半,一分四種情況討論即可，當圜過點 A CA=3 時當圓與小圓三444擔創(chuàng)叮匚豈.凰.過魚:吐自園這虜.2主.賞颶毎二_ _試題解析：(1),2_2點 P 與。的最小距離為才，點 P，為，二。的關聯(lián)點為 F2和 F3.設點 P 的坐標為 P (x ,-x)與。的最小距離為 1,點 F3與。的最小距離根據(jù)定義分析，可得當直線題意；y=_

4、x上的點 P 到原點的距離在1 到 3 之間時符合當 OP=1 時， 由距離公式可得,OP=解得當 OP=3 時， 由距離公式可得,OP=/；：,x2x9,解點的橫坐標的取值范圍為一仝 XW 二 或二 XW22 2 2j廣、，八/鶯尸 -:廣O; 八0 f ” ”%、t 1idi j0t魚f %J tt-jpvf3 /十”V一/J丁嚴 x+1 印由、軸的交點分 mA. B 兩點，令 H 得，得1 令得孟=0 得Z(1.0) (OJ：S分析得：如團 1當同過點 A 04,此時 CA=3.二點 C 坐標為 j C(-2t0) I十-、* % #R/ 、/ / 1:廣、(Sfcb亠；I C / .1

5、j/f * 、 抵J%h0 A f/JFV圖1如圖 2,當圓與小圓相切時，切點為 D, CD=1,yJ/fff# L _1ffi J - * ys J) 求II%*i h 1 j.,:1c * 9 iX3 即!工y*J/ /I圉2又丁直線 AB 所在的幽裁解析式為仆*1：/直線 AB 與軸形成的夾甬是 4 寧，./. RTA 呂 CD 中，CA-V2 ,/亡點坐標為（1-72,0；A C 點的橫坐標的取値范圍為 如圖 3,當圓過點 A 時，AC=1 ,C 點坐標為（2,0）如圖 4,當圓過點 B 時，連接 BC ,此時 BC =3,在 Rt OCB 中，由勾股定理得OC=二品,C 點坐標為（2

6、 2 ,0）.0 4 P CE4C 點的橫坐標的取值范圍為 2兀 2 2 ;綜上所述點 C 的橫坐標的取值范圍為-W22例題 2 在平面直角坐標系 xOy 中，點 P 的坐標為（，點 Q 的坐標為（，）,且，若 為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與 某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點 P,Q 的“相關矩形”。下圖為點 P, Q 的“相關矩 形”的示意圖。14101!1V1 1| 11JJ （1）已知點 A 的坐標為（1，0），1若點 B 的坐標為（3，1）求點 A，B 的“相關矩形”的面積；2點 C 在直線 x=3 上，若點 A,C 的“相關矩形”為正方形，求直線 AC 的表 達式；（2）的半徑

7、為_，點 M 的坐標為（m,3）。若在上存在一點 N,使得點 M,N的“相關矩形”為正方形，求 m 的取值范圍。分析：（1）由相關矩形的定義可知：要求 A 與 B 的相關矩形面積，則 AB 必 為對角線，利用 A、B 兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度， 進而可求出 該矩形的面積；由定義可知，AC 必為正方形的對角線，所以 AC 與 x 軸的夾角必為 45,設直 線 AC 的解析式為；y=kx+b，由此可知 k= 1，再（1，0）代入 y=kx+b，即可 求出 b 的值；（2）由定義可知，MN 必為相關矩形的對角線，若該相關矩形的為正方形，即 直線 MN 與 x 軸的夾角為 45,由因為點

8、 N 在圓 0 上，所以該直線 MN 與圓 0 一定要有交點，由此可以求出 m 的范圍.解答：（1）：A （1, 0），B （3，1）由定義可知：點 A, B 的“相關矩形”的底與高分別為 2 和 1,點 A, B 的“相關矩形”的面積為 2X仁 2;由定義可知：AC 是點 A, C 的“相關矩形”的對角線, 又點 A, C 的“相關矩形”為正方形直線 AC 與 x 軸的夾角為 45,設直線 AC 的解析為：y=x+m 或 y=-x+n把( 1, 0)分別 y=x+mm=-1,直線 AC 的解析為：y=x-1 ,把(1, 0)代入 y=-x+n ,n=1, y=-x+1 ,綜上所述，若點 A,

9、 C 的“相關矩形”為正方形,*./y直線 AC 的表達式為 y=x-1 或 y=-x+1 ;J(2)設直線 MN 的解析式為 y=kx+b ,水v點 M, N 的“相關矩形”為正方形，少 VJ J 5 x由定義可知：直線 MN 與 x 軸的夾角為 45 ,/ %/ a k= 1 ,-4點 N 在 O 上，當直線 MN 與 O 有交點時，點 M N 的“相關矩形”為正方形，當 k=1 時，作 O 的切線 AD 和 BC,且與直線 MN 平行，其中 A、C 為 O 的切點，直線 AD 與 y 軸交于點 D,直線 BC 與 y 軸交于點 B, 連接OA OC把 M (m, 3)代入 y=x+b ,

10、b=3-m,直線 MN 的解析式為：y=x+3-mvZADO=45, /OAD=90,OD=2OA=2D( 0 , 2)同理可得：B (0 , -2 ),令 x=0 代入 y=x+3-m, y=3-m, -2 3-m 2,1w m0,對于任意 的函數(shù)值 y,都滿足-Mvy 如，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的 M 中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其 邊界值是 1.（1） 分別判斷函數(shù) y=2 （x 0）和 y=x+1 （- 4$電）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；（2） 若函數(shù) y=- x+1 （a 承希，ba）的邊界值是 2，且這個函數(shù)的最大值

11、也是 2,求 b 的取值范圍；（3） 將函數(shù) y=x2（ - 1 承Wn，m%）的圖象向下平移 m 個單位，得到的函數(shù)的 邊界值是 t，當 m 在什么范圍時，滿足一壟W?i$.1/分（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義和函數(shù)的邊界值的定義進行答題；析（2）根據(jù)函數(shù)的增減性、邊界值確定 a=- 1;然后由 函數(shù)的最大值也是 2” 來求 b 的取值范圍；（3）需要分類討論：mv1 和 mN兩種情況由函數(shù)解析式得到該函數(shù)圖象過點（-1, 1）、（ 0,0）,根據(jù)平移的性質得到這兩點平移后的坐標分別是（-1， 1 - m） （0,- m）；最后由函數(shù)邊界值的定義列出不等式 專目-mW或-y=x+1 （- 4$電）

12、是有界函數(shù).邊界值為：2+1=3;(2)v函數(shù) y=- x+1 的圖象是 y 隨 x 的增大而減小,當 x=a 時，y= - a+1=2，貝Ua=- 1 f - 2- b+laa-（3）若 m 1，函數(shù)向下平移 m 個單位后，x=0 時，函數(shù)值小于-1，此 時函數(shù)的邊界 t，與題意不符，故 m1.當 x=- 1 時，y=1 即過點（-1，1）當 x=0 時，y最小=0，即過點（0，0），都向下平移 m 個單位，則（-1，1 - m）、（ 0，- m）昱1 - mW或1 - m-，440WnQ或上知勻.44模擬訓練1 昌平29.在平面直角坐標系 xOy 中，給出如下定義：對于。C 及。C 外一點

13、 P，M，N 是。C 上兩點，當/ MPN 最大時，稱/ MPN 為點 P 關于。C 的“視角”.（1）如圖，。O 的半徑為 1，1已知點 A （ 0，2），畫出點 A 關于。O 的“視角”;若點 P 在直線 x = 2 上，則點 P 關于。O 的最大“視角”的度數(shù)_ ;2在第一象限內有一點 B （m，m），點 B 關于。O 的“視角”為 60求點K- m0）不是有界函數(shù).B 的坐標;3若點 P 在直線y X+ 2 上且點 P 關于。0 的“視角”大于 60求 點 P 的橫坐標 Xp的取值范圍.(2)0C 的圓心在 x 軸上，半徑為 1,點 E 的坐標為(0, 1),點 F 的坐標為(0, -

14、1),若線段 EF 上所有的點關于OC 的“視角”都小于 120,直接寫出點 C 的橫坐標 xC的取值范圍.面直角坐標系 xOy 中，對于半徑為 r(r 0)的OO 和點 P,給出如下定義：若 r PO-2V-22329.在3-211 1Illy-2 -1 0123-1-2-2詞O2 3X(3)當OO 的半徑為 2 時，直線 y =11 X b (bM0)與 x 軸交于點 M，與3y 軸交于點 N，若線段 MN 上存在OO 的“近外點”，直接寫出 b 的取值范圍.加54321-7 65 -4 3 2 -10-11 2 3 4 5 6 7 J2-3-4-5-L4J21站dW-7-6-51 2 j

15、 4 5 6 7x-4-5備川圖3 東城29 在平面直角坐標系 xOy 中， 點 P 與點 Q 不重合以點 P 為圓心作經過點 Q 的 圓，則稱該圓為點 P，Q 的相關圓”.(1) 已知點 P 的坐標為(2, 0)，1若點 Q 的坐標為(0, 1)，求點 P，Q 的相關圓”的面積；2若點 Q 的坐標為(3, n)，且點 P，Q 的相關圓”的半徑為.5，求 n 的值.（2）已知 ABC 為等邊三角形，點 A 和點 B 的坐標分別為（J3 , 0）, U3 ,0），點 C 在 y 軸正半軸上若點 P, Q 的 相關圓”恰好是厶 ABC 的內切圓且點 Q 在直線 y=2x 上，求點 Q 的坐標.（3

16、）已知 ABC 三個頂點的坐標為：A（七，0），B（9，0）,C（ 0，4），點 P2的坐標為（0，3），點 Q 的坐標為（m, 3）若點 P, Q 的相關圓”與 ABC2 2的三邊中至少一邊存在公共點，直接寫出m 的取值范圍.氣43j2-11jiii11 1JJ11J5 4 -3 -2 -L-2j4 房山29.如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 與點 B 的坐標分別是（1, 0），（7，0）.（1）對于坐標平面內的一點 P,給出如下定義：如果/ APB=45,貝 U 稱點 P 為線段 AB 的“等角點”.顯然，線段 AB 的“等角點”有無數(shù)個，且 A、B、P 三點共圓.設 A、B、P

17、 三點所在圓的圓心為 C,直接寫出點 C 的坐標和。C 的半徑；y 軸正半軸上是否有線段 AB 的“等角點”？如果有，求出“等角點” 的坐標；如果沒有，請說明理由；(2) 當點P在y軸正半軸上運動時， / APB是否有最大值？如果有， 說明此 時/APB最大的理由，并求出點 P 的坐標；如果沒有，也請說明理由5 豐臺29.在平面直角坐標系 xOy 中，對于點 P （x, y）和 Q（x, y）,給出如下定義： 若yuy（xm），則稱點Q為點 p 的“可控變點”._y （x 0 ）例如：點（1 , 2）的“可控變點”為點（1, 2）,點（-1, 3）的“可 控變點”為點（-1,- 3）.（1）

18、點（-5,- 2）的“可控變點”坐標為 _;（2） 若點 P 在函數(shù) y =x216 的圖象上，其“可控變點” Q 的縱坐標 y 是 7,求“可控變點” Q 的橫坐標；（3）若點 P 在函數(shù) y = -x2*16 （-5乞xa）的圖象上，其“可控變點” Q 的縱坐標 y的取值范圍是-16乞y乜16，求實數(shù) a 的取值范圍.6 海淀29.在平面直角坐標系 xOy 中，對于 P, Q 兩點給出如下定義：若點 P 到兩坐 標軸的距離之和等于點 Q 到兩坐標軸的距離之和，則稱 P，Q 兩點為同族 點下圖中的 P，Q 兩點即為同族點.1作g2B* 旺.11 I1 !1a-3 -2 -101123(1)

19、已知點 A 的坐標為(-3，1)，1在點 R( 0,4)2,2),T( 2,-3)中，為點 A 的同族點的是_；2若點 B 在 x 軸上，且 A,B 兩點為同族點，則點 B 的坐標為_；(2) 直線 I:y=x-3，與 x 軸交于點 C,與 y 軸交于點 D,1M 為線段 CD 上一點， 若在直線x=n上存在點 N,使得 M, N 兩點為 同族點，求 n 的取值范圍；2M 為直線 I 上的一個動點，若以(m, 0)為圓心，-.2為半徑的圓上 存在點 N，使得 M , N 兩點為同族點，直接寫出 m 的取值范圍.27 懷柔29.在平面直角坐標系xOy中， 點P和點P/關于y=x軸對稱， 點Q和點

20、P， 關 于R (a,0 )中心對稱，則稱點 Q 是點 P 關于 y=x 軸，點 R (a,0 )的“軸中 對稱點”.(1)如圖 1，已知點 A( 0,1).若點 B 是點 A 關于 y=x 軸，點 G(3,0 )的“軸中對稱點”，則點 B 的坐標若點(-3,0 )是點 A 關于 y=x 軸，點 R(a,0 )的“軸中對稱點”，則 a= ;(2) 如圖 2,OO 的半徑為 1，若。O 上存在點 M 使得點M是點 M 關于 y=x軸，點 T (b，0)的“軸中對稱點”，且點M在射線 y=x-4(x4)上.1。O 上的點 M 關于 y=x 軸對稱時，對稱點組成的圖形是;2求 b 的取值范圍；(3)

21、0E 的半徑為 2,點 E (0, t )是 y 軸上的動點，若。E 上存在點 N,使得 點 NT是點 N 關于 y=x 軸，點(2, 0)的“軸中對稱點”，并且 NT在直線P1上，請直接寫出 t 的取值范圍.8 石景山備用圖29 .在平面直角坐標系xOy中， 點P的坐標為(a,b)， 點P的變換點P的坐標定 義如下：當a b時，點P的坐標為(-a,b);當a b時，點P的坐標為(-b,a).(1)_點A(3,1)的變換點A的坐標是_ ；點B(4,2)的變換點為 B，連接OB，OB，貝U .BOB= _；(2)已知拋物線y =7x 2)2m與x軸交于點C，D(點C在點D的左側)，頂點為E點P在

22、拋物線y(x 2)2m上，點P的變換點為P.若點P恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECP D是菱形，求m的值；(3)若點F是函數(shù)y = -2x -6(-4x-2)圖象上的一點，點F的變換點 為F，連接FF，以FF為直徑作。M，OM的半徑為r，請直接寫出r的取 值范圍-5 -4 -3 -2 -I023-0), 0B= - m2m2=、2m = 2,則厶 AOB 的縱橫比M_ , AOE 的縱橫比、2_ ;2點在 F 第四象限，若 AOF 的縱橫比為 1,寫出一個符合條件的點 F 的坐標;13點 M 是雙曲線 y 二一上一個動點，若 AOM 的縱橫比為 1,求點 M 的坐標;2x（2）如圖 3,點

23、 A（1, 0）,OP 以 P（0,3）為圓心，1 為半徑，點 N 是OP 上一個 動點，直接寫出 AON 的縱橫比 的取值范圍.圖3依題可得1252=( 5)2,解得n = _2.(2) ABC 內切圓的圓心的坐標為(0, 1),半徑為 1. 即點 P 的坐標為(0, 1),且 PQ=1.因為點 Q 在直線 y=2x 上，所以令 Q (n,2n).可得n2(2n-1)2=12.解得n=0或n=上.5所以 Q 的坐標為(0, 0)或(4,-)55 B ( 2 ,2 ) . 4 分點 P 關于。O 的“視角”大于 60點 P 在以 0 為圓心 1 為半徑與 2 為半徑的圓環(huán)內.點 P 在直線y3

24、x 2上，由上可得 xP=0 或 33 0 xP 空 3 .332 朝陽29解:(1) B, C.(2)vE(3,4)E0=5.心 5, 35r -5.2.10 . *r二5.(3)二乞b豈2一3或-2 . 3乞b_ 二333東城29.解:PQ=5，點 P, Q 的相關圓”的面積5n；(3) 點 P, Q 的相關圓”與 AC 相切時，半徑最小為-;2點 P, Q 的相關圓”過點 B 時，半徑最大為310.2所以 m 的取值范圍：_3喬:和3V：3詢.7 分2 2 2 24 房山 29.( 1)圓心 C 的坐標為(4,3)和(4,-3)；半徑為蘭； 3 分y 軸的正半軸上存在線段 AB 的“等角

25、點”4 分如圖所示： 當圓心為 C(4,3)時， 過點 C 作 CD 丄 y 軸于 D, 則D(0,3) , CD=4C 的半徑 r=3.24,0C 與 y 軸相交，設交點為 Pi、P2,此時 Pi、P2在 y 軸的正半軸上 連接 CPi、CP2、CA,貝 U CPi=CP2=CA=r=3/2/CD 丄 y 軸，CD=4, CPi=32 DPi=CP12- CD2=、2=DP2 Pi(0,3+ .2 ) P2(0,3-(2)當過點 A, B 的圓與 y 軸正半軸相切于點 P 時，/ APB 最 大.6 分理由如下：如果點 P 在 y 軸的正半軸上，設此時圓心為 E，則 E 在第一 象限在 y

26、軸的正半軸上任取一點 M (不與點 P 重合)，連接 MA, MB , PA, PB,設 MB 交于OE 于點 N,連接 NA,點 P,點 N 在OE 上，APB=ZANB,vZANB 是厶 MAN 的外角， / ANBZAMB，即ZAPBZAMB.此時，過點 E 作 EF 丄 x 軸于 F,則 AF=丄 AB=3, OF=42連接 EA, EP,vOE 與 y 軸相切于點 P,則 EP 丄 y 軸，四邊形 OPEF 是矩形，OP=EF , PE=OF=4.OE 的半徑為 4, 即 EA=4,在 RtAAEF 中，EF=EA2- AF2= 42- 33= 7,OP=7即 P(0,7). 8 分

27、T-5 豐臺29解：(1)點 M 坐標為(-5, 2).(2)依題意，y=X216 圖象上的點 P 的 可控變點”必在 函數(shù)2-X 16 x _ 0 x -16 x：0的圖象上.可控變點”Q 的縱坐標 y 是 7,當一 x2.17，解得 x =32分當X2-16=7，解得 x.邁 3. 3 分故答案為- .23 或3. . 4分，6(3)依題意，y=X2+16 圖象上的點 P 的可控變點” 2必在函數(shù)_x/16-0)Ax -16(xv0)1 1|1a的圖象上(如圖).蕓0V -1 y 1.-8 分7 懷柔29 解：(1) B (5,0 ) . 1 分 a=-1. . 2 分(2). 圓3 分當

28、以 1 為半徑的圓過（4,0 ）時，圓心坐標（3,0 ）.當以 1 為半徑的圓與射線 y=x-4 相切時,圓心坐標（丄,0 ）4 分(3)1. 8 分 8 石景山29. (1)A(-3,1);.BOB =90 .2 分(2)解法一：由題意得，y = -(x 2)2m的頂點E的坐標為E(2,m),m 0.點P恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECP D是菱形， 點P的坐標為P ( -2, -m).如圖 1,若點P的坐標為P(2, -m),點P在拋物線y = -(x 2)2m上,2-m - -(2 2) m.m=8，符合題意.5 分如圖 2,若點P的坐標為P(-m,2)，由題意得，y = + X 2) m的頂點E的坐標為E(- 2m,m 0. 點P在拋物線y =-(x 2)2m上,設點P的坐標為(x, -(x 2)2m).若x -(x 2)2m，則點P的坐標為P (-x,-(x 2)2m),3 分 點P恰好在拋物線的對稱軸上，且四