現(xiàn)代控制教材第5章ppt課件

1、第第5 5章章 線性定常系統(tǒng)的綜合線性定常系統(tǒng)的綜合1. 引言引言2. 狀態(tài)反饋和輸出反饋狀態(tài)反饋和輸出反饋3. 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測性狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測性4. 極點配置極點配置5. 鎮(zhèn)定問題鎮(zhèn)定問題6. 狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器7. 降階觀測器降階觀測器8. 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)9. 漸近跟蹤和干擾抑制問題漸近跟蹤和干擾抑制問題10. 解耦問題解耦問題11. MATLAB的應(yīng)用的應(yīng)用本章內(nèi)容為本章內(nèi)容為:5.1 5.1 引言引言線性定常系統(tǒng)綜合：給定被控對象，通過設(shè)計控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，線性定常系統(tǒng)綜合：給定被控對象，通過設(shè)計

2、控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使系統(tǒng)滿足性能指標要求。使系統(tǒng)滿足性能指標要求。5.2 5.2 狀態(tài)反饋和輸出反饋狀態(tài)反饋和輸出反饋5.2.1 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋線性定常系統(tǒng)方程為：線性定常系統(tǒng)方程為：DuCxyBuAxx （1）假定有假定有n 個傳感器，使全部狀態(tài)變量均可以用于反饋。個傳感器，使全部狀態(tài)變量均可以用于反饋。KxVu（2）其中，其中，K 為為 反饋增益矩陣；反饋增益矩陣；V 為為r 維輸入向量。維輸入向量。nr則有則有DVxDKCy)(BVxBKAKxVBAxx)()(（3）5.2.2 輸出反饋輸出反饋采用采用HyVu（4）H 為為 常數(shù)矩陣常數(shù)矩陣mrVDDHIBHBxCDHIBHAHyV

3、BAxx)()()(11DVDHICxDHIy11)()(（5）兩者比較：狀態(tài)反饋效果較好；兩者比較：狀態(tài)反饋效果較好； 輸出反饋實現(xiàn)較方便。輸出反饋實現(xiàn)較方便。5.3 5.3 狀態(tài)反饋的能控性和能觀測性狀態(tài)反饋的能控性和能觀測性線性定常系統(tǒng)方程為線性定常系統(tǒng)方程為CxyBuAxx （6）引入狀態(tài)反饋引入狀態(tài)反饋KxVu（7）CxyBVBK)xAx(則有則有（8）定理定理5-1 5-1 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)6 6引入狀態(tài)反饋后，成為系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋后，成為系統(tǒng)8 8），），不改變系統(tǒng)的能控性。不改變系統(tǒng)的能控性。對任意的對任意的K 矩陣，均有矩陣，均有證明證明 IKIBAIBBKAI0)(

4、BAIBBKAIrank)(rankIKI0由于由于 滿秩，所以對任意常值矩陣滿秩，所以對任意常值矩陣K 和和 ，均，均有有（9）（9式說明，引入狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。但是，狀態(tài)式說明，引入狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。但是，狀態(tài)反饋可以改變系統(tǒng)的能觀測性，見例反饋可以改變系統(tǒng)的能觀測性，見例5-1。5.4 5.4 極點配置極點配置定理定理 線性定常系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋進行極點配置的充分必要條線性定常系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋進行極點配置的充分必要條件是：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。件是：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋KxVu（11）線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)CxBAxxyu（10）CxbbK)xAxy

5、V(狀態(tài)反饋系統(tǒng)方程狀態(tài)反饋系統(tǒng)方程（12）因為因為A 和和 b 一定，確定一定，確定K 的就可以配置系統(tǒng)的極點。的就可以配置系統(tǒng)的極點。經(jīng)過線性變換經(jīng)過線性變換 ，可以使系統(tǒng)具有能控標準形。，可以使系統(tǒng)具有能控標準形。xPx1（13）uaaan100100001000010110 xxx110ny系統(tǒng)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)傳遞函數(shù)：)()()(011101221111ssasasasssssssgnn-nnn-nn- bAICbAIC（14）（15）引入狀態(tài)反饋引入狀態(tài)反饋xKxKPKxVVVu1令令1101nkkkKPK（16）其中其中 為待定常數(shù)為待定常數(shù)110,nkkk)()()(100101

6、0010010111100110110nnnnkakakakkkaaaKbA狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征多項式為狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征多項式為)()()()(det)(0011111kaskaskasssnnnnKKbAI（17）設(shè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)希望的極點為設(shè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)希望的極點為nsss,21其特征多項式為其特征多項式為*0*11*11*)()(asasassssnnnniiK（18）比較比較17式和式和18式，選擇式，選擇 使同次冪系數(shù)相同。有使同次冪系數(shù)相同。有ik1*11*10*0nnaaaaaaK（19）而狀態(tài)反饋矩陣而狀態(tài)反饋矩陣110nkkkPKK例例5-3 5-3 某位置控制系統(tǒng)伺服系統(tǒng)簡化線路

7、如下某位置控制系統(tǒng)伺服系統(tǒng)簡化線路如下DiiiKu 為了實現(xiàn)全狀態(tài)反饋，電動機軸上安裝了測速發(fā)電機為了實現(xiàn)全狀態(tài)反饋，電動機軸上安裝了測速發(fā)電機TG，通過霍爾電流傳感器測得電樞電流通過霍爾電流傳感器測得電樞電流 ，即，即 。已知折算到電。已知折算到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)動機軸上的粘性摩擦系數(shù) 、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動慣量 ；電；電動機電樞回路電阻動機電樞回路電阻 ；電樞回路電感；電樞回路電感 ；電動勢系數(shù)；電動勢系數(shù)為為 、電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)為、電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)為 。選擇。選擇 、 、 作為狀態(tài)變量。將系統(tǒng)極點配置到作為狀態(tài)變量。將系統(tǒng)極點配置到 和和 ，求，求K 陣。陣。TGTGKuDim/(rad/s

8、)N1 f2mkg1DJ1DRH1 . 0DLV/(rad/s)1 . 0eKm/AN1mKoDi31j10解解 1. 建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型)(oiKuoAAuKuAPDuKu DDDDeDddiRtiLKuFDmDddTiKftJtdoDo321ixxxx 為恒定的負載轉(zhuǎn)矩為恒定的負載轉(zhuǎn)矩FT2o1ddxtxDFDDmD2ddJTiJKJftxDeDDDDDD31ddLKuLiLRtix 將主反饋斷開，系統(tǒng)不可變部分，代入?yún)?shù)后，系統(tǒng)方程為將主反饋斷開，系統(tǒng)不可變部分，代入?yún)?shù)后，系統(tǒng)方程為FD32132101010001010110010Tuxxxxxx321001xx

9、xy2. 計算狀態(tài)反饋矩陣計算狀態(tài)反饋矩陣9901001011010010002bAAbbQC3rankCQ所以系統(tǒng)能控所以系統(tǒng)能控計算出狀態(tài)反饋矩陣計算出狀態(tài)反饋矩陣 1 . 02 . 14210KKKK狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)圖如圖狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)圖如圖c所示沒有畫出所示沒有畫出 ）。）。FT經(jīng)過結(jié)構(gòu)變換成經(jīng)過結(jié)構(gòu)變換成d圖所示的狀態(tài)圖圖所示的狀態(tài)圖10K因為位置主反饋因為位置主反饋，其他參數(shù)的選擇應(yīng)該滿足：，其他參數(shù)的選擇應(yīng)該滿足：440PAKKKKP12 . 1KK P21 . 0KK 驗證：求圖驗證：求圖d系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其極點確實為希望配置的極系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其極點確實為希望配置的極點

10、位置。點位置。5.5 5.5 鎮(zhèn)定問題鎮(zhèn)定問題鎮(zhèn)定問題鎮(zhèn)定問題 非漸近穩(wěn)定系統(tǒng)通過引入狀態(tài)反饋，實現(xiàn)漸近穩(wěn)定非漸近穩(wěn)定系統(tǒng)通過引入狀態(tài)反饋，實現(xiàn)漸近穩(wěn)定（23）定理定理5-2 SISO5-2 SISO線性定常系統(tǒng)方程為線性定常系統(tǒng)方程為CxbAxxyu顯然，能控系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定。顯然，能控系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定。如果系統(tǒng)不能控，引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件為：不能控的狀如果系統(tǒng)不能控，引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件為：不能控的狀態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的。態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的。（證明請參見教材（證明請參見教材163頁）頁）那么，如果系統(tǒng)不能控，還能不能鎮(zhèn)定呢？請見定理那么，如果系統(tǒng)不能控

11、，還能不能鎮(zhèn)定呢？請見定理5-2。當系統(tǒng)滿足可鎮(zhèn)定的條件時，狀態(tài)反饋陣的計算步驟為當系統(tǒng)滿足可鎮(zhèn)定的條件時，狀態(tài)反饋陣的計算步驟為1） 將系統(tǒng)按能控性進行結(jié)構(gòu)分解，確定變換矩陣將系統(tǒng)按能控性進行結(jié)構(gòu)分解，確定變換矩陣1PCA2確定確定 ，化，化 為約當形式為約當形式2PCA3） 利用狀態(tài)反饋配置利用狀態(tài)反饋配置 的特征值，計算的特征值，計算1A1K4） 所求鎮(zhèn)定系統(tǒng)的反饋陣所求鎮(zhèn)定系統(tǒng)的反饋陣1210PPKK 例例5-5 5-5 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為u011500020001xx 試用狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。試用狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。解解 矩陣矩陣A 為對角陣，顯然系統(tǒng)不能控。不能控的子

12、系統(tǒng)特征值為為對角陣，顯然系統(tǒng)不能控。不能控的子系統(tǒng)特征值為-5，因此，系統(tǒng)可以鎮(zhèn)定。，因此，系統(tǒng)可以鎮(zhèn)定。能控子系統(tǒng)方程為能控子系統(tǒng)方程為uuCCCCC112001xbxAx引入狀態(tài)反饋引入狀態(tài)反饋CVuxK其中其中21kkK為了保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，設(shè)希望極點為為了保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，設(shè)希望極點為222, 1js84)(2*sssK2121221122)3(11200100det)(det)(kkskkskkssssCKKbAI同次冪系數(shù)相等，得同次冪系數(shù)相等，得131k202k5.6 5.6 狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器問題的提出：狀態(tài)反饋可以改善系統(tǒng)性能，但有時不便于檢測

13、。問題的提出：狀態(tài)反饋可以改善系統(tǒng)性能，但有時不便于檢測。如何解決這個問題？如何解決這個問題？答案是：重構(gòu)一個系統(tǒng)，用這個系統(tǒng)的狀態(tài)來實現(xiàn)狀態(tài)反饋。答案是：重構(gòu)一個系統(tǒng)，用這個系統(tǒng)的狀態(tài)來實現(xiàn)狀態(tài)反饋。（24）系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為)0()(0 xxCxyBuAxxt（25）重構(gòu)一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)的各參數(shù)與原系統(tǒng)相同重構(gòu)一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)的各參數(shù)與原系統(tǒng)相同xCyBuxAx（24式減去式減去25式式) () (xxCyyxxAxx（26）當兩個系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致，參數(shù)也完全一致，那么當兩個系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致，參數(shù)也完全一致，那么 。但是實際系統(tǒng)總會有一些差別，因此實際上但是實際系統(tǒng)總會有一些

14、差別，因此實際上 。xxxx（27）當當 時，時， 也不為零，可以引入信號也不為零，可以引入信號 來校正系統(tǒng)來校正系統(tǒng)25），它就成為了狀態(tài)觀測器。），它就成為了狀態(tài)觀測器。 xxy-y) (y-yGyBuxGCAxxGCBuxAyyGBuxAx)() () (其中，其中， 為為 矩陣矩陣Gnn（24式減去式減去27式式) )()(x-xGCAGyBuxGCABuAxx-x（28）由由28式可知，如果適當選擇式可知，如果適當選擇G 矩陣，使矩陣，使(A-GC) 的所有特征值的所有特征值具有負實部，那么具有負實部，那么式式27系統(tǒng)就是式系統(tǒng)就是式24系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器， 就是重構(gòu)

15、的狀態(tài)。就是重構(gòu)的狀態(tài)。0) (limxxtx 定理定理5-3 5-3 系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充分必要條件是：系統(tǒng)能觀測，系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充分必要條件是：系統(tǒng)能觀測，或者系統(tǒng)雖然不能觀測，但是其不能觀測的子系統(tǒng)的特征值具有負或者系統(tǒng)雖然不能觀測，但是其不能觀測的子系統(tǒng)的特征值具有負實部。實部。（證明請參見教材（證明請參見教材167頁）頁）定理定理5-4 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 的觀測器的觀測器 CxyBuAxxGyBuxGCAx)(（30）可任意配置極點的充分必要條件是系統(tǒng)能觀測并且能控?？扇我馀渲脴O點的充分必要條件是系統(tǒng)能觀測并且能控。例例5-6 系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為u1012001

16、20001xx x011y要求設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，其特征值為要求設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，其特征值為3、4、5。解解首先判斷系統(tǒng)的能觀測性首先判斷系統(tǒng)的能觀測性441121011CQ3rankCQ系統(tǒng)能觀測，可設(shè)計觀測器。系統(tǒng)能觀測，可設(shè)計觀測器。設(shè)：設(shè)：210gggG其中其中 ， 待定待定ig)2, 1, 0( i希望特征值對應(yīng)的特征多項式希望特征值對應(yīng)的特征多項式604712)5)(4)(3()(23*sssssssG)424()834()5(det2102102103gggsgggsggssGGCAI而狀態(tài)觀測器的特征多項式而狀態(tài)觀測器的特征多項式同次冪系數(shù)分別相等，可以得出同次冪系數(shù)分別

17、相等，可以得出210103120210gggG幾點說明：幾點說明：1） 希望的特征值一定要具有負實部，且要比原系統(tǒng)的特征值更希望的特征值一定要具有負實部，且要比原系統(tǒng)的特征值更負。這樣重構(gòu)的狀態(tài)才可以盡快地趨近原系統(tǒng)狀態(tài)。負。這樣重構(gòu)的狀態(tài)才可以盡快地趨近原系統(tǒng)狀態(tài)。2狀態(tài)觀測器的特征值與原系統(tǒng)的特征值相比，又不能太負，否狀態(tài)觀測器的特征值與原系統(tǒng)的特征值相比，又不能太負，否則，抗干擾能力降低。則，抗干擾能力降低。3選擇觀測器特征值時，應(yīng)該考慮到不至于因為參數(shù)變化而會有選擇觀測器特征值時，應(yīng)該考慮到不至于因為參數(shù)變化而會有較大的變化，從而可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。較大的變化，從而可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.

18、7 5.7 降階觀測器降階觀測器1. 降階觀測器的維數(shù)降階觀測器的維數(shù)定理定理 5-5 若系統(tǒng)能觀測，且若系統(tǒng)能觀測，且rankC = m，則系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的最，則系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的最小維數(shù)是小維數(shù)是(n-m)。（證明略）（證明略）21CCCmCrank因為有因為有m 維可以通過觀測維可以通過觀測 y 得到，因此有得到，因此有(n-m)維需要觀測。維需要觀測。CxyBuAxx對系統(tǒng)方程對系統(tǒng)方程采用變換矩陣采用變換矩陣210CCIP進行線性變換，進行線性變換，Pxx 1 PAPAPBB 1 CPC（31）得到如下形式的系統(tǒng)方程得到如下形式的系統(tǒng)方程221212122211211210 xxx

19、IyuBBxxAAAAxx可見可見 可以通過可以通過 觀測到，需要對觀測到，需要對 維的維的 進行估計。進行估計。2xy)(mn1x因此，降階觀測器的維數(shù)為因此，降階觀測器的維數(shù)為(n-m)2. 降階觀測器存在的條件及其構(gòu)成降階觀測器存在的條件及其構(gòu)成將將31式改寫成式改寫成uByAxAuBxAxAx11211112121111（32）（33）uByAxAyx2221212（34）令令121222xAuByAyy 于是有于是有(n-m) 階的子系統(tǒng)：階的子系統(tǒng)：121xAy u)ByAxAx1121111(（35）以下構(gòu)造這個子系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器以下構(gòu)造這個子系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器（36）yGyAGA

20、uBGBxAGAyGuByAxAGAx12211221112111111121211111)()()()()(因為子系統(tǒng)能觀測，所以，通過選擇因為子系統(tǒng)能觀測，所以，通過選擇 的參數(shù)，可以配置的參數(shù)，可以配置的特征值。的特征值。1G)(21111AAG為了在觀測器中不出現(xiàn)微分項，引入以下變換，為了在觀測器中不出現(xiàn)微分項，引入以下變換，（37）yGxz11yGxz11yGzx11yGzx11即即（37式代入式代入36），得），得yAGAGAGAuBGBzAGAz)()()(2211212111121121111由于由于21xxx故故00limlim111 xxyyGzxtt（38）因此，因此，

21、是是 的估計。的估計。 yyGz1x（39）yzyGQQxQxPx1211狀態(tài)圖中狀態(tài)圖中)(221121211111AGAGAGAG5.8 5.8 帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)SISO線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)CxBAxxyu（40）全階狀態(tài)觀測器全階狀態(tài)觀測器yuGbxGCAx)(（41）狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋xKVu（42）還有還有VbxbKAxxVbxbKGCAGCxx)(Cxy寫成矩陣形式寫成矩陣形式VbbxxbKGCAGCbKAxx（43）xxC0y作線性變換作線性變換IIIP0IIIP01xxxxxxxIIIxxP0（44）其中其中 為誤差估計為誤差估計xxx

22、對對43式進行線性變換，得到如下方程式進行線性變換，得到如下方程VV00000bxxGCAbKbKAbbIIIxxIIIbKGCAGCbKAIIIxxxxCxxIIIC000y（45）)det()det(0detGCAsIbKAsGCAsIbKbKAsII（46）xx bKAGCAGCAbKA由上式可見，由上式可見， 的特征值與的特征值與 的特征值可以分別配置，的特征值可以分別配置，互不影響?；ゲ挥绊?。 這種這種 的特征值和的特征值和 特征值可以分別配置，特征值可以分別配置，互不影響的方法，稱為分離定理。需要注意：互不影響的方法，稱為分離定理。需要注意： 的特征值應(yīng)該的特征值應(yīng)該比比 的特征值

23、更負，一般為四倍左右，才能夠保證的特征值更負，一般為四倍左右，才能夠保證 盡快跟盡快跟上上 ，正常地實現(xiàn)狀態(tài)反饋。，正常地實現(xiàn)狀態(tài)反饋。bKAGCA這時傳遞函數(shù)為這時傳遞函數(shù)為bbKAsCbGCAsIbKbKAsC11000)(IIsgK5.9 5.9 漸近跟蹤與干擾抑制問題漸近跟蹤與干擾抑制問題5.9.1 漸近跟蹤問題漸近跟蹤問題右圖所示反饋控制系統(tǒng)右圖所示反饋控制系統(tǒng))()()(sdsnsggg)()()(sdsnsgCCC一般很難做到在所有時間上都有一般很難做到在所有時間上都有 ， 但但 ， 就有可能做到，即：就有可能做到，即：)()(trtyt)()(trty0)()(lim)(lim

24、tytrtett穩(wěn)態(tài)時，實現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)時，實現(xiàn)了 跟蹤跟蹤 ，稱為漸近跟蹤。，稱為漸近跟蹤。)(ty)(tr在經(jīng)典控制理論中，已經(jīng)討論過典型輸入信號時的情況。在經(jīng)典控制理論中，已經(jīng)討論過典型輸入信號時的情況。)(ty)(tr 但是，對于但是，對于 不是典型輸入信號，那么不是典型輸入信號，那么 跟蹤跟蹤 的條件是的條件是什么？什么？)(tr輸入和誤差信號的拉氏變換式分別為輸入和誤差信號的拉氏變換式分別為)()()(sdsnsRrr)()()()()()()()()(sdsnsnsnsdsdsdsdsErrCgCgCg顯然，輸入信號的分母顯然，輸入信號的分母 中那些實部為負的根，當中那些實部為負的根，

25、當 時時對穩(wěn)態(tài)誤差無影響；只有那些位于對穩(wěn)態(tài)誤差無影響；只有那些位于 右半閉平面包括虛軸的右半右半閉平面包括虛軸的右半平面的根，對穩(wěn)態(tài)誤差有影響。平面的根，對穩(wěn)態(tài)誤差有影響。0)(sdrts當當 的全部極點位于的全部極點位于 左半開平面時，要使左半開平面時，要使s)(ssE0)()()()()()()()(lim)(lim)(lim00sdsnsnsnsdsdsdsdsssEteerrCgCgCgsstss必須有必須有1） 的所有根實部均為負。的所有根實部均為負。0)()()()(snsnsdsdCgCg)(sdr2） 在在 右半閉平面的零點也是右半閉平面的零點也是 的零點。的零點。s)()(

26、sdsdCg上面兩個條件成立時，就實現(xiàn)了漸近跟蹤，即上面兩個條件成立時，就實現(xiàn)了漸近跟蹤，即 有有 。其中，第其中，第2個條件就是著名的內(nèi)模原理。個條件就是著名的內(nèi)模原理。t)()(trty5.9.2 內(nèi)模原理內(nèi)模原理)()(ssdrg假定假定 的某些根具有零實部或正實部，令的某些根具有零實部或正實部，令 是是 中不穩(wěn)定的中不穩(wěn)定的極點構(gòu)成的多項式。極點構(gòu)成的多項式。 和和 互質(zhì)。那么互質(zhì)。那么)(sdr)(sr)(sR)(sng)()()()()()()()()()()()()(sdssnsnsdssdsnsdsdsYsRsErrgCgrCrgC)(snC 由于由于 中的不穩(wěn)定的零點均被中的

27、不穩(wěn)定的零點均被 精確地消去，所以，只要選精確地消去，所以，只要選擇擇 、 使使 的根具有負實部。的根具有負實部。即：用即：用 鎮(zhèn)定系統(tǒng)，那么鎮(zhèn)定系統(tǒng)，那么 時，有時，有 ，實現(xiàn)了漸近跟蹤。這就是內(nèi)模原理實現(xiàn)了漸近跟蹤。這就是內(nèi)模原理.)(sdr)(sr)(sdC0)()()()()(snsnsdssdgCgrC)(sgCt0)()()(tytrte5.9.3 干擾抑制問題干擾抑制問題如果系統(tǒng)存在確定性干擾，如果系統(tǒng)存在確定性干擾，如右圖所示。如右圖所示。當當 時，時， ，使，使 ，稱為干擾抑制問題。，稱為干擾抑制問題。0)(trt0)(tyf假設(shè)假設(shè) 為正則有理函數(shù)，假定為正則有理函數(shù)，假定

28、 的某些根具有零實部的某些根具有零實部或負實部。令或負實部。令 是是 的不穩(wěn)定極點構(gòu)成的的不穩(wěn)定極點構(gòu)成的s多項式。于是多項式。于是 的所有根均具有零實部或正實部。將內(nèi)模的所有根均具有零實部或正實部。將內(nèi)模 放入系統(tǒng)中，選放入系統(tǒng)中，選擇擇 使反饋系統(tǒng)成為漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)。使反饋系統(tǒng)成為漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)。)()()(sdsnsfff0)(sdf)(sf)(sf)(sf)(/1sf)(sgC由由 作用引起的系統(tǒng)輸出作用引起的系統(tǒng)輸出)(tf)()()()()()()()()()()()(sdssnsnsdssdsnsnsdsEsYffgCgfCfgCff)(sdf0)(tyft由于由于 中的不穩(wěn)定的

29、零點均被中的不穩(wěn)定的零點均被 精確地消去，故精確地消去，故 的所有的所有極點都具有負實部。因此，當極點都具有負實部。因此，當 時，時， 。從而實現(xiàn)了。從而實現(xiàn)了干擾抑制。干擾抑制。)(sf)(sYf5.9.4 漸近跟蹤與干擾抑制漸近跟蹤與干擾抑制)(sgC)(/1s假設(shè)假設(shè) ， ，通過在系統(tǒng)中引入內(nèi)模，通過在系統(tǒng)中引入內(nèi)模 ，假設(shè)，假設(shè) 是是 和和 的不穩(wěn)定極點之最小公分母。的不穩(wěn)定極點之最小公分母。 設(shè)計補償器設(shè)計補償器 ，就可，就可以實現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。以實現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。0)(tr0)(tf)(s)(sR)(sf2內(nèi)模內(nèi)模 的系數(shù)不允許變化，否則無法實現(xiàn)精確對消。雖然的系數(shù)不允

30、許變化，否則無法實現(xiàn)精確對消。雖然現(xiàn)實中，很難極其精確地對消，由于現(xiàn)實中，很難極其精確地對消，由于 和和 大多數(shù)是有界的，大多數(shù)是有界的，輸出仍然可以跟蹤輸入，只是有有限的穩(wěn)態(tài)誤差。輸出仍然可以跟蹤輸入，只是有有限的穩(wěn)態(tài)誤差。)(/1s)(tr)(tf兩點說明：兩點說明：1內(nèi)模內(nèi)模 的位置要求并不高，只要不位于從的位置要求并不高，只要不位于從 到到 和從和從 到到 的前向通道中即可的前向通道中即可 。)(/1s)(sR)(sE)(sF)(sY5.9.5 狀態(tài)空間設(shè)計法狀態(tài)空間設(shè)計法系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為)(tfufbbAxx)(tfuyfddCx（47） 為能控，為能控， 為能觀測。為能觀測。b

31、ACA（48） 為干擾信號，認為它是在未知初始條件下，由以下系統(tǒng)產(chǎn)生。為干擾信號，認為它是在未知初始條件下，由以下系統(tǒng)產(chǎn)生。)(tffftfxC)(fffxAx （49） 認為是在未知初始條件下，由以下系統(tǒng)產(chǎn)生。認為是在未知初始條件下，由以下系統(tǒng)產(chǎn)生。)(trrrtrxC)(rrrxAx 和和 為能觀測，要求設(shè)計的系統(tǒng)實現(xiàn)漸近跟蹤與為能觀測，要求設(shè)計的系統(tǒng)實現(xiàn)漸近跟蹤與干擾抑制。干擾抑制。ffCArrCA設(shè)設(shè))det()(ffssAI )det()(rrssAI )(sr)(sf 和和 在在s右半閉平面零點的最小公倍式為右半閉平面零點的最小公倍式為)(s0111)(asasassmmm)(s的

32、所有零點都具有非負實部，內(nèi)模的所有零點都具有非負實部，內(nèi)模 可實現(xiàn)為可實現(xiàn)為)(1sCCyxeCCCCbxAx（50）100Cb110100001000010mCaaaA其中其中duryreCxrdudurCCCCCCCCCbbCxbxACxbxAx)(組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程為組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程為rudCCCCCCbbbxxACbAxx00當當 時，狀態(tài)反饋的組合系統(tǒng)特征多項式為時，狀態(tài)反饋的組合系統(tǒng)特征多項式為0dCCCKKsssCAICbbKbKAI)(det)(對狀態(tài)反饋組合系統(tǒng)，如果給出對狀態(tài)反饋組合系統(tǒng)，如果給出(n+m)個希望極點，求出個希望極點，求出)(*sCKK)(*sCKK)(s

33、CKK比較比較 和和 ，即可以求得，即可以求得K 和和KC ，如此設(shè)計的系統(tǒng)，如此設(shè)計的系統(tǒng)，即可以實現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。即可以實現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。5.10 5.10 解耦問題解耦問題CxyBuAxx 線性定常系統(tǒng)方程為線性定常系統(tǒng)方程為（51）引入狀態(tài)反饋引入狀態(tài)反饋KxFVu其中其中K 為反饋陣，為反饋陣，F(xiàn)為輸入變換矩陣。為輸入變換矩陣。BFVxBKAKxFVBAxx)()(Cxy （52）狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為BFBKAICG1)()(ssKF所謂解耦問題，就是尋求適當?shù)乃^解耦問題，就是尋求適當?shù)腒 和和F 矩陣使得狀態(tài)反饋傳遞函數(shù)矩陣使得狀態(tài)

34、反饋傳遞函數(shù)矩陣矩陣 為對角陣。為對角陣。)(sKFG)()()(diag)(2211sgsgsgsmmKFG5.10.1 關(guān)于關(guān)于 的兩個不變量的兩個不變量)(sKFG假設(shè)假設(shè) 為嚴格正則有理傳遞函數(shù)矩陣，可以表示為如下形式為嚴格正則有理傳遞函數(shù)矩陣，可以表示為如下形式)(sKFG),(),(),()(21FKGFKGFKGGssssTmTTKF（53）),(FKGsTi)(sKFG其中，其中， 為為 的第的第 行向量。行向量。i定義定義11,min),()()(2)(1imiiiFKd（54）其中，其中， 為為 的第的第k 個元素分母多項式和分子多項個元素分母多項式和分子多項式次數(shù)之差，式

35、次數(shù)之差，),(FKGsTi)(ikmk, 2, 1),(),(4312111122)(212222FKGFKGGssssssssssssTTKF例例5-9 傳遞函數(shù)矩陣如下，求不變量傳遞函數(shù)矩陣如下，求不變量id解解對于對于 來說，來說， ， 因此因此),(1FKGsT112112021201min),(12111FKd對于對于 來說，來說， ， 因此因此),(2FKGsT202212022211min),(22212FKd),(FKGsTi商定：對于商定：對于 為零向量時，為零向量時，nFKdi),(定義定義2（55）),(lim),(1FKGFKssrTidtTii 這是一個這是一個m

36、維非零向量。它是這樣構(gòu)造的：對于維非零向量。它是這樣構(gòu)造的：對于1m 的行向的行向量量 ，各元素分子多項式中最高次冪的系數(shù)。，各元素分子多項式中最高次冪的系數(shù)。),(FKGsTi例例5-9 中中110122),(221sssssssTFKG01),(1FKTr43121),(222sssssTFKG31),(2FKTr),(FKGsTi商定：對于商定：對于 為零向量時，為零向量時，0),(FKrTi5.10.2 能解耦性判據(jù)能解耦性判據(jù)定理定理5-6 一個具有傳遞函數(shù)一個具有傳遞函數(shù) 的系統(tǒng)，能用狀態(tài)反饋的系統(tǒng)，能用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦的充分必要條件是以下矩陣非奇異。實現(xiàn)解耦的充分必要條件是以下矩

37、陣非奇異。), 0(), 0(), 0(21221101IIIBACBACBACTmTTdmmddrrrE（56）（證明請參見教材（證明請參見教材184頁。這是構(gòu)造性證明頁。這是構(gòu)造性證明方法。即：定理證畢，方法。即：定理證畢，K, F矩陣即可求出）矩陣即可求出）例例5-10 系統(tǒng)方程如下，要求用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)解耦。系統(tǒng)方程如下，要求用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)解耦。uxx100001321100000 xy1000111系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為解解)2)(1()2)(1(1)2)(1(1)2)(1(13)(2101ssssssssssssssBAICG2判斷系統(tǒng)能解耦性判斷系統(tǒng)能解耦性0

38、1d02d011Tr102Tr100121TTrrE由于由于 ，系統(tǒng)能解耦。，系統(tǒng)能解耦。0detE1003211000000111111dACL3）3213211000001001222dACL32110021LLL10011EF32110032110010011LEK因此因此xVu3211004狀態(tài)反饋的方程為狀態(tài)反饋的方程為VxBFVxBKAx100001000100100 xy100011ssss1001)(1BFBKAICGKF上面介紹的是積分解耦系統(tǒng)。而對于實際工程系統(tǒng)來說，要求系統(tǒng)上面介紹的是積分解耦系統(tǒng)。而對于實際工程系統(tǒng)來說，要求系統(tǒng)為李亞普諾夫意義下漸近穩(wěn)定。實現(xiàn)方法見教材

39、為李亞普諾夫意義下漸近穩(wěn)定。實現(xiàn)方法見教材187頁。頁。5.11 MATLAB5.11 MATLAB的應(yīng)用的應(yīng)用5.11.1 極點配置極點配置 線性系統(tǒng)是狀態(tài)能控時，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置系統(tǒng)的線性系統(tǒng)是狀態(tài)能控時，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置系統(tǒng)的極點。把極點配置到極點。把極點配置到S左半平面所希望的位置上，則可以獲得滿意左半平面所希望的位置上，則可以獲得滿意的控制特性。的控制特性。狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方程為狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方程為 BvxBKAx)(Cxy 在在MATLAB中，用函數(shù)命令中，用函數(shù)命令place( )可以方便地求出狀態(tài)反饋可以方便地求出狀態(tài)反饋矩陣矩陣K；該命令的調(diào)用格式為：；該命

40、令的調(diào)用格式為：K = place(A,b,P)。P為一個行向量，其各分量為所希望配置的各極為一個行向量，其各分量為所希望配置的各極點。即：該命令計算出狀態(tài)反饋陣點。即：該命令計算出狀態(tài)反饋陣K，使得，使得A-bK的特征值為向的特征值為向量量P的各個分量。使用函數(shù)命令的各個分量。使用函數(shù)命令acker( )也可以計算出狀態(tài)矩陣也可以計算出狀態(tài)矩陣K，其作用和調(diào)用格式與其作用和調(diào)用格式與place( )一樣，只是算法有些差異。一樣，只是算法有些差異。例例5-12 線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為uBAxx其中其中 0100016116A001B要求確定狀態(tài)反饋矩陣，使狀態(tài)反饋系統(tǒng)

41、極點配置為要求確定狀態(tài)反饋矩陣，使狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點配置為 101s112s123s解解 首先判斷系統(tǒng)的能控性，輸入以下語句首先判斷系統(tǒng)的能控性，輸入以下語句 語句執(zhí)行結(jié)果為語句執(zhí)行結(jié)果為 這說明系統(tǒng)能控性矩陣滿秩，系統(tǒng)能控，可以應(yīng)用狀態(tài)反饋，這說明系統(tǒng)能控性矩陣滿秩，系統(tǒng)能控，可以應(yīng)用狀態(tài)反饋，任意配置極點。任意配置極點。 輸入以下語句輸入以下語句 語句執(zhí)行結(jié)果為語句執(zhí)行結(jié)果為 計算結(jié)果表明，狀態(tài)反饋陣為計算結(jié)果表明，狀態(tài)反饋陣為 131435127K注：如果將輸入語句中的注：如果將輸入語句中的 K=place(A,B,P) 改為改為 K=acker(A,B,P)，可以得到同樣的結(jié)果。，可以得

42、到同樣的結(jié)果。5.11.2 狀態(tài)觀測器設(shè)計狀態(tài)觀測器設(shè)計 在在MATLAB中，可以使用函數(shù)命令中，可以使用函數(shù)命令acker( )計算出狀態(tài)觀測器計算出狀態(tài)觀測器矩陣矩陣 。調(diào)用格式。調(diào)用格式 ，其中，其中AT 和和 CT 分別是分別是A 和和B 矩陣的轉(zhuǎn)置。矩陣的轉(zhuǎn)置。P為一個行向量，其各分量為所希望的狀態(tài)觀測器為一個行向量，其各分量為所希望的狀態(tài)觀測器的各極點。的各極點。GT為所求的狀態(tài)觀測器矩陣為所求的狀態(tài)觀測器矩陣G 的轉(zhuǎn)置。的轉(zhuǎn)置。 ),acker(PCAGTTT例例5-13 線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為uBAxxCxy其中其中 200120001A101B011

43、C要求設(shè)計系統(tǒng)狀態(tài)觀測器，其特征值為要求設(shè)計系統(tǒng)狀態(tài)觀測器，其特征值為:3, 4, 5。解解 首先判斷系統(tǒng)的能觀測性，輸入以下語句首先判斷系統(tǒng)的能觀測性，輸入以下語句 語句運行結(jié)果為語句運行結(jié)果為說明系統(tǒng)能觀測，可以設(shè)計狀態(tài)觀測器說明系統(tǒng)能觀測，可以設(shè)計狀態(tài)觀測器輸入以下語句輸入以下語句 語句運行結(jié)果為語句運行結(jié)果為 計算結(jié)果表明，狀態(tài)觀測器矩陣為計算結(jié)果表明，狀態(tài)觀測器矩陣為210103120G狀態(tài)觀測器的方程為狀態(tài)觀測器的方程為uyBGxGCAx)(uy101210103120221021011051030120119x5.11.3 單級倒立擺系統(tǒng)的極點配置與狀態(tài)觀測器設(shè)計單級倒立擺系統(tǒng)的極點配置與狀態(tài)觀測器設(shè)計1. 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置及其狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置及其MATLAB/Simulink仿真仿真例例3-5中給出的單級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為中給出的單級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 uxxxxxxxx1010011001000010000104321432143210001xxxxy 首先，使用首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿秩。，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序輸入以下程序 計算結(jié)計算結(jié)果為果為 根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性