函數(shù)微分（課堂PPT）

1、1第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、微分的定義二、微分的定義三、可微的條件三、可微的條件四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義五、微分的求法五、微分的求法六、微分形式的不變性六、微分形式的不變性七、高階微分七、高階微分八、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用八、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用九、小結(jié)、作業(yè)九、小結(jié)、作業(yè)2一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出近似計(jì)算問(wèn)題近似計(jì)算問(wèn)題實(shí)例：實(shí)例：正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。20 xA 0 x0 x, 00 xxx 變變到到設(shè)設(shè)邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)由由, 20 xA 正正方方形形面面積積2020)( xxxA .)(220

2、 xxx )1()2(; , 的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax . , 很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無(wú)無(wú)窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 03再如再如,. , 03yxxxy 求求函函數(shù)數(shù)的的改改變變量量時(shí)時(shí)處處的的改改變變量量為為在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問(wèn)題：?jiǎn)栴}：是否所有函數(shù)的改變量都有這樣的線性函數(shù)是否所有函數(shù)的改變量

3、都有這樣的線性函數(shù)(改變量的線性主要部分改變量的線性主要部分)？如果有，它是什么？如？如果有，它是什么？如何求？何求？4二、微分的定義二、微分的定義56三、可微的條件三、可微的條件. ) )( A ( )( )(000 xfxxfxxf 且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在可可微微在在定理定理證證 (1) 必要性必要性, )( 0可微可微在在 xxf, )(A xoxy , )(A xxoxy xyx0lim 則則, A. ) )( A ( )( 00 xfxxf 且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在即即(2) 充分性充分性0 (). ,yfxxx 從而0() ,yfxx, )( 0可可導(dǎo)導(dǎo)在在 xxf, )(lim 00存存在在即

4、即xfxyx . )( 0可微可微在在 xxf證畢證畢7 )(A; 0，且且可可微微可可導(dǎo)導(dǎo)xf xxfxfxx )(| )(d00即即 d )(0，xxf |d)(dd| )(d )(000，xxxxxxfxxfxf dd ，即即xyy ”。導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)又又叫叫做做“ 微微商商 例例1 1解解; 1 ) (3的的微微分分）（：求求用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與微微分分的的關(guān)關(guān)系系xy xxy )(d )1(3; 32xx 02. 02202. 02|3|d )3( xxxxxxy. 24. 0 ; 223時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)）（ xxy. 02. 0, 2 33時(shí)時(shí)的的微微分分當(dāng)當(dāng)）（ xxxyxxyxx 2

5、32|)(|d )2(xxx 22| )3(; 12 x 8四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x xx0 P .MN) (MP,M, 代代替替曲曲線線段段近近似似可可切切線線段段的的附附近近在在點(diǎn)點(diǎn)很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x 如圖所示如圖所示9五、微分的求法五、微分的求法xxfyd)(d 由由微分微分求法（求法（1 1）: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.101. 基本函數(shù)的微分公式基本函數(shù)的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscd dtansec)(secddcsc)

6、(cotd dsec)(tanddsin)(cosd dcos)(sindd)(d 0)(d221 xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(d d11)(arctandd11)(arccosd d11)(arcsindd1)(lnd dln1)(logdd)(d dln)(d2222 112. 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則. ) 0)( ( )(|d)(|d)(| )(d;|d)(/d)(| )(d;|Cd| )C(d;|d|d| )(d )( )( 0200000000000000000 xvxvvxuuxvvuv

7、xuuxvvuuuvuvuxxvxuxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx若若可微，則有可微，則有在在、若若微分求法（微分求法（2 2）：）： 轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的微分。轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的微分。12例例2 2解解. d , )eln( 2yxyx求求設(shè)設(shè) ,ee2122xxxxy .dee21d22xxxyxx 例例3 3解解. d , cose 31yxyx求求設(shè)設(shè) )(cosde)e (dcosd3131xxyxx 乘法乘法. dsincosd,e3)e (3131xxxxx xxxxyxxd)sin(ed)e3(cosd3131 .d)sincos3(e31xxxx 13; d)(d ,

8、 )1(xxfyx 則則自自變變量量是是若若則則的的可可微微函函數(shù)數(shù)為為另另一一變變量量中中間間變變量量是是若若),( , )2(txtx , )( 可可微微設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfy , d)()(dttxfy , dd)( xtt 又又. d)(d xxfy 結(jié)論：結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無(wú)論無(wú)論 )( , xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性xxfyd)(d 六、微分形式的不變性六、微分形式的不變性14微分求法（微分求法（3 3）：）： 利用微分的形式不變性。利用微分的形式不變性。例例4 4解解. d , bsine ayxyx求求

9、設(shè)設(shè) )bsine (ddaxyx )b(dbcosebsin)a(deaaxxxxxx .d)bsinabcosb(eaxxxx 例例3 3解解.d ),12sin(yxy求求設(shè)設(shè) )12sin(dd xy)12(d)12cos( xxxxd2)12cos( . d)12cos(2xx )12(d) )12(sin(12 xxxxxxxbsindebsindeaa )bd(bcosebsin)ad(eaaxxxxxx 15例例5 5解解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù), 使使等式成立等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxt

10、t ,dcos)(sind)1(ttt )(sind1dcosttt .dcos)Csin1(dttt );sin1(dt xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind)2(22 ,cos42xxx ).(d)cos4()(sind22xxxxx 16課堂回顧1、微分的定義2、可微的條件3、微分的求法.的的線線性性主主部部叫叫做做函函數(shù)數(shù)增增量量微微分分ydy ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)1）計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.2 2） 轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的微分。轉(zhuǎn)化

11、為基本函數(shù)的微分。3 3）利用微分的形式不變性。）利用微分的形式不變性。的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無(wú)論無(wú)論)(,xfyx 17七、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用七、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.計(jì)算函數(shù)的近似值計(jì)算函數(shù)的近似值;)().1(0附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x ;0)().2(附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求 xxf., 00 xxx 令令,)()()(000 xxfxfxxf .)0()0()(xffxf 18.)()(

12、)(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x . 0360cos o的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算 例例6 6解解, cos)( xxf 記記)( , sin)( 為弧度為弧度則則xxxf , 360, 3 0 xx取取. 23)3(, 21)3( ff由由)3603cos(0360cos o 有有3603sin3cos 3602321 .4924. 0 192.常用近似公式常用近似公式)(很小時(shí)很小時(shí)x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為為弧弧度度為為弧弧度度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nx

13、nxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx ( )(0)(0).f xffx)(很小時(shí)很小時(shí)x20例例721八、小結(jié)八、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問(wèn)題微分學(xué)所要解決的兩類問(wèn)題:函數(shù)的變化率問(wèn)題函數(shù)的變化率問(wèn)題導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)的增量問(wèn)題函數(shù)的增量問(wèn)題微分的概念微分的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫叫做做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可可微微可可導(dǎo)導(dǎo) 22導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 10000它是無(wú)窮小它是無(wú)窮小

14、實(shí)際上實(shí)際上定義域是定義域是它的它的的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 000000002.,()( )(,(),()()( )(,().fxyf xxf xdyfxxxyf xxf xx從幾何意義上來(lái)看是曲線在點(diǎn)處切線的斜率 而微分是曲線在點(diǎn)處的切線方程在點(diǎn)的縱坐標(biāo)增量23近似計(jì)算的基本公式近似計(jì)算的基本公式,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf 00,x 當(dāng)時(shí).)0()0()(xffxf .)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為為弧弧度度為為弧弧度度24思考題思考題 因因?yàn)闉橐灰辉瘮?shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性是是等等價(jià)價(jià)的的，所所以以有有人人說(shuō)說(shuō)“