理論力學(xué)第三章空間力系

1、第四章第四章 空間力系空間力系空間力系：空間力系：空間匯交（共點(diǎn)）力系空間匯交（共點(diǎn)）力系空間力偶系空間力偶系空間任意力系空間任意力系, ,空間平行力系?？臻g平行力系。4 41 1空間匯交力系空間匯交力系平面匯交力系合成的平面匯交力系合成的力多邊形法則力多邊形法則對空間匯交力對空間匯交力系是否適用？系是否適用？對空間多個(gè)匯交力是否好用？對空間多個(gè)匯交力是否好用？ 用用解析法解析法直接投影法直接投影法1 1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影、力在直角坐標(biāo)軸上的投影cosFFxcosFFzcosFFy2 2、空間匯交力系的合力與平衡條件、空間匯交力系的合力與平衡條件合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理空

2、間匯交力系的合力空間匯交力系的合力 間接（二次）投影法間接（二次）投影法Fxyxy為矢量為矢量cossinFFxcosFFzsinsinFFysinFFxyiRFFxixRxFFFyiyRyFFFzizRzFFF空間匯交力系空間匯交力系平衡平衡的充分必要條件是：的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程。稱為空間匯交力系的平衡方程。合力的大小合力的大小222)()()(zyxRFFFF方向余弦方向余弦RxxFFiF),cos(RyyFFjF),cos(RzzFFkF),cos(該力系的合力等于零，即該力系的合力等于零，即 由式（由式（4 41 1）0RF(4-2)(4-2)0 xF0yF0z

3、F例例4-14-1已知：已知：nF、求：力求：力 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF例例4-24-2已知：已知： 物重物重P=10kN，CE=EB=DE；030，求：桿受力及繩拉力求：桿受力及繩拉力解：畫受力圖如圖，解：畫受力圖如圖，列平衡方程列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA結(jié)果：結(jié)果：kN54. 321 FFkN66. 8AF1

4、1、 力對點(diǎn)的矩以矢量表示力對點(diǎn)的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢4 42 2 力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩(2)(2)作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。(3)(3)方向方向: :轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)動(dòng)方向(1(1）大小）大小: :力力F F與力臂的乘積與力臂的乘積三要素：三要素：FrFMO)(kzj yi xrkFjFiFFzyx其中其中:)()()(kFjFiFkzj yi xFMzyxOzyxFFFzyxkjikyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(力對點(diǎn)力對點(diǎn)O 的矩的矩 在三個(gè)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為坐標(biāo)軸上的投影為)(FMOyzxOzFyFFM)(zxyOxFzF

5、FM)(xyzOyFxFFM)(2.2.力對軸的矩力對軸的矩力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對該軸的矩為零。力對該軸的矩為零。符號規(guī)定符號規(guī)定: :右手螺旋法則右手螺旋法則hFFMFMxyxyOz)()( 3 3、 力對點(diǎn)的矩與力對過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系力對點(diǎn)的矩與力對過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系 求：力求：力 對對 x, y, z軸的矩軸的矩( (解析表達(dá)式解析表達(dá)式) )FyzxzFyFFM)(zxyxFzFFM)(xyzyFxFFM)(已知：力已知：力 , ,力力 在坐標(biāo)軸上的分力在坐標(biāo)軸上的分力 ， ， ，力，力 作作用點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)的坐標(biāo)

6、 x, y, zxFFyFzFFF比較可得比較可得即，力對點(diǎn)的矩矢在過該點(diǎn)的某軸上即，力對點(diǎn)的矩矢在過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。的投影，等于力對該軸的矩。MZ(F)()(FMzFyFFMxxzxO)()(FMxFzFFMxxzxyO)()(FMyFxFFMzxyzO力對力對O O點(diǎn)矩矢點(diǎn)矩矢oM大小大小222)()()()(FMFMFMFMzyxo方向方向)()(),Mcos(FMFMioxo)()(),Mcos(FMFMjoyo)()(),Mcos(FMFMkoZoF例例4-34-3已知：已知：, alF求：求：FMFMFMzyx,cosalFFMxcosFlFMysinalFF

7、Mz解：把力解：把力分解如圖分解如圖F也可用解析式也可用解析式:cos0sinFFFFFzyx0)(zalylxxyzzxyyzxyFxFFMxFzFFMzFyFFM)()()(4 43 3 空間力偶空間力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢空間力偶的三要素空間力偶的三要素（1 1） 大?。毫εc力偶臂的乘積；大?。毫εc力偶臂的乘積；（2 2） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （3 3） 方向：力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向；方向：力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向；2121FFFF力偶矩矢力偶矩矢 rBA右手螺旋法則右手螺旋法則FrMBA2 2、力偶的性質(zhì)、力偶的性質(zhì)力偶矩

8、矢力偶矩矢（2 2）力偶對任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶對任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。改變而改變。(1(1）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零 。力偶沒有合力，力偶平衡只能由力偶來平衡。力偶沒有合力，力偶平衡只能由力偶來平衡。)()(),(FrFrFMFMFFMBAoooFrMBA因因FFFrFrrFFMBABAO)(),(（3 3）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力偶任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用

9、效果不變。臂的長短，對剛體的作用效果不變。(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111),(FrFFMBA(4)(4)只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不變。作用效果不變。211FFF332FFF=定位矢量定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量( (平行移動(dòng)平行移動(dòng)) )自由矢量（搬來搬去，滑來滑去）自由矢量（搬來搬去，滑來滑去）滑移矢量滑移矢量3 3力偶系的

10、合成與平衡條件力偶系的合成與平衡條件=M為合力偶矩矢，等于各分為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。力偶矩矢的矢量和。nnnFrMFrMFrM ,222111如同右圖如同右圖iRFF有有iMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦稱為空間力偶系的平衡方程。稱為空間力偶系的平衡方程。有有MMixcosMMiycosMMizcos0ixM0iyM0izMxyzMiMMizziyyixxMMMMMM,222)()()(iziyixMMMM空間力偶系平衡的充分必要條件是空間力偶系平衡的充分必要條件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 0M簡寫為簡寫為 （41111）0,

11、0, 0zyxMMM例例4-44-4已知：在工件四個(gè)面上同時(shí)鉆已知：在工件四個(gè)面上同時(shí)鉆5 5個(gè)孔，每個(gè)孔所受個(gè)孔，每個(gè)孔所受切削力偶矩均為切削力偶矩均為8080N Nm。解：把力偶用解：把力偶用力偶矩矢表示，力偶矩矢表示，平行移到點(diǎn)平行移到點(diǎn)A A 。mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 軸上的投影軸上的投影 。zyx,zyxMMM,圓盤面圓盤面O1垂直于垂直于z軸，軸，求求: :軸承軸承A,B處的約束力。處的約束力。例例4-54-5已知：已知：F

12、1=3N，F(xiàn)2=5N，構(gòu)件自重不計(jì)。構(gòu)件自重不計(jì)。兩盤面上作用有力偶，兩盤面上作用有力偶，圓盤面圓盤面O2垂直于垂直于x軸，軸，AB =800mm,兩圓盤半徑均為兩圓盤半徑均為200mm，解：取整體，受力圖如圖解：取整體，受力圖如圖b b所示。所示。解得解得由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程:0 xM08004002mmmmAzFF:0zM08004001mmmmAxFFN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF4 44 4 空間任意力系向一點(diǎn)的簡化空間任意力系向一點(diǎn)的簡化主矢和主矩主矢和主矩1 1 空間任意力系向一點(diǎn)的簡化空間任意力系向一點(diǎn)的簡化( (用力的平移定理用力的平移定理) )一

13、空間匯交力系與空間力偶系等效代替一空間任意力系。一空間匯交力系與空間力偶系等效代替一空間任意力系。FFi其中，其中， ，)(iOiFMM稱為空間力偶系的主矩稱為空間力偶系的主矩稱為力系的主矢稱為力系的主矢空間力偶系的合力偶的力偶矩空間力偶系的合力偶的力偶矩由力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系，有由力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系，有空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力kFjFiFFFiziyixiR)(FMMMOiOkFMjFMiFMMzyxO)()()(表示各力對表示各力對 x，y,z軸的矩軸的矩。式中，式中，)(),(),(FMFMFMzyx有效推進(jìn)力有效推進(jìn)力飛機(jī)向前飛行飛機(jī)向前飛行RxF有效升力

14、有效升力飛機(jī)上升飛機(jī)上升RyF側(cè)向力側(cè)向力飛機(jī)側(cè)移飛機(jī)側(cè)移RzF滾轉(zhuǎn)力矩滾轉(zhuǎn)力矩飛機(jī)繞飛機(jī)繞x x軸滾轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)OxM偏航力矩偏航力矩飛機(jī)轉(zhuǎn)彎飛機(jī)轉(zhuǎn)彎OyM俯仰力矩俯仰力矩飛機(jī)仰頭飛機(jī)仰頭OzM1 1）合力合力最后結(jié)果為一合力。合力作用線距簡化中心為最后結(jié)果為一合力。合力作用線距簡化中心為2 2 空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最后結(jié)果）空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最后結(jié)果）合力作用點(diǎn)過簡化中心。合力作用點(diǎn)過簡化中心。當(dāng)當(dāng) , ,最后結(jié)果為一個(gè)合力。最后結(jié)果為一個(gè)合力。0, 0ORMF當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，ORORMFMF, 0, 0ROFMd合力矩定理：合力對某點(diǎn)之矩等于各分力對同一點(diǎn)之矩的合力矩定理：合

15、力對某點(diǎn)之矩等于各分力對同一點(diǎn)之矩的 矢量和。矢量和。合力對某軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和。合力對某軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和。（2 2）合力偶）合力偶力螺旋中心軸過簡化中心力螺旋中心軸過簡化中心)()(FMFMFdMORORO當(dāng)當(dāng) 時(shí)，最后結(jié)果為一個(gè)合力偶。此時(shí)與簡化時(shí)，最后結(jié)果為一個(gè)合力偶。此時(shí)與簡化中心無關(guān)。中心無關(guān)。0, 0ORMF（3 3）力螺旋）力螺旋當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)RORFMF, 0, 0OM力螺旋中心軸距簡化中心為力螺旋中心軸距簡化中心為（4 4）平衡）平衡當(dāng)當(dāng) 成角成角 且且 既不平行也不垂直時(shí)既不平行也不垂直時(shí)ORORMFMF, 0, 0,ORMF, ROFMd

16、sin當(dāng)當(dāng) 時(shí)，空間力系為平衡力系時(shí)，空間力系為平衡力系0, 0ORMF4 45 5 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充分必要條件：該力系的主矢、空間任意力系平衡的充分必要條件：該力系的主矢、主矩分別為零。主矩分別為零。1.1.空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程2.2.空間約束類型舉例空間約束類型舉例3.3.空間力系平衡問題舉例空間力系平衡問題舉例（4 41313）0zF0)(FMx0)(FMy（4 41212）0, 0, 0zyxFFF0)(, 0)(, 0)(FMFMFMzyx例例4-4-7 7已知：已知：

17、P=8kN, ,101kNP各尺寸如圖各尺寸如圖求：求： A、B、D 處約束力處約束力解：研究對象：小車解：研究對象：小車受力：受力：,1DBAFFFPP列平衡方程列平衡方程:0zF :0FMx :0FMy01DBAFFFPP022 . 12 . 01DFPP06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP結(jié)果：結(jié)果：kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5ABDFFF0.2m例例4-4-8 8已知：已知：,2000NF,212FF ,60,30各尺寸如圖各尺寸如圖求：求：21,FF及及A、B處約束力處約束力解：研究對象，解：研究對象， 曲軸曲軸受力：受力：BzBxAzAxF

18、FFFFFF,21列平衡方程列平衡方程:0 xF:0yF060sin30sin21BxAxFFFF00 :0zF060cos30cos21BzAzFFFFF :0FMx040020020060cos20030cos21BzFFFF :0FMy0221FFDRF :0FMz040020060sin20030sin21BxFFF結(jié)果：結(jié)果：,6000,300021NNFF,9397,1004NNAzAxFF,1799,3348NNBzBxFF例例4-4-9 9已知：已知：,25. 4NxF,8 . 6 NyF,17NzF,36. 0FFr,50mmRmm30r各尺寸如圖各尺寸如圖求：求：（2 2）

19、A、B處約束力處約束力（3 3）O 處約束力處約束力FFr,(1)(1)例例4-4-1010已知：已知：F、P及各尺寸及各尺寸 求：求：各桿內(nèi)力各桿內(nèi)力解：研究對象，長方板解：研究對象，長方板受力圖如圖受力圖如圖 列平衡方程列平衡方程 :0FMAB :0FMAE :0FMAC :0FMEF026PaaF26PF05F022216bbaaFPaaF04F01F :0FMFG022bFPbFbPF5 . 12 :0FMBC045cos232bFPbbFPF2234 46 6 重重 心心1 1 計(jì)算重心坐標(biāo)的公式計(jì)算重心坐標(biāo)的公式對對y軸用合力矩定理軸用合力矩定理對對x軸用合力矩定理軸用合力矩定理i

20、innCxPxPxPxPxP2211有有PxPxiiCiinnCyPyPyPyPyP2211有有PyPyiiC再對再對x軸用合力矩定理軸用合力矩定理則計(jì)算重心坐標(biāo)的公式為則計(jì)算重心坐標(biāo)的公式為對均質(zhì)物體，均質(zhì)板狀物體，有對均質(zhì)物體，均質(zhì)板狀物體，有稱為重心或形心公式稱為重心或形心公式VxdVVxVxViicVydVVyVyViicVzdVVzVzViicnncPzPzPzPz 2211AxdAAxAxAiicAydAAyAyAiicAzdAAzAzAiicPzPziiC（4 41414）PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC,例例4-11試求圖示扇形面積的重心。試求圖示扇形面積的重心。解：

21、利用對稱性，取坐標(biāo)系如圖示，可知解：利用對稱性，取坐標(biāo)系如圖示，可知0Cx取小扇形微小面積如圖取小扇形微小面積如圖dRdA2212221RdRdAA因此因此2221cos2sin323CRR dydARyAR半圓半圓34RyC例例4-124-12求：其重心坐標(biāo)求：其重心坐標(biāo)已知：均質(zhì)等厚已知：均質(zhì)等厚Z Z字型薄板尺寸如圖所示。字型薄板尺寸如圖所示。解解: :厚度方向重心坐標(biāo)已確定，厚度方向重心坐標(biāo)已確定，則則用虛線分割如圖，用虛線分割如圖，為三個(gè)小矩形，為三個(gè)小矩形，其面積與坐標(biāo)分別為其面積與坐標(biāo)分別為只求重心的只求重心的x,y坐標(biāo)即可。坐標(biāo)即可。mm151xmm451y21300mmAmm

22、52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC例例4-134-13解：用負(fù)面積法，解：用負(fù)面積法， 為三部分組成，為三部分組成，求：其重心坐標(biāo)。求：其重心坐標(biāo)。已知：等厚均質(zhì)偏心塊的已知：等厚均質(zhì)偏心塊的mmmmmm13,17,100brR得得mm01.40321332211AAAyAyAyAyC由由AyAyiiC小半圓（半徑為小半圓（半徑為 ）面積為）面積為 , ,br 2A設(shè)大半圓面積為設(shè)大半圓面積為 ，1A小圓（半徑為小圓（半徑為 ）面積為）面積為

23、，為負(fù)值。，為負(fù)值。r3A由對稱性，有由對稱性，有0Cx而而232221,2)(,2rAbrARA0,3)(4,34321ybryRy2 2 確定重心的懸掛法與稱重法確定重心的懸掛法與稱重法（1 1） 懸掛法懸掛法圖圖a a中左右兩部分的重量是否一定相等？中左右兩部分的重量是否一定相等？（2 2） 稱重法稱重法若汽車左右不對稱，如若汽車左右不對稱，如何測出重心距左（或右）何測出重心距左（或右）輪的距離？輪的距離？則則lFxPC1lPFxC1有有l(wèi)PFxC2整理后，得整理后，得22121HlHPFFrzC例例4-84-8已知：已知：,25. 4NxF,8 . 6 NyF,17NzF,36. 0FFr,50mmRmm30r各尺寸如圖各尺寸如圖求：求：（2 2）A、B處約束力處約束力（3 3）O 處約束力處約束力FFr,(1)(1) 0zF 0yF 0 xF0 xAxBxFFFF0yByFF0zAzBzFFFF 0FMx 0FMy 0FMz03887676488zBzFFF0rFRFz0388307648876xyBxFFFF解：研究對象解：研究對象1 1：主軸及工件，受力圖如圖：主軸及工件，受力圖如圖又：又：,36. 0FFr結(jié)果：結(jié)果：,2 .10