二面角的計算方法精講

1、二面角的計算方法精講二面角是高中數(shù)學的主要內(nèi)容之一，是每年高考數(shù)學的一個必考內(nèi)容，本文主要通過一些典型的例子說明二面角的三種基本計算方法，供同學們學習參考。一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知識求解之。通常作二面角的平面角的途徑有：圖1 定義法：在二面角的棱上取一個特殊點，由此點出發(fā)在二面角的兩個面內(nèi)分別作棱的垂線；三垂線法：如圖1，C是二面角的面內(nèi)的一個點，于O，只需作ODAB于D，連接CD，用三垂線定理可證明CDO就是所求二面角的平面角。 垂面法：即在二面角的棱上取一點，過此點作平面，使垂直于二面角的棱，則 與二面角的兩個面的交線所成的角就是該二面角的平面角。 例1 如圖

2、2，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形, 平面VAD底面ABCD （1）證明AB平面VAD； （2）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小 解：（1）證明： （2）解：取VD的中點E，連結(jié)AF，BE，VAD是正三形，四邊形ABCD為正方形， 由勾股定理可知， AEVD，BEVD，AEB就是所求二面角的平面角.又在RtABE中，BAE=90°，AE=AD=AB，因此，tanAEB=即得所求二面角的大小為例2 如圖3，AB平面BCD，DCCB，AD與平面BCD成30°的角，且AB=BC. （1）求AD與平面ABC所成的角的大小； （2）求二面角C

3、-AD-B的大?。?（3）若AB=2，求點B到平面ACD的距離。解：(1) AB平面BCD ， ADB 就是AD與平面BCD所成的角,即ADB=300,且CDAB， 又DCBC，, CD平面ABC， AD與平面ABC所成的角為DAC ， 設AB=BC=a,則AC=， BD=acot300=,AD=2a, , tanDAC=, ,即，AD與平面ABC所成的角為450. (2)作CEBD于E，取AD的中點F，連CF， AB面BCD， 面ABD面BCD， 又 面ABD面BCD=BD，CEBD， CE面ABD，又AC=BC=，AF=FD，ADEF，有三垂線定理的逆定理可知，CFE就是所求二面角的平面角

4、. 計算可知, ， ，CFE=arcsin.故，所求的二面角為arcsin例3如圖4，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點O.（1）證明； （2）求面與面所成二面角的大小。解：（1）在正六邊形ABCDEF中，為等腰三角形， P在平面ABC內(nèi)的射影為O， PO平面ABF， AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影； 又 O為BF中點，為等腰三角形， AOBF， 有三垂線定理可知,PABF.（2）O為BF中點，ABCDEF是正六邊形 ， A、O、D共線，且直線ADBF， PO平面ABF，, 由三垂線定理可知, ADPB,過O在平面PBF內(nèi)作OHPB于H，連AH

5、、DH， 則 PB平面AHD,所以為所求二面角平面角。又正六邊形ABCDEF的邊長為1，。， ；故,所求的二面角為二、面積射影法： 如圖5，二面角為銳二面角, ABC在半 平面內(nèi), ABC在平面內(nèi)的射影為A1B1C1，那么二面角的大小. 例4 如圖6，矩形ABCD中,AB=6,BC=,沿對角線BD將折起,使點A移至點P,且P在平面BCD內(nèi)的射影為O,且O在DC上. （1）求證:PDPC； （2）求二面角P-DB-C的平面角的余弦值； （3）求CD與平面PBD所成的角的正弦值.解: （1）證明: PC在面BCD內(nèi)的射影為OC, 且OCBC，由三垂線定理可知，BCPC，又PB=6，BC=，PC=而

6、PD=，DC= 36=DC， PDPC.（2） . 設OC=x,則OD=6-x , , 設二面角P-DB-C的大小為，則 三、空間向量法： I、先用傳統(tǒng)方法作出二面角的平面角，再利用向量的夾角公式進行計算。 例5 如圖7，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AEEB，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE（1）求證：AE平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大??；（3）求點D到平面ACE的距離。解：（1） 二面角D-AB-E為直二面角，AB為棱，CBAB， CB平面EAB，進而可得，CBAE， 又 BF平面ACE， AEBF， 而AE平面BCE. （2）連結(jié)BD交AC于點O，

7、連結(jié)OF，由于ABCD為正方形，所以OBAC，又因為BF平面ACE，由三垂線定理的逆定理可知，OFAC， BOF就是所求二面角的平面角.在平面ABE內(nèi)作AxAB,以A為原點，分別以Ax、AB、AD為x軸、y軸、z軸，建立 如圖7的空間直角坐標系，易知AEB為等腰直角三角形，所以，A ( 0, 0, 0), O ( 0, 1 , 1), B(0, 2, 0), C(0 , 2, 2 ) , E( 1 ,1 ,0 ),設F（m, n, t ）， C、E、F三點共線， 又 BFAC， 故，所求的二面角為arccos II、直接求出平面的法向量，利用向量的夾角公式求的夾角，再根據(jù)法向量分別相對于二面角的方向確定出二面角的大小。一般地，當法向量都是從二面角的內(nèi)部向外部（或外部向內(nèi)部）穿行時，二面角的大小就是的夾角的補角；當法向量一個從二面角的內(nèi)部向外部穿行，另一個從二面角的外部向內(nèi)部穿行時，二面角的大小就是的夾角。例6 （2006年四川卷）如圖8，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，（）求證：面；（）求二面角的大小。（）求三棱錐的體積。解：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則 分別是的中點（1） 取，顯然面 又， 而面