高數(shù)各章各節(jié)總結ppt課件

1、今早老師說的重點內(nèi)容，大多數(shù)人都沒去，大家都看一下吧。第七章切平面，法線，法平面，切線的求法第八章全微分，隱函數(shù)求偏導，求高階偏導，極值第九、十章重積分，曲線積分，曲面積分，格林公式，高斯公式，斯托克斯公式第十一章判斷級數(shù)斂散性，冪級數(shù)展開第十二章常微分方程可分離變量求法內(nèi)容小結內(nèi)容小結設1. 向量運算加減:數(shù)乘:點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 混合積:2. 向量關系:xxabyyabzzab0z

2、zyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0ba內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 空間曲面空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2.二次曲面三元二次方程),(同號qp 橢球面1222222czbyax 拋物面

3、:橢圓拋物面雙曲拋物面zqypx2222zqypx2222 雙曲面: 單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面: 22222zbyax機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結 空間曲線三元方程組或參數(shù)方程 求投影曲線 (如, 圓柱螺線)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思考與練習思考與練習 P324 題 1，2，7展示空間圖形）內(nèi)容小結內(nèi)容小結1.平面基本方程:一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)

4、0(abc機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ),(1111CBAn 1. 空間直線方程空間直線方程一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結內(nèi)容小結 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,1111111pzznyymxx

5、L：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 線與線的關系線與線的關系直線夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面與線間的關系面與線間的關系直線 L :),(CBAn ),(pnms 0ns0nsnsns L機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、內(nèi)容小結一、內(nèi)容小結 空間平面空間平面一般式點法式截距式0DCzB

6、yAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),( :000zyx點0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 為直線的方向向量.空間直線空間直線一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 為直線上一點; 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 面與面的關系面與面的關系0212121CCBBAA212121CCBBAA

7、平面平面垂直:平行:夾角公式:2.線面之間的相互關系線面之間的相互關系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm線與線的關系線與線的關系直線垂直:平行:夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 CpBnAm平面:垂直：平行：

8、夾角公式：0CpBnAm面與線間的關系面與線間的關系直線:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 相關的幾個問題相關的幾個問題(1) 過直線00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全為12機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2)點的距離為DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 kji),(0

9、000zyxM到直線的距離pzznyymxxL111:為(3)點2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、實例分析二、實例分析例例1. 求與兩平面求與兩平面 x 4 z =3 和和 2 x y 5 z = 1 的交線的交線提示提示: 所求直線的方向向量可取為所求直線的方向向量可取為利用點向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 過點 (3 , 2 , 5) 的直線方程. 21nnskji機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 241312zyx例例

10、2. 2. 求直線求直線與平面062zyx的交點 . 提示提示: : 化直線方程為參數(shù)方程化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得 1t從而確定交點為1，2，2）.tztytx2432t機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 3. 求過點求過點( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 1 , 3 ) 且與直且與直線線12131zyx垂直相交的直線方程.提示提示: : 先求二直線交點先求二直線交點 P. P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 式, 可得交點),(7371372P最后利用兩點式得所求直線方程431122zyx的平面的法向量為故其方程為),(312),

11、(011),(123過已知點且垂直于已知直線, ) 1,2,3(P機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 求直線求直線0101zyxzyx在平面上的投影直線方程.提示：過已知直線的平面束方程提示：過已知直線的平面束方程從中選擇01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy這是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程, 1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 設一平面平行于已知直線設一平面平行于已知直線0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求該平面法線的的方向余弦.提示提示: : 已知平面的法

12、向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 417211kji)4,5,3(2所求為例例6. 求過直線求過直線L:0405zxzyxzyx84 且與平面4夾成角的平面方程.提示提示: 過直線 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量為已知平面的法向量為選擇使43. 012720zyx從而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思路: 先求交點例例7. 求過點求過點) 1 , 1 , 1

13、 (0M,12:1xzxyL且與兩直線1243:2xzxyL都相交的直線 L.提示提示:21,LL將的方程化為參數(shù)方程1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M設 L 與它們的交點分別為. ) 12,43,(2222tttM 再寫直線方程.;,21MM),1,2,(1111tttM機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2,021tt)3,2,2(, ) 1,0,0(21MM211111:zyxL210,MMM1) 12(1) 1(1)43(1211212121tttttt三點共線2010/MMMML1L2L0M1M2M機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 r例例8.直

14、線直線1101:zyxL繞 z 軸旋轉一周, 求此旋轉轉曲面的方程. 提示提示: 在 L 上任取一點), 1 (000zyM軸繞為設zMzyxM0),(旋轉軌跡上任一點,Lxozy0MM則有00zy z22yx 201y得旋轉曲面方程1222zyxr，代入第二方程將zy 0機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 區(qū)域 鄰域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 區(qū)域連通的開集 空間nR2. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 APfPP)(lim0,0 ,0 時，當00 P

15、P有)( APf3.多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 偏導數(shù)的概念及有關結論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù) 混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關2. 偏導數(shù)的計算方法 求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法(與求導順序無關時, 應選擇方便的求導順序)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 微分定義

16、:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關系:)( o函數(shù)可導函數(shù)可導函數(shù)可微函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段用乘, 分叉用加, 單路全導, 叉路偏導”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性, ),(vufz 對不論 u , v 是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 隱

17、函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導方法方法1. 利用復合函數(shù)求導法則直接計算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業(yè)作業(yè) P37 3 , 9 , 10 (3) zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 設設)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所確定的函數(shù) , 求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對分別在各方程兩端對 x 求導求導, 得得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)機動 目錄

18、上頁 下頁 返回 完畢 解法解法2 微分法微分法.0),(),(zyxFyxfxz對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 可得222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元線性代數(shù)方程組解的公式1. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量內(nèi)容小

19、結內(nèi)容小結)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )(, )(, )(000tttT切線方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空間光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2)一般式情況.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 T空間光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點法線方程法線方程),(0000zyxF

20、xxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隱式情況 .的法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222y

21、xyyxxffffff2)顯式情況.法線的方向余弦2211cosyxff法向量法向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ) 1 ,(yxffn內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 方向導數(shù)方向導數(shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向導數(shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向導數(shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),

22、(, ),(gradyxfyxffyx3. 關系關系方向導數(shù)存在偏導數(shù)存在 可微機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設 C 點坐標為 (x , y),思考與練習思考與練習 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx那么 ACABS2110321yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角

23、形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS點擊圖中任意點動畫開始或暫停機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、一、 基本概念基本概念連續(xù)性 偏導數(shù)存在 方向導數(shù)存在可微性1. 多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù) 定義域及對應規(guī)律 判斷極限不存在及求極限的方法 函數(shù)的連續(xù)性及其性質2. 幾個基本概念的關系機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思考與練習思考與練習機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1. 討論二重極限討論二重極限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 x

24、yyx原式解法解法2 令令, xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式時, 下列算法是否正確?分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 此法第一步排除了沿坐標軸趨于原點的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點的情況. 時例如xxy21lim2230 xxxx原式此時極限為 1 .第二步 未考慮分母變化的所有情況, , 1,111xyxxy時例如解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式機動

25、 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 此法忽略了 的任意性,時當4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對, 因為都不能保證自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點 .特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標求極限, 但要注意在定義域內(nèi) r , 的變化應該是任意的. 同時還可看到, 本題極限實際上不存在 .0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 連續(xù);, 0), 0()0 ,(yfxf又

26、因0)0 , 0()0 , 0(yxff所以知在點(0,0) 處連續(xù)且偏導數(shù)存在 , 但不可微 . 2. 證明證明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 而)0 , 0(f,00時，當yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在點(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法顯示結構隱式結構1. 分析復合結構(畫變量關系圖)自變量個數(shù) = 變量總個數(shù) 方程總個數(shù)自變量與因變量由所求對象判定2. 正確使用求導法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”注意正確使用求導符號

27、3. 利用一階微分形式不變性機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 設設其中 f 與F分別具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導, 得得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一階導數(shù)或偏導數(shù), 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(99 考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解法解法2 0),(, )(zyxFyxfxz方程兩邊求微分, 得化簡消去 即可得yd.ddxzyF d20d3z

28、Fyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3.3.設設),(zyxfu 有二階連續(xù)偏導數(shù), 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx1cos tyx 1yx 1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 練習題練習題1. 設函數(shù) f 二階連續(xù)可微, 求下列函

29、數(shù)的二階偏導數(shù).2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz2. 同濟(下) P73 題12機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解答提示解答提示: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第 1 題機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xvuxuvP7

30、3 題12 設求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd提示提示:vveuveyuudcosdsind機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 yvuyuvyz利用行列式解出 du, dv ：veveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosveusin機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 yu代入即得 ;xzxvyxvdddveusinveucosyvxvxu及將代入即得 .yzyvyu及將t dtteyxezxxyx0sin,

31、2),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導數(shù) , )(xyy 及)(xzz 分別由下兩式確定求.ddxu又函數(shù)答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux( 2019考研 ）機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 設設三、多元函數(shù)微分法的應用三、多元函數(shù)微分法的應用1.1.在幾何中的應用在幾何中的應用求曲線在切線及法平面 (關鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 求解最值問題3. 在微分方程變形等中的應用在微分方程變形等中的應用機動 目錄 上頁

32、 下頁 返回 完畢 例例4.4.在第一卦限作橢球面在第一卦限作橢球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小, 并求切點. 解解: 設設, 1),(222222czbyaxzyxF切點為),(000zyxM則切平面的法向量為,220ax,220by202czM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby)(2020 xxax機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ),(zyxFFFn 問題歸結為求222222zcybxas在條件1222222czbyax下的條件極值問題 .設拉格朗日函數(shù)2222

33、22zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 切平面在三坐標軸上的截距為,02xa,02yb02zc令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由實際意義可知cbacccbabbcbaaaM,為所求切點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 唯一駐點內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 二重積分的定義Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質 (與定積分性質相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法機動 目錄 上頁

34、 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD那么)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD那么xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(那么)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),

35、(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且那么DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標系情形極坐標系情形: 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為ddrrDo)(1r)(2r在變換下機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (3) 計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應用換元公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)

36、域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系* * 說明說明: :三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是 對區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點 畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、

37、立體體積一、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域 的立體的體積為zyxVddd機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1:221yxzS任一點的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積 V . 解解: 曲面曲面1S的切平面方程為202000122yxyyxxz它與曲面22yxz的交線在 xoy 面上的投影為1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(記所圍域為D ),(000zyx在點Drrrdd2例例1. 求曲

38、面求曲面rr dd10320機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xoyza2例例2. 2. 求半徑為求半徑為a a 的球面與半頂角為的球面與半頂角為 的的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為:則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 MAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積xyzSo設光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面

39、積 d A 無限積累而成. 設它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素)那么Mnd機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF那么則有yxzyzxDyxFFyzF

40、Fxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 計算雙曲拋物面計算雙曲拋物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影為面上投影為,:222RyxD那么yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積 A .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 計算半徑為計算半徑為 a 的球的表面積的球的表面積.解解:設球面方程為 ar球面面積元素為ddsind2aA0202dsindaA24asinada方法方法2 利用直角坐標方程利用直角坐標方程. (見

41、書見書 P109)方法方法1 利用球坐標方程利用球坐標方程.axyzoddsina機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三、物體的質心三、物體的質心設空間有n個質點, ),(kkkzyx其質量分別, ),2, 1(nkmk由力學知, 該質點系的質心坐標,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設物體占有空間域 ,),(zyx有連續(xù)密度函數(shù)那么 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導出其質心 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 將 分成 n 小塊, ),(kkk將第 k 塊看作質量集中于點),(kkk例如,nkkkkkn

42、kkkkkkvvx11),(),(令各小區(qū)域的最大直徑,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點,即得此質點在第 k 塊上任取一點機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時當zyx則得形心坐標：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片, ),(yx為yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxy

43、xyxyyDDdd),(dd),(,常數(shù)時,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標:則它的質心坐標為MMyMMx其面密度 xMyM 對 x 軸的 靜矩 對 y 軸的 靜矩機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 4例例5. 求位于兩圓求位于兩圓sin2rsin4r和的質心. 2D解解: 利用對稱性可知利用對稱性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212oyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 Vzyxzzddd例例6. 一個煉鋼爐為旋轉體形一個

44、煉鋼爐為旋轉體形, 剖面壁線剖面壁線的方程為, 30,)3(922zzzx內(nèi)儲有高為 h 的均質鋼液,解解: 利用對稱性可知質心在利用對稱性可知質心在 z 軸上，軸上，,0 yx采用柱坐標, 則爐壁方程為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因而故自重, 求它的質心.oxzh若爐不計爐體的其坐標為機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 四、物體的轉動慣量四、物體的轉動慣

45、量設物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對 z 軸 的轉動慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對 z 軸的轉動慣量為 因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和, 故 連續(xù)體的轉動慣量可用積分計算. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對 x 軸的轉動慣量對 y 軸的轉動慣量對原點的轉動慣量機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢

46、如果物體是平面薄片,面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 則轉動慣量的表達式是二重積分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 rraddsin0302例例7.求半徑為求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直的均勻半圓薄片對其直徑徑解解: 建立坐標系如圖建立坐標系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圓薄片的質量221aM 2212oxyDaa的轉動慣量.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )sinsincossin(222222rr解解: 取球心為原點取球

47、心為原點, z 軸為軸為 l 軸軸,:2222azyx那么zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球體的質量334aM dsin03rrad04例例8.8.求均勻球體對于過球心的一條軸求均勻球體對于過球心的一條軸 l l 的轉動慣的轉動慣量量. .設球 所占域為(用球坐標) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 222zyxr G 為引力常數(shù)五、物體的引力五、物體的引力設物體占有空間區(qū)域 ,，連續(xù)),(zyx物體對位于原點的單位質量質點的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上

48、積分即得各引力分量:其密度函數(shù)rzxvdyFd引力元素在三坐標軸上的投影分別為),(zyxFFFF 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3對 xoy 面上的平面薄片D ,它對原點處的單位質量質點的引力分量為,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 aaR1122xyzoR例例9. 設面密度為 ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點解解: 由對稱性知引力由對稱性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2處的單位質量質點的引

49、力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 Rxyzo例例10. 求半徑求半徑 R 的均勻球的均勻球2222Rzyx對位于)(), 0 , 0(0RaaM的單位質量質點的引力.解解: 利用對稱性知引力分量利用對稱性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr點zDazyxyx23222)(dd0MazD機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 RRzazd )(zFG222211azaRza2

50、00232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 為球的質量機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質性質kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 計算計算 對光滑曲線弧, )( , )(,

51、)(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 高斯公式及其應用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應用:(1) 計算曲面積分 (非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 通量與散

52、度 設向量場P, Q, R, 在域G內(nèi)有一階 連續(xù) 偏導數(shù), 那么 向量場通過有向曲面 的通量為 G 內(nèi)任意點處的散度為 ),(RQPASnAdzRyQxPAdiv機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zuyuxu,2. 場論中的三個重要概念場論中的三個重要概念設, ),(zyxuu , ),(RQPA 梯度:uradgu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotAAdivA機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 散度散度:旋度

53、旋度:那么內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 利用正項級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)1nnu設Leibniz判別法:01nnuu0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂1nnu稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間

54、接展開法 利用冪級數(shù)的性質及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當 m = 1 時x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 為正弦 級數(shù). 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 周

55、期為2l 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 間斷點)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當f (x)為奇 函數(shù)時,(偶)(余弦)2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓3. 傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式利用歐拉公式導出機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解答提示解答提示:P257 題2. 判別下列級數(shù)的斂散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn提示提示: (1) ,

56、1limnnn有時當,Nn 11nn)1 (11nnnn據(jù)比較判別法, 原級數(shù)發(fā)散 .因調和級數(shù)發(fā)散,0N機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法, 可判斷級數(shù)12nnn因 n 充分大時,ln1110nn原級數(shù)發(fā)散 . :2) !()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)4(210nn: )0,0()5(1sanansn用比值判別法可知:時收斂 ;時, 與 p 級數(shù)比較可知時收斂;1s時發(fā)散.再由比較法可知原級數(shù)收斂 .1s1a時發(fā)散.1a1a21nn發(fā)散,收斂,機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 P257題3.設正項級數(shù)1nnu和1nnv

57、12)(nnnvu也收斂 .提示提示: 因因,0limlimnnnnvu存在 N 0,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收斂級數(shù)的性質及比較判斂法易知結論正確.都收斂, 證明級數(shù)當n N 時2)(nnvu 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 P257題4.設級數(shù)1nnu收斂 , 且,1limnnnuv1nnv是否也收斂？說明理由.但對任意項級數(shù)卻不一定收斂 .,) 1(nunn問級數(shù)提示提示: 對正項級數(shù)對正項級數(shù),由比較判別法可知由比較判別法可知1nnv級數(shù)1nnu收斂 ,1nnvnnnuvlim收斂,級數(shù)發(fā)散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvn

58、n1) 1(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ;1ln) 1()3(1nnnnP257題5.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) P 1 時, 絕對收斂 ;0 p 1 時, 條件收斂 ;p0 時, 發(fā)散 .(2) 因各項取絕對值后所得強級數(shù) 原級數(shù)絕對收斂 .故 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,111收斂nn11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因單調遞減, 且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原級數(shù)

59、僅條件收斂 .kknk1ln1nlim由Leibniz判別法知級數(shù)收斂 ;0limnnu機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn11e所以原級數(shù)絕對收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、求冪級數(shù)收斂域的方法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 標準形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R , 再討論Rx 非標準形式冪級數(shù)通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性 .P257 題7. 求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn練習練習:機動 目

60、錄 上頁 下頁 返回 完畢 1 解解:nnnnnna)11 (limlim當ex1因此級數(shù)在端點發(fā)散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee時,12)11 ()2(nnnxn,1eR exe11即時原級數(shù)收斂 .故收斂區(qū)間為機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn解解: 因因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x當時，即22x,2時當x故收斂區(qū)間為. )2,2(級數(shù)收斂;一般項nun不趨于0,nlim級數(shù)發(fā)散; 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2.) 1(31的收斂半徑