高等代數(shù)課件第7章歐式空間7.1歐氏空間的定義及性質(zhì)_第1頁
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文檔簡介

1、歐氏空間的定義及性質(zhì)歐氏空間的定義及性質(zhì) 定義定義：設：設V（R）是實數(shù)域）是實數(shù)域R上的線性空間，上的線性空間，在在V（R）中定義了一個叫做數(shù)積的運算，即）中定義了一個叫做數(shù)積的運算，即有一定的法則，按照這個法則，對有一定的法則，按照這個法則，對V（R）中）中的任意兩個向量的任意兩個向量x,y,都能確定都能確定R中唯一一個實中唯一一個實數(shù)，稱之為數(shù)，稱之為x與與y的數(shù)積，記作（的數(shù)積，記作（x,y),如果這個如果這個運算具有性質(zhì)：運算具有性質(zhì)： ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx時有時有且當且當則稱則稱V（R）關于這個數(shù)積構(gòu)

2、成一個歐氏空間。這里）關于這個數(shù)積構(gòu)成一個歐氏空間。這里x,y為任意向量，為任意向量，k為任意實數(shù)。為任意實數(shù)。數(shù)積的性質(zhì)：數(shù)積的性質(zhì)：（1）（）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0 (4) mnjijijininjiiiilklk,1, 111),(,定義定義2 2 非負性非負性. 1齊次性齊次性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx長度長度范數(shù)范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì)：向量的長度具有下述性質(zhì)：; 0,0; 0,0 xxxx時時當當時時當當;xx .yxyx 向量的長度及性質(zhì)向量的長度及性質(zhì)維向量間的夾角維向量間的夾角單位向量及單位向量及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的夾角的夾角與與求向量求向量 例例解解 cos2262318 .4 .,11 為為稱稱時時當當xx 單位向量單位向量 yxyxyx,a

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