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1、歐氏空間的定義及性質歐氏空間的定義及性質 定義定義：設：設V（R）是實數(shù)域）是實數(shù)域R上的線性空間，上的線性空間，在在V（R）中定義了一個叫做數(shù)積的運算，即）中定義了一個叫做數(shù)積的運算，即有一定的法則，按照這個法則，對有一定的法則，按照這個法則，對V（R）中）中的任意兩個向量的任意兩個向量x,y,都能確定都能確定R中唯一一個實中唯一一個實數(shù)，稱之為數(shù)，稱之為x與與y的數(shù)積，記作（的數(shù)積，記作（x,y),如果這個如果這個運算具有性質：運算具有性質： ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx時有時有且當且當則稱則稱V（R）關于這個數(shù)積構

2、成一個歐氏空間。這里）關于這個數(shù)積構成一個歐氏空間。這里x,y為任意向量，為任意向量，k為任意實數(shù)。為任意實數(shù)。數(shù)積的性質：數(shù)積的性質：（1）（）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0 (4) mnjijijininjiiiilklk,1, 111),(,定義定義2 2 非負性非負性. 1齊次性齊次性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx長度長度范數(shù)范數(shù)向量的長度具有下述性質：向量的長度具有下述性質：; 0,0; 0,0 xxxx時時當當時時當當;xx .yxyx 向量的長度及性質向量的長度及性質維向量間的夾角維向量間的夾角單位向量及單位向量及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的夾角的夾角與與求向量求向量 例例解解 cos2262318 .4 .,11 為為稱稱時時當當xx 單位向量單位向量 yxyxyx,a

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