八年級數(shù)學競賽培優(yōu)講義(無答案)

1、1、用提公因式法把多項式進行因式分解【知識精讀】 如果多項式的各項有公因式 ,根據(jù)乘法分配律的逆運算 ,可以把這個公因式提到括號外面 ,將多項式寫成因式乘積的形式。 提公因式法是因式分解的最根本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項式的公因式確實定方法是： 1當多項式有相同字母時 ,取相同字母的最低次冪。 2系數(shù)和各項系數(shù)的最大公約數(shù) ,公因式可以是數(shù)、單項式 ,也可以是多項式。下面我們通過例題進一步學習用提公因式法因式分解【分類解析】 1. 把以下各式因式分解 1 2 分析：1假設(shè)多項式的第一項系數(shù)是負數(shù) ,一般要提出“號 ,使括號內(nèi)的第一項系數(shù)是正數(shù) ,在提出“號后 ,多項式的

2、各項都要變號。 解： 2有時將因式經(jīng)過符號變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?,如：當n為自然數(shù)時 , ,是在因式分解過程中常用的因式變換。 解： 2. 利用提公因式法簡化計算過程 例：計算 分析：算式中每一項都含有 ,可以把它看成公因式提取出來 ,再算出結(jié)果。 解：原式 3. 在多項式恒等變形中的應(yīng)用 例：不解方程組 ,求代數(shù)式的值。 分析：不要求解方程組 ,我們可以把和看成整體 ,它們的值分別是3和 ,觀察代數(shù)式 ,發(fā)現(xiàn)每一項都含有 ,利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形 ,化為含有和的式子 ,即可求出結(jié)果。 解： 把和分別為3和帶入上式 ,求得代數(shù)式的值是。4. 在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例：證明

3、：對于任意自然數(shù)n ,一定是10的倍數(shù)。 分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形 ,接著只需證明每一項都是10的倍數(shù)即可。 對任意自然數(shù)n ,和都是10的倍數(shù)。 一定是10的倍數(shù)5、中考點撥： 例1。因式分解 解： 說明：因式分解時 ,應(yīng)先觀察有沒有公因式 ,假設(shè)沒有 ,看是否能通過變形轉(zhuǎn)換得到。 例2分解因式： 解： 說明：在用提公因式法分解因式前 ,必須對原式進行變形得到公因式 ,同時一定要注意符號 ,提取公因式后 ,剩下的因式應(yīng)注意化簡。題型展示： 例1. 計算： 精析與解答： 設(shè) ,那么 說明：此題是一個有規(guī)律的大數(shù)字的運算 ,假設(shè)直接計算 ,運算量必然很大。其中2019、2019重復(fù)

4、出現(xiàn) ,又有的特點 ,可通過設(shè)未知數(shù) ,將復(fù)雜數(shù)字間的運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式 ,再利用多項式的因式分解化簡求值 ,從而簡化計算。 例2. ：b、c為整數(shù)是及的公因式 ,求b、c的值。 分析：常規(guī)解法是分別將兩個多項式分解因式 ,求得公因式后可求b、c ,但比擬麻煩。注意到是及的因式。因而也是的因式 ,所求問題即可轉(zhuǎn)化為求這個多項式的二次因式。 解：是及的公因式 也是多項式的二次因式 而 b、c為整數(shù) 得： 說明：這是對原命題進行演繹推理后 ,轉(zhuǎn)化為解多項式 ,從而簡便求得。 例3. 設(shè)x為整數(shù) ,試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù) ,請說明理由。 解： 都是大于1的自然數(shù) 是合數(shù) 說明：在大于1的正數(shù)中 ,除了1

5、和這個數(shù)本身 ,還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)。只能被1和本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)?！緦崙?zhàn)模擬】 1. 分解因式： 1 2n為正整數(shù) 3 2. 計算：的結(jié)果是 A. B. C. D. 3. x、y都是正整數(shù) ,且 ,求x、y。4. 證明：能被45整除。 5. 化簡： ,且當時 ,求原式的值。2、運用公式法進行因式分解【知識精讀】 把乘法公式反過來 ,就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 補充：歐拉公式： 特別地：1當時 ,有 2當時 ,歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。 運用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個公式的形式和特點 ,熟練地掌握公式。但有時需要經(jīng)過適當?shù)?/p>

6、組合、變形后 ,方可使用公式。 用公式法因式分解在求代數(shù)式的值 ,解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用。因此 ,正確掌握公式法因式分解 ,熟練靈活地運用它 ,對今后的學習很有幫助。下面我們就來學習用公式法進行因式分解【分類解析】 1. 把分解因式的結(jié)果是 A. B. C. D. 分析：。 再利用平方差公式進行分解 ,最后得到 ,應(yīng)選擇B。說明：解這類題目時 ,一般先觀察現(xiàn)有項的特征 ,通過添加項湊成符合公式的形式。同時要注意分解一定要徹底。 2. 在簡便計算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項式的整除等方面的應(yīng)用 例：多項式有一個因式是 ,求的值。 分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運算 ,可假設(shè)另

7、一個因式 ,再用待定系數(shù)法即可求出的值。 解：根據(jù)條件 ,設(shè) 那么 由此可得 由1得 把代入2 ,得 把代入3 ,得 3. 在幾何題中的應(yīng)用。 例：是的三條邊 ,且滿足 ,試判斷的形狀。 分析：因為題中有 ,考慮到要用完全平方公式 ,首先要把轉(zhuǎn)成。所以兩邊同乘以2 ,然后拆開搭配得完全平方公式之和為0 ,從而得解。 解： 為等邊三角形。 4. 在代數(shù)證明題中應(yīng)用 例：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。 分析：先根據(jù)條件把奇數(shù)表示出來 ,然后進行變形和討論。 解：設(shè)這兩個連續(xù)奇數(shù)分別為為整數(shù) 那么 由此可見 ,一定是8的倍數(shù)。5、中考點撥： 例1：因式分解：_。 解： 說明：因式分解時 ,先看

8、有沒有公因式。此題應(yīng)先提取公因式 ,再用平方差公式分解徹底。 例2：分解因式：_。 解： 說明：先提取公因式 ,再用完全平方公式分解徹底。題型展示： 例1. ： , 求的值。 解： 原式 說明：此題屬于條件求值問題 ,解題時沒有把條件直接代入代數(shù)式求值 ,而是把代數(shù)式因式分解 ,變形后再把條件帶入 ,從而簡化計算過程。 例2. , 求證： 證明： 把代入上式 , 可得 ,即或或 假設(shè) ,那么 , 假設(shè)或 ,同理也有 說明：利用補充公式確定的值 ,命題得證。 例3. 假設(shè) ,求的值。 解： 且 又 兩式相減得 所以 說明：按常規(guī)需求出的值 ,此路行不通。用因式分解變形條件 ,簡化計算過程?！緦崙?zhàn)

9、模擬】 1. 分解因式：1 232. ： ,求的值。3. 假設(shè)是三角形的三條邊 ,求證：4. ： ,求的值。 5. 是不全相等的實數(shù) ,且 ,試求 1的值；2的值。4、用分組分解法進行因式分解【知識精讀】 分組分解法的原那么是分組后可以直接提公因式 ,或者可以直接運用公式。使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當 ,而在分組時 ,必須有預(yù)見性。能預(yù)見到下一步能繼續(xù)分解。而“預(yù)見源于細致的“觀察 ,分析多項式的特點 ,恰當?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵。 應(yīng)用分組分解法因式分解 ,不僅可以考察提公因式法 ,公式法 ,同時它在代數(shù)式的化簡 ,求值及一元二次方程 ,函數(shù)等學習中也有重要作用。 下面我們就來學習用分組

10、分解法進行因式分解?！痉诸惤馕觥?. 在數(shù)學計算、化簡、證明題中的應(yīng)用 例1. 把多項式分解因式 ,所得的結(jié)果為 分析：先去括號 ,合并同類項 ,然后分組搭配 ,繼續(xù)用公式法分解徹底。 解：原式 應(yīng)選擇C 例2. 分解因式 分析：這是一個六項式 ,很顯然要先進行分組 ,此題可把分別看成一組 ,此時六項式變成二項式 ,提取公因式后 ,再進一步分解；此題也可把 ,分別看作一組 ,此時的六項式變成三項式 ,提取公因式后再進行分解。 解法1： 解法2： 2. 在幾何學中的應(yīng)用 例：三條線段長分別為a、b、c ,且滿足 證明：以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形 分析：構(gòu)成三角形的條件 ,即三邊關(guān)系定理 ,是

11、“兩邊之和大于第三邊 ,兩邊之差小于第三邊 證明： 3. 在方程中的應(yīng)用 例：求方程的整數(shù)解 分析：這是一道求不定方程的整數(shù)解問題 ,直接求解有困難 ,因等式兩邊都含有x與y ,故可考慮借助因式分解求解 解：4、中考點撥 例1.分解因式：_。 解： 說明：觀察此題是四項式 ,應(yīng)采用分組分解法 ,中間兩項雖符合平方差公式 ,但搭配在一起不能分解到底 ,應(yīng)把后三項結(jié)合在一起 ,再應(yīng)用完全平方公式和平方差公式。 例2分解因式：_ 解： 說明：前兩項符合平方差公式 ,把后兩項結(jié)合 ,看成整體提取公因式。 例3. 分解因式：_ 解： 說明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。5、題型展示： 例1. 分解因式： 解

12、： 說明：觀察此題 ,直接分解比擬困難 ,不妨先去括號 ,再分組 ,把4mn分成2mn和2mn ,配成完全平方和平方差公式。 例2. ： ,求ab+cd的值。 解：ab+cd= 說明：首先要充分利用條件中的1任何數(shù)乘以1 ,其值不變 ,其次利用分解因式將式子變形成含有ac+bd因式乘積的形式 ,由ac+bd=0可算出結(jié)果。 例3. 分解因式： 分析：此題無法用常規(guī)思路分解 ,需拆添項。觀察多項式發(fā)現(xiàn)當x=1時 ,它的值為0 ,這就意味著的一個因式 ,因此變形的目的是湊這個因式。 解一拆項： 解二添項： 說明：拆添項法也是分解因式的一種常見方法 ,請同學們試拆一次項和常數(shù)項 ,看看是否可解？【實

13、戰(zhàn)模擬】 1. 填空題：2. ：3. 分解因式：4. ： ,試求A的表達式。 5. 證明：5、用十字相乘法把二次三項式分解因式【知識精讀】 對于首項系數(shù)是1的二次三項式的十字相乘法 ,重點是運用公式進行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個數(shù) ,即把常數(shù)項分解成兩個數(shù)的積 ,且其和等于一次項系數(shù)。 對于二次三項a、b、c都是整數(shù) ,且來說 ,如果存在四個整數(shù)滿足 ,并且 ,那么二次三項式即可以分解為。這里要確定四個常數(shù) ,分析和嘗試都要比首項系數(shù)是1的類型復(fù)雜 ,因此一般要借助畫十字交叉線的方法來確定。 下面我們一起來學習用十字相乘法因式分解?！痉诸惤馕觥?1. 在方程、不等式中的應(yīng)

14、用 例1. ： ,求x的取值范圍。 分析：此題為二次不等式 ,可以應(yīng)用因式分解化二次為一次 ,即可求解。 解： 例2. 如果能分解成兩個整數(shù)系數(shù)的二次因式的積 ,試求m的值 ,并把這個多項式分解因式。 分析：應(yīng)當把分成 ,而對于常數(shù)項-2 ,可能分解成 ,或者分解成 ,由此分為兩種情況進行討論。 解：1設(shè)原式分解為 ,其中a、b為整數(shù) ,去括號 ,得： 將它與原式的各項系數(shù)進行比照 ,得： 解得： 此時 ,原式 2設(shè)原式分解為 ,其中c、d為整數(shù) ,去括號 ,得： 將它與原式的各項系數(shù)進行比照 ,得： 解得： 此時 ,原式 2. 在幾何學中的應(yīng)用 例. ：長方形的長、寬為x、y ,周長為16c

15、m ,且滿足 ,求長方形的面積。 分析：要求長方形的面積 ,需借助題目中的條件求出長方形的長和寬。 解： 或 又 解得：或 長方形的面積為15cm2或 3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例. 證明：假設(shè)是7的倍數(shù) ,其中x ,y都是整數(shù) ,那么是49的倍數(shù)。 分析：要證明原式是49的倍數(shù) ,必將原式分解成49與一個整數(shù)的乘積的形式。 證明一： 是7的倍數(shù) ,7y也是7的倍數(shù)y是整數(shù) 是7的倍數(shù) 而2與7互質(zhì) ,因此 ,是7的倍數(shù) ,所以是49的倍數(shù)。 證明二：是7的倍數(shù) ,設(shè)m是整數(shù) 那么 又 x ,m是整數(shù) ,也是整數(shù) 所以 ,是49的倍數(shù)。4、中考點撥 例1.把分解因式的結(jié)果是_。 解： 說明：多

16、項式有公因式 ,提取后又符合十字相乘法和公式法 ,繼續(xù)分解徹底。 例2. 因式分解：_ 解： 說明：分解系數(shù)時一定要注意符號 ,否那么由于不慎將造成錯誤。5、題型展示 例1. 假設(shè)能分解為兩個一次因式的積 ,那么m的值為 A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或 ,因此 ,存在兩種情況： 由1可得： ,由1可得： 應(yīng)選擇C。 說明：對二元二次多項式分解因式時 ,要先觀察其二次項能否分解成兩個一次式乘積 ,再通過待定系數(shù)法確定其系數(shù) ,這是一種常用的方法。 例2. ：a、b、c為互不相等的數(shù) ,且滿足。 求證： 證明： 說明：抓住條件 ,應(yīng)用因式分解使命題得證。 例3. 假設(shè)有一因

17、式。求a ,并將原式因式分解。 解：有一因式 當 ,即時 , 說明：由條件知 ,時多項式的值為零 ,代入求得a ,再利用原式有一個因式是 ,分解時盡量出現(xiàn) ,從而分解徹底。【實戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式：1 232. 在多項式 ,哪些是多項式的因式？3. 多項式有一個因式 ,求k的值 ,并把原式分解因式。4. 分解因式： 5. ： ,求的值。7、因式分解小結(jié)【知識精讀】 因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式 ,它和整式乘法互為逆運算 ,在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用 ,在其它學科中也有廣泛應(yīng)用 ,學習本章知識時 ,應(yīng)注意以下幾點。 1. 因式分解的對象是多項式； 2. 因式分解的結(jié)果

18、一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式 ,必須進行到每一個因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項式 ,也可以表示多項式； 5. 結(jié)果如有相同因式 ,應(yīng)寫成冪的形式； 6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍 ,一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是： 1通常采用一“提、二“公、三“分、四“變的步驟。即首先看有無公因式可提 ,其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施 ,可用分組分解法 ,分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； 2假設(shè)上述方法都行不通 ,可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項添項等方法；下面我們一起來回憶本章所學的內(nèi)容。

19、【分類解析】 1. 通過根本思路到達分解多項式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個六項式 ,很顯然要先進行分組 ,此題可把分別看成一組 ,此時六項式變成二項式 ,提取公因式后 ,再進一步分解；也可把 , ,分別看成一組 ,此時的六項式變成三項式 ,提取公因式后再進行分解。 解一：原式 解二：原式=2. 通過變形到達分解的目的 例1. 分解因式 解一：將拆成 ,那么有 解二：將常數(shù)拆成 ,那么有 3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項式的值一定是非負數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學習了兩個非負數(shù) ,它們是完全平方數(shù)、絕對值。此題要證明這個多項式是非負數(shù) ,需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設(shè) ,那么 4

20、. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式： 分析：此題假設(shè)直接用公式法分解 ,過程很復(fù)雜 ,觀察a+b ,b+c與a+2b+c的關(guān)系 ,努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=A ,b+c=B ,a+2b+c=A+B 說明：在分解因式時 ,靈活運用公式 ,對原式進行“代換是很重要的。中考點撥： 例1.在中 ,三邊a,b,c滿足 求證： 證明： 說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題 ,難度不大 ,學生應(yīng)掌握這類題不能丟分。 例2. ：_ 解： 說明：利用等式化繁為易。題型展示： 1. 假設(shè)x為任意整數(shù) ,求證：的值不大于100。 解： 說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100

21、 ,即要求它們的差小于零 ,把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2. 將 解： 說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計算?！緦崙?zhàn)模擬】 1. 分解因式：2. ：的值。3. 矩形的周長是28cm ,兩邊x,y使 ,求矩形的面積。4. 求證：是6的倍數(shù)。其中n為整數(shù)5. ：a、b、c是非零實數(shù) ,且 ,求a+b+c的值。 6. ：a、b、c為三角形的三邊 ,比擬的大小。10、分式的運算【知識精讀】 1. 分式的乘除法法那么 當分子、分母是多項式時 ,先進行因式分解再約分。 2. 分式的加減法 1通分的根據(jù)是分式的根本性質(zhì) ,且取各分式分母的最簡公分母。 求最簡公分母是通分的關(guān)

22、鍵 ,它的法那么是： 取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)； 凡出現(xiàn)的字母或含有字母的式子為底的冪的因式都要??； 相同字母或含有字母的式子的冪的因式取指數(shù)最高的。 2同分母的分式加減法法那么 3異分母的分式加減法法那么是先通分 ,變?yōu)橥帜傅姆质?,然后再加減。 3. 分式乘方的法那么 n為正整數(shù) 4. 分式的運算是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一 ,在分式方程 ,求代數(shù)式的值 ,函數(shù)等方面有重要應(yīng)用。學習時應(yīng)注意以下幾個問題： 1注意運算順序及解題步驟 ,把好符號關(guān)； 2整式與分式的運算 ,根據(jù)題目特點 ,可將整式化為分母為“1”的分式； 3運算中及時約分、化簡； 4注意運算律的正確使用； 5結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整

23、式。下面我們一起來學習分式的四那么運算?！痉诸惤馕觥?例1：計算的結(jié)果是 A. B. C. D. 分析：原式 應(yīng)選C 說明：先將分子、分母分解因式 ,再約分。 例2： ,求的值。 分析：假設(shè)先通分 ,計算就復(fù)雜了 ,我們可以用替換待求式中的“1” ,將三個分式化成同分母 ,運算就簡單了。 解：原式 例3： ,求下式的值： 分析：此題先化簡 ,然后代入求值?；啎r在每個括號內(nèi)通分 ,除號改乘號 ,除式的分子、分母顛倒過來 ,再約分、整理。最后將條件等式變形 ,用一個字母的代數(shù)式來表示另一個字母 ,帶入化簡后的式子求值。這是解決條件求值問題的一般方法。 解： 故原式 例4：a、b、c為實數(shù) ,且

24、,那么的值是多少？ 分析：條件是一個復(fù)雜的三元二次方程組 ,不容易求解 ,可取倒數(shù) ,進行簡化。 解：由條件得： 所以 即 又因為 所以 例5：化簡： 解一：原式 解二：原式 說明：解法一是一般方法 ,但遇到的問題是通分后分式加法的結(jié)果中分子是一個四次多項式 ,而它的分解需要拆、添項 ,比擬麻煩；解法二那么運用了乘法分配律 ,防止了上述問題。因此 ,解題時注意審題 ,仔細觀察善于抓住題目的特征 ,選擇適當?shù)姆椒ā?例1、計算： 解：原式 說明：分式運算時 ,假設(shè)分子或分母是多項式 ,應(yīng)先因式分解。 例2、： ,那么_。 解： 說明：分式加減運算后 ,等式左右兩邊的分母相同 ,那么其分子也必然相

25、同 ,即可求出M。中考點撥： 例1：計算： 解一：原式 解二：原式 說明：在分式的運算過程中 ,乘法公式和因式分解的使用會簡化解題過程。此題兩種方法的繁簡程度一目了然。 例2：假設(shè) ,那么的值等于 A. B. C. D. 解：原式 應(yīng)選A【實戰(zhàn)模擬】 1. ： ,那么的值等于 A. B. C. D. 2. ,求的值。3. 計算：4. 假設(shè) ,試比擬A與B的大小。 5. ： ,求證：。11、公式變形與字母系數(shù)方程【知識精讀】 含有字母系數(shù)的方程和只含有數(shù)字系數(shù)的一元一次方程的解法是相同的 ,但用含有字母的式子去乘以或除以方程的兩邊 ,這個式子的值不能為零。 公式變形實質(zhì)上是解含有字母系數(shù)的方程

26、對于含字母系數(shù)的方程 ,通過化簡 ,一般歸結(jié)為解方程型 ,討論如下： 1當時 ,此時方程為關(guān)于x的一元一次方程 ,解為： 2當時 ,分以下兩種情況： <1>假設(shè) ,原方程變?yōu)?,為恒等時 ,此時x可取任意數(shù) ,故原方程有無數(shù)個解； <2>假設(shè) ,原方程變?yōu)?,這是個矛盾等式 ,故原方程無解。 含字母系數(shù)的分式方程主要有兩類問題：一求方程的解 ,其中包括：字母給出條件和未給出條件：二方程解的情況 ,確定字母的條件。 下面我們一起來學習公式變形與字母系數(shù)方程 【分類解析】 1. 求含有字母系數(shù)的一元一次方程的解 例1. 解關(guān)于x的方程 分析：將x以外字母看作數(shù)字 ,類似解一

27、元一次方程 ,但注意除數(shù)不為零的條件。 解：去分母得： 移項 ,得2. 求含字母系數(shù)的分式方程的解 例2. 解關(guān)于x的方程 分析：字母未給出條件 ,首先挖掘隱含的條件 ,分情況討論。 解：假設(shè)a、b全不為0 ,去分母整理 ,得 對是否為0分類討論： 1當 ,即時 ,有 ,方程無解。 2當 ,即時 ,解之 ,得 假設(shè)a、b有一個為0 ,方程為 ,無解 假設(shè)a、b全為0 ,分母為0 ,方程無意義 檢驗：當時 ,公分母 ,所以當時 ,是原方程的解。 說明：這種字母沒給出條件的方程 ,首先討論方程存在的隱含條件 ,這里a、b全不為0時 ,方程存在 ,然后在方程存在的情況下 ,去分母、化為一元一次方程的

28、最簡形式 ,再對未知數(shù)的字母系數(shù)分類討論求解。當a、b中只有一個為0時 ,方程也存在 ,但無解；當a、b全為0時 ,方程不存在。最后對字母條件歸納 ,得出方程的解。 3. 字母系數(shù)的分式方程的解 ,確定字母的條件 例3. 如果關(guān)于x的方程有唯一解 ,確定a、b應(yīng)滿足的條件。 分析：顯然方程存在的條件是：且 解：假設(shè)且 ,去分母整理 ,得 當且僅當 ,即時 ,解得 經(jīng)檢驗 ,是原方程的解 應(yīng)滿足的條件：且 說明：方程有唯一解 ,顯然方程存在的隱含條件是a、b全不為0 ,然后在方程存在的條件下 ,求有解且唯一的條件。因為是分式方程 ,需驗根后確定唯一解的條件。 4. 在其它學科中的應(yīng)用公式變形 例

29、4. 在物理學中我們學習了公式 ,其中所有的字母都不為零。S、t ,試求a。 分析：利用字母系數(shù)方程完成公式變形 ,公式變形時要分清哪個量是被表示的量 ,那么這個量就是未知數(shù) ,其它的量均視為量 ,然后按解字母系數(shù)方程求解。 解：5、中考點撥 例1. 填空：在中 ,且 ,那么_。 解： 例2. 在公式中 ,P、F、t都是正數(shù) ,那么s等于 A. B. C. D. 以上都不對 解： ,應(yīng)選A 說明：以上兩題均考察了公式變形。6、題型展示： 例1. 解關(guān)于x的方程 解：原方程化為： 即 說明：此題中 ,常數(shù)“3”是一個重要的量 ,把3拆成3個1 ,正好能湊成公因式。假設(shè)按常規(guī)在方程兩邊去分母 ,那

30、么解法太繁 ,故解題中一定要注意觀察方程的結(jié)構(gòu)特征 ,才能找到適宜的方法。 例2. 解關(guān)于x的方程。 解：去括號： 說明：解含字母系數(shù)的方程 ,在消未知數(shù)的系數(shù)時 ,一定要強調(diào)未知數(shù)的系數(shù)不等于0 ,如果方程的解是分式形式 ,必須化成最簡分式或整式。 例3. ,求z。 分析：此題是求z ,實質(zhì)上是解含有字母系數(shù)的分式方程 ,應(yīng)確定量和未知量 ,把方程化歸為的形式 ,便可求解。 解： 又【實戰(zhàn)模擬】1. 解關(guān)于x的方程 ,其中。2. 解關(guān)于x的方程。3. a為何值時 ,關(guān)于x的方程的解等于零？4. 關(guān)于x的方程有一個正整數(shù)解 ,求m的取值范圍。 5. 如果a、b為定值 ,關(guān)于x的一次方程 ,無論

31、取何值 ,它的根總是1 ,求a、b的值。12、分式方程及其應(yīng)用【知識精讀】 1. 解分式方程的根本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。 2. 解分式方程的一般步驟： 1在方程的兩邊都乘以最簡公分母 ,約去分母 ,化成整式方程； 2解這個整式方程； 3驗根：把整式方程的根代入最簡公分母 ,看結(jié)果是否等于零 ,使最簡公分母等于零的根是原方程的增根 ,必須舍去 ,但對于含有字母系數(shù)的分式方程 ,一般不要求檢驗。 3. 列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟根本相同 ,但必須注意 ,要檢驗求得的解是否為原方程的根 ,以及是否符合題意。 下面我們來學習可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用。【分類解

32、析】 例1. 解方程： 分析：首先要確定各分式分母的最簡公分母 ,在方程兩邊乘這個公分母時不要漏乘 ,解完后記著要驗根 解：方程兩邊都乘以 ,得 例2. 解方程 分析：直接去分母 ,可能出現(xiàn)高次方程 ,給求解造成困難 ,觀察四個分式的分母發(fā)現(xiàn)的值相差1 ,而分子也有這個特點 ,因此 ,可將分母的值相差1的兩個分式結(jié)合 ,然后再通分 ,把原方程兩邊化為分子相等的兩個分式 ,利用分式的等值性質(zhì)求值。 解：原方程變形為： 方程兩邊通分 ,得 經(jīng)檢驗：原方程的根是 例3. 解方程： 分析：方程中的每個分式都相當于一個假分數(shù) ,因此 ,可化為一個整數(shù)與一個簡單的分數(shù)式之和。 解：由原方程得： 即 例4.

33、 解方程： 分析：此題假設(shè)用一般解法 ,那么計算量較大。當把分子、分母分解因式后 ,會發(fā)現(xiàn)分子與分母有相同的因式 ,于是可先約分。 解：原方程變形為： 約分 ,得 方程兩邊都乘以 注：分式方程命題中一般滲透不等式 ,恒等變形 ,因式分解等知識。因此要學會根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點 ,用特殊方法解分式方程。5、中考題解： 例1假設(shè)解分式方程產(chǎn)生增根 ,那么m的值是 A. B. C. D. 分析：分式方程產(chǎn)生的增根 ,是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：化簡原方程為：把代入解得 ,應(yīng)選擇D。 例2. 甲、乙兩班同學參加“綠化祖國活動 ,乙班每小時比甲班多種2棵樹 ,甲班種60棵所用的時間與乙班種66棵

34、樹所用的時間相等 ,求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹？ 分析：利用所用時間相等這一等量關(guān)系列出方程。 解：設(shè)甲班每小時種x棵樹 ,那么乙班每小時種x+2棵樹 , 由題意得： 答：甲班每小時種樹20棵 ,乙班每小時種樹22棵。 說明：在解分式方程應(yīng)用題時一定要檢驗方程的根。6、題型展示： 例1. 輪船在一次航行中順流航行80千米 ,逆流航行42千米 ,共用了7小時；在另一次航行中 ,用相同的時間 ,順流航行40千米 ,逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度 分析：在航行問題中的等量關(guān)系是“船實際速度=水速+靜水速度 ,有順水、逆水 ,取水速正、負值 ,兩次航行提供了兩個等量關(guān)系。 解

35、：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時 ,水流速度為y千米/小時 由題意 ,得 答：水流速度為3千米/小時 ,船在靜水中的速度為17千米/小時。 例2. m為何值時 ,關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根？ 解：方程兩邊都乘以 ,得 整理 ,得 說明：分式方程的增根 ,一定是使最簡公分母為零的根【實戰(zhàn)模擬】 1. 甲、乙兩地相距S千米 ,某人從甲地出發(fā) ,以v千米/小時的速度步行 ,走了a小時后改乘汽車 ,又過b小時到達乙地 ,那么汽車的速度 A. B. C. D. 2. 如果關(guān)于x的方程 A. B. C. D. 3 3. 解方程：4. 求x為何值時 ,代數(shù)式的值等于2？ 5. 甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程

36、 ,乙隊先單獨做1天后 ,再由兩隊合作2天就完成了全部工程。甲隊單獨完成工程所需的天數(shù)是乙隊單獨完成所需天數(shù)的 ,求甲、乙兩隊單獨完成各需多少天？13、分式總復(fù)習【知識精讀】【分類解析】1. 分式有意義的應(yīng)用 例1. 假設(shè) ,試判斷是否有意義。 分析：要判斷是否有意義 ,須看其分母是否為零 ,由條件中等式左邊因式分解 ,即可判斷與零的關(guān)系。 解： 即 或 中至少有一個無意義。 2. 結(jié)合換元法、配方法、拆項法、因式分解等方法簡化分式運算。 例2. 計算： 分析：如果先通分 ,分子運算量較大 ,觀察分子中含分母的項與分母的關(guān)系 ,可采取“別離分式法簡化計算。 解：原式 例3. 解方程： 分析：因

37、為 , ,所以最簡公分母為： ,假設(shè)采用去分母的通常方法 ,運算量較大。由于故可得如下解法。 解： 原方程變?yōu)?經(jīng)檢驗 ,是原方程的根。 3. 在代數(shù)求值中的應(yīng)用 例4. 與互為相反數(shù) ,求代數(shù)式的值。 分析：要求代數(shù)式的值 ,那么需通過條件求出a、b的值 ,又因為 , ,利用非負數(shù)及相反數(shù)的性質(zhì)可求出a、b的值。 解：由得 ,解得 原式 把代入得：原式4. 用方程解決實際問題 例5. 一列火車從車站開出 ,預(yù)計行程450千米 ,當它開出3小時后 ,因特殊任務(wù)多停一站 ,耽誤30分鐘 ,后來把速度提高了0.2倍 ,結(jié)果準時到達目的地 ,求這列火車的速度。 解：設(shè)這列火車的速度為x千米/時 根據(jù)

38、題意 ,得 方程兩邊都乘以12x ,得 解得 經(jīng)檢驗 ,是原方程的根 答：這列火車原來的速度為75千米/時。 5. 在數(shù)學、物理、化學等學科的學習中 ,都會遇到有關(guān)公式的推導(dǎo) ,公式的變形等問題。而公式的變形實質(zhì)上就是解含有字母系數(shù)的方程。 例6. ,試用含x的代數(shù)式表示y ,并證明。 解：由 ,得6、中考原題： 例1 ,那么M_。 分析：通過分式加減運算等式左邊和右邊的分母相同 ,那么其分子也必然相同 ,即可求出M。 解： 例2 ,那么代數(shù)式的值是_。 分析：先化簡所求分式 ,發(fā)現(xiàn)把看成整體代入即可求的結(jié)果。 解：原式7、題型展示： 例1. 當x取何值時 ,式子有意義？當x取什么數(shù)時 ,該式

39、子值為零？ 解：由 得或 所以 ,當和時 ,原分式有意義 由分子得 當時 ,分母 當時 ,分母 ,原分式無意義。 所以當時 ,式子的值為零 例2. 求的值 ,其中。 分析：先化簡 ,再求值。 解：原式【實戰(zhàn)模擬】1. 當x取何值時 ,分式有意義？2. 有一根燒紅的鐵釘 ,質(zhì)量是m ,溫度是 ,它放出熱量Q后 ,溫度降為多少？鐵的比熱為c3. 計算：4. 解方程：5. 要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機器零件 ,如果甲單獨做 ,剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成 ,乙單獨做那么要超過3天?，F(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后 ,再由乙單獨做 ,正好按期完成。問規(guī)定日期是多少天？ 6. ,求的值。3、三角形及其有關(guān)概念【知識精讀】

40、 1. 三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 2. 三角形中的幾條重要線段： 1三角形的角平分線三條角平分線的交點叫做內(nèi)心 2三角形的中線三條中線的交點叫重心 3三角形的高三條高線的交點叫垂心 3. 三角形的主要性質(zhì) 1三角形的任何兩邊之和大于第三邊 ,任何兩邊之差小于第三邊； 2三角形的內(nèi)角之和等于180° 3三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角 ,等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和； 4三角形中 ,等角對等邊 ,等邊對等角 ,大角對大邊 ,大邊對大角； 5三角形具有穩(wěn)定性。 4. 補充性質(zhì)：在中 ,D是BC邊上任意一點 ,E是AD上任意一點

41、 ,那么。 三角形是最常見的幾何圖形之一 ,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用。三角形又是多邊形的一種 ,而且是最簡單的多邊形 ,在幾何里 ,常常把多邊形分割成假設(shè)干個三角形 ,利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形。實際上對于一些曲線 ,也可以利用一系列的三角形去逼近它 ,從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們。因此 ,學好本章知識 ,能為以后的學習打下堅實的根底。 5. 三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用【分類解析】 例1. 銳角三角形ABC中 ,C2B ,那么B的范圍是 A. B. C. D. 分析： 因為為銳角三角形 ,所以 又C2B , 又A為銳角 ,為銳角 ,即 ,應(yīng)選擇C。 例2. 選擇題：三角形的一

42、個外角等于160° ,另兩個外角的比為2:3 ,那么這個三角形的形狀是 A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 無法確定 分析：由于三角形的外角和等于360° ,其中一個角 ,另兩個角的比也知道 ,因此三個外角的度數(shù)就可以求出 ,進而可求出三個內(nèi)角的度數(shù) ,從而可判斷三角形的形狀。 解：三角形的一個外角等于160° 另兩個外角的和等于200° 設(shè)這兩個外角的度數(shù)為2x ,3x 解得： 與80°相鄰的內(nèi)角為100° 這個三角形為鈍角三角形 應(yīng)選C 例3. 如圖 ,：在中 , ,求證：。 分析：欲證 ,可作ABC的平分線BE

43、交AC于E ,只要證即可。為與題設(shè)聯(lián)系 ,又作AF/BE交CB的延長線于F。 顯然EBCF ,只要證即可。由可得證。 證明：作ABC的角平分線BE交AC于E ,過點A作AF/BE交CB的延長線于F 又BE平分ABC ,EBCABE FFAB ,ABBF 又ABFBAF ,即2ABAF 又 ,又 例4. ：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長的與之間。 分析：首先應(yīng)根據(jù)條件 ,運用邊的不等關(guān)系 ,找出最小邊 ,然后由周長與邊的關(guān)系加以證明。 證明：如圖 ,設(shè)的三邊為a、b、c ,其中 , 因此 ,c是最小邊 , 因此 , ,即 故最小邊在周長的與之間。中考點撥： 例1. 選擇題

44、：如圖是一個任意的五角星 ,它的五個頂角的和是 A. 50B. 100C. 180D. 200 分析：由于我們學習了三角形的內(nèi)角、外角的知識 ,所以需要我們把問題轉(zhuǎn)化為三角形角的問題。 解： 所以選擇C 例2. 選擇題：三角形的兩邊分別為5和7 ,那么第三邊x的范圍是 A. 大于2B. 小于12C. 大于2小于12D. 不能確定 分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系應(yīng)有 ,即 所以應(yīng)選C 例3. ：P為邊長為1的等邊內(nèi)任一點。 求證： 證明：過P點作EF/BC ,分別交AB于E ,交AC于F , 那么AEPABC60° 在中 , 是等邊三角形題型展示： 例1. ：如圖 ,在中 ,D是BC上任意一

45、點 ,E是AD上任意一點。求證： 1BECBAC； 2ABACBEEC。 分析：在1中 ,利用三角形內(nèi)角和定理的推論即可證出在2中 ,添加一條輔助線 ,轉(zhuǎn)化到另一個三角形中 ,利用邊的關(guān)系定理即可證出。 證明：1BED是的一個外角 , 同理 , 即 2延長BE交AC于F點 即 例2. 求證：直角三角形的兩個銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角等于45°。 ：如圖 ,在中 ,是的外角 ,AF、BF分別平分EAB及ABD。 求證：AFB45° 分析：欲證 ,須證 AF、BF分別平分EAB及ABD 要轉(zhuǎn)證EABABD270° 又C90° ,三角形一個外角等于和它不相

46、鄰的兩個內(nèi)角之和 問題得證 證明：EABABCC ABDCABC ABCCCAB180° ,C90° AF、BF分別平分EAB及ABD 在中 ,【實戰(zhàn)模擬】1. ：三角形的三邊長為3 ,8 , ,求x的取值范圍。 2. ：中 , ,D點在BC的延長線上 ,使 , , ,求和間的關(guān)系為？ 3. 如圖 ,中 ,的平分線交于P點 , ,那么 A. 68°B. 80°C. 88°D. 46° 4. ：如圖 ,AD是的BC邊上高 ,AE平分。 求證： 5. 求證：三角形的兩個外角平分線所成的角等于第三個外角的一半。6、全等三角形及其應(yīng)用【知識精

47、讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形；兩個全等三角形中 ,互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點?；ハ嘀睾系倪吔袑?yīng)邊 ,互相重合的角叫對應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：假設(shè)ABC和ABC是全等的三角形 ,記作 “ABCABC其中 ,“讀作“全等于。記兩個三角形全等時 ,通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等 ,對應(yīng)角相等；4. 尋找對應(yīng)元素的方法1根據(jù)對應(yīng)頂點找如果兩個三角形全等 ,那么 ,以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角；以對應(yīng)頂點為端點的邊是對應(yīng)邊。通常情況下 ,兩個三角形全等時 ,對應(yīng)頂點的字母都寫在對應(yīng)的位置上 ,因此

48、 ,由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素。2根據(jù)的對應(yīng)元素尋找全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊 ,兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；3通過觀察 ,想象圖形的運動變化狀況 ,確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析 ,可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過以下各種運動而形成的。翻折 如圖1 ,DBOCDEOD ,DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖2 ,DCODDBOA ,DCOD可以看成是由DBOA繞著點O旋轉(zhuǎn)180°得到的；平移 如圖3 ,DDEFDACB ,DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動而得到的。5. 判定三角形全等的方法：1邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理2 推論：角角邊定理6. 注意問題：1在判定兩個三角形全等時 ,至少有一邊對應(yīng)相等；2不能證明兩個三角形全等的是 ,a: 三個角對應(yīng)相等 ,即AAA；b :有兩邊和其中一角對應(yīng)相等 ,即SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的根本