學(xué)生版第七講因數(shù)與倍數(shù)

1、第七講因數(shù)與倍數(shù)（公因數(shù)和公倍數(shù) （二）【知識概述】這一講我們主要介紹最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)之間的關(guān)系。定理一：兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商互質(zhì)，即：如果（a， b）=d，那么（ a÷ d，b÷ d)=1 。定理二：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之積等于這兩個數(shù)的乘積。即a,b ×（ a,b ） =a× b。定理三：兩個數(shù)的公因數(shù)一定是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)。例題精學(xué)例 1兩個數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少【思路點撥】設(shè)一個數(shù)為A，得短除式如下：428A7a顯然， 7 和 a 互質(zhì)，否則4 就

2、不是最大公因數(shù)，那么252=4× 7×a， a=9， A=4× 9=36。另外，我們可以根據(jù)定理：a,b×（ a,b)=a × b。求得 4× 252÷ 28=36。同步精練1. 某數(shù)與 24 的最大公因數(shù)是 4，最小公倍數(shù)是 168，這個數(shù)是多少2.甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90，且小數(shù)不能整除大數(shù)，求這兩個數(shù)。3.四個連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)為6435，這四個奇數(shù)中最大的一個為多少例 2兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公因數(shù)是5，求這兩個數(shù)的差。【思路點撥】若（ A，B） =d，可以假設(shè) A=ad， B=bd,

3、 那么 a 和 b 互質(zhì)，即（ a,b)=1 。在本題中，由于已知兩數(shù)的最大公因數(shù)為 5，故可設(shè)一個數(shù)為 5a，另一個數(shù)為 5b， (a,b)=1 。又因為這兩個數(shù)的和為 50，這樣可以得到 5a+5b=50， 5（a+b)=50 ，a+b=10。根據(jù) a 與 b 互質(zhì)，我們不難得到 a=1,b=9 或 a=3， b=7。這樣可以求出這兩個數(shù)是5×3=15 和 5×7=35 或 5×1=5 或 5× 9=45。它們的差也就好求了。同步精練1. 兩個自然數(shù)的和是 56，它們的最大公因數(shù)是 7，求這兩個數(shù)。2. 已知兩個自然數(shù)的積是 5766，它們的最大公因

4、數(shù)是 31，求這兩個數(shù)。3. 兩個數(shù)的和是 70，它們的最大公因數(shù)是 7，求這兩個數(shù)的差是多少。例 3兩個數(shù)的最大公因數(shù)為21，最小公倍數(shù)為126，求這兩個數(shù)的和。【思路點撥】已知兩個數(shù)的最大公因數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，要求這兩個數(shù)，可以根據(jù)“兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積”先求出這兩個數(shù)的乘積，再把這個積分解成兩個數(shù)。再求兩個數(shù)的和。設(shè)這兩個數(shù)為A 和 B，根據(jù)題意：21ABa b（a 與 b 互質(zhì)）a× b=126÷ 21=6=1× 6=2× 3a=2A=21× 2=42A+B=21+126=147b=3B=2

5、1× 3=63a=1A=21× 1=21A+B=42+63=105b=6B=21× 6=126同步精練1. 兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是 210，這兩個數(shù)的和是 77。求這兩個數(shù)。2. 兩個數(shù)的最大公因數(shù)是 12，最小公倍數(shù)是 72，這兩個數(shù)的和是多少3. 兩個數(shù)的最大公因數(shù)是 18，最小公倍數(shù)是 180，兩個數(shù)的差是 54，求這兩個數(shù)的和。例 4兩個自然數(shù)的和是54，它們的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是114，求這兩個自然數(shù)?！舅悸伏c撥】設(shè)兩個自然數(shù)為A， B，且 A<B。mA Ba bm是兩個數(shù)的最大公因數(shù)，a 與 b 互質(zhì)。根據(jù)條件可得：a&

6、#215;b× m-m=114， a×m+b×m=54。化簡后得（ ab-1) × m=114m 是 114 和 54 的公因數(shù)。（ a+b）× m=54（ 114,54 ）=6。因為 6 的因數(shù)有 1，2，3，6，所以 m可能是 1，2,3 ，6。如果 m=1，那么 a+b=54，a× b=115。115=1×115=5× 23，且 1+115=11654，5+23=2854，所以m不可能是 1。如果 m=2，那么 a+b=27， a×b=58。 58=1× 58=2× 29，且 1

7、+58=59/27,2+29=31/27，所以加不可能是2。如果 m=3，那么 a+b=18， a×b=39。 39=1× 39=3× 13，且 1+39=40/18 ，3+13=16-18 ，所以 m不可能是3。如果 m=6，那么 a+b=9，a× b=20。20=4×5，且 4+5=9，所以 m=6。那么 A=6× 4=24， B=6× 5=30。同步精練1.兩個數(shù)的差是4，最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的積是252，求這兩個數(shù)。2.兩個數(shù)的差是30，它們最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是450，求這兩個數(shù)。3.兩個自然數(shù)的差是2，它

8、們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)之和是86，求這兩個數(shù)。練習(xí)卷1. 兩個數(shù)的最大公因數(shù)是 60，最小公倍數(shù)是 720，其中一個數(shù)是 180，另一個數(shù)是多少2. 兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是 15，最小公倍數(shù)是 180，其中一個數(shù)是 45，求這兩個自然數(shù)的差。3. 已知兩個自然數(shù)的和為 165，它們的最大公因數(shù)是 15，求這兩個數(shù)。4. 已知兩個自然數(shù)的積為 240，最小公倍數(shù)為 60，求這兩個數(shù)。5. 兩個數(shù)的最大公因數(shù)是 6，最小公倍數(shù)是 144，求這兩個數(shù)。6.兩個不同自然數(shù)的和是60，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和也是60，滿足條件的自然數(shù)共有多少組7.兩個自然數(shù)的和是60，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和是84，求這兩個數(shù)。8.已知 a 與 b，a 與 c 的最大公因數(shù)分別是12 和 15，a，b，c 的最小