電氣工程師公共基礎(chǔ)科目第118講流體力學(xué)

1、三、恒定總流連續(xù)性方程（一）元流的連續(xù)性方程從總流中任取一段，其進(jìn)口的過流斷面為1一 1 ,面積為Ax,出口過流斷面為2 - 2 ,面積為A：,（圖6-3-4 ）。m 6-3-4再從該總流中任取一個元流，其進(jìn)口過流斷而為dA流速為:出口過流斷面為dA：,流速為g對于不可壓縮流體，密度是一常數(shù)，因此dt時間內(nèi)經(jīng)止紜流進(jìn)的流體質(zhì)量為PdQ：dt經(jīng)dA:流出的 流體質(zhì)量為P dQ：d t .在恒定流條件下，元流的形狀不隨時間而改變流體作為連續(xù)介質(zhì)，在元流內(nèi)部不可能出現(xiàn)空隙，流體 質(zhì)點也不可能穿過流管流進(jìn)或流出，因此根據(jù)質(zhì)量守恒原理，經(jīng)dA：流進(jìn)的流體質(zhì)量應(yīng)等于經(jīng)dA：流出的 流體質(zhì)量，即pdQid/

2、 = RQ ckdQi = dQ2 = dQ =常數(shù)或?qū)憺?w.（L41 = w2 dA2 =u£H數(shù)以上是元流的連續(xù)性方程，它們說明了元流的流速與過流斷面而積成反比。由此可知，流線密的地方 因過流斷而面積小而流速大，流線疏的地方因過流斷面面積大而流速小。（二）總流的連續(xù)性方程總流是無數(shù)個元流的總和。將元流的連續(xù)性方程各項在總流的過流斷而上積分即可得到總流的連續(xù)性 方程。Q, = Q?=常數(shù)(6-3-3) (6-3-4)根據(jù)前述斷面平均流速的概念:可得5兒=。2企=0=常數(shù) <6-3-5）式（6-3-3 ）或式（6-3-5 ）稱為總流的連續(xù)性方程。上述總流的連續(xù)性方程是在流量沿

3、程不變的條件下得出的。若沿程有流量流進(jìn)或流出，總流的連續(xù)性 方程仍適用，只是形式有所不同。對于圖（6-3-5 ）的情況有：Qt = Q + Q四、恒定總流能量方程（一）元流能量方程在流場中選取一元流，如圖6-3-6所示。在元流上取斷面1 一 1和斷面2 2 ,兩斷而的高程和面積分別為J、z：和dA：、dA：。兩斷面的流速和丿玉強(qiáng)分別為山、g和pi、p： o以兩斷面間的元流段為研究對象，在dt時間內(nèi)由原來的1122位置移動到1'1'2'2'位置，斷而1 一 1和斷面2 一 2分別移圖 6-3-6根據(jù)功能原理：外力（不包括重力）對物體所作的功等于物體機(jī)械能（位能和動

4、能）的變化。其各項 具體分析如下：在移動過程中斷面1 一 1所受壓力pidAi ,作正功PidAxU： dt,斷面2 2所受壓力 P： dA：與流動方向相反，所作的功是負(fù)的，等于一 P：dA：u:dt.元流側(cè)面所受的壓力和元流流向垂直，在流動 過程中沒有作功。而沿元流側(cè)表而還有和流體方向相反的內(nèi)摩擦阻力作了負(fù)功一 dH”，因此外力（不包括 重力）作功為：p ciAj wi dz pzdAzUi dt dHw（1）經(jīng)過dt時間后從位置1 122變化到1T2'2'位置，在恒定流的條件下1T22這段流體的能量沒有發(fā) 生變化，所以dt時間內(nèi)流體能量的變化，也就是新位置2 一 2'

5、;的能量和原位置1 一 1'的能量之差值。由于流體不可圧縮、新舊時刻流體位置變化1 一 1'、2 2'所占據(jù)的體積等于dQdt,質(zhì)量等T P dQdt o 據(jù)物理學(xué)中的公式，動能位能mgZ ,所以動能增值為2岬倦-乎）=創(chuàng)3（舊_舊）位能的增值為(3)fjgdQdtCz2 z)按功能原理（1 ）二（2 ） + （ 3 ）,可得:(/>1 Pz JdQdz clHw = pgdQdtz z等式各項除以PgdQdt ,并設(shè)匚=/心整理后得：PgdQdt如+令+器= “< +舊+心©3-6）式（6-3-6 ）就是不可圧縮流體元流能量方程。它反映了恒定流中

6、沿流各點位置高度z ,壓強(qiáng)p和流速 u之間的變化規(guī)律.式中z是元流斷面離選定基準(zhǔn)面的高度稱位置高度乂稱位置水頭，表示單位重量流體單為所具有的位置勢能.為單位重量流體所具有的壓能（測圧管高度或壓強(qiáng)水頭）；二為單位重量流體所具有的動能 P82g（流速水頭）；z+丄-為單位重量流體所具有的勢能（測壓管水頭）.z +丄十二是單位重量流體所 PgPg 2g具有總的機(jī)械能，乂稱總水頭。力"是單位重量流體從1 一 1流到斷面2 一 2由于克服流休阻力而消耗 的機(jī)械能，乂稱水頭損失.（二）漸變流斷面上的圧強(qiáng)分布為將元流的能量方程推廣到總流，需利用漸變流的特點。前面流體運動的分類己提漸變流中各流線的

7、曲率很小，而II流線間的夾角也很小。也就是說，漸變流中任一點的流速的大小和方向沿流線的變化很小。 因此，可以不考慮慣性力，同一過流斷面上各點間的壓差由重力引起，斷面上圧強(qiáng)分布與靜圧強(qiáng)分布規(guī)律 相同 直線分布即式中下標(biāo)A、B表示同一斷面上的不同位置的點，如圖6-3-7所示。（三）總流的能量方程將元流能量方程式（6-3-6 ）各項乘以PgdQ ,得單位時間通過元流兩過流斷面的流體（總重量）的 能量關(guān)系（式（6-3-6 ）表示的是單位重量流體的能量關(guān)系）.（引+讐+舊）購竣（引+ ' +舊）磁蛆十Ji'wfigdQ注意到dQ = UxdAF u: dA:,將上式在總流過流斷面上積分，

8、得到通過總流兩過流斷面的流體總能量之 間的關(guān)系：L伍+£ +舊加"閉=LG十£ +舊）昨皿十打（6-37）設(shè)兩過流斷面位于漸變流，z+丄二常量Pg又令用斷面平均流速代替點流速來計算單位時間通過總流過流斷面的動能，考慮到斷面上流速分布的不均 勻性乘以動能修正系數(shù)a。因為速度立方的平均值大于其平均值的立方，故a恒大于1。斷面流速分布愈 不均勻，a愈大，例圓管層流a = 2. 0,紊流a二1 .05 1.1 ,通常計算可取a = 1.0。至于損失項*/'叩如2, 口 1斷面至2斷面總流的各元流/臨是不同的，為了簡化暫以h代表平均 值（山的分析和計算將在下一節(jié)中討

9、論），即口 1斷面至2斷面總流的各元流的單位重量流體的能量損失均為h< ,則J 嚴(yán)必 dQ = hyfflgQ將以上各式代入式（6-3-7 ）,并除以PgQ得釣+匕+輕=乜+乞+瞬+加“（6-3-8）傅 2g禺 2g式（6-3-8 ）就是實際流體恒定總流的能量方程，或稱實際流體恒定總流的伯努利方程。方程中各項 均為單位重量流體所具有的能量，單位為Nm/N。各頂具有長度的量綱。其每項意義與元流能量方程 各項相類似，但應(yīng)注意Z與丄是對于斷面上任一點而言的。由于是漸變流動斷而，斷面上各點的z+上P8P82均相等，所以隨便取斷而上哪一點都可以（選點時考慮計算的方便）而學(xué)項中的V則是斷而平均流速.

10、按 2g2照z一位置水頭；丄一一圧強(qiáng)水頭；斗二一一流速水頭：及（z+丄-）一一測壓管水頭：（z+上+ pg2gpgpg2）一一總水頭，h. 一一水頭損失的表示，可以繪出水頭線（或稱能線）來表示總流沿流各種能1：的變 2g化，見圖6-3-8 o圖 6-38因為是實際流體，有能量損失，11 h沿流增大，故總水頭總是下降曲線，單位長度流程的水頭損失稱為水力坡度，用J表示。即dAw dHdZd/(6-3-9)式中d；是沿流程的微小長度；丹=十£十罟匚pg總水頭H總是沿流減小的，即但恒為負(fù)值，而水力坡度總是取正值，所以上式右端加一負(fù)號。 dl測床管水頭沿流的變化由測壓管水頭線表示。單位長度流程

11、上的測圧管水頭線降落JP稱測壓管水頭線坡度:d/(6-3-10)因為測壓管水頭即為單位重量流體所具有的勢能，而勢能和動能是可以互相轉(zhuǎn)化的，所以測壓管水頭線坡度可正可負(fù)，也可為零在均勻流中，流速沿流程不變，即動能不變，這時測床管水頭線與總水頭線平行，表明由丁損失使勢能減小，損失多少，勢能就減小多少。在能量方程的推導(dǎo)中，作了流體是不可圧縮的，流動是恒定的，流體只受重力這一質(zhì)量力的作用等假 定，并11在從元流到總流能量方程積分的過程中引用了所取的斷面必須為漸變流動斷面的條件，還要在兩 斷面間沒有能量和流量輸人或輸出的情況下，所以應(yīng)用時必須遵循上述假定和條件。但對丁有能量或流量 輸人（出）的清況，將能

12、量方程稍作改變后仍可推廣使用。1在同一流動中，另有機(jī)械能輸入（如泵或風(fēng)機(jī)）或輸出（如水輪機(jī)），此時能量方程形式為 塔'+$ +霽士臥=劭+眷+鴛+砧a（6-3-11式中，+比輸人的單位能量；一比輸出的單位能量。2對有流量輸出的分岔流（圖6-3-9 ）流體從總管分送到兩個支管即分成兩股流體。圖中ABC為兩股流體的分界面。這兩股流體均有一定的 大小，對每一股流體均可應(yīng)用總流的能量方程。當(dāng)斷面1 一 1、2 2、3 - 3處于漸變流時，就 可以分別列斷面1 一 1和2 - 2的能量方程及斷面1 一 1和3 3的能量方程。由于兩股流體的流 動情況不同，兩者的水頭損失不同，即h.具體可寫成：侮

13、2gpg 2g 丨，（取 ai = exj （6-3-12）（取 8 =“3 = 1（6-3-13）五. 能里方程的應(yīng)用（一）應(yīng)用步驟和注意事項1首先分析流動情況，確定我們討論的是哪一段總流。再選基準(zhǔn)面0 0,以使位置高度Z的計算方便 為宜。2選斷面1 1 , 2 2。斷面的選擇應(yīng)使方程中已知項盡可能多，如選擇口由液面或管道流人大氣的出口斷面，這時p = 0。所選斷而必須是漸變流斷面（兩斷而之間可以是急變流）。3選計算點，可選斷而上任意一點以確定z及p值一般對管流，計算點往往選在管軸與斷面相交的一點；對于明渠流，計算點往往選在口由液面與斷面相交處，此時P = 0 O4列能量方程，根據(jù)己知各項數(shù)

14、值求解未知數(shù)。在計算壓強(qiáng)時，一般方程兩邊都以大氣圧強(qiáng)為零即取 相對壓強(qiáng)計算。如果方程兩邊都按絕對圧強(qiáng)計算P也是可以的。（二）應(yīng)用舉例例6-3-1 文丘里流量計文丘里流量計是用來測量管道流量的，由收縮段、喉管和擴(kuò)大段三部分組成。它的形狀如圖6-3-10所 示。使用時，將它連接在管道中，在流量計上游進(jìn)口斷面1 一 1和在收縮管中的漸變流斷面2 2處 各接測壓管（見管上方所示）。設(shè)已知管中為水流，管徑&、d：及測壓管水頭差均己知，求流量Q圖 6-3-10【解】任選一基準(zhǔn)面0 0 ,寫出斷面1 一 1和2 - 2的能量方程（不計水頭損失）：取a： = a ： = 10并將上式整理而得:又（引+勺一仁+色）=少及連續(xù)性方程5滬=七網(wǎng)，即g = 3 代入上式所以(6-3-14)式中 K =手鬲是一個只和&dm及重力加速度g有關(guān)的固定常數(shù).式（6-3-14 ）中沒有計及水頭損失。實際流體中存在水頭損失，因而實際通過的流量必小于理論流量.為修正這一誤差，可用文丘里流量系數(shù)值加以修正根據(jù)實驗