伴隨矩陣的性質

1、編號 2009011118 畢 業(yè) 論 文（設 計）（ 2013 屆本科）論文題目： 伴隨矩陣的性質 學 院： 數學與統(tǒng)計學院 專 業(yè)： 數學與應用數學 班 級： 09級本科1班 作者姓名： 魏瑞繼 指導教師： 俱鵬岳 職稱： 副教授 完成日期： 2013 年 4 月 20 日目 錄隴東學院本科生畢業(yè)論文（設計）誠信聲明3摘要4關鍵詞40引言41主要結論41.1伴隨矩陣的基本性質41.2伴隨矩陣的特征值與特征向量的性質81.3矩陣與其伴隨矩陣的關聯(lián)性質91.4兩伴隨矩陣間的關系性質102應用舉例11例111例211結束語12參考文獻12致謝13隴東學院本科生畢業(yè)論文（設計）誠信聲明本人鄭重聲明

2、：所呈交的本科畢業(yè)論文（設計），是本人在指導老師的指導下獨立進行研究工作所取得的成果，成果不存在知識產權爭議，除文中已經注明應用的內容外，本論文不含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結果由本人承擔。 作者簽名：二一二年十二月二十日伴隨矩陣的性質魏瑞繼（隴東學院 數學與統(tǒng)計學院 甘肅 慶陽 745000）摘要：伴隨矩陣是矩陣理論中一個重要的基本概念，我們對幾類矩陣的伴隨矩陣進行了研究，得到了一些有價值的結論，并給出了部分應用舉例.關鍵詞：伴隨矩陣；分塊矩陣；正交矩陣；相似矩陣0引言伴隨矩陣在高等代數

3、中的作用是極其重要的，在關于伴隨矩陣的一些性質可以應用到其他矩陣的計算證明中，在這時候就更需要這一方面的知識了，伴隨矩陣的內容深入不僅增加了矩陣的內容，也補充了矩陣計算的不足，在矩陣的證明與應用中也得到廣泛的推廣.定義11 設矩陣,將矩陣的元素所在的第i行第j列元素劃去后，剩余的個元素按原來的排列順序組成的階矩陣所確定的行列式稱為元素的余子式，記為，稱為元素的代數余子式，記為，即 = (i,j=1,2,n).定義22 方陣的各元素的代數余子式所構成的如下矩陣 = 稱為矩陣的伴隨矩陣.1主要結論1.1伴隨矩陣的基本性質性質1 若是階方陣,那么 = .證明 （1）設,設,則，由知為可逆矩陣，從而推

4、得，即為零矩陣.于是也為零矩陣，與矛盾，所以; (2) ）如果,則中至少有一個元素0，即中至少有一個階子式不為0，故.而r() =1<n，所以; (3) ）如果,即為零矩陣，而中元素均為中的階代數余子式，從而中的所有階子式全為0，所以;性質24 若矩陣為非奇異陣，為常數（0），則.證明 由=及可得 =.性質3 （1）無論是奇異陣還是非奇異陣，等式 ()成立5;（2）設為階方陣，則6.證明 （1）當是奇異陣時，因為=為零陣.所以 ，從而等式 ()成立.當是非奇異陣時，由得. 所以 （）.（2）當0時，=.當=0時，知，若，則.由性質1知()=0,從而=0=若，則r()=0，即=0故=0=.

5、性質4 設，為階方陣，則.證明 （1）當，0時，由=可得 =.（2）當，=0時，令，只要充分大，都可逆，所以上式兩端矩陣中的元素都是關于的多項式，由于兩端對應元素相等，所以對應元素是相等的多項式，即上式對任意的都成立.特別的取=0，即得.推論 設均為n階方陣，則 .性質5 設，均為階可逆矩陣，則有.證明 因為=所以可逆，且=.又有由可得= = .推論 設A，B，C均為n階可逆矩陣，則有 .性質64 若為階方陣，則.證明 (1)當為非奇異矩陣時，有0，=0，即，也為非奇異陣.由=可得又 因為 所以= 即=.(2)當為奇異陣時，設= ，則的第i行第j列元素為，的第i行第j列元素為，的第i行第j列元

6、素為，的第i行第j列元素為 (i,j=1,2,)，所以= .性質7 (1)設是階非奇異陣，則 ;(2)設是階非奇異陣，則.證明 (1)由= 得 又所以 = .(2)由性質得由(1)得.又因為, 所以即又所以.1.2伴隨矩陣的特征值與特征向量的性質性質8 若是可逆矩陣，是其特征值，是的屬于特征值的特征向量，則 的特征值為，是的屬于特征值的特征向量.證明 因為是可逆矩陣，所以0，在兩邊左乘得 即 . 又， 所以 即.所以為的特征值，是的屬于特征值的特征向量.性質9 設是不可逆矩陣，若是的非零特征值，是的屬于的特征向量， 則是的屬于特征值0的特征向量.證明 由條件可知(0)，兩邊左乘得 即.由于=0

7、，0，所以即是的屬于特征值0的特征向量.推論 設是不可逆矩陣，若是的非零特征值，是的屬于的特征向量， 則是的屬于特征值0的特征向量.1.3矩陣與其伴隨矩陣的關聯(lián)性質性質107 (1)若是階對稱矩陣，那么也是階對稱矩陣；(2)若是階反對稱矩陣，那么當是偶數時，也是階反對稱矩陣；當是奇數時，是階對稱矩陣.證明 (1)因為是階對稱矩陣，所以=.又，所以是階對稱矩陣.(2)因為是階反對稱矩陣，所以=.又 當是偶數時，有，所以也是階反對稱矩陣；當是奇數時，有，即，所以是階對稱矩陣.性質118 若是階正定矩陣，則也是階正定矩陣 .證明 若正定，則為對稱矩陣，由性質10知也為對稱矩陣.其次可得的所有特征值均

8、大于0，由性質8知的所有特征值也大于0，即為正定矩陣.性質129 若是正交矩陣，則也是正交矩陣 .證明 設是正交矩陣，則有又= 所以也是正交矩陣.性質13 若是上(下)三角矩陣，則也是上(下)三角矩陣.證明 設=是上三角矩陣，則當i>j時，有=0.當i<j時，的余子式為n-1階的三角行列式，且主對角線上的元素至少有一個為零，所以=0(i<j)，即有=0(i<j).故也為上三角矩陣.同理可證，若是下三角矩陣，則也為下三角矩陣.推論 當是對角矩陣時，也是對角矩陣.1.4兩伴隨矩陣間的關系性質性質14 若方陣等價于，則等價于 .證明 因為等價于，則存在可逆矩陣，使得 兩邊取伴

9、隨矩陣得即有.因為,可逆，所以，也可逆，因此等價于.性質1510 若與相似，則與也相似.證明 當可逆時，因為與相似，則存在可逆矩陣，使得=.兩邊取行列式得，所以也可逆，即.上式兩邊分別乘以得.即，所以與相似.性質16 若與合同，且與可逆，則與也合同.證明 因為與合同，所以存在可逆矩陣，使得. 又與可逆，上式兩邊取逆，得 即.令=C，則，所以.又由得 所以 即.令Q=，則 所以與合同.2應用舉例例1 設、均為階可逆矩陣，且=，=，= =，=，=，求.解 由性質的推論可得 = = .例2 設=，是的伴隨矩陣，求.解 因=0，所以可逆由性質7可得 .結束語這篇論文在伴隨矩陣的基本性質的基礎上，較為詳

10、細地歸納并討論了伴隨矩陣的性質，尤其是將矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關系做成了充要條件，并給出了相應的證明，而關于伴隨矩陣秩的其它性質還很多，限于篇幅，在此就不一一贅述.但我的學識有限，所做工作仍有許多不足之處.參考文獻1李明.伴隨矩陣秩的研究J.陜西理工學院學報，2008.6.7-8.2張禾瑞，郝鈵新.高等代數M.北京：高等教育出版社，2007.6. 第五版.3張禾瑞.高等代數同步輔導及習題全解M.徐州：中國礦業(yè)大學出版社，2008.4. 4陳艷凌，許杰.矩陣A的伴隨矩陣的性質J.齊齊哈爾師范高等專科學校學報，2007年第2期， 2007.2.151-153.5肖翔，許伯生.伴隨矩陣的性質J.

11、上海工程技術大學教育研究，2007.3.52-53.6鄭群珍，封平華.伴隨矩陣的性質及應用研究J.河南教育學院學報（自然科學版），第20卷第3期，2011.9.13-14.7王航平.伴隨矩陣的若干性質J.中國計量學院學報，2004.3.246-247.8朱煥，關麗杰，范慧玲.有關伴隨矩陣的性質J.高師理科學刊，第28卷 第3期，2008.5.22-23.9任化民.伴隨矩陣的性質J.工科數學，第14 卷第1期，1998.2.155-157.10孫紅偉.伴隨矩陣性質的探討J.高等函授學報（自然科學版），第20卷第3期，2006.6.37-38.The properties of adjoint matrixWEI Ruiji（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang 745000）Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix, obtain some valuable conclusions