全部動力學答案

1、13解：運動方程：，其中。將運動方程對時間求導并將代入得16證明：質(zhì)點做曲線運動，xyo所以質(zhì)點的加速度為：,設質(zhì)點的速度為，由圖可知:，所以: 將，代入上式可得證畢17證明：因為，所以：證畢110y解：設初始時,繩索AB的長度為,時刻時的長度為,則有關系式：，并且將上面兩式對時間求導得：，由此解得：（a）(a)式可寫成：，將該式對時間求導得： (b)將(a)式代入(b)式可得：（負號說明滑塊A的加速度向上）取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點矢量形式的運動微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標形式的運動微分方程：其中：將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得：111解：設B點是繩子AB

2、與圓盤的切點，由于繩子相對圓盤無滑動，所以，由于繩子始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上A、B兩點的速度在 A、B兩點連線上的投影相等，即： （a）因為 （b）將上式代入（a）式得到A點速度的大小為： （c）由于，（c）式可寫成：，將該式兩邊平方可得：將上式兩邊對時間求導可得：將上式消去后，可求得： (d)由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為 AOBR取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點矢量形式的運動微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標形式的運動微分方程：其中：, 將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得113解：動點：套筒A；動系：OC桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：直線運動；相對

3、運動：直線運動；牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理有：，因為AB桿平動，所以，由此可得：，OC桿的角速度為，所以當時，OC桿上C點速度的大小為：115解：動點：銷子M動系1：圓盤動系2：OA桿定系：機座；運動分析：絕對運動：曲線運動相對運動：直線運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動根據(jù)速度合成定理有，由于動點M的絕對速度與動系的選取無關，即，由上兩式可得： (a)將（a）式在向在x軸投影,可得：由此解得：117解：動點：圓盤上的C點；動系：O1A桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：圓周運動；相對運動：直線運動（平行于O1A桿）；牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理有（a）將（a）式在垂直于O1A桿的軸上投

4、影以及在OC軸上投影得：，根據(jù)加速度合成定理有（b）將（b）式在垂直于O1A桿的軸上投影得其中：，由上式解得：119解：由于ABM彎桿平移，所以有 ?。簞狱c：滑塊M；動系：OC搖桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：圓周運動；相對運動：直線運動；牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理可求得：，根據(jù)加速度合成定理將上式沿方向投影可得：由于，根據(jù)上式可得：，1-20 MOAB解：取小環(huán)M為動點，OAB桿為動系運動分析絕對運動：直線運動；相對運動：直線運動；牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。由運動分析可知點的絕對速度、相對速度和牽連速度的方向如圖所示，其中：根據(jù)速度合成定理： 可以得到： ，MOAB加速度如圖所示，其

5、中：，根據(jù)加速度合成定理：將上式在軸上投影，可得：,由此求得：121Oxy解：求汽車B相對汽車A的速度是指以汽車A為參考系觀察汽車B的速度。?。簞狱c：汽車B；動系：汽車A（Oxy）；定系：路面。運動分析絕對運動：圓周運動；相對運動：圓周運動；牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動（汽車A繞O做定軸轉(zhuǎn)動）求相對速度，根據(jù)速度合成定理將上式沿絕對速度方向投影可得：y因此其中：，由此可得：xO求相對加速度，由于相對運動為圓周運動，相對速度的大小為常值，因此有：1-23 質(zhì)量為銷釘M由水平槽帶動，使其在半徑為的固定圓槽內(nèi)運動。設水平槽以勻速向上運動，不計摩擦。求圖示瞬時，圓槽作用在銷釘M上的約束力。MOMO解：銷釘M上作

6、用有水平槽的約束力和圓槽的約束力（如圖所示）。由于銷釘M的運動是給定的，所以先求銷釘?shù)募铀俣?，在利用質(zhì)點運動微分方程求約束力。取銷釘為動點，水平槽為動系。由運動分析可知銷釘?shù)乃俣葓D如圖所示。MOMO根據(jù)速度合成定理有 由此可求出： 。再根據(jù)加速度合成定理有：由于絕對運動是圓周運動，牽連運動是勻速直線平移，所以，并且上式可寫成：因為 ，所以根據(jù)上式可求出: 。根據(jù)矢量形式的質(zhì)點運動微分方程有：將該式分別在水平軸上投影： 由此求出：1-24 圖示所示吊車下掛一重物M，繩索長為，初始時吊車與重物靜止。若吊車從靜止以均加速度沿水平滑道平移。試求重物M相對吊車的速度與擺角的關系式。M解：由于要求重物相對

7、吊車的速度，所以取吊車為動系，重物M為動點。根據(jù)質(zhì)點相對運動微分方程有將上式在切向量方向投影有因為，所以上式可寫成整理上式可得將上式積分：其中為積分常數(shù)（由初始條件確定），因為相對速度，上式可寫成初始時，系統(tǒng)靜止，根據(jù)速度合成定理可知，由此確定。重物相對速度與擺角的關系式為：1-26 水平板以勻角速度繞鉛垂軸O轉(zhuǎn)動，小球M可在板內(nèi)一光滑槽中運動（如圖7-8），初始時小球相對靜止且到轉(zhuǎn)軸O的距離為，求小球到轉(zhuǎn)軸的距離為時的相對速度。解：取小球為動點，板為動系，小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂方向的力未畫出）。根據(jù)質(zhì)點相對運動微分方程有：將上式在上投影有 因為，所以上式可寫成整理該式可得： 將該式

8、積分有： 初始時,由此確定積分常數(shù)，因此得到相對速度為1-27 重為P的小環(huán)M套在彎成形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸以勻角速度轉(zhuǎn)動，如圖所示。試求小環(huán)M的相對平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。MM解：取小環(huán)為動點，金屬絲為動系，根據(jù)題意，相對平衡位置為，因為金屬絲為曲線，所以，因此在本題中相對平衡位置就是相對靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根據(jù)質(zhì)點相對運動微分方程有：其中：，將上式分別在軸上投影有 （a）以為，,因此 （b）由（a）式可得 （c）將和式（b）代入式（c），并利用 ，可得：再由方程（a）中的第一式可得2-1 解：當摩擦系數(shù)足夠大時，平

9、臺AB相對地面無滑動，此時摩擦力取整體為研究對象，受力如圖，系統(tǒng)的動量：將其在軸上投影可得：根據(jù)動量定理有：即：當摩擦系數(shù)時，平臺AB的加速度為零。當摩擦系數(shù)時，平臺AB將向左滑動，此時系統(tǒng)的動量為：將上式在軸投影有：根據(jù)動量定理有：由此解得平臺的加速度為：（方向向左）2-2 取彈簧未變形時滑塊A的位置為x坐標原點，取整體為研究對象，受力如圖所示,其中為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動量為：將上式在x軸投影：根據(jù)動量定理有：系統(tǒng)的運動微分方程為：24 取提起部分為研究對象，受力如圖(a)所示，提起部分的質(zhì)量為，提起部分的速度為，根據(jù)點的復合運動可知質(zhì)點并入的相對速度為，方向向下，大小為（如圖

10、a所示）。y (a) (b)根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點動力學方程有：將上式在y軸上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分為研究對象，由于地面上的物體沒有運動，并起與提起部分沒有相互作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：25 將船視為變質(zhì)量質(zhì)點，取其為研究對象，受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點動力學方程有：船的質(zhì)量為：，水的阻力為將其代入上式可得：將上式在x軸投影：。應用分離變量法可求得由初始條件確定積分常數(shù)：，并代入上式可得：2-8 圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，板對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，質(zhì)量為的質(zhì)點沿半徑為的圓周運動，其相對方板的速度大小為（常量）。圓盤中心到轉(zhuǎn)軸的距離為。質(zhì)點在方板

11、上的位置由確定。初始時，方板的角速度為零，求方板的角速度與角的關系。oM 圖a 圖 b解：取方板和質(zhì)點為研究對象，作用在研究對象上的外力對轉(zhuǎn)軸z的力矩為零，因此系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒。下面分別計算方板和質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的動量矩。設方板對轉(zhuǎn)軸的動量矩為，其角速度為，于是有設質(zhì)點M對轉(zhuǎn)軸的動量矩為，取方板為動系，質(zhì)點M為動點，其牽連速度和相對速度分別為。相對速度沿相對軌跡的切線方向，牽連速度垂直于OM連線。質(zhì)點M相對慣性參考系的絕對速度。它對轉(zhuǎn)軸的動量矩為其中：系統(tǒng)對z軸的動量矩為。初始時，此時系統(tǒng)對z軸的動量矩為當系統(tǒng)運動到圖8-12位置時，系統(tǒng)對z軸的動量矩為由于系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。所以有，因此

12、可得：由上式可計算出方板的角速度為211 取鏈條和圓盤為研究對象，受力如圖（鏈條重力未畫），設圓盤的角速度為，則系統(tǒng)對O軸的動量矩為：根據(jù)動量矩定理有：P整理上式可得：由運動學關系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，該方程的通解為：根據(jù)初始條件：可以確定積分常數(shù)，于是方程的解為：系統(tǒng)的動量在x軸上的投影為：系統(tǒng)的動量在y軸上的投影為：根據(jù)動量定理：由上式解得：，214 取整體為研究對象，系統(tǒng)的動能為：其中：分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。若是AB桿上的A點相對楔塊C的速度，則根據(jù)復合運動速度合成定理可知：，因此系統(tǒng)的動能可表示為：，系統(tǒng)在運動過程中，AB桿的重力作功。

13、根據(jù)動能定理的微分形式有：，系統(tǒng)的動力學方程可表示成：由上式解得：，217 質(zhì)量為的均質(zhì)物塊上有一半徑為的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。質(zhì)量為光滑小球可在槽內(nèi)運動，初始時，系統(tǒng)靜止，小球在A處。求小球運動到B處時相對物塊的速度、物塊的速度、槽對小球的約束力和地面對物塊的約束力。 圖A 圖B解：取小球和物塊為研究對象，受力如圖B所示，由于作用在系統(tǒng)上的主動力均為有勢力，水平方向無外力，因此系統(tǒng)的機械能守恒，水平動量守恒。設小球為動點，物塊為動系，設小球相對物塊的速度為，物塊的速度為，則系統(tǒng)的動能為設為勢能零點，則系統(tǒng)的勢能為根據(jù)機械能守恒定理和初始條件有，即 (1)系統(tǒng)水平方向的動量為：

14、 (2)根據(jù)系統(tǒng)水平動量守恒和初始條件由(2)式有由此求出，將這個結(jié)果代入上面的機械能守恒式(1)中,且最后求得：下面求作用在小球上的約束力和地面對物塊的約束力。分別以小球和物塊為研究對象，受力如圖C，D所示。設小球的相對物塊的加速度為，物塊的加速度為，對于小球有動力學方程 （a）ABAB圖C 圖 D對于物塊，由于它是平移，根據(jù)質(zhì)心運動動力學方程有 （b）將方程（a）在小球相對運動軌跡的法線方向投影，可得其中相對加速度為已知量，。將方程（b）在水平方向和鉛垂方向投影，可得令，聯(lián)立求解三個投影方程可求出218 取小球為研究對象，兩個小球?qū)ΨQ下滑，設圓環(huán)的半徑為R。每個小球應用動能定理有：（a）將

15、上式對時間求導并簡化可得： (b )每個小球的加速度為取圓環(huán)與兩個小球為研究對象，應用質(zhì)心運動定理將上式在y軸上投影可得：將(a),(b)兩式代入上式化簡后得時對應的值就是圓環(huán)跳起的臨界值，此時上式可表示成上述方程的解為：圓環(huán)脫離地面時的值為而也是方程的解，但是時圓環(huán)已脫離地面，因此不是圓環(huán)脫離地面時的值。219 取圓柱、細管和小球為研究對象。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線通過鉛垂軸。根據(jù)受力分析可知：系統(tǒng)對鉛垂軸的動量矩守恒。設小球相對圓柱的速度為，牽連速度為，由系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒，有：z其中：，則上式可表示成：由此解得：其中：，根據(jù)動能定理積分式，有：其中：，將其代入動能定

16、理的積分式，可得：將代入上式，可求得：則：由可求得：220 取鏈條為研究對象，設鏈條單位長度的質(zhì)量為應用動量矩定理，鏈條對O軸的動量矩為：外力對O軸的矩為：因為：，所以上式可表示成：積分上式可得：由初始條件確定積分常數(shù)，最后得：33 取套筒B為動點，OA桿為動系根據(jù)點的復合運動速度合成定理可得：，研究AD桿，應用速度投影定理有：，再取套筒D為動點，BC桿為動系，根據(jù)點的復合運動速度合成定理將上式在x軸上投影有：，34 AB構(gòu)件（灰色物體）作平面運動，已知A點的速度CAB的速度瞬心位于C，應用速度瞬心法有：，設OB桿的角速度為，則有設P點是AB構(gòu)件上與齒輪I的接觸點，該點的速度：齒輪I的角速度為

17、：36 AB桿作平面運動，取A為基點根據(jù)基點法公式有：將上式在AB連線上投影，可得因此，因為B點作圓周運動，此時速度為零，因此只有切向加速度（方向如圖）。根據(jù)加速度基點法公式將上式在AB連線上投影，可得，（瞬時針）37 齒輪II作平面運動，取A為基點有 xy將上式在x 投影有：由此求得：再將基點法公式在y軸上投影有：，由此求得再研究齒輪II上的圓心，取A為基點將上式在y軸上投影有，由此解得：再將基點法公式在x軸上投影有：由此解得：，又因為由此可得：39 卷筒作平面運動，C為速度瞬心，其上D點的速度為，卷筒的角速度為：角加速度為：卷筒O點的速度為：O點作直線運動，其加速度為：OCB研究卷筒，取O

18、為基點，求B點的加速度。將其分別在x,y軸上投影同理，取O為基點，求C點的加速度。將其分別在x,y軸上投影310 圖示瞬時，AB桿瞬時平移，因此有：AB桿的角速度：圓盤作平面運動，速度瞬心在P點，圓盤的的角速度為：圓盤上C點的速度為：AB桿上的A、B兩點均作圓周運動，取A為基點根據(jù)基點法公式有將上式在x軸上投影可得：因此：由于任意瞬時，圓盤的角速度均為：將其對時間求導有：，由于，所以圓盤的角加速度。 BC圓盤作平面運動，取B為基點，根據(jù)基點法公式有：313 滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度和加速度。AB桿作平面運動，其速度瞬心為P，AB桿的角速度為：桿上C點的速度為：取AB桿為動系，套筒

19、C為動點，根據(jù)點的復合運動速度合成定理有：其中：，根據(jù)幾何關系可求得：AB桿作平面運動，其A點加速度為零，B點加速度鉛垂，由加速度基點法公式可知由該式可求得由于A點的加速度為零，AB桿上各點加速度的分布如同定軸轉(zhuǎn)動的加速度分布，AB桿中點的加速度為：再取AB桿為動系，套筒C為動點，根據(jù)復合運動加速度合成定理有：其中：aK表示科氏加速度；牽連加速度就是AB桿上C點的加速度，即：將上述公式在垂直于AB桿的軸上投影有：科氏加速度，由上式可求得：3-14：取圓盤中心為動點，半圓盤為動系，動點的絕對運動為直線運動；相對運動為圓周運動；牽連運動為直線平移。由速度合成定理有： OAB圖 A速度圖如圖A所示。

20、由于動系平移，所以，根據(jù)速度合成定理可求出：由于圓盤O1 在半圓盤上純滾動，圓盤O1相對半圓盤的角速度為： 由于半圓盤是平移，所以圓盤的角速度就是其相對半圓盤的角速度。再研究圓盤，取為基點根據(jù)基點法公式有：OAB圖 B為求B點的加速度，先求點的加速度和圓盤的角加速度。取圓盤中心為動點，半圓盤為動系，根據(jù)加速度合成定理有圖 C （a）其加速度圖如圖C所示，O將公式（a）在和軸上投影可得：由此求出：，圓盤的角加速度為：下面求圓盤上B點的加速度。取圓盤為研究對象，為基點，應用基點法公式有： （b）OB圖 D將（b）式分別在軸上投影：其中：，由此可得：315（b）取BC桿為動系（瞬時平移），套筒A為動

21、點（勻速圓周運動）。根據(jù)速度合成定理有：由上式可解得：因為BC桿瞬時平移，所以有：315（d）取BC桿為動系（平面運動），套筒A為動點（勻速圓周運動）。BC桿作平面運動，其速度瞬心為P，設其角速度為根據(jù)速度合成定理有：根據(jù)幾何關系可求出：將速度合成定理公式在x,y軸上投影:由此解得:DC桿的速度3-16(b) BC桿作平面運動,根據(jù)基點法有:由于BC桿瞬時平移,上式可表示成:將上式在鉛垂軸上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC桿為動系（平面運動），套筒A為動點（勻速圓周運動）。 (a)y其中:為科氏加速度,因為,所以動點的牽連加速度為:由于動系瞬時平移,所以,牽連加速度為, 則(a)式可以表

22、示成將上式在y軸上投影:由此求得:316(d) 取BC桿為動系，套筒A為動點，動點A的牽連加速度為動點的絕對加速度為其中為動點A的科氏加速度。將上式在y軸上投影有上式可寫成 (a)其中：（見315d）為BC桿的角加速度。再取BC桿上的C點為動點，套筒為動系，由加速度合成定理有yx其中，上式可表示為將上式在y軸投影有：該式可表示成：（b）聯(lián)立求解(a),(b)可得317 AB桿作平面運動，其速度瞬心位于P，可以證明：任意瞬時，速度瞬心P均在以O為圓心，R為半徑的圓周上，并且A、O、P在同一直徑上。由此可得AB桿任何時刻的角速度均為桿上B點的速度為：ORxyAB桿的角加速度為：取A為基點，根據(jù)基點

23、法有將上式分別在x,y軸上投影有318 取DC桿上的C點為動點，構(gòu)件AB為動系根據(jù)幾何關系可求得：再取DC桿上的D點為動點，構(gòu)件AB為動系由于BD桿相對動系平移，因此將上式分別在x,y軸上投影可得xy求加速度：研究C點有將上式在y軸投影有由此求得再研究D點由于BD桿相對動系平移，因此將上式分別在x,y軸上投影有321 由于圓盤純滾動，所以有根據(jù)質(zhì)心運動定理有：根據(jù)相對質(zhì)心的動量矩定理有求解上式可得：，若圓盤無滑動，摩擦力應滿足，由此可得：當：時，322 研究AB桿，BD繩剪斷后，其受力如圖所示，由于水平方向沒有力的作用，根據(jù)質(zhì)心運動定理可知AB桿質(zhì)心C的加速度鉛垂。由質(zhì)心運動定理有：根據(jù)相對質(zhì)

24、心的動量矩定理有：剛體AB作平面運動，運動初始時，角速度為零。PA點的加速度水平，AB桿的加速度瞬心位于P點。有運動關系式求解以上三式可求得：325 設板和圓盤中心O的加速度分別為AR，圓盤的角加速度為，圓盤上與板的接觸點為A，則A點的加速度為將上式在水平方向投影有（a）取圓盤為研究對象，受力如圖，應用質(zhì)心運動定理有 (b)應用相對質(zhì)心動量矩定理有 (c)再取板為研究對象，受力如圖，應用質(zhì)心運動定理有 (d ) 作用在板上的滑動摩擦力為： (e)由(a) (b) (c) (d) (e)聯(lián)立可解得：329 解：由于系統(tǒng)在運動過程中，只有AB桿的重力作功，因此應用動能定理，可求出有關的速度和加速度

25、。系統(tǒng)運動到一般位置時，其動能為AB桿的動能與圓盤A的動能之和： P其中：因此系統(tǒng)的動能可以表示成：系統(tǒng)從位置運動到任意角位置， AB桿的重力所作的功為： 根據(jù)動能定理的積分形式 初始時系統(tǒng)靜止，所以，因此有將上式對時間求導可得：將上式中消去可得：根據(jù)初始條件，可求得初始瞬時AB桿的角加速度 ：因為，所以AB桿的角加速度為順時針。初始瞬時AB桿的角速度為零，此時AB桿的加速度瞬心在點，由此可求出AB桿上A點的加速度：333 設碰撞后滑塊的速度、AB桿的角速度如圖所示根據(jù)沖量矩定理有： (a)其中：為AB桿質(zhì)心的速度，根據(jù)平面運動關系有 (b)再根據(jù)對固定點的沖量矩定理：系統(tǒng)對固定點A（與鉸鏈A

26、重合且相對地面不動的點）的動量矩為滑塊對A點的動量矩和AB桿對A點的動量矩，由于滑塊的動量過A點，因此滑塊對A點無動量矩，AB桿對A點的動量矩（也是系統(tǒng)對A點的動量矩）為：將其代入沖量矩定理有： (c) 由（a,b,c）三式求解可得：(滑塊的真實方向與圖示相反)334研究整體，系統(tǒng)對A軸的動量矩為：其中：AC桿對A軸的動量矩為設為BC桿的質(zhì)心，BC 桿對A軸的動量矩為根據(jù)沖量矩定理可得： BCI（a）再研究BC桿，其對與C點重合的固定點的動量矩為根據(jù)沖量矩定理有：（b）聯(lián)立求解（a）,(b) 可得335 碰撞前，彈簧有靜變形第一階段：與通過完全塑性碰撞后一起向下運動，不計常規(guī)力，碰撞前后動量守

27、恒，因此有：碰撞結(jié)束時兩物體向下運動的速度為第二階段：與一起向下運動后再回到碰撞結(jié)束時的初始位置，根據(jù)機械能守恒可知：此時的速度向上，大小仍然為第三階段：與一起上升到最高位置，此時彈簧被拉長。根據(jù)動能定理有：上式可表示成：若使脫離地面，彈簧的拉力必須大于其重力，因此有，將代入上式求得：。若，則注：上述結(jié)果是在假設與始終粘連在一起的條件下得到的，若與之間沒有粘著力，答案應為，如何求解，請思考。336 取AB桿為研究對象，初始時，桿上的A點與水平桿上的O點重合，當時系統(tǒng)靜止，AB桿上A點的速度為，角速度為，初始時受到?jīng)_擊力的作用，應用對固定點O的沖量矩定理可得BA其中：由此解得：當時，滑塊A以加速

28、度向右運動，取AB桿為研究對象，應用相對動點A的動量矩定理有：將上式積分并簡化可得：其中C是積分常數(shù)由初始條件確定出。上式可表示成若AB桿可轉(zhuǎn)動整圈，則應有，因此。若的最小值大于零，則AB桿就可以完成整圈轉(zhuǎn)動。下面求的極值。將上式求導令其為零有求得極值點為：當，函數(shù)取最大值當，函數(shù)取最小值，若使最小值大于零，則有由此求得：46 圖示瞬時，AB桿的加速度瞬心位于P點，P設其角加速度為，則質(zhì)心加速度為：根據(jù)動靜法有：47 （1）取AB桿和滑塊C為研究對象AB桿平移，質(zhì)心加速度如圖所示根據(jù)動靜法有：（2）滑塊C無水平方向的作用力，其加速度鉛垂向下，AB桿平移，其加速度垂直于AD，如圖所示。兩者加速度

29、的關系為根據(jù)動靜法有由此求得：（3）先研究滑塊C根據(jù)約束可知：根據(jù)動靜法有：因為：，所以有關系式即：再研究整體，應用動靜法有上式可表示成：由上式解得：，48 （1）研究AB桿，將慣性力向桿的質(zhì)心簡化，根據(jù)動靜法有：，（2）若，必有，因此當，49 設OA桿和AB桿的角加速度分別為。將各桿的慣性力向各自質(zhì)心簡化。研究整體，根據(jù)動靜法有：，AB桿，根據(jù)動靜法有：上述平衡方程可簡化為求解該方程組可得：410 取圓盤A的角加速度為，AB桿的角加速度為。ABC設AB桿的質(zhì)心為C，其加速度為將慣性力分別向各剛體的質(zhì)心簡化。作用于AB桿質(zhì)心C的慣性力為：，AB研究整體，C（a）P研究AB桿， (b)將(a)(

30、b)得：上式化簡為：還可寫成：即：將上式積分可得：再根據(jù)初始條件：確定，由此可得根據(jù)動能定理有：（C）其中：再利用（c）式可表示成 (d)當, ,PAC再將(d)式求導,然后銷去, 最后可得當,可求得, 又因為，當AB桿鉛垂時，。再取圓盤為研究對象，應用動靜法有A，再研究整體，利用動靜法有P412 此瞬時AB桿作瞬時平移，所以因為AB桿的角速度為零，且A點的加速度為零，取A為基點，有又因為B點作圓周運動，所以將該式在鉛垂軸上投影：由此解得：AB桿質(zhì)心C的加速度垂直于AB桿，其大小為：應用動靜法：，414 圖示瞬時，AB桿瞬時平移，其加速度瞬心位于P點。設OA、AB桿的質(zhì)心分別為。各點加速度如圖

31、所示，其大小為，有關的慣性力為：P應用動靜法和虛位移原理，有因為：，上式可表示成因為，所以，由此解得P研究AB桿及滑塊B，由此解得：5-2滑輪組上懸掛有質(zhì)量為10kg的重物和質(zhì)量為8kg的重物，如圖所示。忽略滑輪的質(zhì)量，試求重物的加速度及繩的拉力。解：取整個系統(tǒng)為研究對象，不考慮摩擦，該系統(tǒng)具有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主動力為重物的重力。假設重物的加速度的方向豎直向下，則重物的加速度豎直向上，兩個重物慣性力為： (1)該系統(tǒng)有一個自由度，假設重物有一向下的虛位移，則重物的虛位移豎直向上。由動力學普遍方程有：M1gM2gFI2x2x1（2）根據(jù)運動學關系可知：（3）將(1)式和(3)式代入(2)

32、式，可得對于任意有：FI1方向豎直向下。取重物為研究對象，受力如圖所示，由牛頓第二定律有：M2gTa2解得繩子的拉力。本題也可以用動能定理，動靜法，拉格朗日方程求解。5-4如圖所示，質(zhì)量為m的質(zhì)點懸在一線上，線的另一端繞在一半徑為R的固定圓柱體上，構(gòu)成一擺。設在平衡位置時，線的下垂部分長度為l，且不計線的質(zhì)量，試求擺的運動微分方程。解：該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有一個自由度，取為廣義坐標。系統(tǒng)的動能為：取為零勢位，則系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)，代入拉格朗日方程有：整理得擺的運動微分方程為：5-6質(zhì)量為m的質(zhì)點在重力作用下沿旋輪線導軌運動，如圖所示。已知旋輪線的方程為，式中是以O為原點的弧坐標，是旋輪線

33、的切線與水平軸的夾角。試求質(zhì)點的運動規(guī)律。解：該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)有一個自由度，取弧坐標為廣義坐標。系統(tǒng)的動能為：h取為零勢位，系統(tǒng)的勢能為：由題可知，因此有：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理得擺的運動微分方程為：，解得質(zhì)點的運動規(guī)律為：，其中為積分常數(shù)。5-13質(zhì)量為m的質(zhì)點沿半徑為的圓環(huán)運動，圓環(huán)以勻角速度繞鉛垂直徑AB轉(zhuǎn)動，如圖所示。試建立質(zhì)點的運動微分方程，并求維持圓環(huán)勻角速度轉(zhuǎn)動所必需的轉(zhuǎn)矩。解：1.求質(zhì)點的運動微分方程圓環(huán)（質(zhì)量不計）以勻角速度繞鉛垂軸AB轉(zhuǎn)動，該系統(tǒng)有一個自由度，取角度為廣義坐標。系統(tǒng)的動能為：取為零勢位，系統(tǒng)的勢能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理

34、得質(zhì)點的運動微分方程為：2.求維持圓環(huán)作勻速轉(zhuǎn)動的力偶如果求力偶，必須考慮圓環(huán)繞鉛垂軸AB的一般轉(zhuǎn)動。因此解除“圓環(huán)繞鉛垂軸AB勻速轉(zhuǎn)動”這一約束，將力偶視為主動力。此時系統(tǒng)有兩個自由度，取角度和圓環(huán)繞軸AB的轉(zhuǎn)角為廣義坐標，系統(tǒng)的勢能不變，動能表達式中以代替，則拉格朗日函數(shù)為：力偶為非有勢力，它對應于廣義坐標和的廣義力計算如下：取，在這組虛位移下力偶所作的虛功為，因此力偶對應于廣義坐標的廣義力；取，在這組虛位移下力偶所作的虛功為，因此力偶對應于廣義坐標的廣義力；代入拉格朗日方程，整理可得：代入拉格朗日方程，整理可得：圓環(huán)繞鉛垂軸AB勻速轉(zhuǎn)動，即：，代入上式可得：5-14如圖所示，質(zhì)量為m的物

35、體可繞水平軸轉(zhuǎn)動，軸又繞鉛垂軸以勻角速度轉(zhuǎn)動。物體的質(zhì)心G在垂直于的直線上，。設和是物體過點的慣量主軸，轉(zhuǎn)動慣量為和，物體對另一過點的慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量為，試求物體的動能表達式并建立物體的運動微分方程。解：zyxzyGO3垂直于O1O2的平面以該物體為研究對象，有一個自由度，取和OC的夾角為廣義坐標。若以框架為動系，則物體的相對運動是以角速度繞軸的定軸轉(zhuǎn)動，牽連運動是以角速度繞軸的定軸轉(zhuǎn)動，物體的絕對角速度是和的矢量之和。為了方便起見，以為軸，為軸，如圖建立一個固連在物體上的坐標系，則該剛體的角速度可表示成：由于坐標系的三個坐標軸為過點的三個慣量主軸，則系統(tǒng)的動能為：取為零勢位，系統(tǒng)的勢能為：

36、則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理后，可得物體的運動微分方程為：5-17重的楔塊可沿水平面滑動，重的楔塊沿楔塊A的斜邊滑動，在楔塊B上作用一水平力，如圖所示。忽略摩擦，角已知，試求楔塊A的加速度及楔塊B的相對加速度。解：取楔塊A，B構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)有二個自由度，取楔塊A水平滑動的位移，以及楔塊B相對于A的沿斜面滑動的位移為廣義坐標。若以楔塊A為動系，楔塊A的速度，楔塊B的速度，以及B相對于A的相對速度滿足如下的矢量關系（方向如圖所示）：xs系統(tǒng)的動能為：取過軸的水平為零勢面，系統(tǒng)的勢能為：則拉格朗日函數(shù)：將水平力視為非有勢力，它對應于廣義坐標和的廣義力計算如下：取，在這組虛位

37、移下力所作的虛功為，因此力對應于廣義坐標的廣義力；取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對應于廣義坐標的廣義力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔塊A的加速度：，方向水平向右。楔塊B的相對加速度：，方向沿斜面向上。5-18在光滑水平面上放一質(zhì)量為m的三角形楔塊ABC，質(zhì)量為，半徑為的均質(zhì)圓柱沿楔塊的AB邊滾動而不滑動，如圖所示。試求楔塊的加速度及圓柱的角加速度。解：取楔塊ABC和圓柱構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有二個自由度，取楔塊水平滑動的位移，以及圓柱的轉(zhuǎn)角（A點=0）為廣義坐標。若以楔塊為動系，楔塊的速度，圓柱

38、軸心O的速度，以及軸心O相對于A的相對速度滿足如下的矢量關系（方向如圖所示）：x圓柱在斜面上作純滾動有：系統(tǒng)的動能為：取過楔塊上A點的水平為零勢面，系統(tǒng)的勢能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔塊的加速度：，方向水平向左。圓柱的角加速度：，順時針方向。5-21系統(tǒng)由定滑輪A和動滑輪B以及三個重物組成，如圖所示。重物的質(zhì)量分別為，滑輪的質(zhì)量忽略不計。若初始時系統(tǒng)靜止，試求欲使下降，質(zhì)量和之間的關系。解：x1x2以三個重物和滑輪構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有二個自由度（如圖所示）。設重物的坐標為，重物相

39、對于滑輪B的輪心的位置為。系統(tǒng)的動能為：取時為系統(tǒng)零勢能位，則任意位置系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得重物的加速度：，初始時刻系統(tǒng)靜止，若使下降則，即：5-22重的平臺AB置于水平面上，物體重，彈簧的剛度系數(shù)為k，如圖所示。在平臺上施加水平力，忽略摩擦。如果系統(tǒng)從靜止開始運動，此時彈簧物變形，試求平臺和物體的加速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)有二個自由度，取平臺的水平坐標，以及物體相對于平臺的坐標（彈簧原長為坐標原點）為廣義坐標。系統(tǒng)的動能為：sx取彈簧未變形時勢能為零，則系統(tǒng)的勢能為：則拉格朗日

40、函數(shù)：將水平力視為非有勢力，它對應于廣義坐標和的廣義力計算如下：取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對應于廣義坐標的廣義力；取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對應于廣義坐標的廣義力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)可得：（3）代入方程(2)得：（4）解微分方程（4）得：，其中：。求導得：代入方程(3)可得：平臺的加速度：，方向水平向右。物體M的加速度：，方向水平向右。5-27質(zhì)量為的滑塊可沿光滑水平面滑動，質(zhì)量為的小球用長為l的桿AB與滑塊連接，桿可繞軸A轉(zhuǎn)動，如圖所示。若忽略桿的重量，試求系統(tǒng)的首次積分。解：取整個系統(tǒng)為研究對象，該系

41、統(tǒng)有二個自由度，取滑塊的水平坐標，以及桿AB與鉛垂方向的夾角為廣義坐標。系統(tǒng)的動能為：設時勢能為零，系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)中不顯含廣義坐標和時間t，存在循環(huán)積分和廣義能量積分，即：常數(shù)常數(shù)5-28圖示質(zhì)量為的滑塊B沿與水平成傾角的光滑斜面下滑，質(zhì)量為的均質(zhì)細桿OD借助鉸鏈O和螺旋彈簧與滑塊B相連，桿長為l，彈簧的剛度系數(shù)為k。試求系統(tǒng)的首次積分。解：C取整個系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)有二個自由度，取滑塊B沿斜面的坐標，以及桿OD與鉛垂方向的夾角為廣義坐標。桿OD作平面運動，有：則系統(tǒng)的動能為：設時勢能為零，系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)中不顯含時間t，存在廣義能量積分，即：常數(shù)5-2

42、9半徑為、質(zhì)量為的圓柱，沿半徑為、質(zhì)量為的空心圓柱內(nèi)表面滾動而不滑動，如圖所示?？招膱A柱可繞自身的水平軸O轉(zhuǎn)動。圓柱對各自軸線的轉(zhuǎn)動慣量為和。試求系統(tǒng)的首次積分。解：以圓柱和圓筒構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)有二個自由度，取為廣義坐標。系統(tǒng)的動能為：其中：，圓柱相對于圓筒作純滾動，由圓柱軸心以及圓柱上與圓筒相接觸的點的速度關系，可得：代入動能有：設為零勢位，系統(tǒng)的勢能為：，拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)中不顯含廣義坐標和時間t，存在循環(huán)積分和廣義能量積分，即：6-5圓盤以勻角速度繞水平軸CD轉(zhuǎn)動，同時CD軸又以勻角速度繞通過圓盤中心O的鉛垂軸AB轉(zhuǎn)動，如圖所示。已知，試求圓盤的瞬時角速度和瞬時角加速

43、度的大小和方向。解：圓盤繞定點O作定點運動，圓盤的絕對角速度，以及繞軸的自轉(zhuǎn)角速度，繞軸的進動角速度滿足如下的矢量關系（如圖所示，坐標系固連在框架上）：zx21A角速度的大?。号c坐標軸的夾角分別為。圓盤的角加速度：在結(jié)構(gòu)運動的過程中，角速度是常量，大小和方向都不變；角速度只改變方向不改變大小，角速度矢量以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，矢端曲線為一個水平圓周。因此：角加速度沿坐標軸的方向，大小為：6-6 頂角的圓錐輪I沿圓錐面II滾動而不滑動，錐面II按規(guī)律(t以s計，以rad計)繞定軸按圖示方向轉(zhuǎn)動。試求時輪I上距錐面II最遠點B的絕對速度的大小。已知輪心A相對于轉(zhuǎn)動錐面II的速度垂直于圖面向外，其大小(t以s計，以cm/s計)，又OA16cm。解：CIIIr選B點為動點，動系固連在圓錐輪II上，則牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動，圓錐輪I相對于圓錐輪II作定點運動。動點B的絕對速度為：其中：牽連速度的方向垂直于紙面向里，時大小為：圓錐輪I相對于圓錐輪I