線性相關性的結論、極大線性無關組ppt課件

1、一、線性相關性的結論一、線性相關性的結論 定理定理1 假設向量組假設向量組 線性無關，而向量組線性無關，而向量組12,m 線性相關，那么線性相關，那么 可由向量組 12,m 獨一線性表示獨一線性表示. . 12,m 證明：證明：于是有于是有 12,m 又又線性相關，線性相關，12,線無關，m 性性12,;則秩()=mm 12,1;則秩(, )mm 1212,1;=秩()秩(, )mmmm 1212,;秩(, )=秩()mmm 線性表示線性表示.12,m 向量向量 可由可由 假設有兩個不同的線性表示，即假設有兩個不同的線性表示，即12,可由唯一線性表示.m 再證獨一性再證獨一性11221122,

2、mmmmkkklll 線性無關線性無關.12,m 兩式相減，得兩式相減，得.1112220()()(),mmmklklkl 1122()()()0,mmklklkl 1122,mmklklkl 線性表示，那么線性表示，那么12,m 推論推論1 假設向量假設向量 可可由由 表示式獨一的充要條件是表示式獨一的充要條件是 線性無關線性無關.12,m 證明：證明： 必要性必要性 反證法反證法線性相關線性相關.12,假設m 那么存在不全為零的數(shù)那么存在不全為零的數(shù) 12,mk kk11220.(1)mmkkk使使1122,(2)mmlll 有有 線性表示線性表示.12,m 向量向量 可由可由 12,則

3、由線性表示不唯一，m 10,k 不不妨妨令令111+,kll 于于是是有有是不全為零的數(shù)是不全為零的數(shù) . .12,又mk kk這與知相矛盾！這與知相矛盾！所以假設不成立所以假設不成立.線性無關線性無關.12,m (1)(2)111222()()()mmmklklkl 設有向量設有向量 與向量組與向量組 ，那么，那么12,m 推論推論2 1) 當 時， 1212(,)(,)mmRRm 獨一線性表示獨一線性表示.12,m 向量向量 可由可由 2) 當 時， 1212(,)(,)mmRRm 線性表示但不獨一線性表示但不獨一.12,m 向量向量 可由可由 3) 當 時， 1212(,)(,)mmRR

4、 線性表示線性表示.12,m 向量向量 不能由不能由 123(1,1,1) ,(1,1,1) ,(1,1,1) ,TTT 2(0, ,) ,T 問當問當 取何值時，取何值時， 例例1.1.設設 獨一線性表示獨一線性表示.123, i)i)向量向量 可由可由 線性表示，但不獨一線性表示，但不獨一.123, ii)ii)向量向量 可由可由 線性表示線性表示.123, iii)iii)向量向量 不可由不可由 由于12321110(,)111111 解：1321111111110rr 322221 1100 0(3)(12)rr 21312( 1)( 1)2223111002rrrr 1231231.

5、13,(,)(,)3,andRR 所以1231232.0,(,)(,)13;RR 1231233.3,(,)3(,)2.RR 獨一線性表示獨一線性表示.123, 向量向量 可由可由 線性表示，但不獨一線性表示，但不獨一.123, 向量向量 可由可由 線性表示線性表示.123, 向量向量 不可由不可由 某一部分組線性相關某一部分組線性相關 原向量組線性相關原向量組線性相關.定理定理2 (部分相關，整體相關部分相關，整體相關) 推論推論 (整體無關，部分無關整體無關，部分無關) 設設 1212+1+(,) ,(,)TTkkkk la aaa aa aa 定義定義1 .接長向量接長向量向量組線性無關

6、向量組線性無關 任一部分組皆線性無關任一部分組皆線性無關.稱稱 是是 的接長向量的接長向量. 定理定理3 (無關組添加分量仍無關無關組添加分量仍無關) 推論推論 (相關組減少分量仍相關相關組減少分量仍相關) 無關向量組減少分量能夠變成相關向量組；相無關向量組減少分量能夠變成相關向量組；相關向量組添加分量能夠變成無關向量組關向量組添加分量能夠變成無關向量組. . 注：注：假設假設k k維向量組維向量組 線性無關，那線性無關，那么接長向量組么接長向量組 12,m 12m ， ， ，也線性無關也線性無關 . .假設假設k+lk+l維向量組維向量組 線性相關，線性相關，那么縮短向量組那么縮短向量組 1

7、2,m 12,m ，也線性相關也線性相關 . .定理定理2、3的解析圖的解析圖 相關組相關組相關組相關組相關組相關組加加向向量量 減減分分量量無關組無關組無關組無關組減減向向量量 加加分分量量無關組無關組i) 12,riii線性無關；線性無關； 極大線性無關組，簡稱極大無關組極大線性無關組，簡稱極大無關組. . 一個部分組一個部分組12,riii假設滿足假設滿足 定義定義2 212,m 為為一個向量組，它的一個向量組，它的設設線性表示；線性表示；12,riii (1)jjs ii) 對恣意的 可由, j 二、極大線性無關組二、極大線性無關組那么稱那么稱 12,riii為向量組為向量組 12,m

8、 的一個的一個無關性無關性 極大性極大性 線性相關線性相關.1定義中定義中ii)與下面的與下面的ii)是等價的是等價的2對向量組的討論歸結為對其極大無關組的討論對向量組的討論歸結為對其極大無關組的討論.4n維單位坐標向量組是一切維單位坐標向量組是一切n維向量組成的向量維向量組成的向量組的一個極大無關組組的一個極大無關組. . 3任何含有非零向量的向量組一定有極大無關組任何含有非零向量的向量組一定有極大無關組.注：注：12,riii (1)jjs ii)對恣意的 , ,j 例例3.設設123(2,1,4,3) ,( 1,1, 6,6) ,( 1, 2,29) ,TTT ，45(1,1, 2,7)

9、 ,(2,4,4,9)TT ， 求向量組求向量組 12345, 的一個極大線性無關組的一個極大線性無關組. .注：注：1求極大無關組的方法求極大無關組的方法.2一個向量組的極大無關組不是獨一的一個向量組的極大無關組不是獨一的.例例4 4求向量組求向量組12(1, 1,2,4) ,(0,3,1,2) ,TT345(3,0,7,14) ,(1, 1,2,0) ,(2,1,5,6)TTT 的極大無關組的極大無關組. . 123451 0 31 21 3 01 1,2 1 72 54 2 14 0 6A 解：解： 作矩陣作矩陣 對矩陣對矩陣A A作初等行變換化行階梯形或行最作初等行變換化行階梯形或行最

10、簡形簡形1 0 3120 3 3030 1 1010 2 242A1 0 3120 0 0000 1 1010 0 0441 0 3121 0 3 0 10 1 1010 1 1 0 10 0 0440 0 0 1 10 0 0000 0 0 0 0 B由矩陣由矩陣 B B 知線性無關且為極大無關組知線性無關且為極大無關組. .124, 125, 135, 134, 定義定義3三、向量組的線性表示與等價三、向量組的線性表示與等價向量組等價向量組等價. . 假設向量組假設向量組 中每一個向量中每一個向量 12,s (1,2, )iis 假設兩個向量組可以相互線性表示，那么稱這兩個假設兩個向量組可

11、以相互線性表示，那么稱這兩個可由向量組可由向量組 線性表示；線性表示； 12,m 12,s 皆可由向量組皆可由向量組 12,m 線性表示，那么稱向量組線性表示，那么稱向量組1向量組和它的任一極大無關組等價向量組和它的任一極大無關組等價.2一個線性無關的向量組的極大無關組是其本身一個線性無關的向量組的極大無關組是其本身.3一個向量組的恣意兩個極大無關組都等價一個向量組的恣意兩個極大無關組都等價. 注注4向量組之間的等價關系具有：向量組之間的等價關系具有： 反身性 對稱性 傳送性 推論推論1 假設向量組假設向量組12,s 可由可由 12,m 線性表示，那么線性表示，那么 1212(,)(,).sm

12、RR 可由可由 線性表示線性表示 12,m 12,s 的充要條件是矩陣的充要條件是矩陣 的秩等于矩陣的秩等于矩陣12(,)m 1212(,)ms 的秩的秩.判別定理判別定理 定理定理4 推論推論2 12,s 與與 等價的充要條件是等價的充要條件是 12,m 12121212(,)(,)(,).msmsRRR 推論推論3 假設向量組假設向量組12,s 可由可由 12,m 推論推論5 假設假設 12,s 與與 等價，且它們等價，且它們 12,m 線性表示，且線性表示，且 那么那么 線性相關線性相關. . 12,s ,sm 推論推論4 假設向量組假設向量組12,s 可由可由 12,m 線性表示，且線性表示，且 線性無關，那么線性無關，那么 12,s .sm 都線性無關，那么都線性無關，那么 .sm 推論推論6一個向量組的恣意兩個極大無關組所含一個向量組的恣意兩個極大無關組所含的