以圓為背景的相似三角形的計算與證明

1、以圓為背景的相似三角形的計算與證明【經(jīng)典母題】如圖Z131，DB為半圓的直徑，A為BD延長線上的一點，AC切半圓于點E，BCAC于點C，交半圓于點F.已知AC12，BC9，求AO的長 圖Z131 經(jīng)典母題答圖解：如答圖，連結(jié)OE，設(shè)O的半徑是R，則OEOBR.在RtACB中，由勾股定理，得AB15.AC切半圓O于點E，OEAC，OEA90°C，OEBC，AEOACB，解得R，AOABOB15R.【思想方法】利用圓的切線垂直于過切點的半徑構(gòu)造直角三角形，從而得到相似三角形，利用比例線段求AO的長【中考變形】圖Z1321如圖Z132，在RtACB中，ACB90°，O是AC邊上的

2、一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點D，連結(jié)OD.(1)求證：ADOACB；(2)若O的半徑為1，求證：ACAD·BC.證明：(1)AB是O的切線，ODAB，CADO90°，AA，ADOACB；(2)由(1)知，ADOACB.，AD·BCAC·OD，OD1，ACAD·BC.22017·德州如圖Z133，已知RtABC，C90°，D為BC的中點，以AC為直徑的O交AB于點E.(1)求證：DE是O的切線；(2)若AEEB12，BC6，求AE的長 圖Z133 中考變形2答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OE，EC，AC是O

3、的直徑，AECBEC90°，D為BC的中點，EDDCBD，12，OEOC，34，1324，即OEDACB，ACB90°，OED90°，DE是O的切線；(2)由(1)知BEC90°，在RtBEC與RtBCA中，BB，BECBCA，BECBCA，BC2BE·BA，AEEB12，設(shè)AEx，則BE2x，BA3x，BC6，622x·3x，解得x ，即AE .3如圖Z134，已知AB是O的直徑，BCAB，連結(jié)OC，弦ADOC，直線CD交BA的延長線于點E.(1)求證：直線CD是O的切線；(2)若DE2BC，求ADOC的值圖Z134中考變形3答圖解

4、：(1)證明：如答圖，連結(jié)DO.ADOC，DAOCOB，ADOCOD.OAOD，DAOADO，CODCOB.又COCO，ODOB，CODCOB(SAS)，CDOCBO90°，即ODCD.又點D在O上，直線CD是O的切線；(2)由(1)知，CODCOB，CDCB.DE2BC，DE2CD.ADOC，EDAECO，.42016·廣東如圖Z135，O是ABC的外接圓，BC是O的直徑，ABC30°.過點B作O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E.過點A作O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F.(1)求證：ACFDAE；(2)若SAOC，求DE的長

5、；(3)連結(jié)EF，求證：EF是O的切線圖Z135中考變形4答圖解：(1)證明：BC為O的直徑，BAC90°，又ABC30°，ACB60°，又OAOC，OAC為等邊三角形，即OACAOC60°，AF為O的切線，OAF90°，CAFAFC30°，DE為O的切線，DBCOBE90°，DDEA30°，DCAF，DEAAFC，ACFDAE；(2)AOC為等邊三角形，SAOCOA2，OA1，BC2，OB1，又DBEO30°，BD2，BE，DE3；(3)證明：如答圖，過點O作OMEF于點M，OAOB，OAFOBE90&

6、#176;，BOEAOF，OAFOBE(SAS)，OEOF，EOF120°，OEMOFM30°，OEBOEM30°，即OE平分BEF，又OBEOME90°，OMOB，EF為O的切線52017·株洲如圖Z136，AB為O的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優(yōu)弧AB上一點，點F在AE的延長線上，且BEEF，線段CE交弦AB于點D.(1)求證：CEBF；(2)若BD2，且EAEBEC31，求BCD的面積圖Z136中考變形5答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)AC，BE，作直線OC，BEEF，F(xiàn)EBF，AEBEBFF，F(xiàn) AEB，C是的中點，AECBEC，

7、AEBAECBEC，AECAEB，AECF，CEBF；(2)DAEDCB，AEDCEB，ADECBE，即，CBDCEB，BCDECB，CBECDB， ，即，CB2，AD6，AB8，點C為劣弧AB的中點，OCAB，設(shè)垂足為G，則AGBGAB4，CG2，SBCDBD·CG×2×22.6如圖Z137，AB是O的直徑，C為O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連結(jié)AC，BC，PBPC12.(1)求證：AC平分BAD；(2)探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由圖Z137 中考變形6答圖解：(1)證明：如答圖，連

8、結(jié)OC.PE是O的切線，OCPE，AEPE，OCAE，DACOCA，OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC平分BAD；(2)線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系為AB3PB.理由：AB是O的直徑，ACB90°，BACABC90°，OBOC，OCBABC，PCBOCB90°，PCBPAC，P是公共角，PCBPAC，PC2PB·PA，PBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.72016·棗莊如圖Z138，AC是O的直徑，BC是O的弦，P是O外一點，連結(jié)PA，PB，AB，已知PBAC.(1)求證：PB是O的切線；(2)連結(jié)OP，若OPBC，且OP

9、8，O的半徑為2，求BC的長圖Z138 中考變形7答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OB，AC是O的直徑，ABC90°，CBAC90°.OAOB，BACOBA，PBAC，PBAOBA90°，即PBOB.PB是O的切線；(2)O的半徑為2，OB2，AC4，OPBC，BOPOBCC，又ABCPBO90°，ABCPBO， ，即，BC2.82017·聊城如圖Z139，O是ABC的外接圓，O點在BC邊上，BAC的平分線交O于點D，連結(jié)BD，CD，過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點P.(1)求證：PD是O的切線；(2)求證：PBDDCA；(3)當A

10、B6，AC8時，求線段PB的長圖Z139 中考變形8答圖解：(1)證明：圓心O在BC上，BC是O的直徑，BAC90°，如答圖，連結(jié)OD，AD平分BAC，BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90°，即ODBC，PDBC，ODPD，OD為O的半徑，PD是O的切線；(2)證明：PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBDABD180°，ACDABD180°，PBDACD，PBDDCA；(3)ABC為直角三角形，BC2AB2AC26282100，BC10，OD垂直平分BC，DBDC，BC為O的直徑，BDC90°，在RtDBC中，DB2DC2BC2，即2DC2BC2100，DCDB5，PBDDCA， ，即PB.【中考預測】2017·黃岡模擬如圖Z1310，AB為O的直徑，CD與O相切于點C，且ODBC，垂足為F，OD交O于點E.證明：(1)DAEC；(2)OA2OD&#