2004真題及解析

1、2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題、填空題：本題共 6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上 設(shè)f (x) lim (n 21)X，則f (x)的間斷點(diǎn)為x =n護(hù) nx +13丨 x = t +3t +1(2)設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程3確定，則曲線y = y(x)向上凸的x取值范圍y =t3 -3t +1為 設(shè)函數(shù)z二z(x, y)由方程z =e % z 2y確定，則3.ex cy 3 6微分方程(y x )dx -2xdy =0滿足yx= 的特解為-5廣210' 設(shè)矩陣A= 120 ,矩陣B滿足ABA=2BA + E,其中A為A的伴隨矩陣，E<0

2、 0 h是單位矩陣，則B =.二、選擇題：本題共 8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) 把 x 0 時(shí)的無窮小量=° cost2dt, : = 0 tan、tdt,=/si門滄排列起來，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是()(Ar , , -(bp , , .(C) .(D) , / .(8)設(shè) f(X)二 X(1 -X)，則()(A) X =0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0, 0)不是曲線y = f(X)的拐點(diǎn).(B) x =0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0, 0)是曲線y = f (x)

3、的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn),且(0, 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x =0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0, 0)也不是曲線y = f(x)的拐點(diǎn)n I122211 n2(9) lim In、(1) (1) |I|(V)等于()n 世¥nnn22(A)In xdx.2(B) 2 In xdx 2(C)2 £ In(1 + x)dx.(D) fln2(1 + x)dx(10)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f (0)0,則存在:0,使得()(A) f(x)在(0,、)內(nèi)單調(diào)增加(B) f(x)在(-：，0)內(nèi)單調(diào)減小(C) 對(duì)任意的 x (0,、)有 f

4、(x) f (0).(D) 對(duì)任意的 x , 0)有 f (x) f (0).2(11) 微分方程y y二x 1 sin x的特解形式可設(shè)為 ()2(A) y = ax bx c x(Asin x B cosx).2(B) y 二 x(ax bx c Asin x Bcosx).2(C) y- = ax bx c As in x.2(D) y 二 ax bx c Acosx(12) 設(shè)函數(shù) f (u)連續(xù)，區(qū)域 D = ：(x, y) x2 y2 _ 2y f,則 11 f (xy)dxdy 等于()D1口2(A) ydx _f(xy)dy .(B) 2 0 dy 0 f (xy)dx.(C)

5、J0dTJ0 f (r2si n cos 日)dr.(D) J。d 日珀f (r2 s in 日 cos 日)rdr(13) 設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C , 則滿足AQ二C的可逆矩陣Q為()010 '010、z010z01r(A)100(B)101(C)100(D)1000h1°0he10b(14)設(shè)A, B為滿足AB = 0的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有()(A) A的列向量組線性相關(guān)(B) A的列向量組線性相關(guān)(C) A的行向量組線性相關(guān)(D) A的行向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相

6、關(guān),B的列向量組線性相關(guān)三、解答題：15-23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)COSX3(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f (x)在(-：，：)上有定義，在區(qū)間0, 2上，f (x)二x(x2 -4),若對(duì)任意的x都滿足f (x k f (x 2),其中k為常數(shù)(I)寫出f (x)在-2,0上的表達(dá)式； (ll)問k為何值時(shí)，f(x)在x = 0處可導(dǎo)(17)(本題滿分11分)、x£|設(shè) f (x) = J 2 sin t dt ,x(I)證明f (x)是以二為周期的周期函數(shù)； (II)求f (x)的值

7、域(18)(本題滿分12分)該曲邊梯形繞x、ex曲線y與直線x = 0, x = t (t 0)及y = 0圍成一曲邊梯形軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為V(t),側(cè)面積為S(t),在x二t處的底面積為F(t).(I)求S(t)V(t)的值；(n)計(jì)算極限lim十 F (t)(19)(本題滿分12分)2224設(shè) e ： a : b : e ,證明 In b -1n a 2 (b - a). e（20）（本題滿分11分）某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大 阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h.經(jīng)測(cè)

8、試，減速傘打開后飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為k =6.0 106）.問從著陸點(diǎn)算起 飛機(jī)滑 行的最長(zhǎng)距離是多少？（注：kg表示千克,km/h表示千米/小時(shí)）（21）（本題滿分10分）設(shè)Z二f（X2 - y2, exy）,其中f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)（22）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組'(1 + a)N +X2 +X3 +X4 =0,2x1 +(2 +a)X2 +2x3 +2x4 = 0,3x1 3x2 (3 a)x3 3x4 二 0,4x1 4x2 4x3 (4 a)x4 二 0,試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解 （23）（本題滿分9分）-3設(shè)矩陣-3

9、的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值，并討論A是否可相似對(duì)角2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題【答案】0.【詳解】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)對(duì)不同的X,先用求極限的方法得出f (x)的表達(dá)式,再討論f (X)的間斷點(diǎn)由 f(X)二 lim (n 21)x，顯然當(dāng) X =0 時(shí),f(X)=0 ；r nx 十 1(n -1)x當(dāng) x = 0 時(shí)，f (x)二 lim 25 nx +1=limn_i1(1-一)xn2 1xn1 lim(1 )x n. n 1lim x2-n卩，所以 f(x)二1I x'因?yàn)镮叫f (x) = li=f (0)，故f （

10、x）的間斷點(diǎn)（2）【詳解】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性,先用由x = x(t).y 二 y(t)定義的參數(shù)方程求出二階導(dǎo)數(shù)d2ydx2，再由d2ydx20確定x的取值范圍.所以令d2ydx2dydtdydx32dx 3=t -3t 1 =3t -3，審'3t 1dy dt 3t23 t2 -199dx dt 3t2 3 t2 1¥ 1 -1 -1t2 1-3t2 3d2ydx2:0 (或丿dy生2dt dx dx .t2 113(t21)4t13(t2 1)4t3(t2 1)3 'd2y4t4tdx2 10)，即 3(t ： 0(或 3(t21)又 t3 3t 1

11、，-3t2 3 0，所以x t單調(diào)增，當(dāng)t =0時(shí)，x = 1，所以當(dāng)t 0時(shí) x t x 0）=1（或當(dāng) t -0 時(shí)，x t 乞 x 0=1）,即卩 x （-：，1）（或 x（-：，1）時(shí)，曲線凸ji【答案】一2【詳解】利用變量代換法可得所求的廣義積分值方法1作積分變量變換，222兀令 x = sect，貝V x T 二 sec t T 二 tant, dx 二 d sect 二 sect tantdt，t: 0；2代入原式：x= sectdt , t:1 > 0， t代入原式:1 1dx1：2-1方法2：令x ，則dx二d- t.1dt = arcsin t 0.1 -t2【答案】

12、2.【詳解】此題可利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法、公式法或全微分公式求解方法1：復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，在z =e2xJ3z2y的兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo),z為x, y的函數(shù).從而所以方法2:令所以.:z二 e2%-3 三),dx2e2xJ3z=1 3e2"x _3z3三三=3x J3zx；y 1 3e；z廣色（-3空）2,1 3e2x”zF(x, y, z) =e2xJ3z 2y-z =0，貝U2x_3z2xz 'J1 3e F2xJ3zF.:Fe2,2,x:y.z2x J3z=e1 3e2x'z2e2x'z:x:y.:F:z-:F-(1 3e2xz)-(1 3e2xJ3z)

13、2x -3z )1 3e2x -3z 11 3e從而x -3z3W 肓=3r"b 1 3e2xz2x-3zc 1 3e c=2 22x1 3e方法3:利用全微分公式，得dx +1 3e2xz1 3e2x雖dydz 二 e"z(2dx-3dz) 2dy =2e2x'zdx 2dy-3e2x'zdz2x：z 即(1 3e2x"z)dz = 2e2xzdx 2dy，得 dz 二 e所以:zc 2x；z2e:z2x -3 z2 x -3 z.x 1 3e:y1 3e從而2x -3z3 二 f13嚴(yán)1 3e2x®=2 22 1 3e2x®

14、【答案】y = 1 x、. x.5【詳解】此題為一階線性方程的初值問題可以利用常數(shù)變易法或公式法求出方程的通解，再利用初值條件確定通解中的任意常數(shù)而得特解方法1:原方程變形為dy 11 2"yYx,先求齊次方程dy1dx2x分離變量：dy =_ 1y2x兩邊積分得：lny 二用常數(shù)變易法，設(shè)y =:c(xy = 0的通解:dx1In x ln c = 2y = c xjx為非齊次方程的通解，則y" = c"(x)J： + c(x)丄， 2 Jx1112，得c(x)、x ax莎c)-xux，即 c (x)351 一 1 積分得 c(x)二一x2dx = x2 C ,

15、'25于是非齊次方程的通解為：5y = i xQ x2 C) = C , x - - x355又由于y x代入通解，得心555故所求特解為y = x 1 x.5方法2：原方程變形為 dy 一 y=x2,dx 2x2由一階線性微分方程 矽 P x y =Q x通解公式：dxf (x) = CeQ xePxdxdx112fdx 11-dx這里 P(x )=-一, Q(x ) = x2，代入上式得：y = e|f- x2e L x dx + C2x22由于方程x二0處方程無定義，所以解的存在區(qū)間內(nèi)不能含有點(diǎn)x = 0 因此解的存11 nxy =e2在區(qū)間要么為 x - 0的某區(qū)間，要么為 x

16、 0的某區(qū)間.現(xiàn)在初值給在 x = 1處，所以 x 0，于是g/e 如dx+cL 仮Cx. + cLQCx算 C I?2一 ：2一 5一lx3.51【答案】9【詳解】方法1：已知等式兩邊同時(shí)右乘* *A，得 ABA A = 2BA A A,由伴隨矩陣的運(yùn)算規(guī)律:A* A 二 aA* 二 A E，有 AB A = 2B A A，而=(_1)33由方陣于是有3AB =6B A，移項(xiàng)、合并有 （3A-6E）B =A，再兩邊取行列式,乘積的行列式的性質(zhì)：矩陣乘積的行列式等于矩陣行列式的積，有(3A-6E)B| =|3A-6E B=A =3，而 3A6E =0-06301? 000 30360-'

17、;0 60=3 0J1I0 0 3 -0 0 60 0001003十 1)33(-3)故所求行列式為 B =A3A-6E3 =127 一 9方法 2：由題設(shè)條件 ABA =2BA E，得 ABA -2BA =(A-2E)BA由方陣乘積行的列式的性質(zhì)：矩陣乘積的行列式等于矩陣行列式的積,故兩邊取行列式，有 (A-2E)BA* = A-2E B A*=E =1210, 八3七21A120=(-1)12001=2 2-1 1=3 ；由伴隨矩陣行列式的公式：若其中A是n階矩陣，則n -4所以，Aj |A八2=A =9 ;又 A 2E =0=(-1)1 羊10=1.A-2E| A用1"9二、選

18、擇題【答案】（B）【詳解】x2-tan tdttan x 2x方法1： lim 二lim 亠洛必達(dá)lim空j cost2dtcosx的高階無窮小,根據(jù)題設(shè)，排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，所以可排除3 sin x2 洛必達(dá)lim- J0 tan Ttdtt- x3Y/ sin t3dt又 lim lim 0x0 :X )0 X02等價(jià)無窮小替換-lim 24 t x2xta nx可見 是比低階的無窮小量，故應(yīng)選(B).方法2：用xk（當(dāng)x > 0時(shí)）去比較X 2ai cost dtlim 廠二 limx 0 xkx ：0 -xk2cosxx 曠 kxkJlim欲使上式極限存在但不為 0，

19、工cost2應(yīng)取 k = 1，有 lim lim 0+x 0+ Xlim cost2 亠 1，lim x0x >0 所以（當(dāng)x 0時(shí)）-：與x同階.l，:.tan、tdtxin2 x7 二艸欲使上式極限存在但不為 0，應(yīng)取tan x 2x x 2x2lim72lim 肓 lim rrx" kxk4x - kxkx >0 'kxk2ta nx2ta nx二 lim 73lim -X3x3x”0 k4kxk =3,有 lim 飛xt+x33x所以（當(dāng)X r 0時(shí)）：與x3同階.1lim 匚=lim - x )0 X x )0 Jf-.x3sin t dt_0x Xxk

20、3 2, sin x2 xlimrj=x" 2kxk1231X 2，x 2lim rr 二 lim - xi 2kxkxx J0 2kxk，'欲使上式極限存在但不為0，應(yīng)取“2,有吧壬二吧占4所以(當(dāng)x > 0 時(shí))與x2同階因此，后面一個(gè)是前面一個(gè)的高階小的次序是:, /，選(B).(8)【答案】Cx2【詳解】由于是選擇題，可以用圖形法解決，也可用分析法討論方法1：由于是選擇題，可以用圖形法解決，令(x) =x(x -1)y(X)二I是以直線X-1為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為丄，-丄，開口向上的一條拋物線，與x軸相2124 丿交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0 ),(1,0 ), y=f

21、(x)=(x)的圖形如圖.點(diǎn)x = 0是極小值點(diǎn)；又在點(diǎn)(0, 0)左側(cè)鄰近曲線是凹的，右側(cè)鄰近曲線是凸的,所以點(diǎn)(0, 0)是拐點(diǎn)，選C.方法2：寫出y二f (x)的分段表達(dá)式:f(x)=1x(1 X),-1：x_ 00：x 1從而f (x)二-12x, -1 ： x ： 01 -2x, O x : 12f(x_2,-1 ： x ： 00 x 1f (x)單調(diào)增,lim f (x) = lim 12x =10，所以 0 ： x : 1 時(shí),f (x)單調(diào)減,lim f (x)二 lim ：；T 2x = -1 ： 0 ,所以 -1 ： x 乞 0 時(shí),Xr 0 -x0 -所以X = 0為極小

22、值點(diǎn)當(dāng)-V： x : 0 時(shí)，f (x) = 2 0 , f (x)為凹函數(shù)； 當(dāng) 1 x 0 時(shí)，f (x)二一2 ： 0 , f (x)為凸函數(shù)，于是(0, 0)為拐點(diǎn).(9)【答案】B【詳解】由對(duì)數(shù)性質(zhì),/2 2n 2-12n nlim In n(1) (1)|)l(1)= lim In (1)(1)|(1)n： n nn n .：_ n nnlim- In(1丄)In(1 2)|l( In(1 n)n IL nnnn=Iim 2、In (1+ 丄)丄=2J1| n(1+x)dx 1 + x = tr> n0221Intdt2=2 Jnxdx(10)【答案】(C)【詳解】函數(shù)f(x

23、)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除(A),(B).由導(dǎo)數(shù)的定義，知 f (0)巳叫f(x) - f (0) . 0根據(jù)極限的保號(hào)性，知存在:0，當(dāng)(-0)(0,、：)時(shí)，有f (x) 一 f(°). 0.x即當(dāng) x (-、,0)時(shí)，x。有 f(x) ： f (0)；而當(dāng) x (0,、)時(shí)，x 0有 f(x) f (0).(11)【答案】A【詳解】利用待定系數(shù)法確定二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式對(duì)應(yīng)齊次方程y y =0的特征方程為' '''1 = 0,則特征根為廠 二i,對(duì) y " + y =x2 +1 =e0(x2

24、+1)為 f (x )=e”Pm(x )型，其中丸=0,巳(x )= x2 +1，因0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為y1 = (ax2 bx c)e0 = ax2 bx c對(duì) y " + y = sin x ,為 f (x ) = e" R (x )coscox + R (x )sincox型，其中& = 0，F(xiàn) x =0, Pn x =1，因i=0，i=i為特征根，從而其特解形式可設(shè)為y2 = x(Asin x B cos x)由疊加原理，故方程y * y =x2 1 sin x的特解形式可設(shè)為2i,y 二 ax bx c x(Asin x Bcosx)(12)

25、【答案】D精品文檔12o1-1【詳解】由D =(x, y) x2+y2蘭2y，則積分區(qū)域是以 0,1為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，積分區(qū)域見右圖在直角坐標(biāo)系下，先X后y,2y y X 2y y ， 0_y_2則應(yīng)是2Jyy7f(xy)dxdy = ody 2yy f(xy)dxD先y后x，由x2+(ylf蘭1=1一 Ji -x2蘭y蘭1 + / x2 , 1蘭x蘭1，則應(yīng)是f(xy)dy11R1-Xf(xy)dxdydx1D故應(yīng)排除A, B.在極坐標(biāo)系下，x = r cost , y = r sin v:. 2sin 2JJ f (xy)dxdy = JoJof (r sin&cosT

26、)rdr,故應(yīng)選 D.D或直接根據(jù)極坐標(biāo)下，其面積元素為rdrdr，則可排除C(佝【答案】(D)【詳解】由題設(shè)，將 A的第1列與第2列交換，即0 1 0AE12 = A 100 =B，0 0 1 一將B的第2列加到第3列，即-'1 0 010 1 010 010B0 1 1=A1 0 00 1 1=A 10 0 1一一 0 0 1上0 0 1一1衛(wèi)1 10 0 = AQ.0 1011故 Q=100，應(yīng)選(D).衛(wèi)01 一(14)【答案】(A)【詳解】方法1：由矩陣秩的重要公式： 若A為m n矩陣，B為n p矩陣，如果AB = 0，則 r(A) r(B)込 n設(shè)A為m n矩陣，B為n s

27、矩陣，由AB二0知，r( A) r( B)乞n，其中n是矩陣A的列數(shù)，也是B的行數(shù)因A為非零矩陣，故r(A) _1，因r(A) r(B)乞n，從而r(B)乞n 一1 ： n，由向量組線性相關(guān)的充分必要條件向量組的秩小于向量的個(gè)數(shù)，知B的行向量組線性相關(guān)因B為非零矩陣，故r(B) _1，因r(A) r(B)乞n，從而r(A)乞n _1 ： n，由向量組線性相關(guān)的充分必要條件向量組的秩小于向量的個(gè)數(shù)，知A的列向量組線性相關(guān).故應(yīng)選(A).方法2：設(shè)A為m n矩陣，B為n s矩陣，將B按列分塊，由 AB = 0得，AB 二 Al", J, WO，A"O,i =1,2J|,s.因B

28、是非零矩陣，故存在 =0，使得A-0.即齊次線性方程組 Ax = 0有非零解.由齊次線性方程組 Ax=0有非零解的充要條件 r(A) ： n,知r(A) ： n .所以A 的列向量組線性相關(guān).又(AB)二btat =0，將A按列分塊，得BTAT =BT：iI ；,|(,訂=0,BT： T =0,i =1,2,川，m.因A是非零矩陣，故存在 :T -0，使得BT：J =0，即齊次線性方程組 Bx = 0有非零解.由齊次線性方程組 Bx=0有非零解的充要條件，知Bt的列向量組線性相關(guān)，由Bt是由B行列互換得到的，從而B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).A=(A A2 川 An)方法3：設(shè)A = (

29、aij )m n , B - (bij )n :s ,將A按列分塊，記Blb21由 AB =0= (A, A2 川 Anbi2川Dsb22HIb2sIII02川bns二 SA 川 dA, HI,DsA 川bnsAn=0(1)lbni由于B = 0 ,所以至少有一個(gè) 垢=0( 1乞i乞n,1乞j乞s ),又由(1)知,bijA b2jA2 川 bijAi (II bnjAn =0,所以 A,Ajl(, A 線性相關(guān).即 A 的列向量組線性相關(guān).(向量組線性相關(guān)的定義：如果對(duì)m個(gè)向量12l,mRn，有m個(gè)不全為零的數(shù) ki,k2,|（,km R，使 kv 1k 2k- 0 成立，則稱 r,2,|l

30、（,m 線性相關(guān).）又將B按行分塊，記B2AB =0=01% 川 'anB +8|2B2 +川 +a1n Ba21a22川a2nB2=a21B1 +a22B2 +川 +a2n BHi*#+ » h*&m1am2H1amnJBn丿HI<am1B+am2B2l + amnBn Bn丿冇=0(1込i込m,1込j空n),使-0由于A =0,則至少存在一個(gè)ai1B1 ' ai2B2 * aij Bj * | 11 * 為 Bn = 0 ,由向量組線性相關(guān)的定義知，B, , B2 ,1 1( , Bm線性相關(guān)，即B的行向量組線性相關(guān),故應(yīng)選(A).方法4：用排除法.

31、取滿足題設(shè)條件的代B._10 0 I?。?00 y010010式0，1有AB1 0 010 0010010=0,1A的行向量組，列向量組均線性相關(guān)，但B的列向量組線性無關(guān)，故(B)，(D)不成立.又取A =011鼻0, B = 0'010鼻0，有AB =00一0010 =0，0A的行向量組線性無關(guān)，由排除法知應(yīng)選(A).B的列向量組線性相關(guān)，故(C)不成立.三、解答題.(15)(本題滿分10分)求極限1【答案】-丄6【詳解】此極限屬于0型未定式.可利用洛必達(dá)法則，并結(jié)合無窮小代換求解方法1:i2 + COS X "Xln .，2«osx 1=exln !二 e2-c

32、osx3xln原式二lim x_0cosxcosx1 Xln ex 1L x limo,2 cosx ln |=limx )0ln(2 cosx)-1n 3 =limx_0x2(ln(2 cosx)- ln 3) 洛 limx_0(x2)(一 sinx)=lim 空 cosxx_0=-lim2x1x)0 2 cosxlimx_01 1limx 0sin x 122 cosx1 .sin xxln方法2：原式二lim x_02: ：cosxex-1L,2 +cosx ' ln Ix lim=x0=limx=0ln(1 竺口)32xIn 1 x1 - COS X1 -cosx2X 21li

33、m2x3x6cos X - 12 = - lim 23xx 3x2(16)【詳解】(I)當(dāng)-2_x：0,則 0x 22,由題設(shè)：區(qū)間0,2上，f(x)=x(x -4)知,2 2f (x) =kf (x 2)二k(x 2)(x 2) -4 = k(x 2)(x4x)二 kx(x 2)(x 4).x(x -4), x壬 10,2】(II)由(I)知：f(x)=，所以J<x(x+2)(x +4),-2,0 )按函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件：在這點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等f(wàn) (0) =0 (02 _4) =0，.所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求f (x)在X = 0的左右導(dǎo)數(shù)，使其相等，求出參數(shù)k.f .(0) =

34、 lim 空SIXT0 十x_02x(x 4)0二 lim4x0 'f (0 lim 少4XT0_x_01 - -8k.kx(x + 2)(x+4)_0 =limx >0,1令f _(0) = f (0)，得k = -一 即當(dāng)k 時(shí)，f (x)在x = 0處可導(dǎo).-2(17)【詳解】利用變量代換討論變限積分定義的函數(shù)的周期性，利用求函數(shù)最值的方法討論函數(shù)的值域(I)要證f(X)是以二為周期的周期函數(shù)，即證：因?yàn)?f (x) = f 2 sin t dt，所以 f (x +兀)=L X利用變量代換討論變限積分定義的函數(shù)的周期性，設(shè)J 2sintdtx.竺2x亠二sin t dt3

35、t = u 二，因?yàn)?t ： X 二)X2所以U ： Xr X '，則有2f (x + 江)= L 21sin(u +兀)d(u +江)sin (u +兀)=sinu Jx 2 sin u du = f (x),故f (x)是以二為周期的周期函數(shù)(II)因?yàn)閒(x)是以二為周期的周期函數(shù)，故只需在0,二上討論其值域又因f (x)為 積分函數(shù)，則一定連續(xù)，根據(jù)有界性與最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值，所以f(x)的值域就是區(qū)間min f(x),max f(x).A"JI令 f ( x)= s i nx<-)s i=n21X

36、o s X, =在岡間0皈內(nèi)求得駐點(diǎn)，兀3兀X1, X2,且44ji3 二打 |sint dt sin t a04-sin tdt =2 ,4f(dt =蘭 sin tdt452：.了 sintdt=22,3 7：f (兀)=12 |sin t dt =3 二_2 (-sint)dt = 1,JT(18)【詳解】(I)旋轉(zhuǎn)體體積:t 2V(t)0y dxt ex £dxjijif(°)弋 |si ntdUsi ntdth比較極值點(diǎn)與兩個(gè)端點(diǎn)處的值， 知f (x)的最小值是2 - 2 ,最大值是,2 ,故f (X)的值域是2 - 2、一 2.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：S(t) =2兀y

37、 Ji + y dx=2二所以S(t)V(t)''ex +e't2o°dx2x小-2x1+° 一2護(hù)tdxa.0x 丄-x 、 e +edx 二 2 二x丄八2e +edx,x_xe ex_xe edxdx=2.'x 彳e -edx2x 小_2xe 土edx(n)在x = t處旋轉(zhuǎn)體的底面積為所以Simt:t2°2丿心'et e"12-0x_xe e2丿、2、2dxx_xe e=Fm：22電+e、2dx/ t _L、22 2ln-2ln b -ln a = ln - ! lb -ab -a , e ： a ：: b

38、 ee +et-t2t= lim 1t r： ：e 亠 e2ie e 2e e1 e |im tt = lim 3? = 1t 門：e et： i e(19)【詳解】根據(jù)要證不等式的形式，可考慮用拉格朗日中值定理或轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式用 單調(diào)性證明.方法1:因?yàn)楹瘮?shù)f xi； = l n2x在a,b二e,e2上連續(xù)，且在 a,b內(nèi)可導(dǎo)，所以滿足拉格朗日中值定理的條件，2對(duì)函數(shù)f x =ln x在a,b上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得下證：2I n4e2.設(shè)(t)二平，則：(t) =2，當(dāng) t e 時(shí)，仁 I nt d -l ne = O ，即(t) ： 0,所以:(t)單調(diào)減少，又因?yàn)?#39;:e2，

39、所以 ( ) :(e2)，即In In e22 /曰 2In 4y，得 它故 In2 b -1n2 a ； (b - a).e方法2：利用單調(diào)性，設(shè)(x)=l n2x-'x，證(x)在區(qū)間e,e2內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增即可e（x）=2吵二，(站)=2啤x eee2e24-于 0, ）（x） =2 e當(dāng) x e時(shí)，1 -Inx d -Ine=0，： (x) ： 0,故:(x)單調(diào)減少，從而當(dāng) e ： x ： e2時(shí),(x) y(e2) =0，即當(dāng) e ： x ： e2 時(shí)，(x)單調(diào)增加.44因此當(dāng) e ： x ： e2 時(shí)，(b(a)，即 In2 b b In2 a 2 a，ee224故 In

40、b In a (b a). e4In x 41 - In x萬(wàn)法 3：設(shè)申(x)=ln2x In2ap(xa),則® (x)=2® (x)=2,ex ex=x e 時(shí)，1-1 n x ： 1 -In e = 0，得：(x) ： 0 ,44=(x)在(e,e2)上單調(diào)減少，從而當(dāng) e ： x ： e2 時(shí)，(x) (e2)22=0,e e=(x)在(e,e2)上單調(diào)增加.從而當(dāng) e ： a ： x 乞 b ： e2 時(shí)，(x) ，(a) = 0 .=(b)0,即 In2b_ln2a 芻(b-a).e(20)【詳解】本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可.

41、方法1:由題設(shè)，飛機(jī)質(zhì)量 m = 9000kg，著陸時(shí)的水平速度 v0 = 700km/h.從飛機(jī)接觸跑道開始計(jì)時(shí)，設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t),速度為v(t)，則v(0) = V0, x(0) = 0.根據(jù)牛頓第二定律，得dv| dvdv dxdvmkv.又v.dtdtdx dtdx由以上兩式得dxmdv，積分得由于 v(0) =vo,x(O) =0，所以x(t) - - m v C.kx(0)v° C = 0.故得 C v°，kk當(dāng) v(t) 0 時(shí)，x(t) >mvo 9000 7°60 = 1.05( km). k 6.0 10所以，飛機(jī)滑行的最

42、長(zhǎng)距離為方法2:根據(jù)牛頓第二定律，得1.05km.dvm kv,dt分離變量：vdt，兩端積分得: mkIn v t G，mk t 通解：v =Ce m，代入初始條件vk t=v°，解得 C = v0，故 v(t) = v0e mt田飛機(jī)在跑道上滑行得距離相當(dāng)于滑行到v0，對(duì)應(yīng)地t >.于是由-be-bex 二 0 v(t)dt 二 0 v°e上tmdtmv° e kAtm二 1.05(km).dx t或由v tv0e mdt，知 x(t) = 0v°ektm dt.k巴(e韋七-1)，故最長(zhǎng)距離為mdx 二 vdt,有方法3：m2亠dv1dx八，

43、厶一 口d x, dx、/ ,由mkv ，v，化為x對(duì)t的求導(dǎo)，得m 2二k,變形為dtdtdt2dtd 2 x k dx20，v(0) =x (0)二v°,x(0) =0dtm dt當(dāng) t；:時(shí)，x(t) - =1.05(km).其特征方程為解之得上tmk11 = 0, 12，故 x = C1 C?emt=0 =0,vt=0dx=dtkC2=v°，得 C1mv0C21是 x(t)=(1-J).當(dāng)r,x(t)晉二 1.05( km).所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05 km.(21)【詳解】利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和混合偏導(dǎo)的方法直接計(jì)算=x2 -y2, v =exy，貝y z

44、= f (x2-y2,exy f (u,v),所以二2x,呂一2y，蘭二 ye，彳y:x：yxy xe+.:u；x:：V；x'Z ; T . U : f : V 所以:xxy'Z:f :U 討：V=2x f1ye f2，cycu £ycv cy=-2 y f/ xexy f2-2；z:x :y1 a2HIn12 a川n12IIInIIIIIIIIIIII12IHn a1行(-i) i行(i = 2川 n),1 a-2 a川-na1aIII010III0III1l0IHaL.-2yf； xexyf2 .xe f2 xyexy f2 xe f21 v欣=-2y 2xf11

45、 yexy f12exyf2 xyexyf2 xexy 2xf21 yexyf22-4xyf1/ 2(x2 -y2)exy f12 亠亠xye2xy f22 exy(1 xy) f2(22)【詳解】方法1：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣 A作初等行變換，有對(duì)|B|是否為零進(jìn)行討論:當(dāng)a = 0時(shí)，r(A) = 1 ： n，由齊次方程組有非零解的判別定理:r(A) ： n .故此方程組有非零解，把()陣，齊次方程組 Ax=O有非零解的充要條件是a=0代入原方程組，得其同解方程組為為 X2Xn =0,此時(shí)，r(A) =1，故方程組有n -r二n-1個(gè)自由未知量選x2,x3l(,Xn為自由未知量，將他們的n-1

46、組值(1,0川1,0),(0,1,山,0),川,(0,0|1 ,1)分別代入()式，得基礎(chǔ)解系1 =(-1,1,0/ ,0)T,2 珂-1,0,1,0)T, nv 珂-1,0,0；,1)T,于是方程組的通解為X =n1 +L +knJnJ其中k1,knj為任意常數(shù)當(dāng)a式0時(shí)，對(duì)矩陣b作初等行變換，有-1+a11山1 1-a + n(1)00III0】Bt-210山0ix(_1)+1 行2-210III0HIIII山川(i _2 3illn)IIIHlIIIHII-n00山1L-n00III1 一可知 a = 一 n(；。時(shí)，r(A)二 n -1 :：: n ,由齊次方程組有非零解的判別定理，知

47、方程 組也有非零解，把a(bǔ)=-垃 ©代入原方程組，其同解方程組為2一2治 +x2 =0,3x! + X3 = 0,| -nxi Xn =0,此時(shí)，r(A)二n-1，故方程組有n-r = n-(n-1)=1個(gè)自由未知量.選x2為自由未量，取X2 =1,由此得基礎(chǔ)解系為二(1,2/ , n)T，于是方程組的通解為 x二k ，其中k為任意常數(shù)方法2：計(jì)算方程組的系數(shù)行列式:-1+a111111 1a00川0 1111川1122+a2III20a0川0222川2A =矩陣加法+IIIHI川111川IIIIIIHI川川IIIHIIIIIIInnn111n +aI000川a_1nn川n_1 11 1 2 2 2 2=aE +心 aE + Q，I bbe a Has"n n nnF面求矩陣Q的特征值：_2川-1111 -1丸一1_1_1 山_1_2 川-21行x (-i)+i行2丸丸0 | U 0III IH III(i =2