2011全國數(shù)模競賽A題

1、承諾書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則 我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的 資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參 考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī) 則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從 A/B/C/D中選擇一項填寫）：_A我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：20111663所屬學(xué)

2、校（請?zhí)顚懲暾娜耗暇┼]電大學(xué)參賽隊員（打印并簽名）：1.劉超舟2. 劉立億3. 董睿指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責人 （打印并簽名）：日期：2011 年9 月12日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分OOnOOOOOO備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：A題城市表層土壤重金屬污染分析一. 摘要二. 問題重述三. 符號約定四. 基本假設(shè)五. 建模與求解5.1問題（1）的建模與求解問題分析根據(jù)采樣的坐標，我們可以得到一個大概的區(qū)域分布

3、散點圖，如下圖:圖功能區(qū)采樣點分布散點圖圖中各功能區(qū)得分布無規(guī)律，采樣間隔比較大，很難建立各重金屬測量值與樣本采 集點坐標的平滑函數(shù)，故采用等高線圖來描述各種重金屬在該城區(qū)的空間分布。附件中給了采樣點的三維坐標和各重金屬元素的含量值，由于我們只需要考慮該區(qū)域的污染程度，因此不需要考慮坐標，只用知道采樣地點位于某一區(qū)即可。我們從采集 樣本的樣本值中可以分析出每一區(qū)域的污染程度。由于重金屬分子的相對分子質(zhì)量較 大，取樣時只對表層土壤010厘米深度進行取樣，從收集的資料來看，可對取樣值污 染程度采用地積累指數(shù)分析法進行評級分析。建模與求解iaa£isooaIJQOCI0CDIIJJTjha

4、0圖5.1.2 As濃度空間分布o圖濃度空間分布圖濃度空間分布wmlaccclisooci<mixmloom60N:舷.00.4圖濃度空間分布圖濃度空間分布圖濃度空間分布圖濃度空間分布»>£11=000戶13K0LhedsoooZDOO0IJ魏癩|a圖濃度空間分布下面對該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬污染程度運用地積累指數(shù)法進行分析。地積累指數(shù)法（Muller指數(shù)）常用于評價土壤中重金屬的污染狀況，表達式為：lgeo=IOg2【Cn/（”Bn）其中：Cn是元素n在土壤中的含量；Bn是土壤中該元素的地球化學(xué)背景值；k為考慮各 地巖石差異可能會引起背景值的變動而取的系數(shù) （一

5、般取值為1.5 ），用來表征沉積特性， 巖石地質(zhì)和其他影響。土壤中重金屬地積累指數(shù)分級與污染程度之間相互關(guān)系如下表：表Muller地積累指數(shù)分級地積累指數(shù)（Igeo）分級污染程度5 Cig。蘭 106極嚴重污染4 ' 1 geo 55強-極嚴重污染3 ： I geo 乞 44強污染2 I geo 乞 33中等-強污染1 :： I geo 乞 22中等污染0 : 1 geo 11輕度-中等污染Igeo 玄 00無污染根據(jù)附件2,可知8種主要重金屬元素在城區(qū)采樣點處的濃度 Cn。而根據(jù)附件3可 知這8中重金屬元素的背景值Bn。再依照公式Ige。Jog2Cn/（k Bn）計算，就能得到8 種

6、元素的地積累指數(shù)。現(xiàn)在用分級頻率（污染頻率）來表示某種重金屬元素對該城市的污染程度。分級頻 率就是滿足某分級的采樣點個數(shù)比上所用采樣點個數(shù)。例如：As地積累指數(shù)分級頻率計算如下：f0（As） = m0（As）=50.47%mf（As）（人9 =46.39%m m具體結(jié)果如下表：表該地區(qū)土壤中8種重金屬元素地積累指數(shù)分級頻率分布分 級地積累指數(shù) （I geo ）污染程 度As(%C(%Cr(%C(%H(%Ni(%Pbb%Zn(%0Igeo 蘭 0無污染50.4737.30 62.07 2759 52.C4 66.1450.4747.3410 Ggeo 乞1輕度- 中等污 染46.3939.50

7、32.60 3730 21.63 32.2933.8628.8421 <Ige2中等污 染2.1918.503.7622.88 1,4.420.9414.11 16.3032 V 1 geo 蘭 3中等- 強污染0.944.390.949.096.270.630.634.0843 V Igeo 蘭 4強污染0.000.310.002.511.570.000.942.5154£lgeo 蘭 5強-極 嚴重污 染0.000.000.630.001.570.000.000.6365 V 1 geo 蘭 10極嚴重污染0.000.000.000.632.510.000.000.31再做

8、如下計算：用每個區(qū)域的某一元素的地積累指數(shù)的平均值作為該元素在此區(qū)域 的的地積累指數(shù)，進行分級評價。以生活區(qū)為例：- 1 m -I geo (As) = 火 X I geoi = 0 1273ni y- 1 m -I geo (Cd) = 疋 X I geoi = 0.3384ni y- 1 m -I geo (Cr) = 火 X I geoi = 0.1475n1y所有結(jié)果如下表：表該地區(qū)8種土壤重金屬地積累指數(shù)及其分級情況元 素生活區(qū)工業(yè)區(qū)山區(qū)交通區(qū)公園綠地區(qū)I geo分 級I geo分 級I geo分 級I geo分 級I geo分 級As0.127310.21291-0.532700.

9、055610.13741Cd0.338410.79771-0.526400.596210.18211Cr0.14751-0.03010-0.445800.0271-0.16590Cu0.876711.3772p-0.395；0 11.0747；20.3951r 1Hg0.198911.31612-0.598800.462610.19611Ni-0.07820-0.03190-0.45790-0.18480-0.33970Pb0.238610.67471-0.455700.282210.12691Zn0.468310.85741-0.592500.652410.05311從8種重金屬元素的分級頻

10、率計算的結(jié)果來看(表)，該城區(qū)總體重金屬污染情況 是Cu的污染頻率最大，達到72.41%,其次是Cd和Zn,是60.5%和52.66%;其余5種 重金屬元素污染頻率的大小順序為 As，Pb, Hg, Cr和Ni。而對于每個功能區(qū)來說(表)：生活區(qū)幾乎沒有Ni污染，其他重金屬元素均屬于1 等級，即輕度-中等污染；工業(yè)區(qū)沒有Ni污染和Cr污染，但Cu和Hg屬于中等污染； 山區(qū)幾乎不受這8中重金屬元素污染；交通區(qū)同樣基本不受 Ni污染，但Cu污染較多， 公園綠地區(qū)沒有Ni污染和Cu污染,其他重金屬污染程度較輕。具體排序如下： 表污染程度生活區(qū)工業(yè)區(qū)山區(qū)交通區(qū)公園綠地區(qū)重Cu:Cu:CuCuCuZnH

11、gCrZnHgCdZnPbCdCdPb:Cd:NiHgAsHgPbCdPbPbCrAsAsCrZn輕As:Cr:ZnAsCrNiNiHgNiNi表污染程 度AsCdCrCuHgNiPbZn工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)生活區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)公園綠地區(qū)交通區(qū)交通區(qū)交通區(qū)交通區(qū)生活區(qū)交通區(qū)交通區(qū)生活區(qū)生活區(qū)工業(yè)區(qū)生活區(qū):生活區(qū)交通區(qū)生活區(qū)生活區(qū)交通區(qū)公園綠公園綠公園綠公園綠公園綠公園綠公園綠地區(qū)地區(qū)地區(qū)地區(qū)地區(qū)地區(qū)地區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)為了評價該城區(qū)不同區(qū)域的綜合污染程度，現(xiàn)將各個區(qū)域的8種重金屬地積累指數(shù)的平均值再做算術(shù)平均處理，即1Igeo (生活區(qū))=(|geoi(As)+lgeo

12、i(Cd)+ lgeoi(Z n)=0.28968881I geo(工業(yè)區(qū))(I geo 2(As)+I geo2 (Cd)+ I geo2 (Zn) =0.6467581I geo (山區(qū))=geo3 (Cd)+(Zn) =0.07313881I geo (交通區(qū))= (I geo4 (As)+ I geo4 (Cd)+ I geo4 (Zn) =0.35683881I geo(公園綠地區(qū))二(lgeo5(As)+l geo5 (Cd)+(Zn) =0.1731638該城區(qū)各個區(qū)域污染程度及排序如下:工業(yè)區(qū) 交通區(qū) 生活區(qū) 公園綠地去 山區(qū)5.2問題（2）的建模與求解近年來，隨著工業(yè)發(fā)展、廢

13、棄物排放，土壤重金屬污染已經(jīng)成為一個世界性問題。 大量的研究證實，土壤重金屬污染不但損害土壤自身的理化性質(zhì)，而且影響作物的產(chǎn)量 與品質(zhì)，并通過食物鏈進入人體危害人體健康。城市土壤由于生產(chǎn)、生活、和商業(yè)等不 同土地利用的特點不同，重金屬污染具有其特定的空間分布特征，不同的功能區(qū)土壤中 不同重金屬濃度有著一定的差異。一般來說，工業(yè)區(qū)重金屬污染最為嚴重。從上一問的分析計算中，可以看到該城市土壤重金屬的濃度的空間分布特征及污染 程度，下面針對不同功能區(qū)的土壤重金屬濃度狀況進行分析，解釋污染原因如下：1）生活區(qū)生活區(qū)是人口密集的功能區(qū)，該區(qū)域土壤中 Cr的含量多于其他區(qū)域，Cu Hg和Zn 的含量也偏高

14、。這是由于城市生活垃圾中電池、廢電燈、廢舊電器等各種金屬制品或鍍 金屬制品中金屬離子的溶出對重金屬污染有直接的貢獻，垃圾中最常見的重金屬污染主要就是Cu Hg Zn和Cr。2）工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)的土壤是受重金屬污染最嚴重的功能區(qū)，除了Cr和Ni，其他重金屬在土壤中的含量都較高。工業(yè)能源大都以煤、石油類為主，它們是環(huán)境中Hg Pb、Cd As等重金屬污染的主要來源。在采礦、選礦、冶煉、鍛造、加工、運輸?shù)裙I(yè)生產(chǎn)過程中會 產(chǎn)生大量的重金屬污染。排放的廢水、廢渣等直接進入水體及土壤中，廢氣中的重金屬 經(jīng)沉降也進入土壤等環(huán)境中，從而使得環(huán)境中重金屬濃度嚴重超標。3）山區(qū)山區(qū)的土壤重金屬濃度是最低的，幾乎不受

15、重金屬污染。這是由于山區(qū)海拔較高， 一般不會有人類活動，且生物多樣性豐富，植被對重金屬的吸收，微生物對重金屬的分 解，都使得山區(qū)土壤中重金屬含量偏低。4）交通區(qū)工業(yè)區(qū)的土壤是受重金屬污染較嚴重的功能區(qū)，僅次于工業(yè)區(qū)。Cu, Cd, Zn和Pb的含量都相對較高。這是由于城市離不開交通運輸，汽車尾氣排放、輪胎添加劑中含有 大量的Cu, Cd, Zn和Pbo隨著交通的發(fā)展，汽車的普及化，這些重金屬對土壤的污染 會更加嚴重。5）公園綠地區(qū)公園綠地區(qū)的土壤中重金屬濃度也比較低， 相對而言，Cu的能讀偏高。從該城市功 能區(qū)分布圖可看出公園綠地區(qū)周圍分布著一些工廠，工業(yè)污染擴散，導(dǎo)致公園綠地區(qū)土 壤收到少量

16、重金屬污染。整體來看5.3問題（3）的建模與求解問題分析重金屬污染物的傳播主要有以下途徑：1. 大氣中重金屬廢氣的沉降；2. 農(nóng)藥、化肥和塑料薄膜的使用；3. 污水灌溉，污泥堆肥；4. 含重金屬廢棄物得堆積；5. 金屬礦山酸性廢水的污染。從25可以看出重金屬污染的范圍基本以污染源為中心，在其周圍分布，在1中,我們暫不考慮該城市的風向以及風速，還有污染源所處的海拔高度等因素，設(shè)排放的廢 棄自然擴散，由于重金屬分子的相對分子質(zhì)量較大，故會較快沉降，在污染源周圍形成 污染，但范圍會相對大一些。由以上的傳播特性，我們可以看出，重金屬污染嚴重的地 區(qū)，在其附近定會存在污染源。由于線性綜合指標往往是不能直

17、接觀測到，但它能反映事物的本質(zhì)，故我們采用統(tǒng) 計學(xué)中的因子分析，將多個變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個線性不相關(guān)的綜合指標，用較少的有代 表性的因子來說明多個變量提取的主要信息。因此因子分析在成因、來源問題分析上是 較有效的。我們通過SPSS寸數(shù)據(jù)進行因子分析，對得到的因子用 MATLA做等高線圖，得到每 個因子和其對應(yīng)坐標的分布圖，由以上分析的金屬傳播特性可知，在最大污染程度附近， 可以找到其對應(yīng)的污染源。建模與求解I設(shè)總體x=（X!,X2,.,Xp）'，其均值向量E（X）7和協(xié)方差矩陣V=（j）pp都存在。建立因子模型的一般形式Xi »i = QiFi +a2F2 + +31口卩口+名

18、1X2 卩2 = 321 F1 + 322 F2 + + 32m Fm + SXp Ap =apiFi +ap2F2 + +apmFm+ £p其中m乞p , Fi,F2,，F(xiàn)m為初始變量的公共因子，；i為變量Xi的特殊因子。下面通過SPSS 11.0軟件對本問題進行因子分析：1）描述性統(tǒng)計輸出。下表所示的是關(guān)于 8個初始變量（As,Cd,Cr,Cu,Hg,Ni,Pb,Zn ）的 描述性統(tǒng)計量，包括均值、標準差和分析用到的取值個數(shù)（N）。描述統(tǒng)計量均值標準差分析NAs5.67653.02429319Cd302.3962224.98760319Cr53.509770.00179319Cu

19、55.0167162.91510319Hg299.71131629.53978319Ni17.26189.94142319Pb61.740950.05776319Zn201.2026339.23254319初始變量的相關(guān)性檢驗。如下表，可見，Cr和Ni的相關(guān)性最大，為0.716，其次是Pb和Cd,相關(guān)系數(shù)為0.660，且上面兩組的Sig值很小，而其他元素之間的相關(guān)性并不是 很好。從成因上來分析，相關(guān)性好的元素可能在成因和來源上有一定的聯(lián)系。2）相關(guān)矩陣ascdcrcuhgni相關(guān)as1.000.255.189.160.064.317cd.2551.000.352.397.265.329cr.1

20、89.3521.000.532.103.716cu.160.397.5321.000.417.495hg.064.265.103.4171.000.103ni.317.329.716.495.1031.000pb.290.660.383.520.298.307zn.247.431.424.387.196.436Sig.（單側(cè)）as.000.000.002.126.000cd.000.000.000.000.000cr.000.000.000.033.000cu.002.000.000.000.000hg.126.000.033.000.033ni.000.000.000.000.033Pb.0

21、00.000.000.000.000.000zn.000.000.000.000.000.0003） KMO僉驗和Bartlett 球形檢驗。如下表所示，KMG檢驗用于研究變量之間的偏相關(guān) 性，一般KMC統(tǒng)計量大于0.7就可以接受，本題中得KMOfi為0.778，可以接受。Bartlett 球形檢驗統(tǒng)計量的Sig<0.01，由此否定了相關(guān)矩陣為單位的零假設(shè)， 即認為各變量之間 存在著顯著的相關(guān)性。KMO和 Bartlett的檢驗取樣足夠度的Kaiser-Meyer-Olk in 度量。.778Bartlett的球形近似卡方905.711度檢驗df28Sig.0003）變量的共同度。如下表

22、所示，本題中As的共同度為0.993，表示6個公共因子能夠解釋As的方差的99.3%，其他變量共同度的解釋類似。公因子方差初始提取as1.000.993cd1.000.938cr1.000.853cu1.000.930hg1.000.989ni1.000.882Pb1.000.872zn1.000.994提取方法：主成份分析。4）方差解釋表。如下表所示，前6個公因子解釋的累計方差已將達到 93.156%,故而提 取這6個公因子就能夠比較好的解釋原有 8個變量所包含的信息了。解釋的總方差5）特征值碎石圖。下圖所示的是初始特征值（也就是方差貢獻）的碎石圖。觀察發(fā)現(xiàn)， 第6個D-B成莎散7）旋轉(zhuǎn)前后

23、的因子載荷陣。旋轉(zhuǎn)成份矩陣成份123456ni.859.095.175.224.226.059cr.822.180.321.200.036-.006cd.189.907.089.177.114.165Pb-.003.674.528.313.184.080cu.315.130.841.145.052.288zn.191.188.138.939.112.092as.095.102.048.093.981.020hg-.008.109.167.073.020.972提取方法：主成分分析法。旋轉(zhuǎn)法：具有Kaiser標準化的全體旋轉(zhuǎn)法a.旋轉(zhuǎn)在7次迭代后收斂。已知因子載荷是變量與公共因子的相關(guān)系數(shù)，對一個變量來說，載荷絕對值較大的因子與它的關(guān)系更為密切，也更能代表這個變量。按照這一觀點，第1公因子更能代表Ni，Cr濃度這兩個變量因素；第2公因子更能代表Cd, Pb這兩個變量因素；第3到第 6個公因子依次更合適代表 Cu, Zn, As, Hg的濃度。8）因子得分的系數(shù)矩陣。成份得分系數(shù)矩陣成份1234