直線與橢圓的位置關(guān)系及最值

1、1 直線與橢圓的位置關(guān)系.設(shè)直線1： Ax+By+C二0,橢圓C：yy三+乂a2 b?聯(lián)立I Ao By+ C=0得mx2 + nx + p = 0(1)若1與C相離的0A<0：(2) 1與C相切0二 0：(3) 1與C相交于不同兩點(diǎn)0 >02.弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)Pl (xl, yl), P2 (x2, y2)則P1P2 二(k為直線斜率)一，直線與橢圓的位置關(guān)系例題1、判斷直線與橢圓的位置關(guān)系例題2、若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.lx- y+ 3 = 02 2丄+l164y= kx+ 1(Aw R)5 mm例題3、已知長(zhǎng)軸為12,短軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)在x二、弦長(zhǎng)

2、問(wèn)題軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn) 作傾斜解為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).例4、已知橢圓A *>.+ jr = 1 2的左右焦點(diǎn)分別為,若過(guò)點(diǎn)F (0, -2)及的直線交橢圓于九B兩點(diǎn)，求ZJABF2的面積 練習(xí)、已知橢圓4x2 + / = 1及直線y二 x+ m(1) 當(dāng)777為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？(2) 若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為2旅5,求直線的方程.三、中點(diǎn)弦問(wèn)題例題5、已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為*2血,0),斥(2 運(yùn),0) ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,設(shè)直線y= a+ 2 交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。例題6、如果焦點(diǎn)是F (0, ±5)的橢圓截直線3x y 2二

3、0所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求此橢圓方程.例7.已知橢圓（1）求過(guò)點(diǎn)U 2）且被P平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程;（3）過(guò)Q（2,l）引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程;（4）橢圓上有兩點(diǎn)A、B,0為原點(diǎn)，且有直線OA、0B斜率滿(mǎn)足KOAKOB二-1/2,求線段AB中點(diǎn)M 的軌跡方程.四、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例題8、已知橢圓43,試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線/： y= 4x+ m，橢圓 上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱(chēng).五、最值問(wèn)題類(lèi)型1:焦點(diǎn)三角形角度最值最大角法（求離心率問(wèn)題）例1已知橢圓C：x2 y2 7+耳二 1（力 > b> 0） 礦 b"

4、兩個(gè)焦點(diǎn)為F、，F(xiàn)、,如果曲線C上存在一點(diǎn)Q,使'£0 丄 F?Q,求橢圓離心率的最小值。例2.為橢圓的左、右焦點(diǎn),使 ZF牛=90。求離心率'e的取值范圍。片+ 厶-=1（0 > 方 > 0） a b，如果橢圓上存在點(diǎn)練習(xí).若為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使=l(a > b > 0)QZAQB= 120°,求此橢圓離心率的最小 值。類(lèi)型2：距離最值問(wèn)題(1)一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)最值二次函數(shù)法例1求定點(diǎn)A(2,0)到橢圓r+£=I169)上的點(diǎn)之間的最短距離。(2) 一動(dòng)點(diǎn)兩定點(diǎn)最值定義法例 2 (1) P(-2,),F2為橢圓蘭+么12516的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求| MP | + | MF2 |的最大值和最小值。(2) P(-2,6),F2 為橢圓蘭+么12516的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求| MP | + | MF2 |的最大值和最小 值。練習(xí)、已知點(diǎn)F是橢圓蘭+么1259的右焦點(diǎn)，M使這橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A (2,2)是一個(gè)定點(diǎn)，求MA + MF的最小值。(3): 一動(dòng)點(diǎn)到一定直線最值平移直線法例3、(1)橢圓9Jf y + = 1164X + 2y-V2 = 0上的點(diǎn)到直線的最大距離；（2）求橢圓/:x-2