三角函數(shù)難題訓(xùn)練

1、AB=6m , / ABC=45 ,后考慮到安全1、某市為緩解城市交通壓力，決定修建人行天橋，原設(shè)計(jì)天橋的樓梯長因素，將樓梯腳B移到CB延長線上點(diǎn)D處，使/ADC=30（如圖所示）.（1）求調(diào)整后樓梯AD的長;（2）求BD的長.（結(jié)果保留根號）2、如圖，大海中有A和B兩個島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線 PQ上點(diǎn)E 處測得/ AEP=74 , / BEQ=30 ;在點(diǎn) F 處測得/ AFP=60 , / BFQ=60 , EF=1km. （1）求證AB =AE ; （2）兩個島嶼A和B之間的距離為多少km （結(jié)果精 確到 0.1km）（參考數(shù)據(jù)：根號 3=1.73, cos74 =0.28

2、, tan74 =3.49, sin76 =0.97, cos76 =0.24）3、一副三角板按圖1所示的位置擺放.將4 兩個三角形重疊（陰影）部分的面積為多少？DEF點(diǎn)A （F）逆時針旋轉(zhuǎn)60后（圖2）,測得CG=10cm,則卜列結(jié)論:）A、1個B、2個C、3個D、4個4、如圖，ABC和4CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B,C,D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn),tan/AEC=第；S4ABC+SCDE$ACE;BM，DM;BM=DM,正確結(jié)論的個數(shù)是5、如圖，AB計(jì)，/ACB=90,ACBC,分別以ABCW邊AB、BC、CA為一邊向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG,連接EF、GM、N

3、D,設(shè)AEF、BNQCGM的面積分別為S1、S2、S3,則下列結(jié)論正確的是（）A、S1=S2=S3B、S1=S2VS3C、S1=S3VS2D、S2=S3VS16、在矩形ABCD中，有一個菱形SBFDE,現(xiàn)給出下列命題BFDE （點(diǎn)E, F分別在線段AB, CD上），記它們的面積分別為,貝U tanZEDF=T若 DE的平方=BD ?EF,貝U DF=2AD .貝U (SABCD 和)A、是真命題，是真命題 C、是假命題，是真命題B、是真命題，是假命題D、是假命題，是假命題則AD的長是多7、如圖，在等腰直角三角形ABC中，/C=90,AC=6,D是AC上一點(diǎn)，若tan/DBA=8、在銳角ABC中

4、，/BAC=60,BD、CE為高，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接DE、DF、EF,則結(jié)論：DF=EF;AD:AB=AE:AC;4DEF是等邊三角形；BE+CD=BC;當(dāng)/ABC=45時，BE=”DE中，一定正確的有（）A、2個B、3個C、4個D、5個9、如圖，兩個高度相等且底面直徑之比為 體全部倒入乙杯，則乙杯中的液面與圖中點(diǎn)1: 2的圓柱形水杯，甲杯裝滿液體，乙杯是空杯.若把甲杯中的液P的距離是（）10、如圖，一架飛機(jī)由A向B沿水平直線方向飛行，在航線AB的正下方有兩個山頭C、D.飛機(jī)在A處時，測得山頭C、D在飛機(jī)的前方，俯角分別為60。和30。.飛機(jī)飛行了6千米到B處時，往后測得山頭C的俯角為30,

5、而山頭D恰好在飛機(jī)的正下方.求山頭C、D之間的距離.11、如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=3,DC=5,AB=4倍根號2,/B=45動點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動；動點(diǎn)N同時從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.(1)求BC的長；(2)當(dāng)MN/AB時，求t的值；(3)試探究：t為何值時，MN等腰三角形.12、如圖，在直角梯形ABCD中，AD/BC,/C=90,BC=16,DC=12,AD=21.動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)

6、B運(yùn)動，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)D,C同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為t(秒).(1)設(shè)BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)t為何值時，以B,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；(3)當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O,且2AO=OB時，求/BQPW正切值；(4)是否存在時刻t,使得PQBD?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.13、水務(wù)部門為加強(qiáng)防汛工作，決定對程家山水庫進(jìn)行加固.原大壩的橫斷面是梯形ABCD,如圖所示，已知迎水面AB的長為10米，/B=60,背水面DC的長度為10倍根號3米，加固后大壩的橫斷面為梯形ABED.若CE的長為5米.（1）

7、已知需加固的大壩長為100米，則需要填方多少立方米；（2）新大壩背水面DE的坡度為多少？（計(jì)算結(jié)果保留根號）14、如圖15,某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點(diǎn)A、B、C,景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D,經(jīng)測量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏，東30。方向上，景點(diǎn)D位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75方向上,已知AB=5km,AD=8km.(1) 景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向公路a修建一條距離最短公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；(結(jié)果精確到0.1km)(2) 求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離(結(jié)果精確到1km)(參考數(shù)據(jù)：73=1.73,45=2.24,sin53=cos37=0.80

8、,sin37=cos53=0.60,tan53=1.33,tan37=0.75,sin38=cos52=0.62,sin52=cos38=0.79,tan38=0.78,tan52=1.28,sin75=0.79,cos75=0.26,tan75=3.73)15某地震救援隊(duì)探測出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上兩探測點(diǎn)A,B相距3米,探測線與地面的夾角分別是30。和60。（如圖），試確定生命所在點(diǎn)C的深度.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù):72=1.41,731,73）16、（1）如圖16-1,16-2,銳角的正弦值和余弦值都隨著銳角的確定而確定，變化而變化，試探索隨著銳角度

9、數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值變化的規(guī)律。圖16-1（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較18。，35。，50。，62。，88。，這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大?。?） 比較大小，（在空格處填寫“V”“或=）若a=45,貝Usinacosa右a45,則sincosa（2） 利用互為余角的兩個角的正弦和余弦的關(guān)系，試比較下列正弦值和余弦值的大小。sin10、cos30、sin50、cos701、解：（1）已知AB=6m,ZABC=45.AC=BC=AB?sin45=6x=3,已知/ADC=30.AD=2AC=6答：調(diào)整后樓梯AD的長為6m；（2）CD=AD?cos30=6x=3,BD=CD-BC=3

10、-3答：BD的長為3-3（m）.解：（1）相等（1分）因?yàn)?BEQ=30,ZBFQ=60,所以/EBF=30,所況F=BF（2分）又因?yàn)?AFP=60,所以/BFA=60.在AEFAABF中，EF=BF,ZAFE=ZAFB,AF=AF,所以AEFAABF,所以AB=AE（5分）（2）方法一：作AHPQ,垂足為H,設(shè)AE=x貝UAH=xsin74,HE=xcos74HF=xcos74+17分）AHF中，AH=HF?tan60.所以xsin74=（xcos74+1）?tan60即0.96x=（0.28X+1）X1.73所以3.6,艮叫B=3.6km答：兩個島嶼A與B之間的距離約為3.6km.（10

11、分）方法二：設(shè)AF與BE的交點(diǎn)為G,在RtEGF中，因?yàn)镋F=1,所以EG=（7分）在RtAEG中，ZAEG=76,AE=EG-cos76=-0.243.6答：兩個島嶼A與B之間的距離約為3.6km.（10分）3:過G點(diǎn)作GFUAC于H,如圖，ZGAC=60,ZGCA=45,GC=10cm,在RtGCH中，GH=CH=GC=5cm,在RtAGH中,AH=GH=cm,AC=（5+）cm,兩個三角形重疊（陰影）部分的面積=?GH?AC=x5x6+）=25+83QbD4、解：.ABC和CDE均為等腰直角三角形,.AB=BC,CD=DE,/BAC=/BCA=/DCE=/DEC=45,/ACE=90;A

12、BCACDE=tan/AEC=,.tanZAEC=;故本選項(xiàng)正確；111$ABC=2a2,SACDE=2b2,S梯形ABDE=2(a+b)2, SAACE=S梯形ABDE-SABC-SACDE=ab,ABC+SACDE=1(a2+b2)2ab(a=b時取等號)，SAABC+SAODESSAACE;故本選項(xiàng)正確；過點(diǎn)M作MN垂直于BD,垂足為N. 點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，則MN為梯形中位線， .N為中點(diǎn)， .BMD為等腰三角形，.BM=DM;故本選項(xiàng)正確；又MN=(AB+ED)=3(BC+CD), ./BMD=90,即BMDM;故本選項(xiàng)正確.故選D.5、解：設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c, ,分別以

13、ABC的邊AB、BC、CA為一邊向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG, .AE=AB,/ARE=/ACB,/EAR=/CAB,AERAACB,ER=BC=a,FA=b,1S1=-ab,3b12S3=同理可得HD=AR=AC,S1=S2=S3=.故選A.6、解：設(shè)CF=x,DF=y,BC=h,則由已知菱形BFDE,BF=DF=y由已知得：,二.s追得:=丁，即cos/BFC=丁，./BFC=30,由已知./EDF=30VI.1.tan/EDFW,所以是真命題.已知菱形BFDE,DF=DE由已知DEF的面積為：DF?AD,也可表示為：BD?EF,又DE2=BD?EF,.DEF的面積可表示

14、為：DE的平方即：DF的平方，DF?AD=DF2,DF=2AD,所以是真命題.故選：A.7、解：作DEXAB于E點(diǎn).tanZDBA=.BE=5DE,.ABC為等腰直角三角形，/A=45,.AE=DE.BE=5AE,又AC=6,.AB=6的.AE+BE=5AE+AE=6,.AE=1,，在等腰直角ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2.8、解：:BD、CE為高，.BDC=/CEB=90,又:F為BC的中點(diǎn)，DF=BC,EF=BC,.DF=EF;5=/A,/ADB=/AEC,/.AADBAAEC,.AD:AB=AE:AC;/BAC=60,ABC+ZACB=120,DF=CF,EF=BF,，BEF+Z

15、CDF=120,/BFE+/CFD=120,DFE=60,又;DF=EF,.DEF是等邊三角形；BE+CD=BC%in/BCE+BC?sin/CBD=BC?(sin/BCE+sin/CBD)=BCWsin/BCE+sin(60-/BCE),不一定等于BC;./ABC=45,BE=口BC=V2DE.正確的共4個.關(guān)故選C.Bft卜16cm甲巳/P乙9、甲液體的體積等于液體在乙中的體積.設(shè)乙杯中水深為x,貝U兀X12X16=兀X48Xx,解得x=4.在直角ABP中，已知AP=43,AB=83,.BP=12.根據(jù)三角形的面積公式可知直角ABP斜邊上的高是6,所以乙杯中的液面與圖中點(diǎn)P的距離是16-6

16、-4=6.故選B.10、解：飛機(jī)在A處時，測得山頭C、D在飛機(jī)的前方，俯角分別為二二二二二林8x/3rm60和30,到B處時，往后測得山頭C的俯角為30。，./BAC=60,/ABC=30,/BAD=30,./ACB=180-ZABC-ZBAC=180-30-60=90,SPAAB=6千米，.BC=AB?cos30=6X32=3宇米.RtABD中，BD=AB?tan30=6X33=23,作CEBD于E點(diǎn)，ABBD,/ABC=30,./CBE=60,貝UBE=BC?cos60=323,DE=BD-BE=32,CE=BC?sin60=CD=DE2+CE2=(32)2+(92)2=21千米.，山頭C

17、、D之間的距離根號21千米.AB的直角三角形,=92,11、解：（1）如圖，過A、D分別作AK，BC于K,DH，BC于H,則四邊形ADHK是矩形.KH=AD=3.在RtAABK中，AK=AB?sin45=42?22=4BK=AB?cos45=42?22=4.在RtACDH中，由勾股定理得，HC=52-42=3.BC=BK+KH+HC=4+3+3=10(2)如圖，過D作DG/AB交BC于G點(diǎn)，則四邊形ADGB是平行四邊形.1.MN/AB,2 .MN/DG.BG=AD=3.GC=10-3=7.由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動到t秒時，CN=t,CM=10-2t.DG/MN,./NMC=/DGC.又/C=/C

18、,.MNCAGDC.CNCD=CMCG,即t5=10-2t7.解得，t=5017.(3)分三種情況討論：當(dāng)NC=MC時，如圖，即t=10-2t,t=103.當(dāng)MN=NC時，如圖，過N作NEXMC于E.解法一：由等腰三角形三線合-性質(zhì)得EC=12MC=12(10-2t)=5-t.在RtCEN中，cosc=ECNC=5-tt,又在RtADHC中，cosc=CHCD=35,5-tt=35.解得t=258.解法二：3 ./C=/C,/DHC=/NEC=90,.NECADHC.NCDC=ECHC,即t5=5-t3.4 .t=258.當(dāng)MN=MC時，如圖，過M作MFCN于F點(diǎn).FC=12NC=12t.解法

19、一：(方法同中解法一)cosC=FCMC=12t10-2t=35,解得t=6017.解法二：5 .ZC=ZC,/MFC=/DHC=90,.MFCADHC.FCHC=MCDC,即12t3=10-2t5,t=6017.綜上所述，當(dāng)t=10分?jǐn)?shù)線3、t=258或t=6017時，MNC為等腰三角形.12、解(1)如圖，過點(diǎn)P作PMXBC,垂足為M,則四邊形PDCM為矩形.，PM=DC=12.,.QB=16-t,6 .S=12X12X(16-t)=96-6t(0Wtv16);(2)由圖可知：CM=PD=2t,CQ=t.以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：若PQ=BQ.在RtAPM

20、Q中，PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得t=72;若BP=BQ.在RtPMB中，BP2=(16-2t)2+122.由BP2=BQ2得：(16-2t)2+122=(16-t)2即3t2-32t+144=0.由于=-7040,3t2-32t+144=0無解，PBWBQ.若PB=PQ.由PB2=PQ2,得t2+122=(16-2t)2+122整理，得3t2-64t+256=0.解得t1=163,t2=16(不合題意，舍去)綜合上面的討論可知：當(dāng)t=72秒或t=163秒時，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.(3)如圖，由4OAPsOBQ,得APBQ=A

21、OOB=12.7 .AP=2t-21,BQ=16-t,2(2t-21)=16-t.8 .t=585.過點(diǎn)Q作QEXAD,垂足為E.PD=2t,ED=QC=t,.PE=t.在RtPEQ中，tanZQPE=QEPE=12t=3029.又AD/BC,./BQP=ZQPE,9 .tan/BQP=3029;(4)設(shè)存在時刻t,使得PQXBD.如圖，過點(diǎn)Q作QEAD于E,垂足為E.由RtABDCRtAQPE,得DCBC=PEEQ,即1216=t12.解得t=9.所以，當(dāng)t=9秒時，PQXBD13、解：(1)分別過A、D作AFBC,DGBC,垂點(diǎn)分別為F、G,如圖所示在RtAABF中，AB=10米，/B=60.所以sin/B=AFAB,.AF=10X3253,DG=5根號3;所以SADCE=12XCEXDG=12X5X53=252根號3,需要填方100X2523=1250根號3(立方米)；(2)在直角三角形DGC中，DC=103,所以GC=DC2-DG2=(103)2-(53)2=15,所以GE=GC+CE=20,所以坡度i=DGGE=5320=34;答：(1)需要土石方1250根3立方米.(2)背水坡坡度為4分之根3.14、解：(1)如圖1,過點(diǎn)