必修4第三章三角恒等變換測試題

1、第三章測試（時間：120分鐘，滿分：150分）、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 ）1. sin 105°s105 的值為()解析11原式=2si n210 = 2si n30 =14.答案2.若1 冗冗Sin2a= 4, 4< a<2，貝 S cos a sina 的值是()A.23解析213(cos a si no) = 1 si n2a= 1 4= 4.二 coso<s in a, cos a sin a=3T答案 B4a3.已知 180° a<270° 且 sin(27

2、0 + a = 5,貝S tan=()C. 2第10頁共2頁答案 D4.在厶ABC中，/ A= 15°貝則屆inA cos(B + C)的值為()A. 2B2C.#D. 2解析在厶ABC中，/ A+/ B+/ C= n,3sinA cos(B + C)=3sinA+ cosA2(于1sinA+ 2cosA)=2cos(60 A)= 2cos45°=V2.答案 A1i5.已知 tan 0= 3,則 cos2 e+ 2sin2 B等于()C.5D.|解析原式=2cos 0+ sin 0cos 0 1 + tan 02 2 = 2 =cos 0+ sin 01 + tan 0答案

3、6 .在 ABC 中，已知 sinAcosA=sinBcosB，則 ABC 是（）A .等腰三角形B .直角三角形C.等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形冗解析 V sin2A= sin2B,./ A=Z B,或/A+/ B=_.答案 D7.設(shè) a22(sin17 +cos17 ), b = 2cos213° 1, c=23,則()A . c<a<bB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c解析 a = *sin17 °*cos17= cos(45 17°) = cos28 ° b= 2co$1

4、3° 1 = cos26；書 onc=cos30 °t y= cosx在(0,90 )內(nèi)是減函數(shù)， cos26、cos28°>cos30° 即 b>a>c.答案 A8.三角形ABC中，若/ 090°則tanAtanB與1的大小關(guān)系為 ()A . tanAtanB>1B. tanAtanB<1C. tanAtanB= 1D .不能確定解析 在三角形ABC中，丁/ 090°, / A,Z B分別都為銳 角.則有 tanA>0, tanB>0, tanC<0.又T/ C= (/ A+/ B),

5、tanC = tan(A+ B)=tanA+tanB1 tanA tanB<0，易知 1 tanA tan B>0, 即 tanA tanB<1.答案 B9.函數(shù) f(x) = sin2 x+k-扌是（A .周期為n的奇函數(shù)B .周期為n的偶函數(shù)C.周期為2 n的奇函數(shù)D.周期為2 n的偶函數(shù)解析f(x)= sin2 x+n .2 n4丿-sin4丿x i- sin2x-coS2COS?X n=sin2x.答案 A10. y= cosx(cosx + sinx)的值域是()B.呼，2A . 2,2C J V2 1+邁 ICJ 2 ， 2 Jr 13D_ 2, 2解析y= co

6、S2x+ cosxs inx1+ cos2x 12+ 2Sin2x2 <2sin2x + _2cos2x=扌 + "fsi n(2x+ n.v x R,當(dāng)sin 2x+1時，y有最大值節(jié)2；當(dāng)sin ?x+ n_ 1時，y有最小值1值域為為工，1第10頁共7頁第10頁共#頁答案 C112COs!°°嚴(yán)0的值是（）sin70a.2B-23D. ,2 解析原式=2COs3020° -sin20°C. 3sin702 cos30 °cos20 + sin30 °sin20 ° sin20_sin70_ V3cos2

7、0 ° 書cos20第10頁共#頁第10頁共#頁答案 C12312 .若 a, 0為銳角，C0s(a+ 0 =乜,C0S(2a+ ® = 5,則 COS a的值為（）16B.65D .以上都不對56A A. 65566%或6512解析 V 0< a+ 仟 n, C0s( a+ 0)=代。,n50< a+ 0<2， Sin(a+ 0 _ 13.v 0<2a+ 仟 n C0S(2a+ 0 = 5>。，n4 0<2 a+ 仟石,sin(2 a+ 0 = w.2 5-COS a= COS(2 a+ ® ( a+ 0=cos(2a+ 0c

8、os( a+ 0 + sin(2 a+ ®sin(a+ 03 12 4556513 + 51365.答案 A二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分.將答案填在題中橫線上)13. 已知 a, 0為銳角，且 cos( a+ 0 = sin( a 0,則 tan a=解析 t cos( a+ 0 = sin (a 0,cos ocos 0 sin osin0=sin acosp cos osin0coso(sin 0+ cos0 = sin o(sin 0+ cos0.t 0為銳角，二 sin 0+ cos00,二 cosa= sin a,tan a= 1.答案1114. 已知 c

9、os2a= 3,貝S sin4a+ cos4a=.1解析T cos2a= 3,.28-sin 2 a= 9.4422222 sin a+ cos a= (sin a+ cos a 2sin acos a,12185=1 沏 22a= 1 x 9 = 9.答案5sin( a+ 30 )+ cos a+ 60 ° 2cosa解析 t sin( a+ 30) + cos(a + 60) = sin aos30)+ cososin30 0+cosa:os60 sin ain60 = cos acos a 1 2cosa 2'16. 關(guān)于函數(shù)f(x)= cos(2x+ cos(2x +

10、，則下列命題: y=f(x)的最大值為2; y=f(x)最小正周期是n y=f(x)在區(qū)間亦呀上是減函數(shù); 將函數(shù)y= 2cos2x 的圖象向右平移2；個單位后，將與已知函 數(shù)的圖象重合.其中正確命題的序號是解析 f(x) = cos 2xn + cos 2x + ncos2xn+ sin&(2x+訓(xùn) cos2x3J sin 2x3丿 n<2x 3.':(n 盤 Ccos 2x 3 2 sin；V2cosx-3+n又當(dāng) x 眩，穿時，2x n 0, n,二 y= f(x)在I二y=f(x)的最大值為U2,最小正周期為n故，正確. p 13J 上_24， 24 上 是減函數(shù)

11、，故正確.答案三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、 證明過程或演算步驟)17. (10 分)已知向量 m= cosa1 , n = (sinx,1), m 與 n '、3)為共線向量，且a n 0 .(1)求 Sin a+ COS a 的值;求的值.sin a COS a解(1)V m與n為共線向量,cossin a= 0,即 sin a+ cos第10頁共11頁第10頁共#頁2 2(2).T+sin2 a= (sin a+ COS” = 9,第10頁共#頁第10頁共#頁2(sin a cose) = 1 sin2 a=二 sin a coso<0.第10頁

12、共#頁第10頁共#頁sin a- cos a：sin2a = 7sin a cos a 12第10頁共#頁18. (12分)求證:(3 n2 2sin a+zCoS a+I 4丿 Icos4 a Sin4 a1 + tan a1 tan a證明n22sin a+ 4+< 4o+4丿2 2 2 2 cos a+ sin a COS a Sin a2 2cos? a+2 . 2Cos a Sin a1 Cos2a+ 刖2 - 2CoS a Sin a21+ sin2asina+ COS a2. 2 =2. 2CoS a Sin a COS a Sin acosa+ sin a 1 + tan

13、 a cos a sin a 1 tan a原等式成立.19. （12 分）已知 cos；x-4j=寺，x 仔,罰(1)求sinx的值；( n 求sin g + 3 I的值.解（1）解法 1： x innn，x4才(n n -sin 占一4 CoS4 + coS 4>in410 -第9頁共13頁2 + 10 2第10頁共14頁=4 =5.解法2:由題設(shè)得第10頁共#頁第10頁共#頁沁+為nx=希cosx + sinx= 5.5 2 2 sin x+ cosx= 1, 從而 25sin2x 5sinx 12= 0,4解得 sinx= 5,或 sinx=35,第10頁共#頁第10頁共#頁因為

14、x4 sinx=.5n 3 n f, V x 2，4，故35.cosx=1 sin2x=第10頁共#頁第10頁共#頁24sin2x= 2sinxcosx= 25.27cos2x= 2cos x 1 = 25.sin?x+ 3J=sin 2xcosn+ cos2xsinn24 + 7、：'35020. （12分）已知向量a邊，si磴,b=x . X cos, sin" , c=(.3,- 1),其中 x R.(1) 當(dāng)a丄b時，求x值的集合;(2) 求|a- c|的最大值.解 (1)由a丄b得ab= 0,即 cos3xcosx-sin2xsin2= 0,第10頁共15頁第10頁

15、共#頁則 cos2x= 0,得 x=號+ 訴 Z),x值的集合是丿x x=字+ n, k Z r.(2)|a-c|2=cosf3x第10頁共#頁第10頁共#頁3x nJ - 3 丿,=cos-2 3cos2x+ 3+ sin23x+ 2sin3x+1=5+ Zsin- 2 3coslx= 5 + 4sin則|a- c|2的最大值為9.|a c|的最大值為3.21. (12分)某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊 一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為 1 cm,求割出 的長方形桌面的最大面積(如圖).連接 0C,設(shè)/ COB= 0,貝y 0°9<4

16、5°, OC= 1.t AB= OB OA= cos 0 AD= cos0 sin 0,二 S矩形 abcd = AB BC= (cos 0 sin 0 sin 0=sin2 0+ sin 0cos 0= *1 cos2 0 + ；sin2 0=*s in 2 0+ cos2 0 1匚 n 1 cosF0 4 - 2.當(dāng) 2 0- ；= 0, 即卩 0= J寸，Smax= 22 1 (m2).割出的長方形桌面的最大面積為-21m2.22. (12 分)已知函數(shù) f(x) = sin( w)coswx+ coS23>0)的最小正周期為n.(1)求3的值;1將函數(shù)y = f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 2縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y= g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0, 16上的最小值.解 (1)因為 f(x) = sin( ®Xcos3x+ cos23x所以 f(x) = sin 3X0S3X+ 1 + cos2®x1 1 1=2si n2 3X+ 2cos2®x+ 2第10頁共17頁第10頁共#頁n 14 1