數(shù)學(xué)物理方法分離變量法PPT課件

1、本章基本要求n掌握有界弦的自由振動(dòng)解及其物理意義n著重掌握分離變量法的解題思路、 解題步驟及其核心問題-本征值問題1第1頁/共82頁分離變量法核心：本章考慮問題（1）混合問題（2）邊值問題本章層次：2偏微分方程常微分方程齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+非齊次邊界條件第2頁/共82頁分離變量法思路起源分離變量法思路起源物理上由樂器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率的物理上由樂器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率的單音，每種單音振動(dòng)時(shí)形成正弦曲線，可以表示成單音，每種單音振動(dòng)時(shí)形成正弦曲線，可以表示成32.1 2.1 齊次方程問題齊次方程問題xtctxwsin)(),(特點(diǎn)：

2、含兩個(gè)變量的函數(shù)可以表示為兩個(gè)分別只含一特點(diǎn)：含兩個(gè)變量的函數(shù)可以表示為兩個(gè)分別只含一個(gè)變量的函數(shù)之積。個(gè)變量的函數(shù)之積。第3頁/共82頁這個(gè)定解問題的這個(gè)定解問題的特點(diǎn)特點(diǎn)是：偏微分方程是是：偏微分方程是線性奇次線性奇次的，的，邊界條件也是邊界條件也是奇次奇次的。的。研究兩端固定的弦的自由振動(dòng)研究兩端固定的弦的自由振動(dòng)定解問題解：解：( , )( ) ( )u x tX x T t這是解的分離變量這是解的分離變量泛定方程：泛定方程：20ttxxua u邊界條件：邊界條件：0( )tux 0( )ttux 00( , )xu x t0( , )x lu x t初始條件：初始條件：(0,0)xl

3、 t4研究兩端固定的弦的自由振動(dòng)研究兩端固定的弦的自由振動(dòng)定解問題（第一類齊次邊界條件）（第一類齊次邊界條件）由前面思路，設(shè)由前面思路，設(shè)第4頁/共82頁20XTa XT( , )( ) ( )u x tX x T t x, t 是相互獨(dú)立的變量是相互獨(dú)立的變量2 ( )( )( )( )TtXxX xa T t （求非零解）（求非零解）代入方程中，分離過程：得出兩個(gè)常微分方程： 200Ta TXX 代入邊界條件：, 0|0 xu, 0| lxu0|0 xX|0 x lX0)()(0)()0(tTlXtTX20ttxxua u5第5頁/共82頁高數(shù)中結(jié)論：高數(shù)中結(jié)論：00|0 xx lXXXX

4、 6若有二階常系數(shù)線性齊次方程若有二階常系數(shù)線性齊次方程其中其中p p、q q為常數(shù)，則特征方程為為常數(shù)，則特征方程為0qypyy02qprrxrxrececxyrr221121)() 1 (有通解為相異的實(shí)根時(shí)，方程、當(dāng)rxexccxyrrr)()()2(2121為相同的實(shí)根時(shí)，通解當(dāng))sincos()(i)3(2121xcxcexyrx時(shí)，當(dāng)、第6頁/共82頁7120CC12( )xxX xC eC e 00( )X120CC0( )X l 120llC eC e 0 (1) 12( )X xC xC20C 120C lC120CC(2)0 第7頁/共82頁0sinl 222nl 1 2

5、3, ,n 2()sinnxX xCl C2是是積分常數(shù)積分常數(shù)812( )cossinX xCx Cx 10C 20sinCl 非零解非零解20C 00( )X0( )X l (3)0 第8頁/共82頁2( )()0n aTtTl ( )cossinn an aT tAtBtll 固得到下面一族解：A、B 是積分常數(shù)是積分常數(shù)( , )(cossin)sinnnnn atn atn xux tABlll1 2 3, ,n 時(shí)間函數(shù)解9解方程 02 TaT 222ln n=1,2,3 第9頁/共82頁代入初始條件，有 一般情況下滿足不了，怎么辦？！利用疊加原理！利用疊加原理！101),(),(

6、nntxutxulxnlatnBlatnAnnnsin)sincos(1lxnBlanxlxnAxnnsin)(sin)(第10頁/共82頁此時(shí)要滿足初始條件，則 1111sin)(sin)(nnnnlxnBlanxlxnAx式系數(shù)。的傅里葉正弦級數(shù)展開和分別為和故)()(xxlanBAnnlnlndxlxnxanBdxlxnxlA00sin)(2sin)(2第11頁/共82頁則定解問題的最終解為則定解問題的最終解為12lnlnnnndxlxnxanBdxlxnxlAlxnlatnBlatnAtxu001sin)(2sin)(2sin)sincos(),(第12頁/共82頁( , )nux t

7、是駐波，（固有振動(dòng)模式）相鄰節(jié)點(diǎn)之間距離等于半波長 2ln波長=節(jié)點(diǎn)數(shù) n+1 ,位置 lnlnnlnlx,) 1(,2, 0 13lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),()cos(sinnnntlxnNnnnnnnABlanBNarctan,A22n其中第13頁/共82頁14本征頻率lnavlannn22, n=1 時(shí),1la基頻基波（決定了音調(diào)） n1 時(shí)lann諧頻諧波（決定了音色） 波腹波腹波節(jié)波節(jié)2.557.51012.515-1-0.50.51第14頁/共82頁（4）確定級數(shù)解中的待定常數(shù)（利用初始條件）（1）將偏微分方程化簡為常微分方程（U=XT)（2）

8、確定固有值和固有函數(shù)（利用邊界條件）（3）確定形式解（級數(shù)形式解）15第15頁/共82頁1620ttxxua u00( , )xu x t(0,0)xl t0lxxu00ttulxxut220例：求解例：求解（第二類齊次邊界條件）（第二類齊次邊界條件）20XTa XT( , )( ) ( )u x tX x T t2 ( )( )( )( )TtXxX xa T t 200Ta TXX 解：解： 設(shè)設(shè)第16頁/共82頁170)()0(lXX 0)()0(0)()(lXXxXxX此時(shí)邊界條件為：此時(shí)邊界條件為：相應(yīng)的相應(yīng)的特征值特征值問題問題為：為：120CC12( )xxX xC eC e 0

9、 (1) 0)0(21CCX0)(21lleCeClX第17頁/共82頁1812( )X xC xC120CC(2)0 0)0(2 CX0)(1ClX0)0(1 CX0cos)(2lClX12( )cossinX xCx Cx 非零解非零解20C (3)0 0cosl,.)2 , 1(,4) 12(222nnln則第18頁/共82頁19lxnCxX2) 12(sin)(2latnBlatnAtT2) 12(sin2) 12(cos)(lxnlatnBlatnAtxunnn2) 12(sin)2) 12(sin2) 12(cos(),(第19頁/共82頁同樣很難滿足初始條件，由疊加原理得 201

10、),(),(nntxutxulxnlatnBlatnAnnn2) 12(sin2) 12(sin2) 12(cos1此時(shí)要滿足初始條件，有 1122) 12(sin2) 12(02) 12(sin2nnnnlxnBlanlxnAlxx第20頁/共82頁21式系數(shù)公式可求出由傅里葉正弦級數(shù)展開0) 12(322) 12(sin)2(203322nlnBnlxdxlnlxxlA故定解問題的最終解為故定解問題的最終解為xl)n(stlannltxun212in 2) 12(cos) 12(132),(1332第21頁/共82頁2.22.2 有限長桿上的熱傳導(dǎo)有限長桿上的熱傳導(dǎo)lxxxuttlutut

11、lxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0 ,22222)()(tTxXu(x,t)解：設(shè))()()( )(2tTxXatTxX代入方程有第22頁/共82頁23)()( 2tTatTX(x)X(x)分離變量后有 0)()( 0)()(22tTatTxXxX即0)()0(lXX由邊界條件有X(x)lXXxXxX和解經(jīng) 0)()0(0)()(時(shí)有非零解只有0,.)2 , 1(222nln此時(shí),.)2 , 1(sin)(nlxnCxX第23頁/共82頁24的方程，有代入將T(t)0)()( 222tTlnatT2222)(ltnaDetT則,.)2 , 1(sin2222n

12、lxnAe(x,t)ultnan此時(shí)非零特解為此特解仍然很難滿足初始條件，由疊加原理得級數(shù)解為此特解仍然很難滿足初始條件，由疊加原理得級數(shù)解為1sin2222nltnanlxneAu(x,t)第24頁/共82頁25由初始條件有 1sin)(nnlxnAx數(shù)。上的傅里葉正弦級數(shù)系在為故, 0)(lxAnlnnltnandxlxnxlAlxneAtxu01sin)(2sin),(2222第25頁/共82頁2.3 二維拉普拉斯方程的定解問題 （1）圓域 因?yàn)檫吔缧螤钍莻€(gè)圓周，圓域邊界條件中x、y是不可直接分離的，故化為極坐標(biāo)求解。26)(),(0202222222022yxyxuyuxuyx第26頁

13、/共82頁cossinxryr22022011()0,02(, )( ),02(0, )( , )( ,2 )uuuufuuu 27第27頁/共82頁第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件的變量分離形式的解點(diǎn)約束條件的變量分離形式的解)()(),( Ru RRRRRR220)()(1)()(1)()(28第28頁/共82頁290( )(2 ) 周期本征值問題歐拉方程)( )0(0 )(2RRRRR第29頁/共82頁第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程0( )(2 ) 2( )cossin0,1,2,nnnn

14、nanbnn )0(02RRRR.)2 , 1 , 0()(ncRnnn30第30頁/共82頁根據(jù)疊加原理，得到級數(shù)解根據(jù)疊加原理，得到級數(shù)解10)sincos(2nnnnnbnaa31)()(),(0nnnRu0)sincos(nnnnnbna第31頁/共82頁第三步：利用邊界條件第三步：利用邊界條件利用傅立葉級數(shù)系數(shù)的求解公式100)sincos(2)(nnnnnbnaafdnfbdnfadfannnnsin)(1cos)(1)(120020020032第32頁/共82頁歐拉方程歐拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(為常數(shù)kp,etx 令常系數(shù)線性微分方程

15、xtln即附錄： 歐拉方程33第33頁/共82頁歐拉方程的算子解法歐拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,etx 令xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222tyyxddtytyyxdddd222 xtln則34第34頁/共82頁,ddDt記則由上述計(jì)算可知: yyxDyyyxDD22 , ), 3, 2(ddDktkkky) 1D(D用歸納法可證 ykyxkk) 1(D) 1D(D)(于是歐拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(eDD11tnnnfybyb

16、y轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:)(edddd111tnnnnnfybtybty即35第35頁/共82頁 （2）矩形域36)(, 00, 0, 021002222xuuuuyuxulyylxx)()(yYxXu(x,y)解：設(shè)0)()()()(yYxXyYxX代入方程有第36頁/共82頁37)()(yYyYX(x)X(x)分離變量后有 0)()( 0)()(yYyYxXxX即0)()0(1lXXX方向邊界條件有由X(x)lXXxXxX和解經(jīng) 0)()0(0)()(1時(shí)有非零解只有0,.)2 , 1(2122nln此時(shí),.)2 , 1(sin)(1nlxnAxXn第37頁/共82頁38的方程，解出代入將

17、Y(y)1121)(lynlyneCeCyY則疊加后的級數(shù)解為疊加后的級數(shù)解為11sin)(11lxnebeau(x,y)nlynnlynnnny-bauy可求出方向的邊界條件由, 00第38頁/共82頁391112sin2)(nnlxnllnshax數(shù)。上的傅里葉正弦級數(shù)系在為故0,)(2112lxllnshan101121111sin)(1sin2),(lnnndxlxnxllnshlalxnlynshayxu有再由),(2xuly第39頁/共82頁泛定方程泛定方程邊界條件邊界條件本征值問題本征值問題本征值本征值本征函數(shù)本征函數(shù)0|00lxxxxxx222lk k=1,2,3 0|00lx

18、xxxxx21()2kl 0|00lxxxxxx21()2kl k=0,1,2,3 0|00lxxxxxx222lk40k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第40頁/共82頁412.4 非奇次方程的解法lxxtuxutuutlxtxfxuatuttlxx0),(),(0, 00,0),(00022222 研究一根弦在兩端固定的情況下，受強(qiáng)迫力研究一根弦在兩端固定的情況下，受強(qiáng)迫力作用所產(chǎn)生的振動(dòng)現(xiàn)象。作用所產(chǎn)生的振動(dòng)現(xiàn)象。 即考慮下列定解問題：即考慮下列定解問題：第41頁/共82頁42 怎么辦？！怎么辦？！ 很明顯現(xiàn)在不能直接用前面的變量分離起手很明顯現(xiàn)在不能直接用前面的變量分離起手式進(jìn)行

19、分解，因?yàn)榈仁接疫叺姆驱R次尾巴沒辦式進(jìn)行分解，因?yàn)榈仁接疫叺姆驱R次尾巴沒辦法處理！法處理！ 現(xiàn)在的情況下，弦的振動(dòng)和現(xiàn)在的情況下，弦的振動(dòng)和兩個(gè)原因兩個(gè)原因有關(guān)，有關(guān)，一是一是外力外力，二是，二是初始狀態(tài)初始狀態(tài)。 有否經(jīng)歷過類似情景？是否有可借鑒的類似有否經(jīng)歷過類似情景？是否有可借鑒的類似情況？情況？第42頁/共82頁43 借用結(jié)論：借用結(jié)論： 這里我們用一招移花接木！這里我們用一招移花接木！ 全響應(yīng)全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入零輸入=初始狀態(tài)引起振動(dòng)，與外力無關(guān)；初始狀態(tài)引起振動(dòng)，與外力無關(guān)； 零狀態(tài)零狀態(tài)=外力引起振動(dòng)，與初始狀態(tài)無關(guān)外力引起振動(dòng)，與初始狀態(tài)

20、無關(guān)第43頁/共82頁44),(),(),(txWtxVtxu 設(shè)解為：設(shè)解為：初始狀態(tài)原因初始狀態(tài)原因（零輸入）（零輸入）外力原因外力原因（零狀態(tài)）（零狀態(tài)）第44頁/共82頁45lxxtVxVtVVtlxxVatVttlxx0),(),(0, 00,0 ,00022222lxtWWtWWtlxtxfxWatWttlxx0 , 00, 00,0),(00022222 （零輸入響應(yīng)）（零輸入響應(yīng)） （ 零狀態(tài)響應(yīng)）零狀態(tài)響應(yīng)）第45頁/共82頁46 對對V（x，t），可直接用前面的變量分類法），可直接用前面的變量分類法求出：求出：lnlnnnndxlxnxanBdxlxnxlAlxnlatnB

21、latnAtxV001sin)(2sin)(2sin)sincos(),(第46頁/共82頁47 對對W（x，t），如何求？），如何求？lxtWWtWWtlxtxfxWatWttlxx0 , 00, 00,0),(00022222固有函數(shù)法）設(shè)(sin)(),(1nnlxntWtxW第47頁/共82頁48內(nèi)展開為級數(shù)也按固有函數(shù)在把), 0(),(ltxf1sin)(),(nnlxntftxfdxlxntxfltfln0sin),(2)(其中方程，得到的展開形式帶入非齊次和將),(),(txftxW12sin)()()()( nnnnlxntftWlantW第48頁/共82頁49)()()()

22、(2tftWlantWnnn即有0)0( , 0)0(nnWW由初始條件有0)0( , 0)0()()()()(2nnnnnWWtftWlantW則用拉式變換法求解第49頁/共82頁50并代入初始條件，有方程兩邊取拉式變換的拉式變換為記),()(PWtWnn)()()()(22PFPWlanPWPnnn22)()()(lanPPFpWnn則兩邊拉式逆變換，得到dtlanfanltWtnn)(sin)()(0則第50頁/共82頁51xlntTtxunn1sin)(),(xlntftxfnn1sin)(),( 設(shè)設(shè)解法二解法二xlnxnn1sin)(xlnxnn1sin)(第51頁/共82頁52l

23、nlxntxfltf0sin),(2)(為正弦級數(shù)展開的系數(shù)其中nntfn,),(lnlxnxl0sin)(2lnlxnxl0sin)(2邊界條件，得到方程和初始條件及將上面諸式代入非齊次第52頁/共82頁53nnnnnnnTTtftTlantT)0( ,)0()()()()(2分別滿足和其中令nnnnnWVWVT,nnnnnnVVtVlantV)0( ,)0(0)()()(20)0( , 0)0()()()()(2nnnnnWWtftWlantW（零輸入響應(yīng)）（零狀態(tài)響應(yīng)）第53頁/共82頁54)()()(tWtVtTnnn則 原方程的解為：原方程的解為：)()(tWtVnn和分別解出xln

24、tTtxunn1sin)(),(第54頁/共82頁55 例例 在環(huán)形域在環(huán)形域 內(nèi)求解下列定解問題內(nèi)求解下列定解問題byxa22, 0, 0),(12222222222222byxayxnuubyxayxyuxu解解由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，所以改選用平由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，所以改選用平面極坐標(biāo)系，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系之面極坐標(biāo)系，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系之間的關(guān)系間的關(guān)系sincosyx第55頁/共82頁56將上述定解問題用極坐標(biāo)表示出來：將上述定解問題用極坐標(biāo)表示出來：20, 0, 020 ,2cos121)(12222 bauubauu 利用上節(jié)求出的圓域拉普拉斯方程的本征函利用上節(jié)求出

25、的圓域拉普拉斯方程的本征函數(shù)，設(shè)解為數(shù)，設(shè)解為0sin)(cos)(),(nnnnBnAu第56頁/共82頁57 代入方程并整理得到：代入方程并整理得到：2cos12sin)()(1)(cos)()(1)(202222 nnnnnnnnBnBBnAnAA比較兩端的系數(shù)可得比較兩端的系數(shù)可得0)()(1)()2(0)()(1)(12)(4)(1)(222222222 nnnnnnBnBBnAnAAAAA 第57頁/共82頁58再由邊界條件得再由邊界條件得0)()(0)()(bBaBbAaAnnnn通解為：通解為：.)3 , 2 , 1( )()2( )(ndcBndcAnnnnnnnnnn求解得

26、求解得 0)()2(0)(nnBnA第58頁/共82頁59特解有特解有 4*2)(A所以有所以有 422212)(ccA代入邊界條件有代入邊界條件有 446612babac 42442244244662)2(2)(bababababaA 4422442)2(bababac原定解問題的解為原定解問題的解為 2cos)(),(2Au第59頁/共82頁602.5 2.5 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理lxxtuxuttuutuutlxtxfxuatuttlxx0),(),(0),(),(0,0),(0021022222設(shè)有定解問題設(shè)有定解問題 邊界條件非齊次，若用前面方法分離變量，由邊界條

27、件邊界條件非齊次，若用前面方法分離變量，由邊界條件沒有辦法得到只與某個(gè)常微分方程有關(guān)的具體邊界函數(shù)值。沒有辦法得到只與某個(gè)常微分方程有關(guān)的具體邊界函數(shù)值。 怎么辦？！怎么辦？！第60頁/共82頁61想辦法把邊界條件化為齊次！想辦法把邊界條件化為齊次！),(),(),(txWtxVtxu設(shè)法作一代換將邊界條件化為齊次的，令設(shè)法作一代換將邊界條件化為齊次的，令00lxxVV所以要求所以要求)(),(210tuWtuWlxx選取選取W(x,t)使使V(x,t)的邊界條件化為齊次的，即的邊界條件化為齊次的，即第61頁/共82頁62)()(),(tBxtAtxW)()(),()(1)(112tutBtu

28、tultA 一般這樣的函數(shù)是很容易找到的，最簡單的如選取一般這樣的函數(shù)是很容易找到的，最簡單的如選取關(guān)于關(guān)于x x的線性函數(shù)：的線性函數(shù)： 代入代入w w（x x，t t）要滿足的邊界條件，可求出：）要滿足的邊界條件，可求出：xtutultutxW)()(1)(),(121即第62頁/共82頁63121xluuuVulxxtuxutVVtlxtxfxVatVttlxx0),(),(0, 00,0),(10100122222此時(shí)關(guān)于此時(shí)關(guān)于V的定解問題為的定解問題為因此只要做如下代換，因此只要做如下代換，V將滿足齊次邊界條件。將滿足齊次邊界條件。第63頁/共82頁64)0()0()0()()()

29、0()0()0()()()()()(),(),(121112111211xluuuxxxluuuxxxltutututxftxf其中其中關(guān)于關(guān)于V V（x x，t t）的問題即前述非齊次方程、齊次邊界條件問題。）的問題即前述非齊次方程、齊次邊界條件問題。第64頁/共82頁65 當(dāng)邊界條件不同時(shí)，方法一致（關(guān)鍵在與當(dāng)邊界條件不同時(shí)，方法一致（關(guān)鍵在與w w（x x，t t）的選?。?，）的選取），W W（x x，t t）的形式不同。）的形式不同。);(),() 1 (210tuxutuulxx常用的最簡單的常用的最簡單的w w（x x，t t）形式）形式)()(),(12tuxtutxW取);()

30、,()2(210tuutuxulxx)()()(),(121tultuxtutxW取);(),()3(210tuxutuxulxxxtuxtutultxW)()()(21),(1212取第65頁/共82頁6620102,00)()(uWuWlxxfxWaxx通過上式可以求出通過上式可以求出W W（x x）的形式。）的形式。注：若注：若f f，u u1 1，u u2 2都與都與t t無關(guān)，則可選取無關(guān)，則可選取W W（x x）（與）（與t t無關(guān)），無關(guān)）， 使使V V（x x，t t）同時(shí)滿足齊次方程和齊次邊界條件，此時(shí)）同時(shí)滿足齊次方程和齊次邊界條件，此時(shí) W W（x x）需滿足：）需滿足：

31、第66頁/共82頁67lxxtuxutVVtlxxVatVttlxx0),(),(0, 00,0 ,1010022222此時(shí)此時(shí)u u（x x，t t）=V=V（x x，t t）+W+W（x x），則），則V V（x x，t t）滿足）滿足)()()()()(11xxxWxx其中第67頁/共82頁68lxtuutBuutlxAxuatuttlxx0 , 00, 00,0 ,00022222例1：求的形式解，其中A,B均為常數(shù)。)(),(),(xWtxVtxuAWxVatV 22222解：令代入方程有第68頁/共82頁69 0, 00 , 0)(02tBWWlxAxWalxxxlBaAlxaAx

32、W)2(2)(222lxtuxWVtVVtlxxVatVttlxx0 , 0),(0, 00,0 ,00022222通過二次積分即邊界條件求得：則V的方程為：第69頁/共82頁701( , )(cossin)sinnnnn an anV x tCtDtxlll0nDxlntlanCtxVnnsincos),(1xlnCxWnnsin)(1xlnCxlBaAlxaAnnsin)2(21222利用分離變量法，帶齊次邊界的方程的解為利用第二個(gè)初始條件代入第一個(gè)初始條件有即第70頁/共82頁71nBnaAlnnaAlxdxlnxlBaAlnxlaAxdxlnxlBaAlxaAlClllncos)(22

33、sin)2(sinsin)2(22222222200222202221222sincos)2(2),(nnxlntlanCxlBaAlxaAtxu由傅里葉系數(shù)公式可得因此，原定解問題的解為：第71頁/共82頁72lxxluutuuutlxubxuatutlxxx0 ,0, 00,0 ,2210102222例2 求定解問題其中b,u1均為常數(shù)。1),(),(utxVtxu解：令代入方程有第72頁/共82頁73lxuxluVtVVtlxubVbxVatVtlxxx0 ,0, 00,0 ,122100122222lxuxluVtVVVbxVatVItlxxx0 ,0, 0)(12210)1()1(0)1()1(22)1(22)1(lxVtVVubVbxVatVIItlxxx0 , 00, 0)(0)2()2(0)2(12)2(22)2(22)2(分解為兩個(gè)方程（零輸入響應(yīng)）（零狀態(tài)響應(yīng)）第73頁/共82頁74對于問題