數(shù)學(xué)物理方法刁元勝 部分習(xí)題課PPT課件

1、1第十章習(xí)題課1 求解如下混合問題：)()0 ,(, 0)0 ,(0),(, 0), 0()0,0(02xxuxutlututlxuautxxttlxccxcvcxx000)(0解：用分離變量法：設(shè)混合問題的偏微分方程有如下分離變量形式的非零解：)()(),(tTxXtxu)()(),(),()(),(tTxXtxutTxXtxuxxtt 代入混合問題的微分方程后化簡可得：第1頁/共22頁2第十章習(xí)題課 )()()()(0)()()()(22tTtTaxXxXtTxXatTxX0)() 0(0)()(),()() 0(), 0(lXXtTlXtlutTXtu由此可見： 是如下邊值問題的解函數(shù)：

2、)(xX 0)(,0)0()0(0)()(lXXlxxXxX若0，則此定解問題的微分方程的通解為 xcxcxXsincos)(21代入邊界條件后可得 xcxXcccXsin)(00sin0cos)0(212122, 0sin0)(, 0sin)(lnlxXlclXn第3頁/共22頁4第十章習(xí)題課), 2 , 1(sin)()(nlxnxXxXn取由 所滿足的方程可得 )(tTlatnblatnatTtTtTatTnnnsincos)()(0)()(22 所以，原混合問題的微分方程的滿足邊界條件的分離變量形式解為 lxnlatnblatnatTxXtxunnnnnsin)sincos()()()

3、,(設(shè)原混合問題的解函數(shù)為 1sin)sincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu第4頁/共22頁5第十章習(xí)題課則由初始條件可得：), 2 , 1(0sin)0 ,(01nalxnaxunnn1sincos),(nntlxnlatnblantxulnnntdxlxnxanblxnblatnxux01sin)(2sin)0 ,()()(cos)(cos2sin22200lcnlcnanlvdxlxnvanbccn101sinsinsinsin4sinsin),(nnnlxnlatnlnlcnanlvlxnlatnbtxu第5頁/共22頁6第十章習(xí)題課3 求解下列阻尼波動問題的解：

4、)()0 ,(),()0 ,(0),(, 0), 0()0,0(022xxuxxutlututlxuahuutxxxttt其中，h為正常數(shù)，且 lah2解：使用分離變量法，設(shè)原定解問題的微分方程有如下分離變量形式非零解函數(shù)滿足邊界條件： )()(),(tTxXtxu第6頁/共22頁7第十章習(xí)題課容易求得：)()(),(),()(),(),()(),(tTxXtxutTxXtxutTxXtxutttxx 代入方程后化簡可得 )()()()(2)(2xXxXtTatThtT0)0()()0(), 0(0XtTXtu0)()()(),(0lXtTlXtlux0)()(2)(2 tTatThtT 0)

5、(, 0)0(0)()(lXXxXxX第7頁/共22頁8第十章習(xí)題課由 非零性可得 ，此時 )(xX0 xcxcxXsincos)(21xcxXcccXsin)(00sin0cos) 0(212122120cos)(,sin)(lnllXxxXn將 代入 所滿足的方程可得 n)(tT0)(12)(2)(2 tTalntThtT22222) 12(02122lanhhalnhn第8頁/共22頁9第十章習(xí)題課), 2 , 1(2) 12(2) 12(222nihlanhlanlahn)sincos()()(tBtAetTtTnnnnhtn從而有), 2, 1(21222nhlann其中設(shè)原混合問題

6、的解函數(shù)為： 12) 12(sin)sincos(),(nnnnnhtxlntBtAetxu第9頁/共22頁10第十章習(xí)題課12)12(sin)0 ,()(nnxlnAxux由邊界條件得因為22) 12(cos1 (212) 12(sin002ldxlxndxlxnll), 2 , 1(2) 12(sin)(20ndxlxnxlAln所以12) 12 (sin)sin)(cos)(),(nnnnnnnnnhttlxntAhBtBhAetxu12) 12(sin)() 0 ,()(nnnntlxnBhAxux第10頁/共22頁11第十章習(xí)題課)2) 12(sin)(2(10lnnndxlxnxl

7、hAB所以，原混合問題的解是 12) 12(sin)sincos(),(nnnnnhtxlntBtAetxu第11頁/共22頁12第十章習(xí)題課8求解混合問題 02) 0 ,(),(,), 0() 0,0(0),(),(uxutlututlxtxuatxuxxt0,u其中 為常數(shù)。解：作函數(shù)變換 )(),(),()(),(),(xltxvtxuxltxutxv),(),(),(),(txvtxutxvtxuxxxxtt則第12頁/共22頁13第十章習(xí)題課0),(, 0), 0(),(,), 0(tlvtvtlutu)() 0 ,() 0 ,(00 xluxvuxu所以，是 原混合問題的解的充要條

8、件是 是如下混合問題的解： ),( txu),(txv)()0 ,(0),(, 0), 0()0,0(0),(),(02xluxvtlvtvtlxtxvatxvxxt用分離變量法求解此定解問題。第13頁/共22頁14第十章習(xí)題課由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得： )exp()()(,sin)()(2tlanAtTtTlxnxXxXnnn121sin)exp()()(),(nnnnnlxntlanAxXtTtxv代入初始條件可得： 10sin)0 ,()(nnlxnAxvxlulndxlxnxlulA00sin)(2第14頁/共22頁15第十章習(xí)題課), 2 , 1()() 1()(200nuunAn

9、n1200sin)exp()() 1()(2),(nnlxntlanuuntxv)(),(),(xltxvtxu所以第15頁/共22頁16第十章習(xí)題課0),(, 0), 0(0),(lim),()0 ,()0,0(0),(),(yauyuyxuaxxxuyaxyxuyxuyyyxx9. 求解解：用分離變量法：設(shè)給定的定解問題中的微分方程有如下滿足齊次邊界條件的分離變量形式非零解： )()(),(yYxXyxu則)()(),(),()(),(yYxXyxuyYxXyxuyyxx 0)()()()(),(),( yYxXyYxXyxuyxuyyxx第16頁/共22頁17第十章習(xí)題課0)()(, 0

10、)()()()()()( yYyYxXxXyYyYxXxX0)0(0)()0(), 0(XyYXyu0)(0)()(),(aXyYaXyau所以， 為如下邊值問題的非零解函數(shù)： )(xX axnxXxXanaXXxXxXnnsin)()(,0)(, 0) 0 (0)()(2), 2 , 1()exp()exp()()(naynBaynAyYyYnnn從而有又由另一個邊界條件可得： 第17頁/共22頁18第十章習(xí)題課)exp()(00)()(lim),(limaynByYAyYxXyxunnnnnyny設(shè)原定解問題的解函數(shù)是 11sin)exp(),(),(nnnnaxnaynByxuyxu1s

11、in)()()0 ,(nnaxnBaxxaxxxu則), 2 , 1() 1) 1(22sin)(23330nnaadxaxnaxxaBnan1332sin)exp(1)1(4),(nnaxnaynnayxu所以第18頁/共22頁19第十章習(xí)題課18 求解 )()0 ,(),(),(,), 0()0,0()(),(),(2xgxuBABtluAtutlxxftxuatxuxxt為常數(shù)解：設(shè) xxdxdxxfxF00)()(AxlalFaBAxFaxw222)()()(1)()(),(),(xwtxutxv作函數(shù)變換)(1),(),(),(),(2xfatxutxvtxutxvxxxxtt第19頁/共22頁20第十章習(xí)題課0)(),(),(),(),(22xftxuatxutxvatxvxxtxxt00)()() 0(1) 0(), 0(), 0(222AlalFaBAFaAwtutv0)()()(1)(),(),(222AllalFaBAlFaBlwtlutlv)()()() 0 ,() 0 ,(xwxgxwxuxv所以， 是如下定解問題的解函數(shù)： ),( txv)()()0,(0),(,0),0(