凸函數(shù)與Hadamard不等式

1、凸函數(shù)與Hadamard不等式一、引言關(guān)于凸函數(shù)的理論及應(yīng)用有許多專門的研究，由于凸函數(shù)本身是用不等式來定義的，而且有許多良好的性質(zhì)，利用凸函數(shù)的這些性質(zhì)以及一些等價(jià)條件解決不等式問題有許多方便之處，因?yàn)槔煤瘮?shù)的凸性可以避免關(guān)于連續(xù)性和可微性的限制。二、凸函數(shù)的定義及性質(zhì)(一)定義設(shè)f(x)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1，x2和實(shí)數(shù)入G(0,1)總有f入x1+(1-入)x2W入f(x1)+(1-入)f(x2),則稱f(x)為I上的凸函數(shù)。若不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱f(x)為I的嚴(yán)格凸函數(shù)。(2) 凸函數(shù)的性質(zhì)引理1：設(shè)f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)，a，b?I，則f(x)在a,b上滿足L

2、ipsditz條件，即存在常數(shù)L>0,使得對(duì)？x1,x2Ga,b有|f(x2)-f(x1)|<L|x2-x1|由此可得f(x)在a,b上是一致連續(xù)的。引理2：積分型的Jensen不等式設(shè)f(x)是區(qū)間I上的連續(xù)凸函數(shù)，g(t):a,BT是逐段連續(xù)函數(shù)，且至多有有限多個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則有以下不等式成立f(g(t)dtx)wf(g(t)dtx由于凸函數(shù)本身是用不等式來定義的，因此，可以根據(jù)前面所敘述的凸函數(shù)的定義，利用函數(shù)的凸性來證明有關(guān)的不等式。(3) Hadamard不等式設(shè)f(x)是區(qū)間a，b上的凸函數(shù)，則有以下不等式成立f()wf(x)dx<證：f(x)是區(qū)間a,b上的凸

3、函數(shù)，則對(duì)于？入(0,1),由定義得f入a+(1-入)bw入f(a)+(1-入)f(b)。令x=入a+(1-入)bGa,b,即入=,1-入=,代入上式得f(x)<f(a)+f(b)of(x)的定義域是閉區(qū)間a，b，由引理1知函數(shù)f(x)在a，b上一致連續(xù)，從而連續(xù)、可積。將上式兩端在a，b上積分可得f(x)dx<(b-x)dx+(x-a)dx=f(a)+f(b)兩端除以(b-a)得f(x)dx<下證另一個(gè)不等式也成立：在引理2的積分型Jensen不等式中，取a=a,B=b,g(t)=t可得f(tdt)wf(t)dt即f()wf(x)dx綜合以上兩式即得f()wf(x)dx&l

4、t;?，F(xiàn)在，我們觀察一下這個(gè)不等式的形式，它實(shí)際上給出了函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的積分平均值f(x)dx的最大值和最小值。它的內(nèi)容與數(shù)學(xué)分析中利用定積分的性質(zhì)得到的估值不等式的內(nèi)容有類似之處。估值不等式的內(nèi)容敘述如下：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，M,m分別為f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值和最小值，則有下列不等式成立：f(x)dx<M若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間a，b上凸函數(shù)，則可以用Hadamard不等式來代替上述的估值不等式，且前者比后者具有更精確的估值區(qū)間。我們來分析下面的一個(gè)例子。例：設(shè)A=,試估計(jì)出它的范圍。解：(1)應(yīng)用估值不等式求解：設(shè)函數(shù)f(x)=,xG1,5,f'(x)=>0,xG1,5則函數(shù)f(x)=在區(qū)間1，5上單調(diào)遞增，其最大值和最小值分別為M=f(5)=勺25.0200m=f(1)=勺1.4142由估值不等式得1.4142wAW25.02000(2)應(yīng)用Hadamard不等式求解f(x)=,xG1,5f'(x)=,f(x)=>0,xG1,5故f(x)=在區(qū)間1，5上是凸函數(shù)，且有f()=f(3)=勺9.0553=勺13.2171由Hadamard不等式得9.05530AW13.2171。按估值不等式解得區(qū)間的長度為d1=25.0200-1.4142=23.6058,按Ha