數(shù)學(xué)建模圖論模型PPT課件

1、圖論模型1. 圖論基本概念圖論基本概念2. 最短路徑算法最短路徑算法3. 最小生成樹(shù)算法最小生成樹(shù)算法4. 遍歷性問(wèn)題遍歷性問(wèn)題5. 二分圖與匹配二分圖與匹配16.網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題7.關(guān)鍵路徑問(wèn)題關(guān)鍵路徑問(wèn)題8.系統(tǒng)監(jiān)控模型系統(tǒng)監(jiān)控模型9.著色模型著色模型第1頁(yè)/共91頁(yè)1、圖論的基本概念、圖論的基本概念問(wèn)題問(wèn)題1(1(哥尼斯堡七橋哥尼斯堡七橋問(wèn)題問(wèn)題):): 能否從任一陸地出發(fā)通過(guò)每座橋恰好一次而能否從任一陸地出發(fā)通過(guò)每座橋恰好一次而回到出發(fā)點(diǎn)？回到出發(fā)點(diǎn)？2第2頁(yè)/共91頁(yè)3歐拉指出：歐拉指出： 如果每塊陸地所連接的橋都是偶數(shù)座，則從任一如果每塊陸地所連接的橋都是偶數(shù)座，則從任一陸地出

2、發(fā)，必能通過(guò)每座橋恰好一次而回到出發(fā)地陸地出發(fā)，必能通過(guò)每座橋恰好一次而回到出發(fā)地. .第3頁(yè)/共91頁(yè)4問(wèn)題問(wèn)題2(2(哈密頓環(huán)球旅行哈密頓環(huán)球旅行問(wèn)題問(wèn)題):): 十二面體的十二面體的2020個(gè)頂點(diǎn)代表世界上個(gè)頂點(diǎn)代表世界上2020個(gè)城市，個(gè)城市，能否從某個(gè)城市出發(fā)在十二面體上依次經(jīng)過(guò)每個(gè)能否從某個(gè)城市出發(fā)在十二面體上依次經(jīng)過(guò)每個(gè)城市恰好一次最后回到出發(fā)點(diǎn)？城市恰好一次最后回到出發(fā)點(diǎn)？歐拉問(wèn)題是歐拉問(wèn)題是“邊遍歷邊遍歷”，哈密爾頓問(wèn)題是，哈密爾頓問(wèn)題是“點(diǎn)遍歷點(diǎn)遍歷”第4頁(yè)/共91頁(yè)5問(wèn)題問(wèn)題3(3(四色問(wèn)題四色問(wèn)題):): 對(duì)任何一張地圖進(jìn)行著色，兩個(gè)共同邊界的國(guó)家染不同的顏對(duì)任何一張地

3、圖進(jìn)行著色，兩個(gè)共同邊界的國(guó)家染不同的顏色，則只需要四種顏色就夠了色，則只需要四種顏色就夠了. .問(wèn)題4(4(關(guān)鍵路徑問(wèn)題):): 一項(xiàng)工程任務(wù), ,大到建造一座大壩, ,一座體育中心, ,小至組裝一臺(tái)機(jī)床, ,一架電視機(jī), , 都要包括許多工序. .這些工序相互約束, ,只有在某些工序完成之后, , 一個(gè)工序才能開(kāi)始. . 即它們之間存在完成的先后次序關(guān)系, ,一般認(rèn)為這些關(guān)系是預(yù)知的, , 而且也能夠預(yù)計(jì)完成每個(gè)工序所需要的時(shí)間. . 這時(shí)工程領(lǐng)導(dǎo)人員迫切希望了解最少需要多少時(shí)間才能夠完成整個(gè)工程項(xiàng)目, , 影響工程進(jìn)度的要害工序是哪幾個(gè)？ 第5頁(yè)/共91頁(yè)圖的定義 圖論中的“圖”并不是通

4、常意義下的幾何圖形或物體的形狀圖, , 而是以一種抽象的形式來(lái)表達(dá)一些確定的事物之間的聯(lián)系的一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng). . 定義定義1 一個(gè)有序二元組(V, E ) 稱為一個(gè)圖圖, 記為G = (V, E ), 其中 V稱為G的頂點(diǎn)集, V , 其元素稱為頂點(diǎn)頂點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn), 簡(jiǎn)稱點(diǎn)點(diǎn); E稱為G的邊集, 其元素稱為邊邊, 它聯(lián)結(jié)V 中的兩個(gè)點(diǎn), 如果這兩個(gè)點(diǎn)是無(wú)序的, 則稱該邊為無(wú)向邊無(wú)向邊, 否則, 稱為有向邊有向邊. 如果V = v1, v2, , vn是有限非空點(diǎn)集, 則稱G為有限圖有限圖或n階圖階圖. 第6頁(yè)/共91頁(yè)7 如果E的每一條邊都是無(wú)向邊, 則稱G為無(wú)向圖無(wú)向圖( (如圖1)1); 如

5、果E的每一條邊都是有向邊, 則稱G為有向圖有向圖( (如圖2)2); 否則, 稱G為混合圖混合圖. 圖1 1 圖2 2并且常記: :V = v1, v2, , vn, |V | = n ;E = e1, e2, , em(ek=vivj ) , |E | = m.稱點(diǎn)vi , vj為邊vivj的端點(diǎn)端點(diǎn). 在有向圖中, 稱點(diǎn)vi , vj分別為邊vivj的始點(diǎn)始點(diǎn)和終點(diǎn)終點(diǎn). 該圖稱為(n,m)圖圖第7頁(yè)/共91頁(yè)8 對(duì)于一個(gè)圖G = (V, E ), 人們常用圖形來(lái)表示它, 稱其為圖解圖解. 凡是有向邊, 在圖解上都用箭頭標(biāo)明其方向. 例如, 設(shè)V = v1 , v2 , v3 , v4,

6、E = v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4, 則G = (V, E ) 是一個(gè)有4個(gè)頂點(diǎn)和6條邊的圖, G的圖解如下圖所示. 第8頁(yè)/共91頁(yè)9 一個(gè)圖會(huì)有許多外形不同的圖解, , 下面兩個(gè)圖表示同一個(gè)圖G = (V, E )的圖解. .這兩個(gè)圖互為同構(gòu)圖同構(gòu)圖, ,今后將不計(jì)較這種外形上的差別, ,而用一個(gè)容易理解的、確定的圖解去表示一個(gè)圖. . 第9頁(yè)/共91頁(yè)10 有邊聯(lián)結(jié)的兩個(gè)點(diǎn)稱為相鄰的點(diǎn)相鄰的點(diǎn), 有一個(gè)公共端點(diǎn)的邊稱為相鄰邊相鄰邊. 邊和它的端點(diǎn)稱為互相關(guān)聯(lián)互相關(guān)聯(lián). 常用d(v)表示圖G中與頂點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目, d(v)稱為頂點(diǎn)v的

7、度數(shù)度數(shù). 對(duì)于有向圖,還有出度出度和入度入度之分. 用N(v)表示圖G中所有與頂點(diǎn)v相鄰的頂點(diǎn)的集合. d(v1)= d(v3)= d(v4)=4, d(v2)=2dout(v1)= dout (v3)= dout (v4)=2, dout(v2)=1din(v1)= din(v3)= din(v4)=2, din(v2)=1第10頁(yè)/共91頁(yè)11握手定理握手定理：無(wú)向圖中，所有結(jié)點(diǎn)的度數(shù)之和等于2m。右圖：推論1：無(wú)向圖中必有偶數(shù)個(gè)度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點(diǎn)。推論2：有向圖中所有結(jié)點(diǎn)的出度之和等于入度之和。d(v1)= d(v3)= d(v4)=4, d(v2)=2mvdnii2)(1147*2)(

8、1niivd第11頁(yè)/共91頁(yè)我們今后只討論有限簡(jiǎn)單圖： (1) (1) 頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的; (2) (2) 任意一條邊有且只有兩個(gè)不同的點(diǎn)與它相互關(guān)聯(lián); (3) (3) 若是無(wú)向圖, , 則任意兩個(gè)頂點(diǎn)最多只有一條邊與之相聯(lián)結(jié); (4) (4) 若是有向圖, , 則任意兩個(gè)頂點(diǎn)最多只有兩條邊與之相聯(lián)結(jié). . 當(dāng)兩個(gè)頂點(diǎn)有兩條邊與之相聯(lián)結(jié)時(shí)，這兩條邊的方向相反. . 如果某個(gè)有限圖不滿足(2)(3)(4),(2)(3)(4),可在某條邊上增設(shè)頂點(diǎn)使之滿足. .第12頁(yè)/共91頁(yè)13 定義定義2 若將圖G的每一條邊e都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)F (e), 則稱F (e)為該邊的權(quán)權(quán), 并稱圖G為賦權(quán)圖賦權(quán)圖

9、(網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)), 記為G = (V, E , F ). 定義定義3 任意兩點(diǎn)均有通路的圖稱為連通圖連通圖. 定義定義4 連通而無(wú)圈的圖稱為樹(shù)樹(shù), 常用T表示樹(shù). 第13頁(yè)/共91頁(yè)常用的圖 給定圖G= 和 G = 是兩個(gè)圖，如果有 V V 和 E E,則稱圖G是圖 G 的子圖。若V =V 稱圖G是圖 G 的生成子圖； 若將圖G的每一條邊e都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)F(e)，則稱F(e)為該邊的權(quán)，并稱圖G為賦權(quán)圖(網(wǎng)絡(luò)), 記為G = 。 任意兩點(diǎn)均有通路的圖稱為連通圖。 連通而無(wú)圈的圖稱為樹(shù)，常用T=表示樹(shù)。 若圖G是圖 G 的生成子圖，且G又是一棵樹(shù)，則稱G是圖G 的生成樹(shù)。第14頁(yè)/共91頁(yè)例 Ram

10、sey問(wèn)題 問(wèn)題：任何6個(gè)人的聚會(huì)，其中總會(huì)有3個(gè)互相認(rèn)識(shí)或3人互相不認(rèn)識(shí)。 圖論模型：用紅、藍(lán)兩種顏色對(duì)6個(gè)頂點(diǎn)的完全圖K6的邊進(jìn)行任意著色，則不論如何著色必然都存在一個(gè)紅色的K3或一個(gè)藍(lán)色的K3 。 對(duì)應(yīng)關(guān)系：每個(gè)人即為一個(gè)結(jié)點(diǎn)；人與人之間的關(guān)系即為一條邊第15頁(yè)/共91頁(yè)例 Ramsey問(wèn)題圖論證明：用紅、藍(lán)兩種顏色對(duì)K6的邊進(jìn)行著色，K6的任意一個(gè)頂點(diǎn)均有5條邊與之相連接，這5條邊必有3條邊的顏色是相同的，不妨設(shè)為藍(lán)色（如圖）與這3條邊相關(guān)聯(lián)的另外3個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的3條邊，若都為紅色，則形成紅色的K3；若另外3個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的3條邊有一條為藍(lán)色，則與上面的藍(lán)色邊形成藍(lán)色的K3；因此必然存在一個(gè)

11、紅色的K3或一個(gè)藍(lán)色的K3 。第16頁(yè)/共91頁(yè)例 Ramsey問(wèn)題 Ramsey數(shù)：R（3,3）=6；R（3,4）=9；。17第17頁(yè)/共91頁(yè)例 過(guò)河問(wèn)題 問(wèn)題：一擺渡人欲將一只狼、一頭羊、一籃菜從河西渡過(guò)河到河?xùn)|。由于船小，一次只能帶一物過(guò)河，并且狼與羊，羊與菜不能獨(dú)處，給出渡河方法。 這里顯然不能用一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)物體。一個(gè)物體可能在河?xùn)|，也可能在河西，也可能在船上，狀態(tài)表示不清楚。 另外，問(wèn)題也可以分成幾個(gè)小問(wèn)題，如：?jiǎn)栴}是否能解？有幾種不同的解法？最快的解決方案是什么？第18頁(yè)/共91頁(yè)例 過(guò)河問(wèn)題 解：解：用四維0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河西岸的狀態(tài)(在河西岸則分量取1，

12、否則取0)，共有24 =16 種狀態(tài)。在河?xùn)|岸的狀態(tài)類似記作。 由題設(shè)，狀態(tài)(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允許的； 其對(duì)應(yīng)狀態(tài)：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允許的。 以可允許的以可允許的10個(gè)狀態(tài)向量作為個(gè)狀態(tài)向量作為頂點(diǎn)頂點(diǎn)，將可能互相轉(zhuǎn)移的狀態(tài)用，將可能互相轉(zhuǎn)移的狀態(tài)用邊邊連接起來(lái)構(gòu)成一連接起來(lái)構(gòu)成一個(gè)圖。個(gè)圖。 利用圖論的相關(guān)知識(shí)即可回答原問(wèn)題。第19頁(yè)/共91頁(yè)例 過(guò)河問(wèn)題(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0)(0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0

13、,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)(0,1,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) (0,0,0,0)(1,0,1,0) (1,0,1,1) (1,1,0,1) (1,1,1,0) (1,1,1,1)河西=(人,狼,羊,菜) 河?xùn)|=(人,狼,羊,菜) 將10個(gè)頂點(diǎn)分別記為A1, A2, , A10 , 從圖中易得到兩條路：A1 A6 A3 A7 A2 A8 A5 A10;A1 A6 A3 A9 A4 A8 A5 A10.問(wèn)題的轉(zhuǎn)換： 過(guò)河問(wèn)題是否能解？即：圖中A1到A10是否連通？ 有幾種不同的解法？即： A1到A10之間有多少條不同的路徑？ 最快

14、的解決方案是什么？即： A1到A10最短路徑有哪些？第20頁(yè)/共91頁(yè)圖的矩陣表示圖的矩陣表示 鄰接矩陣：鄰接矩陣表示了點(diǎn)與點(diǎn)之間的鄰接關(guān)系. .一個(gè)n階圖G的鄰接矩陣A = (aij )nn , 其中 ., 0;, 1EvEvaijijij0101100101001010A21第21頁(yè)/共91頁(yè)22無(wú)向圖G的鄰接矩陣A是一個(gè)對(duì)稱矩陣. . 0101101101011110A 權(quán)矩陣 一個(gè)n階賦權(quán)圖G = (V, E, F)的權(quán)矩陣A = (aij ) nn , 其中 .,;0),(EvjiEvvvFaijijjiij有限簡(jiǎn)單圖基本上可用權(quán)矩陣來(lái)表示. .第22頁(yè)/共91頁(yè)2305420370

15、860A無(wú)向圖G的權(quán)矩陣A是一個(gè)對(duì)稱矩陣. . 02420737064360A第23頁(yè)/共91頁(yè)24 關(guān)聯(lián)矩陣：一個(gè)有m條邊的n階有向圖G的關(guān)聯(lián)矩陣A = (aij )nm , 其中 若若vi是是ej的始點(diǎn)的始點(diǎn);若若vi是是ej的終點(diǎn)的終點(diǎn);若若vi與與ej不關(guān)聯(lián)不關(guān)聯(lián). ., 0, 1, 1ija 有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣每列的元素中有且僅有一個(gè)1,1,有且僅有一個(gè) - - 1. 1. 1101100011011000000111011001A第24頁(yè)/共91頁(yè)25 一個(gè)有m條邊的n階無(wú)向圖G的關(guān)聯(lián)矩陣A = (aij )nm , 其中 若若vi與與ej關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián);若若vi與與ej不關(guān)聯(lián)不關(guān)聯(lián). .

16、, 0, 1ija 無(wú)向圖的關(guān)聯(lián)矩陣每列的元素中有且僅有兩個(gè)1. 1. 110100101010011001000111A第25頁(yè)/共91頁(yè)2 2、最短路徑算法 定義定義1 設(shè)P(u, v) 是賦權(quán)圖G = (V, E , F) 中從點(diǎn)u到v的路徑, 用E(P) 表示路徑P(u, v)中全部邊的集合, 記)()()(PEeeFPF則稱F (P)為路徑P(u, v) 的權(quán)權(quán)或長(zhǎng)度長(zhǎng)度( (距離) ). 定義定義2 若P0 (u, v) 是G 中連接u, v的路徑, 且對(duì)任意在G 中連接u, v的路徑P (u, v)都有F (P0)F(P), 則稱P0 (u, v) 是G 中連接u, v的最短路最

17、短路. 第26頁(yè)/共91頁(yè)重要性質(zhì)：重要性質(zhì)： 若v0 v1 vm 是圖G中從v0到vm的最短路, 則 1km, v0v1 vk 必為G中從v0到vk的最短路. 即：最短路是一條路，且最短路的任一段也是最短路. 求非負(fù)賦權(quán)圖G中某一點(diǎn)到其它各點(diǎn)最短路，一般用Dijkstra標(biāo)號(hào)算法；求非負(fù)賦權(quán)圖上任意兩點(diǎn)間的最短路，一般用Floyd算法. . 這兩種算法均適用于有向非負(fù)賦權(quán)圖. . 下面分別介紹兩種算法的基本過(guò)程. .第27頁(yè)/共91頁(yè)Dijkstra算法 指標(biāo)（a為起點(diǎn)） 設(shè)T為V的子集，P=V-T且aT，對(duì)所有tT，設(shè) l(t)表示從a到t的所有通路中距離最短的一條的長(zhǎng)度，且這條路徑中不包

18、含T中其他的結(jié)點(diǎn)，則稱l(t)為t關(guān)于集合P的指標(biāo)，若不存在這樣的路徑，這記l(t)= 注：l(t)不一定是從a到t的最短路徑，因?yàn)樽疃搪窂街锌赡馨琓中其他的節(jié)點(diǎn)。 定理1 若t是T中關(guān)于P由最小指標(biāo)的結(jié)點(diǎn)，則l(t)是a和t之間的最短距離。 定理2 設(shè) T為V的子集，P=V-T，設(shè) (1)對(duì)P中的任一點(diǎn)p,存在一條從a到p的最短路徑,這條路徑僅有P中的點(diǎn)構(gòu)成, (2)對(duì)于每一點(diǎn)t,它關(guān)于P的指標(biāo)為l(t),令x為最小指標(biāo)所在的點(diǎn), 即: (3)令P=P Ux,T=T-x,l(t)表示T中結(jié)點(diǎn)t關(guān)于P的指標(biāo),則 28),()(),(min)( txwxltltlTttlxl),(min)(第

19、28頁(yè)/共91頁(yè)Dijkstra算法（求a點(diǎn)到其他點(diǎn)的最短路徑）1、初始化，、初始化，P=a，T=V-a，對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)，對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)t計(jì)算計(jì)算指標(biāo)指標(biāo) l(t)=w(a,t) 2、設(shè)、設(shè)x為為T中關(guān)于中關(guān)于P有最小指標(biāo)的點(diǎn)有最小指標(biāo)的點(diǎn), 即即:l(x)=min(l(t) (tT), 3、若、若T=,則算法結(jié)束則算法結(jié)束; 否則否則,令令P=P Ux,T=T-x 按照公式按照公式l(t)=minl(t),l(x)+w(x,t), 計(jì)算計(jì)算T中每一個(gè)結(jié)點(diǎn)中每一個(gè)結(jié)點(diǎn)t關(guān)于關(guān)于P的指標(biāo)的指標(biāo). 4、P代替代替P,T代替代替T,重復(fù)步驟重復(fù)步驟2,3 （ 其中：其中：w(x,y)為圖的權(quán)矩陣）為圖的權(quán)矩

20、陣） 29第29頁(yè)/共91頁(yè)改進(jìn)Dijkstra算法（求a點(diǎn)到其他點(diǎn)的最短路徑）1、初始化，、初始化，P=a，T=V-a，對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)，對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)t計(jì)算指標(biāo)計(jì)算指標(biāo) l(t)=w(a,t) ,pro(t)=a;2、設(shè)、設(shè)x為為T中關(guān)于中關(guān)于P有最小指標(biāo)的點(diǎn)有最小指標(biāo)的點(diǎn), 即即:l(x)=min(l(t) (tT);3、若、若T=,則算法結(jié)束則算法結(jié)束; 否則否則,令令P=P Ux,T=T-x 按照公式按照公式l(t)=minl(t),l(x)+w(x,t), 計(jì)算計(jì)算T中每一個(gè)結(jié)點(diǎn)中每一個(gè)結(jié)點(diǎn)t關(guān)于關(guān)于P的指標(biāo)的指標(biāo). 若若 l(x)+w(x,t) l(t), pro(t)=x;4、P代替代替

21、P,T代替代替T,重復(fù)步驟重復(fù)步驟2,3 （ 其中：其中：w(x,y)為圖的權(quán)矩陣）為圖的權(quán)矩陣） 30第30頁(yè)/共91頁(yè)例 求下圖中A A點(diǎn)到其他點(diǎn)的最短路. .31第31頁(yè)/共91頁(yè)Floyd算法（求任意兩點(diǎn)的最短路徑） 設(shè)A = (aij )nn為賦權(quán)圖G = (V, E, F)的權(quán)矩陣, dij表示從vi到vj點(diǎn)的距離, rij表示從vi到vj點(diǎn)的最短路中前一個(gè)點(diǎn)的編號(hào). 賦初值. 對(duì)所有i, j, dij = aij, rij = j. k = 1. 轉(zhuǎn)向. 更新dij , rij . 對(duì)所有i, j, 若dik + dk jdij , 則令dij = dik + dkj , rij

22、 = k, 轉(zhuǎn)向; 終止判斷. 若k = n終止; 否則令k = k + 1, 轉(zhuǎn)向. 最短路線可由rij得到. 第32頁(yè)/共91頁(yè)例 求下圖中任意兩點(diǎn)間的最短路. .3303030350201502051504510500A028338235803065508525035205540150352053015035452510450D533333143333113111133230142212142220R第33頁(yè)/共91頁(yè)例 設(shè)備更新問(wèn)題 某企業(yè)每年年初, ,都要作出決定, ,如果繼續(xù)使用舊設(shè)備, ,要付維修費(fèi)；若購(gòu)買一臺(tái)新設(shè)備, ,要付購(gòu)買費(fèi). .試制定一個(gè)5 5年更新計(jì)劃, ,使總支出最

23、少. . 已知設(shè)備在每年年初的購(gòu)買費(fèi)分別為11,11, 12,12,13. 11,11, 12,12,13. 使用不同時(shí)間設(shè)備所需的維修費(fèi)分別為5,6,8,11,18.5,6,8,11,18. 解解 設(shè)bi 表示設(shè)備在第i 年年初的購(gòu)買費(fèi), ,ci 表示設(shè)備使用i 年后的維修費(fèi), , V= v1, v2, , v6,點(diǎn)vi表示第i 年年初購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備, ,虛設(shè)一個(gè)點(diǎn)v6表示第5 5年年底. . E = vivj | 1ij6,每條邊vivj表一臺(tái)設(shè)備，從第i年年初購(gòu)買使用到第j年年初報(bào)廢.ijkkijicbvvF1)(第34頁(yè)/共91頁(yè)35 這樣上述設(shè)備更新問(wèn)題就變?yōu)椋涸谟邢蛸x權(quán)圖G = (

24、V, E, F )(圖解如下) )中求v1到v6的最短路問(wèn)題. 第35頁(yè)/共91頁(yè)36 由實(shí)際問(wèn)題可知, ,設(shè)備使用三年后應(yīng)當(dāng)更新, ,因此刪除該圖中v1到v5 , ,v1到v6 , ,v2到v6的連線；又設(shè)備使用一年后就更新則不劃算, ,因此再刪除該圖中v1v2 , ,v2v3 , ,v3v4 , ,v4v5 , ,v5v6 五條連線后得到從上圖中容易得到v1到v6只有兩條路：v1v3v6和v1v4v6. . 而這兩條路都是v1到v6的最短路. .第36頁(yè)/共91頁(yè)3 3、最小生成樹(shù) 由樹(shù)的定義不難知道, 任意一個(gè)連通的(n,m)圖G適當(dāng)去掉m - - n +1條邊后, 都可以變成樹(shù), 這棵

25、樹(shù)稱為圖G的生成樹(shù)生成樹(shù). 設(shè)T是圖G的一棵生成樹(shù), 用F(T)表示樹(shù)T中所有邊的權(quán)數(shù)之和, F(T)稱為樹(shù)樹(shù)T的權(quán)的權(quán). 一個(gè)連通圖G的生成樹(shù)一般不止一棵, 圖G的所有生成樹(shù)中權(quán)數(shù)最小的生成樹(shù)稱為圖G的最小生成樹(shù)最小生成樹(shù)-Minimum-cost Spanning Tree (MST). 求最小生成樹(shù)問(wèn)題有很廣泛的實(shí)際應(yīng)用. 例如, 把n個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)用高壓電纜連接起來(lái)建立一個(gè)電網(wǎng), 使所用的電纜長(zhǎng)度之和最短, 即費(fèi)用最小, 就是一個(gè)求最小生成樹(shù)問(wèn)題. 第37頁(yè)/共91頁(yè)Kruskal算法38 從未選入樹(shù)中的邊中選取權(quán)重最小的且不構(gòu)成回路的邊加入到樹(shù)中. .（判斷回路比較麻煩）算法過(guò)程：1.將各邊

26、按權(quán)值從小到大進(jìn)行排序2.找出權(quán)值最小且不與已加入最小生成樹(shù)集合的邊構(gòu)成回路的邊。若符合條件，則加入最小生成樹(shù)的集合中。不符合條件則繼續(xù)遍歷圖，尋找下一個(gè)最小權(quán)值的邊。3.遞歸重復(fù)步驟1，直到找出n-1條邊為止，得到最小生成樹(shù)。時(shí)間復(fù)雜度只和邊有關(guān)，可以證明其時(shí)間復(fù)雜度為O(mlogm)第38頁(yè)/共91頁(yè)求最小生成樹(shù)39 2 4 4 2 1 3 7 2 8 6 7 3 B C A F D G E 2 2 1 3 6 3 E G D F A C B第39頁(yè)/共91頁(yè)P(yáng)rim算法40 把結(jié)點(diǎn)分成兩個(gè)集合，已加入樹(shù)中的( (P P) )和未加入樹(shù)中的( (Q Q) )，然后每次選擇一個(gè)點(diǎn)在P P中一

27、個(gè)點(diǎn)在Q Q中的權(quán)重最小的邊，加入樹(shù)中，并把相應(yīng)點(diǎn)加入P P中。類似地, ,可定義連通圖G 的最大生成樹(shù). .算法過(guò)程：1：初始化：任取一個(gè)節(jié)點(diǎn)u加入生成樹(shù),P=u0, Q=V-u0, 生成樹(shù)的邊集TE=。2：在所有uP,vQ的邊(u,v) （稱為可選邊集）中，找一條權(quán)重最小的邊(u1,v1)，將此邊加進(jìn)集合TE中，并將v加入P中。同時(shí)對(duì)與v關(guān)聯(lián)的邊，若另一個(gè)端點(diǎn)已經(jīng)在P中，則從可選邊集中刪除，否則加入可選邊集。3：如果P=V，則算法結(jié)束；否則重復(fù)步驟2。 我們可以算出當(dāng)U=V時(shí)，步驟2共執(zhí)行了n1次，TE中也增加了n1條邊，這n1條邊就是需要求出的最小生成樹(shù)的邊。第40頁(yè)/共91頁(yè)例 選址問(wèn)

28、題 現(xiàn)準(zhǔn)備在 n 個(gè)居民點(diǎn)v1, v2, , vn中設(shè)置一銀行. .問(wèn)設(shè)在哪個(gè)點(diǎn), ,可使最大服務(wù)距離最小? ? 若設(shè)置兩個(gè)銀行, ,問(wèn)設(shè)在哪兩個(gè)點(diǎn)? ? 模型假設(shè) 假設(shè)各個(gè)居民點(diǎn)都有條件設(shè)置銀行, ,并有路相連, ,且路長(zhǎng)已知. . 模型建立與求解 用Floyd算法求出任意兩個(gè)居民點(diǎn)vi , vj 之間的最短距離, ,并用dij 表示. . 設(shè)置一個(gè)銀行, ,銀行設(shè)在 vi 點(diǎn)的最大服務(wù)距離為.,.,2 , 1,max1niddijnji第41頁(yè)/共91頁(yè)42求k, ,使.min1inikdd 即若設(shè)置一個(gè)銀行, ,則銀行設(shè)在 vk 點(diǎn), ,可使最大服務(wù)距離最小. . 設(shè)置兩個(gè)銀行, ,假設(shè)

29、銀行設(shè)在vs , vt 點(diǎn)使最大服務(wù)距離最小. .記.,minmax),(1jkiknkddjid則s, ,t 滿足：).,(min),(1jidtsdnji進(jìn)一步, ,若設(shè)置多個(gè)銀行呢？第42頁(yè)/共91頁(yè)4、遍歷性問(wèn)題一、歐拉圖G=(V,E)為一連通無(wú)向圖經(jīng)過(guò)G中每條邊至少一次的回路稱為巡回；經(jīng)過(guò)G中每條邊正好一次的巡回稱為歐拉巡回；存在歐拉巡回的圖稱為歐拉圖。二、中國(guó)郵遞員問(wèn)題（CPPchinese postman problem） 一名郵遞員負(fù)責(zé)投遞某個(gè)街區(qū)的郵件。如何為他（她）設(shè)計(jì)一條最短的投遞路線（從郵局出發(fā)，經(jīng)過(guò)投遞區(qū)內(nèi)每條街道至少一次，最后返回郵局）？這一問(wèn)題是我國(guó)管梅谷教授19

30、62年首先提出，國(guó)際上稱之為中國(guó)郵遞員問(wèn)題。 43第43頁(yè)/共91頁(yè) 解法： 若本身就是歐拉圖，則直接可以找到一條歐拉巡回就是本問(wèn)題的解。 若不是歐拉圖，必定有偶數(shù)個(gè)奇度數(shù)結(jié)點(diǎn)，在這些奇度數(shù)點(diǎn)之間添加一些邊，使之變成歐拉圖，再找出一個(gè)歐拉巡回。 具體解法：Fleury算法+Edmonds最小對(duì)集算法44第44頁(yè)/共91頁(yè)三、哈密爾頓圖 G=(V,E)為一連通無(wú)向圖 經(jīng)過(guò)G中每點(diǎn)一次且正好一次的路徑稱為哈密爾頓路徑； 經(jīng)過(guò)G中每點(diǎn)一次且正好一次的回路稱為哈密爾頓回路； 存在哈密爾頓回路的圖稱為哈密爾頓圖。四、旅行商問(wèn)題（TSPTraveling Salesman Problem） 一名推銷員準(zhǔn)備

31、前往若干城市推銷產(chǎn)品。如何為他（她）設(shè)計(jì)一條最短的旅行路線？ 即：從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市恰好一次，最后返回駐地（最小哈密爾頓回路） 對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的旅行商問(wèn)題，n個(gè)節(jié)點(diǎn)的任意一個(gè)全排列都是問(wèn)題的一個(gè)可能解（假設(shè)任意兩個(gè)點(diǎn)之間都有邊）。G個(gè)節(jié)點(diǎn)的全排列有(n-1)!個(gè)，因此間題歸結(jié)為在(n-1)!個(gè)回路中選取最小回路。 TSP問(wèn)題的解法屬于NPNP完全問(wèn)題，一般只研究其近似解法45第45頁(yè)/共91頁(yè)最鄰近算法(1) 選取任意一個(gè)點(diǎn)作為起始點(diǎn),找出與該點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的權(quán)重最小的邊,形成一條初始路徑.(2) 找出與最新加入到路徑中的點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的權(quán)重最小的邊加入到路徑中,且要求不再路徑中產(chǎn)生回路.(3) 重復(fù)

32、(2)直到所有的結(jié)點(diǎn)都加入到路徑中.(4) 將起點(diǎn)和最后加入的結(jié)點(diǎn)之間的邊加入到路徑中,形成Hamilton回路.其他數(shù)值算法： 人工神經(jīng)元方法， 遺傳算法等等46第46頁(yè)/共91頁(yè)5 5、二分圖與匹配 定義定義1 1 設(shè)X, ,Y 都是非空有限集, ,且XY = , , E xy| |xX, ,yY, , 稱G =(X, Y, E)為二部圖二部圖. . 二部圖可認(rèn)為是有限簡(jiǎn)單無(wú)向圖. . 如果X中的每個(gè)點(diǎn)都與Y中的每個(gè)點(diǎn)鄰接, ,則稱G =(X, Y, E)為完備二部圖完備二部圖. . 若F：ER + +, ,則稱G =(X, Y, E, F )為二部賦權(quán)圖二部賦權(quán)圖. . 二部賦權(quán)圖的權(quán)矩

33、陣一般記作A=(aij )|X|Y | , ,其中aij = F (xi yj ). .第47頁(yè)/共91頁(yè)48 定義定義2 2 設(shè)G =(X, Y, E)為二部圖, ,且M E. .若M中任意兩條邊在G中均不鄰接, ,則稱M是二部圖G的一個(gè)匹配匹配. . 定義定義3 3 設(shè)M是二部圖G的一個(gè)匹配, ,如果G的每一個(gè)點(diǎn)都是M中邊的頂點(diǎn), ,則稱M是二部圖G的完美匹配完美匹配； 如果G中沒(méi)有另外的匹配M0 , ,使| |M0| | |M|,|,則稱M是二部圖G的最大匹配最大匹配. . 在二部賦權(quán)圖G =(X, Y, E, F )中, ,權(quán)數(shù)最大的最大匹配M稱為二部賦權(quán)圖G的最佳匹最佳匹配配. .

34、顯然, ,每個(gè)完美匹配都是最大匹配, ,反之不一定成立. .第48頁(yè)/共91頁(yè)工作安排問(wèn)題之一 49 給n個(gè)工作人員x1, x2, , xn安排n項(xiàng)工作y1, y2, , yn. . n個(gè)工作人員中每個(gè)人能勝任一項(xiàng)或幾項(xiàng)工作, 但并不是所有工作人員都能從事任何一項(xiàng)工作. 比如x1能做y1, y2工作, x2能做y2, y3, y4工作等. 這樣便提出一個(gè)問(wèn)題, 對(duì)所有的工作人員能不能都分配一件他所能勝任的工作？ 我們構(gòu)造一個(gè)二部圖G = ( X, Y, E ), 這里X = x1, x2, , xn,Y = y1, y2, , yn, 并且當(dāng)且僅當(dāng)工作人員xi勝任工作yj時(shí), xi與yj才相鄰

35、. 于是, 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二部圖的一個(gè)完美匹配. 因?yàn)?|X|=|Y|, 所以完美匹配即為最大匹配. 第49頁(yè)/共91頁(yè)50 求二部圖G = ( X, Y, E )的最大匹配算法( (匈牙利算法, ,交替鏈算法) )迭代步驟: 從G的任意匹配M開(kāi)始. . 將X中M的所有非飽和點(diǎn)都給以標(biāo)號(hào)0 0和標(biāo)記* *, , 轉(zhuǎn)向. . M的非飽和點(diǎn)即非M的某條邊的頂點(diǎn). . 若X中所有有標(biāo)號(hào)的點(diǎn)都已去掉了標(biāo)記* *, , 則M是G的最大匹配. . 否則任取X中一個(gè)既有標(biāo)號(hào)又有標(biāo)記* *的點(diǎn)xi , , 去掉xi的標(biāo)記* *, , 轉(zhuǎn)向. . 找出在G中所有與xi鄰接的點(diǎn)yj , , 若所有這樣的yj都已有標(biāo)

36、號(hào), , 則轉(zhuǎn)向, , 否則轉(zhuǎn)向. .第50頁(yè)/共91頁(yè)51 對(duì)與xi鄰接且尚未給標(biāo)號(hào)的yj都給定標(biāo)號(hào)i. . 若所有的 yj 都是M的飽和點(diǎn), ,則轉(zhuǎn)向, ,否則逆向返回. . 即由其中M的任一個(gè)非飽和點(diǎn) yj 的標(biāo)號(hào)i 找到xi , ,再由 xi 的標(biāo)號(hào)k 找到 yk , , ,最后由 yt 的標(biāo)號(hào)s找到標(biāo)號(hào)為0 0的xs時(shí)結(jié)束, ,獲得M- -增廣路xs yt xi yj , , 記P = xs yt , , xi yj ,重新記M為M P, ,轉(zhuǎn)向. . 不必理會(huì)M- -增廣路的定義. . M P = MP MP, , 是對(duì)稱差. . 將yj在M中與之鄰接的點(diǎn)xk , ,給以標(biāo)號(hào) j

37、和標(biāo)記* *, , 轉(zhuǎn)向. .第51頁(yè)/共91頁(yè)例 求下圖所示二部圖G的最大匹配52解 取初始匹配M0 = x2 y2 , x3 y3 , x5 y5 ( (上圖粗線所示). ). 給X中M0的兩個(gè)非飽和點(diǎn)x1, ,x4都給以標(biāo)號(hào)0 0和標(biāo)記* * ( (如下圖所示). ). 去掉x1的標(biāo)記*, 將與x1鄰接的兩個(gè)點(diǎn)y2, y3都給以標(biāo)號(hào)1.1. 因?yàn)閥2, y3都是M0的兩個(gè)飽和點(diǎn), ,所以將它們?cè)贛0中鄰接的兩個(gè)點(diǎn)x2, x3都給以相應(yīng)的標(biāo)號(hào)和標(biāo)記* (如下圖所示). 第52頁(yè)/共91頁(yè)53 去掉x2的標(biāo)記*, 將與x2鄰接且尚未給標(biāo)號(hào)的三個(gè)點(diǎn)y1, y4, y5都給以標(biāo)號(hào)2 (如下圖所示

38、). 因?yàn)閥1是M0的非飽和點(diǎn), 所以順著標(biāo)號(hào)逆向返回依次得到x2, y2, 直到x1為0為止. .于是得到M0的增廣路x1 y2x2 y1, 記P = x1 y2 , y2x2 , x2 y1. 取M1 = M0P = x1 y2 , x2 y1 , x3 y3 , x5 y5, 則M1是比M多一邊的匹配(如下圖所示). 第53頁(yè)/共91頁(yè) 再給X中M1的非飽和點(diǎn)x4給以標(biāo)號(hào)0和標(biāo)記*, 然后去掉x4的標(biāo)記*, 將與x4鄰接的兩個(gè)點(diǎn)y2, y3都給以標(biāo)號(hào)4. 因?yàn)閥2, y3都是M1的兩個(gè)飽和點(diǎn), , 所以將它們?cè)贛1中鄰接的兩個(gè)點(diǎn)x1, x3都給以相應(yīng)的標(biāo)號(hào)和標(biāo)記* (如下圖所示). 去掉

39、x1的標(biāo)記*, 因?yàn)榕cx1鄰接的兩個(gè)點(diǎn)y2, y3都有標(biāo)號(hào)4, 所以去掉x3的標(biāo)記*. 而與x3鄰接的兩個(gè)點(diǎn)y2, y3也都有標(biāo)號(hào)4, 此時(shí)X中所有有標(biāo)號(hào)的點(diǎn)都已去掉了標(biāo)記*(如下圖所示), 因此M1是G的最大匹配. G不存在飽和X的每個(gè)點(diǎn)的匹配, 當(dāng)然也不存在完美匹配.第54頁(yè)/共91頁(yè)工作安排問(wèn)題之二 55 給n個(gè)工作人員x1, x2, , xn安排n項(xiàng)工作y1, y2, , yn. . 如果每個(gè)工作人員工作效率不同, 要求工作分配的同時(shí)考慮總效率最高. 我們構(gòu)造一個(gè)二部賦權(quán)圖G = ( X, Y, E , F ), 這里X = x1, x2, , xn,Y = y1, y2, , yn,

40、 F(xi yj )為工作人員xi勝任工作yj時(shí)的工作效率. 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求二部賦權(quán)圖G的最佳匹配. 在求G 的最佳匹配時(shí), 總可以假設(shè)G為完備二部賦權(quán)圖. .若xi與yj不相鄰, 可令F(xi yj )=0. 同樣地, 還可虛設(shè)點(diǎn)x或y, ,使|X|=|Y|. .如此就將G 轉(zhuǎn)化為完備二部賦權(quán)圖, ,而且不會(huì)影響結(jié)果. 第55頁(yè)/共91頁(yè) 定義定義 設(shè)G =( (X, Y, E, F) )為完備的二部賦權(quán)圖, , 若L：X Y R + + 滿足： xX, yY, L(x) + L(y)F(xy), ,則稱L為G的一個(gè)可行點(diǎn)標(biāo)記可行點(diǎn)標(biāo)記, ,記相應(yīng)的生成子圖為GL =( (X, Y, EL

41、 , F),),這里EL = xyE| |L(x) + L (y) = F (xy). 求完備二部賦權(quán)圖G = (X, Y, E, F )的最佳匹配算法迭代步驟： 設(shè)G =( (X, Y, E, F) )為完備的二部賦權(quán)圖, ,L是其一個(gè)初始可行點(diǎn)標(biāo)記, ,通常取 L(x) = max F (x y) | yY , xX, L(y) = 0, , yY. 第56頁(yè)/共91頁(yè)57M是GL的一個(gè)匹配. . 若X的每個(gè)點(diǎn)都是飽和的,則M是最佳匹配.否則取M的非飽和點(diǎn)uX,令S =u, T = ,轉(zhuǎn)向. 記NL(S)=v|uS,uvGL. 若NL(S)= T, 則GL沒(méi)有完美匹配, 轉(zhuǎn)向. 否則轉(zhuǎn)向.

42、 調(diào)整標(biāo)記, 計(jì)算aL=minL(x) + L (y) - - F (xy)|xS, yYT. 由此得新的可行點(diǎn)標(biāo)記.),(,)(,)()(ccLLTSvvLTvavLSvavLvH 令L = H, GL = GH , 重新給出GL的一個(gè)匹配M, 轉(zhuǎn)向. 取yNL (S) T , 若y是M的飽和點(diǎn), 轉(zhuǎn)向. 否則, 轉(zhuǎn)向. 設(shè)x yM, 則令S = S x , T = T y , 轉(zhuǎn)向. 在GL中的u - - y路是M- - 增廣路, 設(shè)為P, 并令 M = M P, 轉(zhuǎn)向. 第57頁(yè)/共91頁(yè)6 6、網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題 58 定義定義1 1 設(shè)G =(V, E )為有向圖, ,在V中指定一點(diǎn)稱為發(fā)點(diǎn)

43、發(fā)點(diǎn)( (記為vs ),),和另一點(diǎn)稱為收點(diǎn)收點(diǎn)( (記為vt ), ), 其余點(diǎn)叫做中間點(diǎn). . 對(duì)每一條邊vivjE, ,對(duì)應(yīng)一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)Cij , ,稱為它的容量容量. . 這樣的G稱為容量網(wǎng)絡(luò)容量網(wǎng)絡(luò), ,簡(jiǎn)稱網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò), ,記作G = (V, E, C ). . 定義定義2 2 網(wǎng)絡(luò)G = (V, E, C )中任一條邊vivj有流量 fij , ,稱集合 f = fij 為網(wǎng)絡(luò)G上的一個(gè)流流. . 滿足下述條件的流 f 稱為可行流可行流： ( (限制條件) )對(duì)每一邊vivj , ,有0 fij Cij ; ( (平衡條件) )對(duì)于中間點(diǎn)vk有fik =fkj , , 即中間點(diǎn)vk的

44、輸入量 = 輸出量. . 第58頁(yè)/共91頁(yè) 如果 f 是可行流, ,則對(duì)收、發(fā)點(diǎn)vt、vs有fsi =fjt =Wf , ,即從vs點(diǎn)發(fā)出的物質(zhì)總量 = vt點(diǎn)輸入的量. .Wf 稱為網(wǎng)絡(luò)流 f 的總流量. . 上述概念可以這樣來(lái)理解, ,如G是一個(gè)運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò), ,則發(fā)點(diǎn)vs表示發(fā)送站, ,收點(diǎn)vt表示接收站, ,中間點(diǎn)vk表示中間轉(zhuǎn)運(yùn)站, ,可行流 fij 表示某條運(yùn)輸線上通過(guò)的運(yùn)輸量, ,容量Cij表示某條運(yùn)輸線能承擔(dān)的最大運(yùn)輸量, ,Wf 表示運(yùn)輸總量. . 可行流總是存在的. .比如所有邊的流量 fij = 0就是一個(gè)可行流( (稱為零流).).第59頁(yè)/共91頁(yè) 所謂最大流問(wèn)題就是在

45、容量網(wǎng)絡(luò)中, ,尋找流量最大的可行流. . 實(shí)際問(wèn)題中, ,一個(gè)網(wǎng)絡(luò)會(huì)出現(xiàn)下面兩種情況： 發(fā)點(diǎn)和收點(diǎn)都不止一個(gè). . 解決的方法是再虛設(shè)一個(gè)發(fā)點(diǎn)vs和一個(gè)收點(diǎn)vt , ,發(fā)點(diǎn)vs到所有原發(fā)點(diǎn)邊的容量都設(shè)為無(wú)窮大, , 所有原收點(diǎn)到收點(diǎn)vt 邊的容量都設(shè)為無(wú)窮大. . 網(wǎng)絡(luò)中除了邊有容量外, ,點(diǎn)也有容量. . 解決的方法是將所有有容量的點(diǎn)分成兩個(gè)點(diǎn), ,如點(diǎn)v有容量Cv , ,將點(diǎn)v分成兩個(gè)點(diǎn)v和v, ,令C(vv ) = Cv . . 第60頁(yè)/共91頁(yè)最小費(fèi)用流問(wèn)題 61 這里我們要進(jìn)一步探討不僅要使網(wǎng)上的流達(dá)到最大, ,或者達(dá)到要求的預(yù)定值, ,而且還要使運(yùn)輸流的費(fèi)用是最小的, ,這就是

46、最小費(fèi)用流問(wèn)題. . 最小費(fèi)用流問(wèn)題的一般提法： 已知網(wǎng)絡(luò)G = (V, E, C ), ,每條邊vivjE 除了已給容量Cij外, ,還給出了單位流量的費(fèi)用bij(0).). 所謂最小費(fèi)用流問(wèn)題就是求一個(gè)總流量已知的可行流 f = f ij 使得總費(fèi)用ijEvvijfbfbji)(最小. .第61頁(yè)/共91頁(yè)62 特別地, ,當(dāng)要求 f 為最大流時(shí), , 即為最小費(fèi)用最大流問(wèn)題. . 設(shè)網(wǎng)絡(luò)G = (V, E, C), 取初始可行流 f 為零流, 求解最小費(fèi)用流問(wèn)題的迭代步驟： 構(gòu)造有向賦權(quán)圖Gf =( (V, Ef , F),),對(duì)于任意的vivjE, ,Ef , ,F 的定義如下： 當(dāng)

47、f ij = 0時(shí), ,vivjEf , ,F(vivj )= bij ; 當(dāng) f ij = Cij時(shí), ,vjviEf , ,F(vjvi )= - - bij ; 當(dāng)0 f ijCij時(shí), ,vivjEf , ,F(vivj )= bij , ,vjviEf , , F(vjvi ) = - - bij . . 然后轉(zhuǎn)向. .第62頁(yè)/共91頁(yè)63 求出含有負(fù)權(quán)的有向賦權(quán)圖Gf =( (V, Ef , F) )中發(fā)點(diǎn)vs到收點(diǎn)vt的最短路 , ,若最短路 存在轉(zhuǎn)向; 否則f是所求的最小費(fèi)用最大流, ,停止. . 增流. .,jiijjiijijijvvfvvfCvivj與 相同, ,viv

48、j與 相反. .令 = min ij| |vivj , 重新定義流 f = f ij 為.,jiijjiijijvvfvvff其它情況不變. . 如果Wf 大于或等于預(yù)定的流量值, ,則適當(dāng)減少 值, ,使Wf 等于預(yù)定的流量值, ,那么 f 是所求的最小費(fèi)用流, , 停止; 否則轉(zhuǎn)向. .第63頁(yè)/共91頁(yè)64 下面介紹求解有向賦權(quán)圖G = (V, E, F )中含有負(fù)權(quán)的最短路的Ford算法. 設(shè)邊的權(quán)vivj為wij , v1到vi的路長(zhǎng)記為 (i ). Ford算法的迭代步驟： 賦初值 (1)=0, , (i )=,i = 2, 3, , n . . 更新 (i ), ,i = 2,

49、3, , n . . (i )= min (i ), ,min ( j ) + + wji | | ji . . 若所有的 (i )都無(wú)變化, ,停止;否則轉(zhuǎn)向. . 在算法的每一步, , (i )都是從v1到vi的最短路長(zhǎng)度的上界. . 若不存在負(fù)長(zhǎng)回路, ,則從v1到vi的最短路長(zhǎng)度是 (i )的下界, ,經(jīng)過(guò)n - - 1次迭代后 (i )將保持不變. . 若在第n次迭代后 (i )仍在變化時(shí), , 說(shuō)明存在負(fù)長(zhǎng)回路. . 第64頁(yè)/共91頁(yè)7 7、關(guān)鍵路徑問(wèn)題（拓?fù)渑判颍?5 一項(xiàng)工程任務(wù), ,大到建造一座大壩, ,一座體育中心, ,小至組裝一臺(tái)機(jī)床, ,一架電視機(jī), , 都要包括許多

50、工序. .這些工序相互約束, ,只有在某些工序完成之后, , 一個(gè)工序才能開(kāi)始. . 即它們之間存在完成的先后次序關(guān)系, ,一般認(rèn)為這些關(guān)系是預(yù)知的, , 而且也能夠預(yù)計(jì)完成每個(gè)工序所需要的時(shí)間. . 這時(shí)工程領(lǐng)導(dǎo)人員迫切希望了解最少需要多少時(shí)間才能夠完成整個(gè)工程項(xiàng)目, , 影響工程進(jìn)度的要害工序是哪幾個(gè)？ 第65頁(yè)/共91頁(yè)P(yáng)T(Potentialtask graph)圖 66 在PT(Potentialtask graph)圖中, ,用結(jié)點(diǎn)表示工序, ,如果工序 i 完成之后工序 j 才能啟動(dòng), ,則圖中有一條有向邊( (i , j ),),其長(zhǎng)度wi 表示工序 i 所需的時(shí)間. . 這種

51、圖必定不存在有向回路, ,否則某些工序?qū)⒃谧陨硗瓿芍蟛拍荛_(kāi)始, ,這顯然不符合實(shí)際情況. . 在PT圖中增加兩個(gè)虛擬結(jié)點(diǎn)v0和vn , ,使所有僅為始點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)都直接與v0聯(lián)結(jié), ,v0為新增邊的始點(diǎn), ,這些新增邊的權(quán)都設(shè)為0; 使所有僅為終點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)都直接與vn聯(lián)結(jié), ,vn為新增邊的終點(diǎn). . 這樣得到的圖G仍然不存在有向回路. .第66頁(yè)/共91頁(yè) 例 一項(xiàng)工程由1313道工序組成, , 所需時(shí)間( (單位：天) )及先行工序如下表所示(P172).(P172).工序序號(hào) A B C D E F G H IA B C D E F G H I所需時(shí)間 2 6 3 2 4 3 8 4 22

52、6 3 2 4 3 8 4 2先行工序 A A B C,D D D D G,H A A B C,D D D D G,H工序序號(hào) J K L MJ K L M所需時(shí)間 3 8 5 63 8 5 6先行工序 G H,E J K G H,E J K 試問(wèn)這項(xiàng)工程至少需要多少天才能完成? ? 那些工程不能延誤? ? 那些工程可以延誤? ? 最多可延誤多少天? ?第67頁(yè)/共91頁(yè) 先作出該工程的先作出該工程的PT圖圖. .由于除了工序由于除了工序A A外，均有先行工序外，均有先行工序, ,因因此不必虛設(shè)虛擬結(jié)點(diǎn)此不必虛設(shè)虛擬結(jié)點(diǎn)v0. .A AB B2 22 2C C6 6D D3 3E E2 2F

53、F2 2G G2 2H H2 2K K4 4N N3 3I I8 8J J8 84 44 42 2L L3 3M M8 85 56 6 在在PT圖中圖中,容易看出各工序先后完成的順序及時(shí)間容易看出各工序先后完成的順序及時(shí)間.虛擬結(jié)點(diǎn)第68頁(yè)/共91頁(yè)69A AB B2 22 2C C6 6D D3 3E E2 2F F2 2G G2 2H H2 2K K4 4N N3 3I I8 8J J8 84 44 42 2L L3 3M M8 85 56 6 這項(xiàng)工程至少需要多少天才能完成? ?就是要求就是要求A A到到N N的最長(zhǎng)路的最長(zhǎng)路, ,此路徑稱為此路徑稱為關(guān)鍵路徑關(guān)鍵路徑. . 那些工程不能

54、延誤? ? 那些工程可以延誤? ? 最多可延誤多少天? ? 關(guān)鍵路徑上的那些工程不能延誤. .第69頁(yè)/共91頁(yè)關(guān)鍵路徑( (最長(zhǎng)路徑) )算法 70 定理定理 若有向圖G中不存在有向回路, ,則可以將G 的結(jié)點(diǎn)重新編號(hào)為u1, u2, , un, ,使得對(duì)任意的邊ui ujE( (G),),都有i j . . 各工序最早啟動(dòng)時(shí)間算法步驟： 根據(jù)定理對(duì)結(jié)點(diǎn)重新編號(hào)為u1, u2, , un . . 賦初值 ( (u1) )= 0. . 依次更新 ( (uj ),),j = 2, 3, , n . . ( (uj ) )= max ( (ui )+)+ ( (ui , ,uj )|)|uiujE

55、( (G).). 結(jié)束. .其中 ( (uj ) )表示工序 uj 最早啟動(dòng)時(shí)間, ,而 ( (un) )即 ( (vn) )是整個(gè)工程完工所需的最短時(shí)間. .第70頁(yè)/共91頁(yè)71A AB B2 22 2C C6 6D D3 3E E2 2F F2 2G G2 2H H2 2K K4 4N N3 3I I8 8J J8 84 44 42 2L L3 3M M8 85 56 6此例不必重此例不必重新編號(hào)，只新編號(hào)，只要按字母順要按字母順序即可序即可. (A)=0,(A)=0, (B)=(B)= (C)=2,(C)=2, (D)=8,(D)=8, (E)=(E)=max2+3,8+2=10,2+

56、3,8+2=10, (F)=(F)= (G)=(G)= (H)=(H)= (D)+2=10,(D)+2=10, (I)=(I)=max (G)+8,(G)+8, (H)+4=18,(H)+4=18, (J)=(J)= (G)+8=18,(G)+8=18, (K)=(K)=max (E)+4,(E)+4, (H)+4=14,(H)+4=14, (L)=(L)= (J)+3=21,(J)+3=21, (M)=(M)= (K)+8=22,(K)+8=22, (N)=(N)=max (F)+3,(F)+3, (I)+2,(I)+2, (L)+5,(L)+5, (M)+6=28.(M)+6=28.關(guān)鍵路

57、徑? ?第71頁(yè)/共91頁(yè)通過(guò)以上計(jì)算表明：這項(xiàng)工程至少需要2828天才能完成. .關(guān)鍵路徑( (最長(zhǎng)路徑):):ABDEKMNABDEKMNABDHKMNABDHKMN 工序A,B,D,E,H,K,MA,B,D,E,H,K,M不能延誤, ,否則將影響工程的完成. . 但是對(duì)于不在關(guān)鍵路徑上的工序, , 是否允許延誤？如果允許, , 最多能夠延誤多長(zhǎng)時(shí)間呢？ 各工序允許延誤時(shí)間t( (uj ) )等于各工序最晚啟動(dòng)時(shí)間 ( (uj ) )減去各工序最早啟動(dòng)時(shí)間 ( (uj ).).即 t( (uj )=)= ( (uj )-)- ( (uj ).).第72頁(yè)/共91頁(yè)73最晚啟動(dòng)時(shí)間算法步驟(

58、 (已知結(jié)點(diǎn)重新編號(hào)) )： 賦初值 ( (un )=)= ( (un).). 更新 ( (uj ),),j = n - - 1, n - - 2, , 1. . ( (uj ) )= min ( (ui )-)- ( (ui , ,uj )|)|uiujE( (G).). 結(jié)束. . 順便提一句, ,根據(jù)工序uj允許延誤時(shí)間t( (uj ) )是否為0,0,可判斷該工序是否在關(guān)鍵路徑上. .第73頁(yè)/共91頁(yè)74A AB B2 22 2C C6 6D D3 3E E2 2F F2 2G G2 2H H2 2K K4 4N N3 3I I8 8J J8 84 44 42 2L L3 3M M8

59、 85 56 6 (N)=28,(N)=28, (M)=28-6=22,(M)=28-6=22, (L)=28-5=23,(L)=28-5=23, (K)=(K)= (M)-8=14,(M)-8=14, (J)=(J)= (L)-3=20,(L)-3=20, (I)=28-2=26,(I)=28-2=26, (H)=(H)=min (K)-4,(K)-4, (I)-4=10,(I)-4=10, (G)=(G)=min (J)-8,(J)-8, (I)-8=12,(I)-8=12, (F)=(F)=2828-3=25,-3=25, (E)=(E)= (K)-4=10,(K)-4=10, (D)=

60、(D)=min (E)-2,(E)-2, (F)-2,(F)-2, (G)-2,(G)-2, (H)-2=8,(H)-2=8, (C)=(C)= (E)-3=7,(E)-3=7, (B)=(B)= (D)-6=2,(D)-6=2, (A)=0.(A)=0.第74頁(yè)/共91頁(yè)75各工序允許延誤時(shí)間如下：t t(A)=(A)=t t(B)=(B)=t t(D)=(D)=t t(E)=(E)=t t(H)=(H)=t t(K)=(K)=t t(M)=0,(M)=0,t t(C)=5,(C)=5,t t(F)=15,(F)=15,t t(G)=2,(G)=2,t t(I)=8,(I)=8,t t(J)