線性代數(shù)考試題及答案

1、2009 2010學(xué)年第一學(xué)期期末考試線性代數(shù)試卷答卷說(shuō)明：1、本試卷共6頁(yè)，五個(gè)大題，滿(mǎn)分 100分，120分鐘完卷。得分、單項(xiàng)選擇題。（每小題3分，共24分）2、閉卷考試。題號(hào)一二三四五總分分?jǐn)?shù)評(píng)閱人:總分人:1.行列式(A) 0(B)(C)(D)】2.設(shè)A為3階方陣,2，A3,則 A(A) 24(B)24 (C)6(D)】3.已知A, B,為n階方陣,則下列式子一定正確的是(A) AB BA (B)(A_ 22_B) A 2ABB2(C) ABBA(D)(AB)(AB) A2B2】4.設(shè)A為3階方陣，0,則(A)(B)(C)(D)【】5.設(shè)矩陣A與B等價(jià)，則有(A) R(A) R(B)(

2、B)R(A) R(B)(C) R(A) R(B) (D)不能確定 R(A)和R(B)的大小【】6.設(shè)n元齊次線性方程組 Ax 0的系數(shù)矩陣 A的秩為r ,則Ax 0有非零解 的充分必要條件是(A) r n (B) r n (C) r n (D) r n【】7.向量組ai，a2， ,am(m 2)線性相關(guān)的充分必要條件是(A) ai,a2, am中至少有一個(gè)零向量(B) ai,a2, am中至少有兩個(gè)向量成比例(C) ai,a2, am中每個(gè)向量都能由其余 m 1個(gè)向量線性表示(D) ai,a2, am中至少有一個(gè)向量可由其余m 1個(gè)向量線性表示【】8. n階方陣A與對(duì)角陣相似的充分必要條件是(

3、A) R(A) n(B)A有n個(gè)互不相同的特征值(C) A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(D)A一定是對(duì)稱(chēng)陣得分二、填空題。(每小題3分，共15分)1.已知3階行列式D的第2行元素分別為1,2,1 ,它們的余子式分別為1, 1,2 ,則D 。八r 0 1462.設(shè)矩陣方程X，則X。1 0213 .設(shè)x是非齊次線性方程組 Ax b的一個(gè)特解，1, 2為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組 Ax b的通解為.4 .設(shè)m n矩B$ A的秩R(A) r ,則n元齊次線性方程組 Ax 0的解集S的最大無(wú)關(guān)組So的秩Rs0 。25 .設(shè)是萬(wàn)陣A的特征值，則 是A的特征值三、計(jì)算題（每小題8分

4、，共40分）.53121021 .計(jì)算行列式12121 01341022.已知矩陣A2113 ,求其逆矩陣A 1。4183. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3 ，已知 1 , 2, 3 是它的三個(gè)解向量且2132，23 ，求該方程組的通解。4354214 . 求矩陣 A 的特征值和特征向量。122_225 .用配萬(wàn)法化一次型 f x1 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2x3成標(biāo)準(zhǔn)型。得分四、綜合體（每小題8分，共16分）1 .解下列非齊次線性方程組2x1 x2 x3 x414x1 2x2 2x3 x422x1 x2 x3 x412.已知向量組16求（1）向量組的秩；（2）向

5、量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示。B五、證明題（5分）證明：設(shè)n階方陣A滿(mǎn)足A2 A 2E 0,證明A及A 2E都可逆，并1求A及(A 2E)一、單項(xiàng)選擇題。（每小題3分，共24分1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C二、填空題。（每小題3分，共15分）(C1,C2R)4.n r 5.2 11.4 2.3. x G 1c2 246三、計(jì)算題（每小題8分，共40分）.1.解:11（2分）=02 .已知矩陣解：（A,E）10求其逆矩陣11113 .設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為11204011202分）3,已知（2分）（2分）（

6、2分）（4分）（2分）3是它的三個(gè)解向量且23,求該方程組的通解。32x14.:由已知可得：對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax 0的解集S的秩為4 3 1,因此齊次線性方程組 Ax 0的任意非零解即為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 （3分）令 2 1 （ 23）則 A A2 1 （ 23H 2A 1A 2 A 32bb b 0所以 （3,4,5,6）T 0為齊次線性方程組 Ax 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 （3分）由此可得非齊次線性方程組 Ax b的通解為:43x k k(k R)54(2分)，2求矩陣A11的特征值和特征向量。2A的特征多項(xiàng)式為:(1)(3)所以A的特征值為11, 2 3。（4分）（1）當(dāng)11時(shí)，對(duì)應(yīng)的特

7、征向量滿(mǎn)足1 1 x11 1 x2,解得：x1x20則11對(duì)應(yīng)的特征向量可取p1(2分)（2）當(dāng)13時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量滿(mǎn)足xix211x111 x21(2分)則13對(duì)應(yīng)的特征向量可取P2112_225.用配萬(wàn)法化一次型 f x1 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2x3成標(biāo)準(zhǔn)型。解： f2x1x22x1x32x225x326x2x3(x1x2x3)222x2 4x3 4x2x322(Xi X2 X3)(X2 2x3)4 分）y1X1X2 X322令 y X2 2X3則把f化成標(biāo)準(zhǔn)型得：f y y （4分）y3 X3四綜合題（每小題8 分, 共 16分）1. 解下列非齊次線性方程組2X

8、1 X2 X3 X4 14X1 2X2 2X3 X4 22X1 X2 X3 X4 1解：對(duì)增廣矩陣B 作初等行變換21421121101r120 001 05 分）2111100000由上式可寫(xiě)出原方程組的通解為：X1100X22113 分）c1c2(c1 ,c2 R)X3010X40002. 已知向量組123a12 , a23 , a33116求 （1） 向量組的秩； （2） 向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組， 并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示。12解： A 2 33107r10 152 分）3 116000則 Ra2,2 分）故向量組的最大無(wú)關(guān)組有2 個(gè)向量，知a1 ,a2為向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。2分)且 a37a1 5a2 (2 分)五、證明題(5分)證明：設(shè)n階方陣A滿(mǎn)足A2 A 2E 0,證明A及A 2E都可逆，并求 A1及(A 2E) 1。證明：.1,.(1) 由已知可得