數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與微分PPT課件

1、第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念一、 導(dǎo)數(shù)概念的引入例1 求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.設(shè)某物體作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),在0,t內(nèi)所走過(guò)的路程為s=s(t)(已知),求物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度vv(t0).我們知道:勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)速度tsv 要求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度：1.先求出物體在t0,t0+t這一小段時(shí)間內(nèi)的平均速度: 當(dāng)t很小時(shí), 平均速度可作為v(t0)的近似值. ttsttstsv )()(00第1頁(yè)/共158頁(yè)在t0,t0+ t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 ttsttstsv )()(00)(0tvttsttstsvtvttt )()(limlimlim)(0000002.當(dāng)t無(wú)限變小時(shí),平均速度將無(wú)限接近于v(

2、 ).0tttsttstsv )()(00第2頁(yè)/共158頁(yè)例2 求曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率 設(shè)曲線(xiàn)C及C上一點(diǎn)M,在M點(diǎn)外任取一點(diǎn)NC,作割線(xiàn)MN,當(dāng)點(diǎn)N沿曲線(xiàn)C趨向于點(diǎn)M時(shí),如果割線(xiàn)MN趨向于它的極限位置MT,則稱(chēng)直線(xiàn)MT為曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn). C MN割線(xiàn)MT的斜率 xxfxxfxyk )()( tan00 第3頁(yè)/共158頁(yè)C MN當(dāng)x0時(shí),點(diǎn)N沿曲線(xiàn)C趨于M,由切線(xiàn)定義知MN趨于MT，從而 ,tantan,即切線(xiàn)斜率xxfxxfxykxxx )()(lim limtanlimtan00000 總結(jié):求函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比值,當(dāng)自變量的改變量趨于0時(shí)的極限, 這種形式的極限就稱(chēng)為函

3、數(shù)的導(dǎo)數(shù) 第4頁(yè)/共158頁(yè)二、 導(dǎo)數(shù)的定義定義1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量x點(diǎn)x0+x仍在U(x0)內(nèi)時(shí),相應(yīng)地函數(shù)y取得增量y=f(x0+ x)-f(x0),如果極限 存在,則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并稱(chēng)該極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記為f(x0),也可記作xxfxxfxyxx )()(lim lim0000.d)(ddd,000 xxxxxxxxfxyy 或或第5頁(yè)/共158頁(yè)hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0 x 函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處可導(dǎo)有時(shí)

4、也說(shuō)成f(x)在點(diǎn) 具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在 0 x0 x函數(shù)f(x)在 處導(dǎo)數(shù)的定義式也可寫(xiě)成不同的形式，如第6頁(yè)/共158頁(yè)例1 假定 0limx 00()()f xxf xx(1) f( )存在，求下列極限:0 x) 1()()(lim)()(lim000000 xxfxxfxxfxxfxxx).(0 xf 0limxx0( )f xxx0limh00()()f xhf xhh(3) 解 (1)000000( )()( )limlim()xxxxf xf xf xfxxxxx (2), 0)()2(0 xf第7頁(yè)/共158頁(yè)(3)000()()limhf xhf xhh00000 ()() (

5、)()limhf xhf xf xhf xh000000()()()()limlimhhf xhf xf xhf xhh 000()()2()fxfxfx第8頁(yè)/共158頁(yè)如果 不存在(包括),則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)或沒(méi)有導(dǎo)數(shù).但當(dāng)極限為時(shí), 也常說(shuō)函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大xxfxxfxyxx )()(lim lim0000 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo),則稱(chēng)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).此時(shí)對(duì)于該區(qū)間的每一點(diǎn)x都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值 與之對(duì)應(yīng),這就構(gòu)成了一個(gè)新函數(shù).這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)),記作f(x), y , ,

6、即xxfxyd)(ddd或或),(,)()(lim)(0baxxxfxxfxfx f(x).)()(00 xxxfxf注第9頁(yè)/共158頁(yè)求函數(shù)y=f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)可分為三步： (1) 求增量 對(duì)自變量在x處給以增量x,相應(yīng)求出函數(shù)的增量y=f(x+x) -f(x);(2) 算比值 xxfxxfxy )()( (3) 取極限 xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00第10頁(yè)/共158頁(yè)求函數(shù)f(x)=C,x(-,+)的導(dǎo)數(shù),其中C為常數(shù).:, 0)(0lim )()(lim)( 00常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零通常說(shuō)成即CxCCxxfxxfxfxx例1 解第11頁(yè)/共158頁(yè)112210

7、0 )()(lim )(lim nnnnnxnnxnxxxxCnxxxxxy.,ynxyn求求為正整數(shù)為正整數(shù)設(shè)設(shè) 例2解. 1)(,1,)(1 xnnxxnn有有時(shí)時(shí)特別地特別地即即以后我們可以證明，對(duì)于冪函數(shù)y= 仍有 ( )=成立xx1x第12頁(yè)/共158頁(yè)xxxxxxxaxxxxxxxxxxueeaaaaaaxaxaxeaxaaxaayueu )(),0(ln)(ln lnlim1lim )1(limlim,1,00ln000特別地特別地即即從而從而時(shí)時(shí)注意到注意到., 0),(,yaxayx求求設(shè)設(shè) 例3解第13頁(yè)/共158頁(yè)例4解xxaxxaxexxxxxxxxxxxyaaxxax

8、axaax1)(ln,ln1)(logln1log1 )1 (log1lim)1 (loglim log)(loglim000特別地即., 1, 0), 0(,logyaaxxya求求且且設(shè)設(shè) 第14頁(yè)/共158頁(yè).)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例5（cosx）sinx類(lèi)似地，可以得到第15頁(yè)/共158頁(yè)2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(000000_0

9、xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù))(0 xf 和右和右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù))(0 xf 都存在且相等都存在且相等. 第16頁(yè)/共158頁(yè)例6 討論函數(shù)f(x)=x在x=0處的導(dǎo)數(shù)的存在性0limx yx0limx (0)(0)fxfx0limx xx解0limx xx因?yàn)椋?limx xx)0(f)0( f)0( f=所以，不存在，即函數(shù)f(x)=x在x=0處不可導(dǎo))0(f xxx0lim第17頁(yè)/共158頁(yè)例6.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xx

10、xf另解xy xyohhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy第18頁(yè)/共158頁(yè)三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義就是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線(xiàn)斜率,即 f(x0) =tan ( /2)，其中是切線(xiàn)的傾角 曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線(xiàn)方程為y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處的法線(xiàn)方程為y-f(x0)= (x-x0) (f(x0) 0)(10 xf

11、 第19頁(yè)/共158頁(yè)例7 求曲線(xiàn)y=x2在點(diǎn)M0(1,1)處的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程. 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,所求切線(xiàn)的斜率為 解2211 xxxyk從而得切線(xiàn)方程為 y-1=2(x-1) 即 2x-y-1=0法線(xiàn)方程為 即 x+2y-3=0)1(211 xy第20頁(yè)/共158頁(yè)3x3x0limx yx0limx 330 xx 0limx 231()x3x例8 曲線(xiàn)y在(0，0)處是否有切線(xiàn)?函數(shù)y在x=0處是否可導(dǎo)?處有垂直于x軸的切線(xiàn)x=0，而故f(0)，即y=在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)在(0，0)，3x解 由圖可知，根據(jù)切線(xiàn)的定義，y=)0-lim0-)0(-)(lim(300 xxxfxfxx即第

12、21頁(yè)/共158頁(yè)四、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理2 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處必連續(xù)證 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則 )()()(lim0000 xfxxxfxfxx 根據(jù)函數(shù)極限與無(wú)窮小量的關(guān)系,得. 0lim,)()()( 0000 xxxfxxxfxf其其中中第22頁(yè)/共158頁(yè)從而 f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)當(dāng)xx0時(shí),f(x)-f(x0)0,所以函數(shù)f(x)在x0處連續(xù). . 0lim,)()()(0000 xxxfxxxfxf其其中中注意:逆命題不成立,即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo). 例如，函數(shù)f(x)=x在x

13、=0點(diǎn)處是連續(xù)的，但在x=0點(diǎn)處卻不可導(dǎo)第23頁(yè)/共158頁(yè)例9 試確定常數(shù)a,b之值，使函數(shù)22,01,0 xea xxbxx在x=0點(diǎn)處可導(dǎo)f(x)=解 由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，首先f(wàn)(x)在x=0點(diǎn)處必須是連續(xù)的，即0limx0limxf(0-0)= f(x)= (2ex+a)=2+a=0limx0limxf(0+0)= f(x)= (x2+bx+1)=1=f(0)f(0)所以2+a=1, 即a=-1第24頁(yè)/共158頁(yè)f0limx( )(0)0f xfx又 (0) =0limx(2e1) 1xx0limxe1xx ，f0limx( )(0)0f xfx0limx2(1) 1xbxx (0)

14、= bff (0)= （），由此得 b=2 故當(dāng)取a，b=2時(shí)，f(x)在x=0點(diǎn)處可導(dǎo)處可導(dǎo)，必須使要使函數(shù)在0 x第25頁(yè)/共158頁(yè)一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè))(xf在在0 xx 處可導(dǎo)，即處可導(dǎo)，即)(0 xf 存在，則存在，則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為2ts ( (米米) )，則該物體在，則該物體在 2 t秒時(shí)的速度為秒時(shí)的速度為_(kāi) ._ .3 3、 設(shè)設(shè)321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它們的導(dǎo)數(shù)分

15、別為它們的導(dǎo)數(shù)分別為dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .練習(xí)題練習(xí)題)(0 xf )(0 xf 3132x32x6561x4第26頁(yè)/共158頁(yè)24x01 yx第27頁(yè)/共158頁(yè)第二節(jié) 求導(dǎo)法則 一、 函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則定理1 設(shè)u=u(x)和v=v(x)都在x處可導(dǎo),則y=uv也在x處可導(dǎo),且有 (uv)=uv 證 設(shè)當(dāng)x有增量x時(shí),u,v所對(duì)應(yīng)的增量分別為u, v.這時(shí)函數(shù)y的增量為 y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x) =u(x+x)-u(x)v(x+x)-v(x) =uv第28頁(yè)/共158頁(yè)xvxuxy 于于是是vuxvxuxyyx

16、xx 000limlimlim 取取極極限限vuvu )( 即即注意:定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形.第29頁(yè)/共158頁(yè)定理2 設(shè)u(x)和v(x)在x處可導(dǎo),則y=uv也在x處可導(dǎo),且有 (uv) =uv+uv 證 y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x) =u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x+x) +u(x)v(x+x)-u(x)v(x) =uv(x+x)+u(x)v =uv+uv+uvxvuxvuvxuxy 因因此此第30頁(yè)/共158頁(yè)vuvuxvuxvuvxuxyyxxxxx limlimlimlimlim00000u(x)在x點(diǎn)處可導(dǎo)時(shí)必在x點(diǎn)連續(xù),即 =0,則 u

17、x limvuvuuv )(即即.,)(為常數(shù)特別的CuCCu.)(積的情形也可以推廣到有限個(gè)乘wuvwvuvwuuvw第31頁(yè)/共158頁(yè)定理3 設(shè)u(x)和v(x)在x處可導(dǎo),又v(x)0,則y= 也在x處可導(dǎo),且有vu2vvuvuvu 證)()()()()()()()()()()()()()(vvvvuvuvvvvvuvuuxxvxvxxvxuxvxxuxvxuxxvxxuy 0, 0 vvxvuxux第32頁(yè)/共158頁(yè)2000)(lim1)(limlimvvuvuvvvxvuvxuxvvvvuvuxyyxxx 2vvuvuvu 即即2uuCuC特別的第33頁(yè)/共158頁(yè)例1.sin2

18、23的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解23xy x4 例2.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 第34頁(yè)/共158頁(yè)例3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得第35頁(yè)/共158頁(yè)例4.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解)cos1()(sec xx

19、yxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得第36頁(yè)/共158頁(yè)一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)xxysin ，則，則y = = _._.2 2、 設(shè)設(shè)xeayxx23 ，則則dxdy=_.=_.3 3、 設(shè)設(shè))13(2 xxeyx, ,則則0 xdxdy= = _._.4 4、 設(shè)設(shè)1sectan2 xxy, ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè)553)(2xxxfy , ,則則)0(f = =_._.6 6、 曲線(xiàn)曲線(xiàn)xysin2 在在0 x處的切線(xiàn)處的切線(xiàn)軸軸與與x正向的正向的夾角為夾角為_(kāi)._.練 習(xí) 題)cos2

20、sin(xxxx 22ln3xeaaxx 2 )tansec2(secxxx 2534 第37頁(yè)/共158頁(yè)二、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則y(x)=f (u) (x)= 即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)定理4 設(shè)函數(shù)y=f(x)由簡(jiǎn)單函數(shù)y=f(u)及u=(x)復(fù)合而成，而u=(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),且有ddddddyyuxux也可寫(xiě)成f (x) (x)第38頁(yè)/共158頁(yè)推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)

21、則復(fù)合函數(shù) 例1.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 第39頁(yè)/共158頁(yè)例2 求 的導(dǎo)數(shù).另解 令xytanlnsin解.tan,ln,sinxvvuuy令dxdvdvdududydxdy則xxxxvu22seccottanlncossec1cos,tanln,sinxuuydxdududydxdy則dxduu cos)tan(lntanlncosxx)(tantan1tanlncosxxxxxx2seccottanlncos)tan(lntanlncosxxdxdy)(tantan1tanln

22、cosxxxxxx2seccottanlncos另解第40頁(yè)/共158頁(yè)例3.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 解.)1(2092 xx第41頁(yè)/共158頁(yè)例422222222211 )11(11 )12)1(1(11 )1(11 )1(ln(xxxxxxxxxxxxxxxy .),1ln(2yxxy求求設(shè)設(shè) 解xx21)(注意第42頁(yè)/共158頁(yè)例5.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例6.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函

23、數(shù)求函數(shù)xey 解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第43頁(yè)/共158頁(yè)例7 求 的導(dǎo)數(shù).,解 x0時(shí)，由第一節(jié)例4知所以，對(duì)一切xyalog,ln1)(logaxxya) )(log0 xyxa時(shí)，.ln1)(ln)(1axxax.ln1)(log, 0axxxa有第44頁(yè)/共158頁(yè)例8).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf求設(shè)解, 1)( xf,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xf ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x0limx)0(f( )(0)0f xfxxx0limx=, 1 0lim)0(xf( )(0)0f xfxx.0,110

24、, 1)( xxxxfln(1+x) ,11x =0limx_=1第45頁(yè)/共158頁(yè)練 習(xí) 題3)52(8 xx2sinxtan )2sec22(tan10ln1022tanxxxxx )(22xfx xxkekxk21tansectan 21. 第46頁(yè)/共158頁(yè)三、 反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理5 設(shè)嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)x=(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)可導(dǎo)且 (y)0,則其反函數(shù)y=f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix內(nèi)也可導(dǎo),且有yxxyyxfdd1dd)(1)(或即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).第47頁(yè)/共158頁(yè)例8.) 1(arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 xxy,)(sin.11sin11cos1)(si

25、n122進(jìn)行的表示求導(dǎo)是對(duì)變量這里記號(hào)yyxyyyyyy解,11)cot( ,11)(arctan,11)(arccos11)(arcsin2222xxarcxxxxxx同理可得第48頁(yè)/共158頁(yè).arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy )0( a)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa 例9解第49頁(yè)/共158頁(yè)四、 基本導(dǎo)數(shù)公式 1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式;e)e)(10( ),1, 0(ln)(9(;cotcsc)(csc8( ;tansec)(sec7(;csc)(cot6( ;sec)(tan5(;s

26、in)(cos4( ;cos)(sin3()()(2();( , 0)(1 (221xxxxaaaaaxxxxxxxxxxxxxxxxCC；為實(shí)常數(shù)為常數(shù)第50頁(yè)/共158頁(yè).11)cot)(16(;11)(arctan15();1(11)(arccos14();1(11)(arcsin13(;1)(ln12( );1, 0(ln1)(log11(2222xxarcxxxxxxxxxxaaaxxa 第51頁(yè)/共158頁(yè)2. 函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),則下列各等式成立:0)()()( )()()( )()()4();( )()()( )()()(3();

27、( )( )()()2()();( )()1 (2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuCxCuxCu為常數(shù)第52頁(yè)/共158頁(yè)3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4. 反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)x=(y)與 y=f(x)互為反函數(shù), (y)存在且不為零, 則yxxyxxfdd1dd)(1)( 或或 設(shè)u=(x)在x點(diǎn)可導(dǎo), y=f(u)在相應(yīng)u點(diǎn)可導(dǎo),則xuuyxydddddd 第53頁(yè)/共158頁(yè)例1.的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xxxy 解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 第54頁(yè)/共15

28、8頁(yè)例2.)(sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nnnxfy 解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 第55頁(yè)/共158頁(yè)練 習(xí) 題1ln1 nxxnxx1tan12xxxx 412-999!第56頁(yè)/共158頁(yè)第57頁(yè)/共158頁(yè)練習(xí)題答案 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . .第58頁(yè)/共158頁(yè)定義:.)(0),(稱(chēng)為隱函數(shù)所確

29、定的函數(shù)由方程xyyyxF.)(形式的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).五、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第59頁(yè)/共158頁(yè)例1求方程y=cos(x+y)所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)),1)(sin(yyxy ).0)sin(1 ( )sin(1)sin( yxyxyxy將方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，解第60頁(yè)/共158頁(yè)例2.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得,

30、yxexyedxdy , 0, 0yx時(shí)由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第61頁(yè)/共158頁(yè)例3.)23,23(,333的切線(xiàn)方程點(diǎn)上求過(guò)的方程為設(shè)曲線(xiàn)CxyyxC解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線(xiàn)方程為)23(23 xy. 03 yx即即第62頁(yè)/共158頁(yè).,-) 12(sin42dxdydydxeyyxy求已知例.-) 12(cos22dyeyydyx解yxye-1)cos(2yy2y2y1求導(dǎo)，得等式兩邊對(duì).-) 12(cos221dyyeyyydx由此得.-) 12(cos221

31、1yeyydydxdxdy或第63頁(yè)/共158頁(yè)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法:先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).-取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu六 、 取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法第64頁(yè)/共158頁(yè)例1., 0,sinyxxyx 求求解兩邊取對(duì)數(shù)得 lny=sinxlnx,sinlncosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxyx 于是于是兩邊對(duì)x求導(dǎo),得第65頁(yè)/共158頁(yè).)1)(1()2(2422的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求 xxxy先在兩邊取對(duì)數(shù),得 lny=2ln(x2+2)-l

32、n(x4+1)-ln(x2+1).上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得)121424()1)(1()2(),121424(243224222432 xxxxxxxxxyxxxxxxyy即即于是于是,1214242432 xxxxxxyy例2解第66頁(yè)/共158頁(yè)例3 求y=3(1)(2)(3)(4)xxxx的導(dǎo)數(shù)解 兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=13ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4),上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得1y1311111234xxxx，y= 所以133(1)(2)(3)(4)xxxx11111234xxxxy第67頁(yè)/共158頁(yè).,)()(確定的函數(shù)則稱(chēng)此為由參數(shù)方程所間的函數(shù)關(guān)系與確定

33、若參數(shù)方程xytytx例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)問(wèn)題: 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?t七 、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第68頁(yè)/共158頁(yè)),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx第69頁(yè)/共158頁(yè)例1為整數(shù)）為整數(shù)）nnttttattatataxy,2(tan )sin(cos3c

34、ossin3 )cos()sin(dd2233 .dd;sin;cos33xytaytax求求設(shè)設(shè)解第70頁(yè)/共158頁(yè) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：221sin. 1xxy 32cos. 2axy nxxyncossin. 3)1ln()1 (. 422xxxyxxfysin)(sin. 5)3(cos)(sin. 62xfxfy)ln(. 8xyyx xxycos)(sin. 9xyeyxsin. 7第71頁(yè)/共158頁(yè)第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f (x)在(a,b)內(nèi)存在且仍可導(dǎo),記f (x)的導(dǎo)數(shù)為f(x), y 或 ,即y =f(x)= =f (x) ,稱(chēng)為f(x)的二階導(dǎo)

35、數(shù) 22ddxy22ddxy 若y仍可導(dǎo),則記y(3)=f(3)(x)= =f (x),稱(chēng)為f(x)的三階導(dǎo)數(shù)33ddxy 若y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)存在且仍可導(dǎo),則記y(n)=f(n)(x)= =f(n-1)(x),稱(chēng)為f(x)的n階導(dǎo)數(shù)nnxydd第72頁(yè)/共158頁(yè)例1.,求它的各階導(dǎo)數(shù)求它的各階導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)設(shè)設(shè)nxyn ,)(1 nnnxxy解,)1()( 21 nnxnnnxy,)1()1()(knkxknnny !123)1()(nnnyn . 01,0) !()()()1(階以上的各階導(dǎo)數(shù)均為階以上的各階導(dǎo)數(shù)均為的的顯然顯然 nxynyynnn第73頁(yè)/共158頁(yè),)1

36、(2)1(1) ( ,)1(1)( ,11322xxyyxyyxy .),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 例2解., 3 , 2 , 1,)1()!1()1( 1)( nxnynnn運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可知運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可知第74頁(yè)/共158頁(yè)22ddyx11 cos y21(1 cos )y(1cos )y 2sin(1 cos )yyy2sin(1 cos )yy例3 求由方程x-y+siny=0所確定的隱函數(shù)y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù)解 先求一階導(dǎo)數(shù)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有 1-y+cosyy=0再求y,有=，將y的表達(dá)式代入，得解得yy=y=第75頁(yè)/共158頁(yè)例4,cos,cotdd,cotsinc

37、os)cos()sin(dd仍是參數(shù)方程仍是參數(shù)方程注意注意taxtabxytabtatbtatbxy .dd ,sin,cos22xytbytax求求已知已知 解tabtatabtatabtxxytxy32222csc sin1csc)cos()cot(dd)dd(dddd, 從而從而導(dǎo)法則導(dǎo)法則所以仍須用參數(shù)方程求所以仍須用參數(shù)方程求第76頁(yè)/共158頁(yè)練 習(xí) 題3402311 yx022 yx,sincoscossintttt32yxyxexye 第77頁(yè)/共158頁(yè)32)2()3(. 1yyey)(tan)(csc2 . 232yxcyx)1ln2(12 xxx； 1534)2(21)

38、1()3(254 xxxxxx第78頁(yè)/共158頁(yè)tab32sin212x 第79頁(yè)/共158頁(yè)實(shí)例:求邊長(zhǎng)為 的正方形金屬薄片受熱后面積的改變量的近似值.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分且為的線(xiàn)性函數(shù)是Ax.,很小時(shí)可忽略當(dāng)?shù)母唠A無(wú)窮小是xx:)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0第四節(jié) 微分及其運(yùn)算0 xxxA02于是第80頁(yè)/共158頁(yè)再例如,.,03的近似值求函數(shù)改變量時(shí)為處的改變量在點(diǎn)設(shè)函數(shù)yxxxy3030)(xxxy .)()(33

39、32020 xxxxx )1()2(,很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值問(wèn)題是:這個(gè)線(xiàn)性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?第81頁(yè)/共158頁(yè)定義1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,x0+x在U(x0)內(nèi),如果f(x)在點(diǎn)x0處的增量y可以表示為y=Ax+o(x)，(其中A與x無(wú)關(guān),o(x)是 x的高階無(wú)窮小量),則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在x0處是可微的,且稱(chēng)Ax為函數(shù)y=f(x)在x0處的微分,記作dy或df(x),即dy=Ax一、微分的定義第82頁(yè)/共158頁(yè)

40、二、 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理1 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可微的充要條件是f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且有dy=f(x0)x證 必要性 設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0可微,即y=Ax+o(x)AxxoAxyxx )(limlim00于于是是所以,f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且有A=f(x0)第83頁(yè)/共158頁(yè)定理1 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可微的充要條件是f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且有dy=f(x0)x于是 y= f(x0) x+x由極限與無(wú)窮小的關(guān)系,得0lim,)(00 xxfxy其其中中顯然,x0時(shí), x=o(x),且f(x0)與 x無(wú)關(guān),由微分定義可知,y=f(x)在點(diǎn)x0可微,且有dy=f(x0)x證 充分性

41、 f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),)(lim00 xfxyx 第84頁(yè)/共158頁(yè) 通常把自變量x的增量x稱(chēng)為自變量的微分,記作dx,即dx=x 于是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的微分可以寫(xiě)成dy= (x0)dx 當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都可微時(shí),則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可微,此時(shí)微分表達(dá)式寫(xiě)為dy=f(x)dx 也可寫(xiě)成 于是,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商.因此,導(dǎo)數(shù)也叫微商 )(ddxfxy 這樣，當(dāng) 很小時(shí)，yxdy=f(x )x0f 第85頁(yè)/共158頁(yè)10.1xx 1x1x10.1xx 例1 已知 ,求，dy 解dy= dx=

42、2xdxy10.1xx y并且求 的 近似值10.1xx dy10.1xx 02dydydydyy2xy ,221dxxdxx1 . 012xxxdx2 . 0第86頁(yè)/共158頁(yè)由微分的定義知，當(dāng)x很小時(shí)，ydy，且以dy近似代替y所產(chǎn)生的誤差y-dy是x的高階無(wú)窮小量我們常用它來(lái)求函數(shù)改變量的近似值或函數(shù)值的近似值也就是說(shuō)，當(dāng)f(x)可導(dǎo)，且x很小時(shí)，有近似計(jì)算公式:f(x)f(0)+ )(0 xx)(0 x)0 xfff(x)(0 x+ f()0 xx0 x或)(0 xxff取 =0，并改記x=x，則當(dāng)x很小時(shí)，有fxf)0( 第87頁(yè)/共158頁(yè)例2 求sin3030的近似值,sin)

43、(xxfy設(shè)解xxfxfxxf)()()(000有近似計(jì)算公式,360,2330coscos)(,2130sin)(,0330sin)(0000000 xxxfxfxxf于是5076. 036023210330sin0所以3601802103,60180303000 xx令第88頁(yè)/共158頁(yè)三、 微分的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的微分dy= 就是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線(xiàn)的縱坐標(biāo)的增量 dxxf)(0第89頁(yè)/共158頁(yè)1.基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccs

44、c)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 四、微分的求法第90頁(yè)/共158頁(yè)dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc第91頁(yè)/共158頁(yè)例3解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例4解.,cos31dyxe

45、yx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 第92頁(yè)/共158頁(yè)五、 復(fù)合函數(shù)的微分 設(shè)y=f(u),u=(x),且f(u)及(x)均為可導(dǎo)函數(shù).由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式有 )()(ddxufxy 由此可見(jiàn)，無(wú)論u是自變量還是中間變量，微分形式dy=f(u)du保持不變，這一性質(zhì)稱(chēng)為一階微分的形式不變性從而得 dy=f(u)(x)dx=f(u)du 第93頁(yè)/共158頁(yè)例5解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) dy)12()12cos(

46、xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx .d,22yxay利用微分形式不變性求利用微分形式不變性求 解xxaxxxayd)d(a21d222222例6第94頁(yè)/共158頁(yè)例7 設(shè).,sin22dyyeyxx求yyeyxxyxxcos2-222求導(dǎo)，得等式兩端對(duì)解法一22-cos2-2xyexyyx由此得dxxyexydyx22-cos2-2所以)sin()(-)d(22ydedyxx等式兩邊微分，得解法二ydyxdedyxxydxcos)2(-)(222即ydydxedyxxydxxcos2-222亦即dxxyexydyx22-cos2-2所以第95頁(yè)/共158頁(yè)例8解在下列等

47、式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.;cos)(tdtd,cos)(sintdttd)(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td 第96頁(yè)/共158頁(yè)練 習(xí) 題高階 Cx cos1Cx 3tan31Cex221dxeexx4222dxex第97頁(yè)/共158頁(yè)dxxx1)1ln(2 10 ,101,122xxdxxxdxdydxxx412 dx3dxxy第98頁(yè)/共158頁(yè)*五、 高階微分(略） 可微函數(shù)y=f(x)的微分dy=f(x)dx仍是自變量x的一個(gè)函數(shù)(這里dx與x是互相獨(dú)立的,因而可以把dx看成是與x無(wú)關(guān)的量),如果它是可微的,則它的微分d

48、(dy),就稱(chēng)做函數(shù)y=f(x)的二階微分,記為d2y,即d2y=d(dy)=df(x)dx=df(x)dx=f(x)(dx)2 為簡(jiǎn)便起見(jiàn),對(duì)kN, 記(dx)kdxk.因此上式可寫(xiě)作 d2y=f(x)dx2 第99頁(yè)/共158頁(yè) 如果d2y仍可微，那么它的微分d(d2y)稱(chēng)做y=f(x)的三階微分,記為d3y,即d3y=d(d2y)=df(x)dx2=f(x)dx3 當(dāng)自變量為x時(shí),定義函數(shù)y=f(x)的n階微分為 dny=ddn-1y=f(n)(x)dxn注意區(qū)別以下這幾種記號(hào)的不同意義：dyn表示微分dy的n次方,即dyn=(dy)n.d(yn)表示yn的一階微分.dny表示y的n階微

49、分. 第100頁(yè)/共158頁(yè)注意:一階微分具有微分形式不變性.即:無(wú)論u是自變量還是中間變量,函數(shù)y=f(u)的微分形式都是一樣的,且為 dy=f(u)du d2y=df(u)du=d(f(u)du+f(u)d(du) =f(u)du2+f(u)d2u因?yàn)榈歉唠A微分不再具有微分形式的不變性第101頁(yè)/共158頁(yè)例2222d)sincos2( d)sincos(cos d)cos(sin)d(dd;d)cos(sind)sin(dxxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxy .d,sin2yxxy求求設(shè)設(shè) 解第102頁(yè)/共158頁(yè)第五節(jié) 導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 一、 邊際分析 設(shè)y=f(

50、x)為一經(jīng)濟(jì)函數(shù),當(dāng)經(jīng)濟(jì)自變量x有一個(gè)很小的改變量x時(shí),因變量的相應(yīng)改變量為y,那么,因變量y的相應(yīng)改變量y與x的比值 (平均變化率)稱(chēng)為經(jīng)濟(jì)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x,x+ x上平均意義上的邊際,xyx 0lim如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo),則稱(chēng)f(x)= (瞬時(shí)變化率)為f(x)在點(diǎn)x處的邊際 xy第103頁(yè)/共158頁(yè)邊際f(x)的經(jīng)濟(jì)含義: y=f(x+x)-f(x)f(x) x， 當(dāng)x=1時(shí)，有 f(x) y=f(x+1)-f(x) 近似表示當(dāng)函數(shù)f(x)的自變量在x處增加一個(gè)單位時(shí),函數(shù)值的相應(yīng)增量. 這里的增量 可正可負(fù)若 為正，則表明經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)與其自變量變化的方向相同；若

51、為負(fù)，則表明f(x)與其自變量變化的方向相反其增量的大小 （ ）則表明f(x)隨自變量變化的速度，故邊際概念實(shí)際上表明了經(jīng)濟(jì)函數(shù)隨自變量變化的方向與速度f(wàn)(x)f(x)f(x)f(x)f(x)第104頁(yè)/共158頁(yè)ddCQ50QddCQ100QddCQ150Q例1 已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(Q)=0.001Q 3-0.3Q 2+40Q+1000，求它的邊際成本函數(shù)及當(dāng)Q=50,100,150時(shí)的邊際成本解 邊際成本函數(shù) =0.003Q 2-0.6Q+40=0.003502-0.650+40=17.5；=10；根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，生產(chǎn)第51個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本約為17.5同樣，生產(chǎn)第101個(gè)以及第1

52、51個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本分別約為10和17.5當(dāng)Q=50時(shí),當(dāng)Q=100時(shí), 當(dāng)Q=150時(shí), =17.5ddCQMC= 第105頁(yè)/共158頁(yè)二、 彈性分析“相對(duì)改變量”“相對(duì)變化率”xx xxyy 定義1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的某鄰域內(nèi)有定義,以x, y分別表示自變量與函數(shù)的改變量,稱(chēng)函數(shù)變動(dòng)的百分比與自變量變動(dòng)的百分比之比值 為函數(shù)f(x)在區(qū)間(x,x+x)(或x+x,x)上的弧彈性,記為eyx,即 xyyxxxyy xyyxeyx 第106頁(yè)/共158頁(yè)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),則稱(chēng) 為f(x)在點(diǎn)x處的點(diǎn)彈性,仍以記號(hào)eyx表示,即 稱(chēng)eyx為彈性系數(shù) xyyxxyyxxxyyx

53、xddlimlim00 xyyxeyxdd 函數(shù)的彈性(點(diǎn)彈性與弧彈性)反映的是因變量對(duì)自變量變化作出的反映程度,它與所研究變量的度量單位無(wú)關(guān). 第107頁(yè)/共158頁(yè)彈性的經(jīng)濟(jì)含義 它表示因變量的相對(duì)變動(dòng)對(duì)于自變量相對(duì)變動(dòng)的反映程度. 當(dāng)eyx為正時(shí),表明因變量的變化方向與自變量的變化方向相同;當(dāng)eyx為負(fù)時(shí),表明因變量變化的方向與自變量的變化方向相反.第108頁(yè)/共158頁(yè)彈性分類(lèi) (1) 如果eyx =1,表明y與x的變動(dòng)幅度相同,此時(shí)稱(chēng)為單位彈性(2) 如果eyx1,表明y變動(dòng)的幅度高于x變動(dòng)的幅度,此時(shí)稱(chēng)為高彈性(3) 如果eyx1,表明y變動(dòng)的幅度低于x變動(dòng)的幅度,此時(shí)稱(chēng)為低彈性

54、如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則稱(chēng)為f(x)在該區(qū)間內(nèi)的彈性函數(shù))()(ddxfxfxxyyxeyx 第109頁(yè)/共158頁(yè)1. 需求價(jià)格彈性定義2 設(shè)某商品的市場(chǎng)需求量為Q,價(jià)格為P,需求函數(shù)Q=f(P)可導(dǎo),稱(chēng) 為該商品的需求價(jià)格彈性,簡(jiǎn)稱(chēng)需求彈性 )()(ddPfPfPPQQPeQP 由于商品的需求量與價(jià)格成反方向變化, 為負(fù)值,所以eQP為負(fù)值,為了使需求彈性系數(shù)eQP是正值,利于比較,便在公式中加了一個(gè)負(fù)號(hào) PQdd一般來(lái)講，生活必需品的需求彈性小于1,而奢侈品的需求彈性大于1 .第110頁(yè)/共158頁(yè)例2 設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q= ，求5Pe(1)需求彈性函數(shù)；(2)P=3,

55、P=5,P=6時(shí)的需求彈性解 (1) 因?yàn)镼= -515pe，所以需求彈性函數(shù)為5PPe515Pe5PeQP=-（- )=3QPPe(2) 當(dāng)P=3, P=5, P=6時(shí)需求彈性為= =0.6；355QPPe55=1；6QPPe65=1.2當(dāng)P =3時(shí)，eQP =061為低彈性，價(jià)格上漲1%，需求量下降06%；當(dāng)P=6時(shí)，eQP =121為高彈性，價(jià)格上漲1%，需求下降12%；當(dāng)P=5時(shí)，eQP =1為單位彈性，價(jià)格上漲1%，需求量也下降1%第111頁(yè)/共158頁(yè)分析銷(xiāo)售收益與消費(fèi)支出 設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=f(p), 銷(xiāo)售收益函數(shù)為 R=PQ= Pf(P) 邊際收益為1)()()(1)()

56、()()(ddQPePfPfPfPPfPfPPfPRPR (1) 若 1,則邊際收益 0,價(jià)格與收益呈同方向變化. 說(shuō)明對(duì)低彈性商品適當(dāng)提價(jià)可使銷(xiāo)售收益增加,同時(shí)使消費(fèi)支出增加.QPePRdd第112頁(yè)/共158頁(yè)銷(xiāo)售收益函數(shù) R= Pf(P) 邊際收益1)(ddQPePfPR (3) 若 =1,則邊際收益 =0,這說(shuō)明對(duì)于單位彈性商品而言,價(jià)格的微小變化對(duì)收益無(wú)明顯影響,同時(shí)對(duì)消費(fèi)支出也無(wú)明顯影響.QPePRdd(2) 若 1,則邊際收益 0,價(jià)格與收益呈反方向變化.這說(shuō)明對(duì)高彈性商品適當(dāng)降價(jià)可使銷(xiāo)售收益增加,同時(shí)使消費(fèi)支出增加. QPePRdd第113頁(yè)/共158頁(yè)2. 需求的收入彈性定義

57、3 設(shè)在其他條件不變的情況下,某商品的需求量Q關(guān)于消費(fèi)者收入m的函數(shù)為Q=f(m),f(m)可導(dǎo),稱(chēng)為該商品的需求收益彈性 )()(ddmfmfmmQQmeQm 一般 0,所以需求的收入彈性 0.如果 0,則表明該商品是低檔商品 QmemQddQme第114頁(yè)/共158頁(yè)三、 增長(zhǎng)率 設(shè)某經(jīng)濟(jì)變量y是時(shí)間t的函數(shù):y=f(t).單位時(shí)間內(nèi)f(t)的增長(zhǎng)量占基數(shù)f(t)的百分比稱(chēng)為f(t)從t到t+t的平均增長(zhǎng)率)()()(tfttfttf 若f(t)視為t的可微函數(shù),則有 稱(chēng)為f(t)在時(shí)刻t的瞬時(shí)增長(zhǎng)率,簡(jiǎn)稱(chēng)增長(zhǎng)率,記為rf)()()()(lim)(1)()()(1lim00tftfttft

58、tftfttfttftftt 第115頁(yè)/共158頁(yè)增長(zhǎng)率有兩條重要的運(yùn)算法則： (1) 積的增長(zhǎng)率等于各因子增長(zhǎng)率的和.即 若 y(t)=u(t)v(t)，則有vuyrrr(2) 商的增長(zhǎng)率等于分子與分母的增長(zhǎng)率之差即 若y(t)= ，則有 ( )( )u tv tvuyrrr第116頁(yè)/共158頁(yè)例3 設(shè)國(guó)民收入Y的增長(zhǎng)率為rY，人口H的增長(zhǎng)率是rH，YH的增長(zhǎng)率是rY - rH則人均國(guó)民收入例4 求函數(shù)(1) y=ax+b，(2) y=ae 的增長(zhǎng)率 aaxb，(2) ry=eebxbxaba=bbx由(1)知，當(dāng)x+時(shí)， 0，即線(xiàn)性函數(shù)的增長(zhǎng)率隨自變量的不斷增大而不斷減少直至趨于零由(

59、2)知，指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)率恒等于常數(shù)yr=yy解 (1) ry=第117頁(yè)/共158頁(yè)2 設(shè)生產(chǎn)q件產(chǎn)品的總成本C(q)由下式給出C(q)=001q3-06q2+13q(1) 設(shè)每件產(chǎn)品的價(jià)格為7元，企業(yè)的最大利潤(rùn)是多少?(2) 當(dāng)固定生產(chǎn)水平為34件時(shí)，若每件價(jià)格每提高元時(shí)少賣(mài)出2件，問(wèn)是否應(yīng)該提高價(jià)格?如果是，價(jià)格應(yīng)該提高多少?32( )7( )0.010.66L qqC qqqq ( )0L q20 10 2q 2010 2q 2010 2q ( )96.56L q 解：(1)利潤(rùn)函數(shù) ,得 時(shí)，利潤(rùn)最大，將.當(dāng)令代入利潤(rùn)函數(shù)，得最大利潤(rùn)第118頁(yè)/共158頁(yè)x( )(342 )(7)(3

60、4)L xxxC( )2040L xx5x 5x (34 10)(75)(34)288(34)LCC (2)設(shè)價(jià)格提價(jià) 元，則利潤(rùn)函數(shù) 若不提價(jià)，利潤(rùn)為 得令，且當(dāng) 時(shí)，利潤(rùn)故提價(jià)利潤(rùn)大些，且應(yīng)提價(jià)5元.34 7(34)238(34)LCC第119頁(yè)/共158頁(yè)4 設(shè)某種商品的需求彈性為08，則當(dāng)價(jià)格分別提高10%，20%時(shí)，需求量將如何變化?QP0.8QPE解：設(shè)需求量為 ，價(jià)格為 ，由已知得,即而PPQQEQP8 . 0PPQQ%10PP10% 當(dāng)價(jià)格提高時(shí)，即 時(shí)，%8%108 . 08 . 0PPQQ8108 . 0或第120頁(yè)/共158頁(yè) 當(dāng)價(jià)格提高 ，即 20%20PP%16%20