數(shù)值分析第九章PPT課件

1、第九章 常微分方程的數(shù)值解一、 Euler方法三、 單步法的收斂性和穩(wěn)定性二、 Runge-Kutta方法四、 線性多步法第1頁(yè)/共69頁(yè)很多科學(xué)技術(shù)和工程問題常用常微分方程的形式建立數(shù)學(xué)模型.但是對(duì)于絕大多數(shù)的微分方程問題，很難或者根本不可能得到它的解析解. 本章重點(diǎn)考察一階方程的初值問題00( , )()dyf x ydxy xy 的數(shù)值解法，就是尋求解y(x)在一系列離散點(diǎn)01mxxxx處的近似值 的方法.01,myyy相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的距離 稱為步長(zhǎng).1nnhxx 第2頁(yè)/共69頁(yè)一、 Euler方法1 歐拉公式由初值條件 表示積分曲線從00()y xy 000(,)P xy出發(fā)，并在

2、處的切線斜率為000(,)P xy00(,)f xy因此可以設(shè)想積分曲線在 x=x0 附近可以用切線近似的代替曲線. 切線方程為000()()yyy xxx 0000(,)()yf xyxx當(dāng)x=x1時(shí)，代入有1000(,)yyhf xy這樣得到y(tǒng)(x1)的近似值y1的方法.第3頁(yè)/共69頁(yè)重復(fù)上述方法，當(dāng) x=x2 時(shí)2111(,)yyhf xy依次可以計(jì)算出x3, x4, 處的近似值y3, y4, 由此得到Euler公式：1(,)nnnnyyhf xy 由于用折線近似代替方程的解析解，所以Euler方法也稱為Euler折線法.例 用Euler法計(jì)算初值問題的解在x=0.3時(shí)的近似值，取步長(zhǎng)

3、h=0.1 .22100(0)0 yxyy 第4頁(yè)/共69頁(yè)解：1(0.1)yy 000(,)yhf xy2200.1(0)100(0) )0 2(0.2)yy 111(,)yhf xy2200.1(0.1)100(0) )0.001 3(0.2)yy 222(,)yhf xy2200.1(0.2)100(0.001) )0.005 Euler公式的截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差：一步Euler公式產(chǎn)生的誤差;總體截?cái)嗾`差：Euler公式的累積總誤差;第5頁(yè)/共69頁(yè)在假設(shè)yn = y(xn)，即第i步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Rn = y(xn+1) yn+1 稱為局部截?cái)嗾`差.定義歐拉法的局

4、部截?cái)嗾`差：231112() ()()()() ()(, ()hnnnnnnnnnTy xyy xhy xy xO hy xhf xy x 2322()()()hnyxO hO h 所以歐拉法具有 1 階精度.若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有p 階精度.定義第6頁(yè)/共69頁(yè)Lipschitiz條件：若存在正數(shù)L,使得對(duì)一切x, y1, y2有1212|( ,)( ,)|f x yf x yL yy則稱f(x, y)滿足Lipschitiz條件.歐拉法的總體截?cái)嗾`差：111()nnney xy那么1111111| | ()| | ()|nnnnnnney xyy xyyy設(shè)1

5、()(, (),nnnnyy xhf xy x 11| ()|nny xy 為局部截?cái)嗾`差，所以211| ()|()nny xyO h 第7頁(yè)/共69頁(yè)11| | ()(, ()(,)|nnnnnnnnyyy xhf xy xyhf xy | ()|(, ()(,)|nnnnnny xyh f xy xf xy| ()| ()|nnnny xyhL y xy(1)| ()| (1)|nnnhLy xyhLe21|()(1)|nneO hhLe 221()(1)( ()(1)|)nO hhL O hhLe 2()1(1)(1) nO hhLhL12(1)1()nhLO hhL 1( )(1)1n

6、O hhL 第8頁(yè)/共69頁(yè)特別當(dāng)n=m-1時(shí)，有| | ()|mmmey xy( )(1)1mO hhL001()()00lim(1)lim(1)mmL xxL xxmhLhhhLhLe|( )meO h總體誤差與h是同階的.上式還說明，當(dāng) 時(shí)，有 即0h0me ()mmyy x也就是說，ym收斂到方程的準(zhǔn)確解()my x第9頁(yè)/共69頁(yè)后退Euler公式（隱式歐拉法）hxyxyxy)()()(011 （隱式歐拉公式 ）利用向后差商近似導(dǎo)數(shù)1101()()()(,)y xhf xy xy x111()() )(,nnnny xhy xy xf x 第10頁(yè)/共69頁(yè) 由于未知數(shù)yn+1同時(shí)出

7、現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式歐拉公式，而前者稱為顯式歐拉公式.一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再迭代求解.隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：111()nnnTy xy 2322()()()hnyxO hO h 即隱式歐拉公式具有1階精度.第11頁(yè)/共69頁(yè)2 梯形公式和改進(jìn)Euler方法梯形公式設(shè)y=y(x)是 的解, 故00( , )()dyf x ydxy xy ( , ( )yf x y x 由此得到11()()( , ( )nnxnnxy xy xf x y x dx 用梯形公式近似第12頁(yè)/共69頁(yè)111()() (, ()(, ()2nnnnnnhy xy xf xy xf xy x

8、111()() (, ()(, ()2nnnnnnhy xy xf xy xf xy x用yn來近似y(xn),用yn+1來近似y(xn+1), 得111 (,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy梯形公式梯形公式是隱式的，可以用迭代法求解.第13頁(yè)/共69頁(yè)23423()()()()26() ()()()()222nnnnnnnhhhyxyxyxO hhhhyxyxhyxyxO h3431()()()12nyxhO hO h 具有2階精度.梯形公式的局部截?cái)嗾`差111111()()() (, ()(, ()2nnnnnnnnnTy xyhy xy xf xy xf xy x 第14頁(yè)/

9、共69頁(yè)中點(diǎn)歐拉公式hxyxyxy2)()()(021 中心差商近似導(dǎo)數(shù))(,(2)()(1102xyxfhxyxy 112(,)nnnnyyh f xy 假設(shè) , 則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式具有 2 階精度.11(),()nnnnyy xyy x 311()()nnnRy xyO h 需要2個(gè)初值 y0和 y1來啟動(dòng)遞推過程，這樣的算法稱為雙步法 ，而前面的三種算法都是單步法. 第15頁(yè)/共69頁(yè)方 法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點(diǎn)公式簡(jiǎn)單精度低穩(wěn)定性最好精度低, 計(jì)算量大精度提高計(jì)算量大精度提高, 顯式多一個(gè)初值, 可能影響精度有沒有一種方法，既有這些方法的優(yōu)點(diǎn)，而沒有它們的缺點(diǎn)？第16頁(yè)/共69

10、頁(yè)改進(jìn)歐拉法(1)先用顯式歐拉公式作預(yù)測(cè)，算出1(,)nnnnyhf xyy (2)再將 代入梯形公式的右邊作校正,得到1ny 111 (),)(,2nnnnnnhyf xyyf xy 注：此法亦稱為預(yù)測(cè)-校正法.可以證明該算法具有2階精度，同時(shí)可以看到它是個(gè)單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡(jiǎn)單. 11(,),(,)2nnnnnnnnhyyf x yf xyhf x y 第17頁(yè)/共69頁(yè)例 用梯形公式求解初值問題(步長(zhǎng)h=0.2)83(1)2yyy (12)x解： 梯形公式為111 (,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy于是110.283832nnnnyyyy整理得17161

11、313nnyy 由 y(1) = y0 = 2 依次可得 y1, y2, y3, y4, y5.第18頁(yè)/共69頁(yè)例 用改進(jìn)歐拉法求解初值問題2sin0(1)1 yyyxy 要求步長(zhǎng)h=0.2，并計(jì)算y(1.2)和y(1.4)解：改進(jìn)歐拉法公式為1111(,) (,)(,)2nnnnnnnnnnyyhf xyhyyf xyf xy 即212211110.2(sin) 0.1sinsinnnnnnnnnnnnnnyyyyxyyyyxyyx 第19頁(yè)/共69頁(yè)由 y(1) = y0 =1 計(jì)算得20.47696 (1.4)0.52611yy 10.63171 (1.2)0.715488yy 第20

12、頁(yè)/共69頁(yè)二、Runge-Kutta方法建立高精度的單步遞推格式.單步遞推法的基本思想是從(xn , yn )點(diǎn)出發(fā)，以某一斜率沿直線達(dá)到(xn+1 , yn+1 )點(diǎn). 歐拉法及其各種變形所能達(dá)到的最高精度為2階.考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫為：1121211122(,)(,)nnnnnnyyhKKKfxyKfxh yhK 斜率一定取K1 K2 的平均值嗎？步長(zhǎng)一定是一個(gè)h 嗎？第21頁(yè)/共69頁(yè)首先希望能確定系數(shù) 1、2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在 的前提假設(shè)下，使得 ()nnyy x 3111()()nnnTy xyO h 將改進(jìn)歐拉法推廣為：11212121(,) (,)

13、nnnnnnyyhKKKf xyKf xh yhKpp (1) 將K2在(xn , yn )點(diǎn)作 Taylor 展開1 二階Runge-Kutta方法第22頁(yè)/共69頁(yè)21(,)nnKf xphyphK 2()()()nnyxphyxO h (2) 將 K2 代入第1式，得到( )( , )( , )( , )( , )( , ) ( , )xyxyddyy xf x yf x yf x ydxdxf x yf x y f x y 1(,) nnKf xy 21(,)(,)(,)()nnxnnynnf xyphfxyphK fxyO h第23頁(yè)/共69頁(yè)2112()()()()nnnnnyyh

14、yxyxphyxO h 23122()()()()()nnny xh y xph yxO h(3) 將yn+1與y( xn+1 )在xn點(diǎn)的泰勒展開作比較231122()()()()()nnnnyy xh yxph yxO h 231()()()()()2nnnnhy xy xhyxyxO h 要求 , 則必須有：3111()()nnnTy xyO h12211 ,2p 這里有 個(gè)未知數(shù)， 個(gè)方程。32所以存在無窮多個(gè)解！第24頁(yè)/共69頁(yè)所有滿足上式的統(tǒng)稱為2階Runge-Kutta格式.若 則1211,2p 11122121122(,) (,)11 , 2nnnnnnyyhKKKf xyK

15、f xph yphKp 1 (,)(,(,)2nnnnnnnnhyyf xyf xh yhf xy 改進(jìn)的歐拉方法若 則121,0,1,2p 1(,) (,)22nnnnnnhf xyhyyh f xy 中點(diǎn)公式第25頁(yè)/共69頁(yè)2 四階Runge-Kutta方法其中i (i = 1, , m)，i (i =2, , m) 和ij (i = 2, , m; j =1, , i1 ) 均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似. 1121122213313221312 (,) (,) (,) nnmnnnmnnnyyhKKKKf xyKf xh yhKKf xh yhKhK 111 1 (,)m

16、mmmmnnmKf xh yhKhK 第26頁(yè)/共69頁(yè)由于方程的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)，所以方程有無窮多個(gè)解，可以根據(jù)情況得到幾種常用的解，即得到相應(yīng)的四階公式.最常用為四階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔法11234612122322243(22)(,)(,)(,)(,)hnnnnhhnnhhnnnnyyKKKKKf xyKf xyKKf xyKKf xhyhK 也稱為標(biāo)準(zhǔn)四階龍格-庫(kù)塔公式第27頁(yè)/共69頁(yè)Gill公式112346121222 12231222222242322(22)(22)(,)(,)(,)(,)hnnnnhhnnhnnnnyyKKKKKf xyKf xyKKf xyhKhKKf xhy

17、hKhK 第28頁(yè)/共69頁(yè)753可達(dá)到的最高精度642每步須算Ki 的個(gè)數(shù))(2hO)(3hO)(4hO)(5hO)(6hO)(4hO)(2nhO8n(2) 龍格-庫(kù)塔法的導(dǎo)出基于泰勒展開，故精度主要受解函數(shù)的光滑性影響. 對(duì)于光滑性不太好的解, 最好采用低階算法而將步長(zhǎng)h 取小.注：(1) 龍格-庫(kù)塔法的主要運(yùn)算在于計(jì)算Ki 的值,即計(jì)算f的值. Butcher于1965年給出了計(jì)算量與可達(dá)到的最高精度階數(shù)的關(guān)系：第29頁(yè)/共69頁(yè)例 用標(biāo)準(zhǔn)四階Runge-Kutta法求初值問題 (0)1 yxyy 在x=0.1處的近似值，取步長(zhǎng)為h=0.1 .解：00( , ),0,1f x yxy x

18、y所以100(,)Kf xy 200122(,)hhKf xyK300222(,)hhKf xyK4003(,)Kf xh yhK01100(0.05,0.05)1.1f xy00(0.05,0.055)1.105f xy00(0.1,0.1105)1.2105f xy第30頁(yè)/共69頁(yè)那么1012346(22)hyyKKKK1012346(22)hyyKKKK0.11(0.12 1.1+2 1.105+1.2105)61.110341667 例 用標(biāo)準(zhǔn)四階Runge-Kutta法求初值問題83 (0)2 yyy 在x=0.4處的近似值，取步長(zhǎng)為h=0.2 .第31頁(yè)/共69頁(yè)解：00( ,

19、)83 ,0,2f x yy xy所以100(,)Kf xy 200122(,)hhKf xyK300222(,)hhKf xyK4003(,)Kf xh yhK083y05.62.1y06.322.37y04.2081.578y1012346(22)hyyKKKK01.20160.5494y而0(0)2,yy所以1(0.2)2.3004yy2(0.4)2.4654yy211.20160.5494yy第32頁(yè)/共69頁(yè) 若某算法對(duì)于任意固定的x=xi =x0 + i h, 當(dāng) h0 (同時(shí)i )時(shí)有yi y(xi )，則稱該算法是收斂的. 定義1 單步法的收斂性三、 單步法的收斂性和穩(wěn)定性單步

20、法是在計(jì)算yn+1時(shí)只用到前一步的信息yn .顯式單步法的共同特征是它們都是將yn加上某種形式的增量，得出yn+1,計(jì)算公式如下：1(, )nnnnyxhyhy 增量函數(shù)第33頁(yè)/共69頁(yè)Euler方法的增量函數(shù)( , , )( , )x y hf x y 改進(jìn)Euler方法的增量函數(shù) 1( , , )( , )(,( , )2x y hf x yf xh yhf x y 設(shè)y(x)是微分方程初值問題的準(zhǔn)確解，定義00( , )()dyf x ydxy xy 則稱 11(),()(,)nnnnny xhxyhTy x 為顯式單步法在xn+1處的局部截?cái)嗾`差 .第34頁(yè)/共69頁(yè)例：考察歐拉顯式

21、格式的收斂性:0 (0)yyyy 解：該問題的精確解為 xeyxy 0)( 歐拉公式為1(1)nnnnyyh yh y 0(1)nnyhy 對(duì)任意固定的 x=xi =ih，有iixhhxihyhyy )1()1(/10/0 ehhh /10)1(lim)(0ixxyeyi 第35頁(yè)/共69頁(yè)00( , )()dyf x ydxy xy 設(shè)y(x)是微分方程初值問題的準(zhǔn)確解，定義若存在最大整數(shù)p，使顯式單步法的局部截?cái)嗾`差滿足則稱該方法具有p階精度，或稱為p方法.Tn+1按h展開的第一項(xiàng)，又稱為主項(xiàng).若局部截?cái)嗾`差的展開式寫成121(, ()()ppnnnTxy xhO h 則稱 為局部截?cái)嗾`差

22、的主項(xiàng)1(, ()pnnxy xh 1111()()pnnnTy xyO h 第36頁(yè)/共69頁(yè)單步法的收斂定理設(shè)單步法 具有p階精度1(, )nnnnyxhyhy 其增量函數(shù) 關(guān)于y滿足Lipschitz條件( , , )x y h 即存在常數(shù)L，使對(duì)任何的 及任意的x有, y y| ( , , )( , , )|x y hx y hL yy 又設(shè)初值y0是準(zhǔn)確的，即 則總體00(),yy x 截?cái)嗾`差是p階的，也就是1()()pnnney xyO h 特別的當(dāng) 時(shí), 不論n為何值, 總有1p 0lim0nhe 即方法收斂.第37頁(yè)/共69頁(yè)在f(x,y)對(duì)y滿足Lipschitz條件下,

23、Euler法，改進(jìn)Euler法和Runge-Kutta法的增量函數(shù) 都對(duì)y滿足Lipschitz條件，所以上述結(jié)論對(duì)這些方法都成立. ( , , )x y h 例 設(shè)111 (,)2 (,)3nnnnnnhyyf xyf xy是求解微分方程的單步法，試求其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)，并說出它具有幾階精度.解: 111()nnnTy xy111()() (, ()2 (, ()3nnnnnnhy xy xf xy xf xy x第38頁(yè)/共69頁(yè)111()()()2()3nnnnnhTy xy xy xy x考慮 在xn處的Taylor展式11(),()nny xy x 2311()()()()()2n

24、nnny xy xy xhyxhO h 21()()()()nnny xy xyxhO h 所以2311()()6nnTh yxO h 該方法的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)是21()6nh yx 具有一階精度.第39頁(yè)/共69頁(yè)例 設(shè)試求出它具有幾階精度.1113 (,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy111()nnnTy xy解: 111()()3 (,)(,)2nnnnnnhy xy xf xyf xy11()()3()()2nnnnhy xy xy xy x考慮 在xn處的Taylor展式11(),()nny xy x 234111()()()()()()26nnnnny xy xy x

25、hyxhyxhO h 2311()()()()()()()2nnnny xy xyxhyxhO h 第40頁(yè)/共69頁(yè)所以3415()()12nnTh yxO h 該方法的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)是35()12nh yx 具有二階精度.2 單步法的穩(wěn)定性收斂性是在假定每一步計(jì)算都準(zhǔn)確的前提下, 討論步長(zhǎng) 時(shí)，方法的總體截?cái)嗾`差是否趨于零的問題.0h穩(wěn)定性是討論舍入誤差的積累能否對(duì)計(jì)算結(jié)果有嚴(yán)重的影響.第41頁(yè)/共69頁(yè)例：考察初值問題 在區(qū)間 1)0()(30)(yxyxy0.00.10.20.30.40.5精確解改進(jìn)歐拉法 歐拉隱式歐拉顯式 節(jié)點(diǎn) xixey30 1.00002.0000 4.00

26、008.0000 1.6000101 3.2000101 1.00002.5000101 6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.05901070, 0.5上的解，分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解.第42頁(yè)/共69頁(yè) 若一種數(shù)值解法僅在節(jié)點(diǎn)值yn上有大小為的擾動(dòng)，于以后各節(jié)點(diǎn)值ym(mn)上，僅由所引起的擾動(dòng)都不超過時(shí)，稱該方法是穩(wěn)定的.定義一般分析時(shí)為簡(jiǎn)單起見，只考慮試

27、驗(yàn)方程yy 為復(fù)數(shù)且Re()0設(shè) 在節(jié)點(diǎn)值yn處有擾動(dòng) 令 1(),nnyEh y ,n *,nnnyy 那么*111,nnnyy *111()()nnnnnyyEh yEh y于是()nEh 第43頁(yè)/共69頁(yè)反復(fù)應(yīng)用可得() ()m nmnEhmn 為使| |mn 則|()| 1Eh 可得如下定義 若 中 ，則稱單步法是絕對(duì)穩(wěn)定的. 在復(fù)平面上， h滿足1()nnyEh y |()| 1Eh 的區(qū)域稱為方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域, 它與實(shí)軸的交稱為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間|()| 1Eh 定義下面討論已知的幾種方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間和絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域.第44頁(yè)/共69頁(yè)顯式歐拉法:1(1)nnnnyyhyhy 0-

28、1- 2ReImg在復(fù)平面上的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域是|1| 1h 即以-1為中心，1為半徑的圓域()1Ehh所以相應(yīng)的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間是20h 第45頁(yè)/共69頁(yè)隱式歐拉法(后退歐拉法)：210ReImg11nnnyyhy 111nnyyh 在復(fù)平面上的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域是111h 是以1為中心，1為半徑的圓的外域1()1Ehh 所以相應(yīng)的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間是0h |1| 1h 即如果只考慮 0為實(shí)數(shù))所以絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域是22112hh 所以2h 2h 因此是條件穩(wěn)定的.第50頁(yè)/共69頁(yè)四、 線性多步法在逐步推進(jìn)的求解過程中，計(jì)算yn+1之前已經(jīng)求出了一系列的近似值y0, y1, , yn ,如果充分利用前面信息來預(yù)

29、測(cè)yn+1，則可期望會(huì)獲得較高的精度，這就是線性多步法的基本思想.1 線性多步法的一般公式最常用的線性多步法公式為101rrnkn kkn kkkyyhf其中 為常數(shù)，yn-k為y(xn-k)的近似值,kkfn-k = f(xn-k ,yn-k)第51頁(yè)/共69頁(yè)特別的當(dāng) 時(shí), 上式為顯式, 否則是隱式.10 設(shè)y(x)是微分方程初值問題的準(zhǔn)確解，定義00( , )()dyf x ydxy xy 稱1101()()()rrnnkn kkn kkkTy xy xhy x 為線性多步法在xn+1上的局部截?cái)嗾`差.若 則稱該方法具有p階精度.11()pnTO h 若 則稱局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為 為誤差

30、常數(shù).(1)1211()()pppnpnTcyxhO h(1)11(),pppncyxh 1pc 第52頁(yè)/共69頁(yè)例 設(shè) yn+1 = yn-1+2hf(xn, yn) 為求解常微分初值問題的線性二步法，試求該二步公式的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，和精度.解: 由局部截?cái)嗾`差的定義可知111()()2(, ()nnnnnTy xy xhf xy x11()()2()nnny xy xhy x 考慮 在xn處的Taylor展式11(), ()nny xy x2341()()()()()()26nnnnnhhy xy xy xhyxyxO h 2341()()()()()()26nnnnnhhy xy x

31、y x hyxyxO h 第53頁(yè)/共69頁(yè)代入可得3411()()3nnTh yxO h 所以局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為31()3nh yx 具有二階精度.例 試建立求解為微分方程初值問題具有如下形式10011()nnnnyyhff的線性二步法，并使該方法具有二階精度，同時(shí)求其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng).解:局部截?cái)嗾`差為1100111()()(, ()(, ()nnnnnnnTy xy xhf xy xf xy x10011()()()()nnnny xy xhy xy x第54頁(yè)/共69頁(yè)考慮 在xn處的Taylor展式11(),()nny xy x 234111()()()()()()26nnnnn

32、y xy xy xhyxhyxhO h 231()()()()()2nnnnhy xy xyx hyxO h 于是2100113411(1) ()(1)()()()211 ()()()62nnnnnTy xy xhyxhyxhO h 為使方法具有二階精度則0011110,10,02第55頁(yè)/共69頁(yè)解得001311,22 因此該方法為1131()22nnnnyyhff局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為35()12nyxh 例 試建立求解為微分方程初值問題具有如下形式1011011()nnnnnyyyhff的線性二步法，并使該方法具有三階精度，同時(shí)求其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng).解:局部截?cái)嗾`差為第56頁(yè)/共69頁(yè)1

33、10110111()()(, ()(, ()nnnnnnnnTy xy xyhf xy xf xy x1011011()()()()nnnnny xy xyhy xy x考慮 在xn處的Taylor展式111(), (),()nnny xy xy x 231(4)4511()()()()()261 ()()24nnnnnny xy xy xhyxhyxhyxhO h 23(4)41()()()()()()26nnnnnhhy xy xyx hyxyxO h 2314(4)5()()()()()26 ()()24nnnnnnhhy xy xy x hyxyxhyxO h 第57頁(yè)/共69頁(yè)101

34、101231111(4)4511(1) ()(1)()11 (12)()()()26621 ()()()24246nnnnnnTy xy xhhyxyxhyxhO h 所以0110111111,10,120,130解得01014,5,4,2 局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為(4)41()6nyxh第58頁(yè)/共69頁(yè)2 Adams外推公式考慮用r+1個(gè)點(diǎn)(xn-k, f(xn-k, yn-k)構(gòu)造一個(gè)r次多項(xiàng)式來近似11()()( , ( )nnxnnxy xy xf x y x dx 的被積函數(shù)f(x, y(x), 這里用yn-k作為y(xn-k)的近似值，令fn-k=f(xn-k, yn-k), 用Newton向后插值公式來構(gòu)造r次多項(xiàng)式, 即0(1)(1)( )()( 1)!rkkrrnn kkt ttkNxNxthfk 第59頁(yè)/共69頁(yè)111()()( , ( )( )nnnnxxnnnrxxy xy xf x y x dxyNx dx 10()()nrnyNxthh dt 100(1)(1)( 1)()!rkknn kkt ttkyfh dtk 1100( 1)(1)(1)!krknn kkyhft ttkdtk 10( 1)!krknkn kkyhAfk 10(1)(1)kAt ttkdt 這里第6