24證明（二）

1、證證 明（二）明（二）本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.4w證明命題的一般步驟證明命題的一般步驟: :w(1)根據(jù)題意根據(jù)題意,畫(huà)出圖形；畫(huà)出圖形；w(2)分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已已知知”中寫(xiě)出條件，在中寫(xiě)出條件，在“求證求證”中寫(xiě)出結(jié)論；中寫(xiě)出結(jié)論；w(3)在在“證明證明”中寫(xiě)出推理過(guò)程中寫(xiě)出推理過(guò)程.依據(jù)思路依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言條理清晰運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言條理清晰地寫(xiě)出證明過(guò)程；地寫(xiě)出證明過(guò)程；檢查表達(dá)過(guò)程是否正確、完善檢查表達(dá)過(guò)程是否正確、完善.動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋例例3 3、證明命題、證明命題：角平分線上一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊相等。角平分線上一點(diǎn)到這個(gè)

2、角兩邊相等。已知：如圖已知：如圖OP是是AOB的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P是是OP上上任意一點(diǎn)，且任意一點(diǎn)，且PDOB，PEOA，垂足為，垂足為D和和E，求證：求證：PD=PE證明：OP是AOB的角平分線（已知）AOP=BOP（角平分線的定義）PD=PE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） PDO PEO(AAS)又OP=OP（公共邊）PDO=PEO=900(垂直的定義)PDOA，PEOB，(已知)證明過(guò)程中的每一步推理都要有依據(jù)，依據(jù)作為推理的理由可以寫(xiě)在每一步后的括號(hào)內(nèi).請(qǐng)說(shuō)出上述命題的逆命題，并進(jìn)行證明請(qǐng)說(shuō)出上述命題的逆命題，并進(jìn)行證明.做一做做一做 證明：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形證明：有

3、兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形 w已知：如圖已知：如圖2-62-6，在，在ABCABC中，中， B =C. B =C. w求證：求證：AB=AC.AB=AC.證明證明:已知：如圖已知：如圖2-6，在，在ABC中，中，B =C. . 求證：求證：AB=AC. . 證明證明 作邊作邊BC上的高上的高AD. 在在ABD與與ACD中，中， = ，( ( ) ) = = ，( ( ) ) = ，( )( ) ABD ACD .( ( ) )從而從而 AB = AC . ( ( ) )BC已知已知ADBADC90凡直角都相等凡直角都相等ADADAAS公共邊相等公共邊相等對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)邊相等D3. 已知：如

4、圖已知：如圖2-7，ABC的兩個(gè)外角的兩個(gè)外角EBC，F(xiàn)CB 的角平分線相交于點(diǎn)的角平分線相交于點(diǎn)P 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在A的平分線上的平分線上提示提示: :過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P 作作PNPNAFAF于于N N，PMPMBCBC于于M M，PDPDAEAE于于D D，再利用角的平分性質(zhì)證再利用角的平分性質(zhì)證PN=PDPN=PD，則則P P在在A A的平分線上的平分線上. .圖圖2-7DNM1 1、分析下列命題的條件和結(jié)論，畫(huà)出符合題意、分析下列命題的條件和結(jié)論，畫(huà)出符合題意 的圖形，并寫(xiě)出已知、求證（不需要證明）的圖形，并寫(xiě)出已知、求證（不需要證明） 命題命題“全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等全等三角形

5、對(duì)應(yīng)邊上的高相等”做一做做一做平行四邊形平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作作一條直線分別與邊一條直線分別與邊AB，DC交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，F(xiàn). OE=OF嗎？嗎？你能給出證明嗎？你能給出證明嗎？動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋OE = OF .圖圖2-8舉舉例例例例4 已知：在已知：在ABC中，邊中，邊AB，BC，AC的的 中點(diǎn)分別為中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，連結(jié)，連結(jié)DF，F(xiàn)E. 求證：（求證：（1）四邊形）四邊形BEFD是平行四邊形；是平行四邊形； （2）四邊形）四邊形BEFD的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于AB+BC.做一做做一做已知：在已知：在ABC中，中，D，E，F(xiàn)分別是邊分別是邊

6、 AB，AC，BC的中點(diǎn)，連結(jié)的中點(diǎn)，連結(jié)DE，AF 求證：求證：AF與與DE互相平分互相平分 結(jié)論結(jié)論由此我們可以得到下面的結(jié)論：由此我們可以得到下面的結(jié)論： 三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.已知：在等腰梯形已知：在等腰梯形ABCD中，上底中，上底DC的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為E，連結(jié)，連結(jié)EA、EB求證：求證：EA=EBABCDE要證要證EAEB，而而EA，EB分別位于分別位于ADE 和和BCE 中中 ，所以只需證所以只需證ADE BCE即可即可例例5 證明：等腰梯形上底的中點(diǎn)與下底兩端點(diǎn)的證明：等腰梯形上底的中點(diǎn)與下底兩端點(diǎn)的距離相等距離相等分

7、析舉舉例例做一做做一做 剪一個(gè)三角形紙片，用折疊的方法找出每一條剪一個(gè)三角形紙片，用折疊的方法找出每一條邊的垂直平分線，從三條折痕看出，它們是否相交邊的垂直平分線，從三條折痕看出，它們是否相交于一點(diǎn)？由此你能作出什么猜測(cè)？你能證明這個(gè)猜于一點(diǎn)？由此你能作出什么猜測(cè)？你能證明這個(gè)猜測(cè)為真嗎？測(cè)為真嗎？思路：思路：證三角形兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三條邊的垂證三角形兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三條邊的垂直平分線上直平分線上求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)O在邊在邊AC的垂直平分線上的垂直平分線上要證要證O 點(diǎn)在點(diǎn)在 AC 的垂直平分線上的垂直平分線上，只需讓只需讓 OA=OC 即可即可而而 OD 、OE 分別為

8、分別為 AB 、BC 的的垂直平分線垂直平分線，從而從而 OA=OB=OCBECADO分析：舉舉例例例例6 已知：如圖已知：如圖2-12，在，在ABC中，邊中，邊AB，BC的的 垂直平分線相交于點(diǎn)垂直平分線相交于點(diǎn)O 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)O在邊在邊AC的垂直平分線上的垂直平分線上 結(jié)論結(jié)論從例從例6 6立即得到立即得到: : 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 （）證線段相等，通過(guò)證三角形全等得出（）證線段相等，通過(guò)證三角形全等得出（）三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，（）三角形三條邊的垂直平分線交于

9、一點(diǎn)， 交點(diǎn)叫垂心交點(diǎn)叫垂心小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí)中考中考 試題試題例例1 如圖如圖1，已知：在，已知：在ABC中，中，AB=AC，在，在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)D，又在，又在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使，使CE=BD，連接，連接DE交交BC于于G點(diǎn)點(diǎn). 求證：求證：DG=GE.解解過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作作DFAC交交BC于于F點(diǎn)點(diǎn). . DFAC, ,DFB=ACB. 又又AB=AC, ,B=ACB.B=DFB. DF=DB.BD=CE, , DF=CE. DFCE. DFG=ECG.在在DFG和和ECG中，中， DFG ECG( (AAS). ). DG=GE.DGF =EGC，DFG =ECG, , DF = EC, ,中考中考 試題試題例例2 如圖，已知：如圖，已知：AD=BC，AB=DC，DE=BF. 求證：求證：BE=DF.解解連接連接BD，在在ABD與與CBD中，中， ABD CBD( (SSS) ). A=C.AD=BC, ,DE=BF, ,AD+DE=BC+BF.即即AE=CF.在在ABE與與CDF中，中， ABE CDF( (SAS) ).BE=DF.AD = CB，AB = CD, ,DB = BD, ,AE = CF，A = C,