數(shù)學(xué)物理方程-第章行波法與積分變換法ppt課件

1、一一 無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)Cauchy問題問題有限弦，波運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生反射波有限弦，波運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生反射波當(dāng)反射波未融合時(shí)，振動(dòng)可以作為初值問題當(dāng)反射波未融合時(shí)，振動(dòng)可以作為初值問題 )()0 ,()()0 ,()(2xxuxxuxuautxxtt atxatx變變換換 )2(22uuuauuuuuttxx )()()()(gfgdhu0 u行波法用于波動(dòng)方程的初值問題行波法用于波動(dòng)方程的初值問題第第3章章 行波法與積分變換法行波法與積分變換法)()(),(atxgatxftxu 函函數(shù)數(shù)為為任任意意二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)的的一一元元其其中中方方程程通通解解gf ,12C)(C)

2、( xx其其中中 )()()()0 ,()()()()0 ,(xxgxfaxuxxgxfxuICt由由Cdxxaxgxfx 0)(1)()(后式積分得后式積分得2)(21)(21)(0Cdxxaxxgfx 解解得得 atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),(達(dá)達(dá)公公式式二二 物理意義物理意義1 左行波和右行波左行波和右行波常數(shù)常數(shù)沿直線沿直線 )()(22xgatxgxatx向向右右移移動(dòng)動(dòng)波波形形以以速速度度 aak1 )(2xg2xatx ttxo2x的的右右行行波波為為傳傳播播速速度度為為故故aatxg)( 的的左左行行波波為為傳傳播播速速度度為為aatxf)( 同同理

3、理2 依賴區(qū)間依賴區(qū)間 影響域和決定域影響域和決定域,),(1200 xxtx的的依依賴賴區(qū)區(qū)間間為為00200100,),(atxxatxxxttx 記記平平面面任任一一點(diǎn)點(diǎn)為為設(shè)設(shè)與與區(qū)區(qū)間間外外無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)的的初初始始條條件件有有關(guān)關(guān)僅僅與與,),(1200 xxtxu.公公式式由由AlembertD ),(00txIIVIIIII2x1xak1 ak1 oxtIxx的的決決定定域域?yàn)闉?12決決定定完完全全由由內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)的的依依賴賴區(qū)區(qū)間間區(qū)區(qū)域域,1212xxxxI IVIIIIIxx的的影影響響域域?yàn)闉?12影影響響受受區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)的的依依賴賴區(qū)區(qū)間間,1212xxxx

4、此此方方法法稱稱為為行行波波法法為為左左右右兩兩個(gè)個(gè)行行波波的的迭迭加加)()(),(atxgatxftxu 常常數(shù)數(shù)沿沿特特征征線線的的特特征征線線稱稱為為直直線線族族 )(2atxfuaucatxxxtt行波法也稱行波法也稱 特征線法特征線法0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t0)2()( 2)2(22 uCbBbAuCabbaBAuCaBaA可可得得0 u即即有有)()(),(byxgayxfyxu 通通解解)11(21bakk 和和和和斜斜率率為為特特征征方方程程的的根根為為左左行行波波為為右右行行波波斜斜率率00 kkbakAACBBdxdy112, 12 和和兩解兩解三三 雙

5、曲型方程初值問題的特征線法雙曲型方程初值問題的特征線法)0(022 ACBCuBuAuyyxyxx偏偏微微分分方方程程 byxayx變變換換0)(2)(22 dxCBdydxdyA特特征征方方程程記作記作 CbyxCayx兩兩組組特特征征線線13032212 kkyy和和有有根根特特征征方方程程CyxCyx 和和特特征征線線3)()3(),(yxgyxfyxu 通通解解 Cxgxfxgxfxuxxgxfxuy)()(310)()(31)0 ,(3)()()0 ,(2CxxgCxxf 2243)(,49)(解解出出22223)(43)31(49),(yxyxyxyxu 0)0 ,(,3)0 ,(

6、0322xuxxuuuuyyyxyxx定解問題定解問題例例2解解 xaxuxxuuautxxttcos)0 ,(,sin)0 ,(2定定解解問問題題)sin(cos212)sin()sin(),(atxdatxatxtxuatxatx 例例1 1解解的解的解是是 0)0 ,(0)0 ,()(),(2xuxuxtxfuautxxtt五五 非齊非齊DE轉(zhuǎn)化為齊次轉(zhuǎn)化為齊次DE-齊次化原理齊次化原理 tdtxwtxu0),(),(則則的解的解是是設(shè)設(shè) ),(),(, 0),(),(),(2xfxwxwxtwawtxwtxxtt dfadtaxtaxt),(21)()(0的的解解為為 )()0 ,()

7、()0 ,()(),(2xxuxxuxtxfuautxxtt dfdatxutaxtaxt),(21AlembertD),()()(0公公式式由迭加由迭加 原理原理 )()0 ,(02xxutuauxxt四四 一維熱方程的一維熱方程的 “ DAlembert ” 公公式式 detatxutax224)(2)(),(的的解解是是則則 0)0 ,()(),(),(2xuxtxfuautxuxxt tdtxwtxu0),(),(的的解解是是設(shè)設(shè) ),(),(),(),(2xfxwxtwawtxwxxt detafdtaxt)(4)(022)(2),(的的解解為為 )()0 ,()(),(2xxuxt

8、xfuauxxt detafddetatxutaxttax)(4)(04)(2222)(2),(2)(),(由迭加由迭加 原理原理 ),()0 ,(),()0 ,()0,()(102zyxzyxuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxtt問問題題初初值值一一 三維齊次波動(dòng)方程的三維齊次波動(dòng)方程的Poisson公式公式則則為為空空間間任任一一點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè),),(zyxM1. 三維三維poisson公式公式為為半半徑徑的的球球面面為為心心、以以是是以以其其中中積積分分曲曲面面是是以以上上初初值值問問題題的的解解atMStzyxuMat),()()()()( ),( 2222atzyxSMat

9、),(),(41),(10 MatMatSSdSatdSattatMu2. 三維三維poisson公式的推導(dǎo)公式的推導(dǎo) (略略) datataatzatyatxdtsin)(4)cos()sinsin()cossin(2020zyx 0cos2sin0sin0020 ddd 00022tttttuzyxuuau解解041),( MatMatSSdSatdSattatzyxu例例1解解 datatzatyatxfdMatSsin)( )cos,sinsin,cossin(2020, 02 , 0cossinsincossin: atzatyatxSMat球坐標(biāo)球坐標(biāo)3. 計(jì)算計(jì)算rdrratzr

10、yrxfddSfatS 02220)(,sin,cos(),(上上下下柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)積分中積分中x y z是常數(shù)是常數(shù) ),()0 ,(),()0 ,(0,)(102yxyxuyxyxutyxuuautyyxxtt無無關(guān)關(guān)與與間間的的柱柱面面波波將將平平面面問問題題作作為為三三維維空空ztyxu),(,二二 二維波動(dòng)方程初值問題的解二維波動(dòng)方程初值問題的解降維法降維法0 zzzzuu有有)0 ,(),(yxMxoyyxM平平面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，為為設(shè)設(shè)),(),(),(),(),(),(,1100yxzyxyxzyxtyxutzyxuz 令令對(duì)對(duì)上上SMatCMatS下下SzyxMat )

11、,(),()(10002zyxuzyxuuuuautttzzyyxxtt下下上上下下半半球球面面上上半半球球面面球球面面SSSMat 41), 0 ,(),(10 下下上上下下上上SSSSdSatdSattatMutMu MatMatCCyxatddyxatddtatyxu)()()(),()()()(),(21),(22212220公式公式二維二維Poisson MatCSSyxatddatatdSatdSat222)()()(),(),(下下上上 sincosryrx)(),()(),(21200221200220 atatrdrratdrdrratdta222222)()()( :)()

12、()(:atyxCyxatSMat 上上下下22222)()()(1yxatddatdddS 為為半半徑徑的的圓圓為為心心、以以平平面面上上以以平平面面上上的的投投影影域域在在和和上上下下atMxyCxoySSMat:dDM(x,y,z)0T擾動(dòng)區(qū)擾動(dòng)區(qū)恢恢復(fù)復(fù)平平靜靜。上上陣陣尾尾已已過過時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 00,3 MatSMatdSSDat無無后后效效受受影影響響。上上擾擾動(dòng)動(dòng)達(dá)達(dá)到到時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 00,2 MatSMatdSSDatd未未影影響響上上擾擾動(dòng)動(dòng)未未到到時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 00,1 MatSMatdSSdat距距離離大大小小的的最最點(diǎn)點(diǎn)到到設(shè)設(shè)區(qū)區(qū)域域00,0:TMDdT 影影響

13、響各各點(diǎn)點(diǎn)的的初初始始擾擾動(dòng)動(dòng)的的共共同同時(shí)時(shí)刻刻的的擾擾動(dòng)動(dòng)為為球球面面點(diǎn)點(diǎn)處處MatStM三維波動(dòng)問題三維波動(dòng)問題 一點(diǎn)處初始擾動(dòng)以球面波向所有方向傳播一點(diǎn)處初始擾動(dòng)以球面波向所有方向傳播.時(shí)刻影響到達(dá)時(shí)刻影響到達(dá)一方向在一方向在的每點(diǎn)的初始擾動(dòng)恰有的每點(diǎn)的初始擾動(dòng)恰有為為距距tatM三三 物理意義物理意義.0限限長(zhǎng)長(zhǎng)柱柱體體的的區(qū)區(qū)域域的的初初始始擾擾動(dòng)動(dòng)區(qū)區(qū)域域也也是是無無軸軸直直線線上上的的波波動(dòng)動(dòng)，點(diǎn)點(diǎn)的的波波動(dòng)動(dòng)是是一一條條平平行行于于從從空空間間來來看看， zM二維空間中的波動(dòng)現(xiàn)象不同于三維空間二維空間中的波動(dòng)現(xiàn)象不同于三維空間有后效有后效.陣陣尾尾”晰晰的的“前前峰峰”，而而

14、無無“續(xù)續(xù)后后效效特特性性，擾擾動(dòng)動(dòng)有有清清有有連連二二維維情情形形，初初始始擾擾動(dòng)動(dòng)具具柱柱面面波波是是有有后后效效的的。在在影影響響依依舊舊。上上時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 00,3 MatCMatdsCDat 影影響響產(chǎn)產(chǎn)生生。上上時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 00,2 MatCMatdsCDatd 影影響響未未達(dá)達(dá)到到。上上時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 00,1 MatCMatdsCatd 二維波動(dòng)問題二維波動(dòng)問題 一點(diǎn)一點(diǎn)(直線直線)處初始擾動(dòng)以柱面波向所有方向傳播處初始擾動(dòng)以柱面波向所有方向傳播atxaatxsinsin1)(22 )sin()3sin(3 41yxyx xyt223)(3 atxx xytatxx2)(

15、323 22)(3 ()(atyxyxx xxuxxutxuautxxttsin)0 ,()0 ,(0,122解解xyuxuuxuxyuuuuuautttttttttzzyyxxtt2)3(0)2(20)1()(3030030002 初始問題的解初始問題的解求求 0)0 ,(sin)0 ,(0,0322xuxxuyxuuuyyyxyxx解解 0)()0,()(40202tttyyxxttuyxxutyxuuau解解作業(yè)作業(yè)1. 行波法只用于解齊次波動(dòng)方程的初值問題行波法只用于解齊次波動(dòng)方程的初值問題2. 利用公式利用公式, 由問題的由問題的IC可立即求得解可立即求得解.公公式式一一維維Alem

16、bertD atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),(公公式式三三維維Poisson MatCyxatdd)()()(),(2221 MatCyxatddtatMu2220)()()(),(21),(公公式式二二維維Poisson),(),(41),(10 MatMatSSdSatdSattatMu行波法小結(jié)行波法小結(jié)積積分分變變換換核核 ),()()( xkFxfba badxxkxfF),()()( 1 Fourier 變換變換(1) 定義定義 defdxfFourierxi)()(21)(積積分分 一一 積分變換積分變換 用可逆的積分運(yùn)算用可逆的積分運(yùn)算,把一函數(shù)轉(zhuǎn)變成

17、另一函數(shù)把一函數(shù)轉(zhuǎn)變成另一函數(shù))()(21)(:1xfdeFFxi 逆逆變變換換是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)稱稱像像函函數(shù)數(shù)稱稱像像原原函函數(shù)數(shù) ,)(,)(xf選擇不同的積分域和積分核選擇不同的積分域和積分核, 就得到不同的積分變換就得到不同的積分變換)()()(: dxexfxfFFxi變變換換)()(2121fbFfaFxbfxafF (2) 性質(zhì)性質(zhì))()(00 xfFexxfFxi 線性性質(zhì)線性性質(zhì)位移性質(zhì)位移性質(zhì))()()()(xfFixfFnn 微分性質(zhì)微分性質(zhì))()()(fFidexfxfedxexfxixixi 0)(f設(shè)設(shè))(1)(xfFidfFx 積分性質(zhì)積分性質(zhì) dxffxfxfF)(

18、)()(*)(2121變變換換卷卷積積的的定定義義)(*)(2121fFfFxfxfF 卷積定理卷積定理)(*)(21121fFfFFxfxf 即即*)()(221121fFfFFxfxf 即即*21)()(2121fFfFxfxfF 乘法定理乘法定理)0(2cos2220 xdxex dxxixedxeeeFxxixx)sin(cos例例1(1) 定義定義2 Laplace變換變換稱像函數(shù)稱像函數(shù)為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù))(,pFp)()()(0pFdtetftfLLpt 變變換換0)(,0 tft時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)B可可查查附附錄錄例例2)()(,1xFieieFtaatiati 求求是是常常數(shù)數(shù)和和設(shè)設(shè)作

19、業(yè)作業(yè) 1)()(0 ixiedxxexF abeeaidxeafFbibibbxisin)(2121例例3 bxbxaxf021)(設(shè)設(shè) 其其他他其其中中001)()(lim)(0hxhxxxhhh(2) 性質(zhì)性質(zhì))()(2121fbLfaLtbftafL )()(apFtfeLat )()(pFeatfLap 線性性質(zhì)線性性質(zhì)位移性質(zhì)位移性質(zhì)延遲性質(zhì)延遲性質(zhì)微分性質(zhì)微分性質(zhì))0()0()()()0()()(2fpfpFptfLfppFtfL 0)Re( p設(shè)設(shè)) 0()()()(000ffpLdetftfedtetfptptpt ) 0() 0() 0()()()1(21)( nnnnnf

20、fpfppFptfL)(1)(0pFpdfLt 積分性質(zhì)積分性質(zhì)atatf 0)()(*)(2121fLfLtftfL tdtfftftfL02121)()()(*)(變變換換卷卷積積的的定定義義卷積定理卷積定理)()()(*)(2112111pFpFLpFLpFL 即即 x令令 F卷積定理證明卷積定理證明)()()()(2121)(21fFfFdefdefdefdfiii dFFddxexfFxi)()(21)()(2121)(21乘法定理證明乘法定理證明 dxedeFxfxixi)(21)(12)()(210021fLfLdefdefpp 0210021)()()()(dtetfdfdte

21、dtffpttpt 00)(21)()(defdfp t令令換序換序 L卷積定理證明卷積定理證明 dxexfdfdxedxffxixi)()()()(2121換序換序papdteeLptaat110 )(11tupL 例例4ap )Re(0 a例例5)()sin(111) 1(12121221tuttpLpLppL 查查表表例例622sinapaatL sinsinsin)(sin222atLaaatLpataat deXtxFcaibHXHXicbXiXati)(21)(.3)(/)()(.2)()(1)()(2逆逆變變換換取取解解出出)(),(,.1 HhFXxFF記記變變換換兩兩邊邊取取

22、解解例例7)()()()(thdttxctbxtxat 解解方方程程積分變換積分變換 基本思想基本思想: 常微分常微分(積分積分)方程方程 代數(shù)方程代數(shù)方程1)( xL)()()(. 122pFpYkbpapYpL 變變換換得得兩兩邊邊取取)(1)(. 222pFbpakppY 例例8解解 byayxfyky)0()0()(2解常微分方程解常微分方程kxkbkpbLkxakpapLsincos. 3221221 sin1)(1221kxkLfLLkppFL xdttxktfkkxkxf0)(sin)(1sin1)( xdttxktfkkxkbkxaYLxy01)(sin)(1sincos)(二

23、二 二元偏微分方程定解問題二元偏微分方程定解問題 xtxtDDdxdtytyxudxdttyxudyd),(),( 交換運(yùn)算交換運(yùn)算 次序次序常常數(shù)數(shù) t),(),(),(),(tUdxetxutdxetxutxuFtxixitt 交交換換次次序序),(),(),(tUdxetxutxuFxi ),(),()(),(),(tUitxuFitxudxdFtxuFx 常常數(shù)數(shù) t),(),(),()0 ,(),(),(pxUtxuLxtxuLxupxpUtxuLxxt 交交換換次次序序常常數(shù)數(shù) x常常數(shù)數(shù) x),(),(),(0pxUdxetxutxuLpx 總假設(shè)總假設(shè)變變換換作作對(duì)對(duì)Lt.1的

24、的常常微微解解)(.2xU變變換換作作對(duì)對(duì)1.3 Lpxxxu sin32sin6)0 ,( 0), 4(), 0(0, 40tututxuuxxt例例11解解積分變換積分變換 基本思想基本思想: : 二元偏微方程二元偏微方程 常微方程常微方程 二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程 )2(0), 4(), 0()1(),(sin32sin6pUpUpxUxxpU),(),(pxUtxuL 記記常常數(shù)數(shù) xpt,)(sin2sin21待待定定設(shè)設(shè)baxbxaeCeCUxpxp pbpaU 223424,)1(可可確確定定式式代代入入方方程程將將xpxpU sin32sin46,)2(22可可得得式式再

25、再由由常常數(shù)數(shù) pxexetxutt sin32sin6),(224常常數(shù)數(shù) xtp, 0)0 ,()0 ,(),(),(),(22tUUtFtUatU 0)0 ,()0 ,(, 0),(2xuxuxttxfuautxxtt定解問題定解問題變變換換取取對(duì)對(duì)Fx.1的的常常微微解解)(.2tU變變換換取取對(duì)對(duì)1.3 F例例12解解 dataFtUt0)(sin),(),(見例見例8 dtxgFxfFFUFtxut),(),(),(011 )(0)(21),()(sin1taxtaxatxgataF查查表表 ddtxgfdtxgxftt00),(),(),(*),( ttaxtaxdfda0)()

26、(),(21積積分分次次序序交交換換)()0 ,(),(),(22 UtFUatU deFetUtatta)(02222),()(),( deFFdeFFtattat),(),()(01)(012222 ttaxtatdetaxfdeFFF0)(4)(1012222)(21*),(*),(taxtataetaxeFFeF222222411121*)(*)()( 初值問題初值問題),( x )()0 ,(0),(2xxuttxfuauxxt例例13)(),( FtFfF變變換換取取對(duì)對(duì)Fx. 1解解常微常微解解)(. 2tU變換變換取取對(duì)對(duì)1. 3 F detfdadetatxutaxttax)(4)(04)(2222),(212)(),(xapxapececpxU 21),(通通解解), 0(0),(21fLcfLpUcpU 有有限限xapefLpxU ),( detaxfetaxtftxutaxttax)(403322242)(2)(2)(),(卷卷積積常微常微解解x. 2變變換換取取對(duì)對(duì)1. 3 Lp變變換換取取對(duì)對(duì)Lt.1解解 t0 0)0 ,()(), 0(02xutftuxuauxxt例例14UapU2 有有限限值值 ),(, ), 0(pUfLpU),() 0 ,(),(2pxUaxupxpU