大一高等數(shù)學(xué) 第一章第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 及夾逼準(zhǔn)則及夾逼準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理定理1. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定義,),(0nxxnAxfnn)(lim為確定起見 , 僅討論的情形.0 xx 有)(nxfxnx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義,

2、 )(0nxxn且設(shè),)(lim0Axfxx即,0,0當(dāng),00時(shí)xx有.)( Axf:nx)(,0nnxfxx 有定義 , 且, )(0nxxn對上述 ,Nn 時(shí), 有,00 xxn于是當(dāng)Nn 時(shí).)( Axfn故Axfnn)(lim可用反證法證明. (略).)(limAxfnn有證：證：當(dāng) xyA,N“ ”“ ”0 xO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義, )(0nxxn且.)(limAxfnn有說明說明: 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個(gè)數(shù)列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使

3、法法2 找兩個(gè)趨于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明xx1sinlim0不存在 .證證: 取兩個(gè)趨于 0 的數(shù)列21nxn及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理定理2.,),(0時(shí)當(dāng)xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(

4、x)(x且( 利用定理1及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則可證 )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1sincosxxx圓扇形AOB的面積二、二、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 1sinlim. 10 xxx證證: 當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積xxxcos1sin1故有注注注 OBAx1DC注注當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim

5、0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20sinlimx2x2x21nnnR2cossinlimRn例例4. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnA2cossin2 R說明說明: 計(jì)算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx目錄 上頁

6、 下頁 返回 結(jié)束 2.e)1(lim1xxx證證: 當(dāng)0 x時(shí), 設(shè), 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnnee)1(lim1xxx(P5354)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)x, ) 1( tx則,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故e)1 (lim1xxx說明說明: 此極限也可寫為e)1 (lim10zzz時(shí), 令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

7、束 例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：若利用, e)1 (lim)()(1)(xxx則 原式111e)1 (limxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 limx例例7. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則法法1 找一個(gè)數(shù)列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找兩個(gè)趨于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 兩個(gè)重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表達(dá)式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)填空題填空題 ( 14 );_