初稿三重積分計(jì)算方法小結(jié)

1、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文三重積分的計(jì)算方法小結(jié)Methods of Calculation of Triple Integral姓 名： 蔣 曉 穎 學(xué) 號(hào)： 1007012048 學(xué) 院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師： 蔣新榮（副教授）完成時(shí)間：2014年1月23日 三重積分的計(jì)算方法小結(jié)蔣曉穎【摘要】三重積分的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析中的難點(diǎn)，本文結(jié)合教材以及相關(guān)資料較全面地給出了三重積分計(jì)算中的四種處理方法。第一，利用降低三重積分重?cái)?shù)的思想，將其化為累次積分；第二，采用坐標(biāo)變換的方法，將積分體表示成適當(dāng)?shù)男问?；第三，充分運(yùn)用被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱

2、性，簡(jiǎn)化計(jì)算；第四，利用高斯公式將三重積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化成曲面積分計(jì)算。希望這幾種方法能對(duì)學(xué)習(xí)者具有一定的指導(dǎo)意義?！娟P(guān)鍵詞】三重積分 累次積分 坐標(biāo)變換 對(duì)稱性 高斯公式Methods of Calculation of Triple IntegralJiang Xiaoying【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysisIn this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four ins

3、tructive methods of the calculation of triple integral for learnerThe four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；th

4、e third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry G

5、auss formula目錄1 引言12 三重積分的概念和性質(zhì)12.1 三重積分的概念12.2三重積分的性質(zhì)23 三重積分的計(jì)算方法33.1 化三重積分為累次積分3 投影法3 截面法4 三重積分化為累次積分的應(yīng)用43.2 三重積分換元法7 一般坐標(biāo)變換7 柱面坐標(biāo)變換7 球面坐標(biāo)變換7 三重積分坐標(biāo)變換的應(yīng)用83.3 利用奇偶性和對(duì)稱性計(jì)算三重積分10 積分區(qū)域關(guān)于某平面對(duì)稱的情形10 積分區(qū)域關(guān)于積分變換輪換對(duì)稱的情形14 三重積分對(duì)稱性的應(yīng)用143.4 利用曲面積分計(jì)算三重積分154 小結(jié)19參考文獻(xiàn)201 引言三重積分的計(jì)算是初學(xué)者的一個(gè)難點(diǎn)計(jì)算三重積分即要將它化成累次積分，教材中給出了

6、計(jì)算公式、換元法和定限法，但要具體地實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，既要有較強(qiáng)的幾何直觀能力，以便于將積分體表示成適當(dāng)?shù)男问?，又需要靈活的選擇計(jì)算公式和方法，以便于計(jì)算其中的方法和技巧學(xué)生難以把握，為了更快更好地培養(yǎng)學(xué)習(xí)者在這方面的能力，本文總結(jié)出三重積分計(jì)算中的若干處理方法2 三重積分的概念和性質(zhì)2.1 三重積分的概念類似于第一型曲線積分，求一個(gè)空間立體V的質(zhì)量M就可導(dǎo)出三重積分設(shè)密度函數(shù)為 ，為了求V的質(zhì)量，我們把V分割成n個(gè)小塊V1，V2，, Vn，在每個(gè)小塊Vi上任取一點(diǎn) ，則其中 為小塊 的體積， 設(shè)是定義在三維空間可求體積的有界區(qū)域V上的有界函數(shù)現(xiàn)用若干光滑曲面所組成的曲面網(wǎng)來分割，它把分成個(gè)小區(qū)域V

7、1，V2，, Vn，記Vi的體積為（=1,2,），在每個(gè)Vi中任取一點(diǎn)，作積分和 定義：設(shè)為定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)于的任何分割，只要，屬于分割的所有積分和都有，則稱在上可積，數(shù)稱為函數(shù)在上的三重積分，記作其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)域當(dāng)1時(shí)，在幾何上表示的體積2.2 三重積分的性質(zhì)三重積分具有與二重積分相應(yīng)的有關(guān)性質(zhì)類似于二重積分，有、 若在區(qū)域上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且、 若，在區(qū)域上可積，則在上也可積，且、 若在上都可積，且無公共內(nèi)點(diǎn)，則在上也可積，且、 若，在區(qū)域上可積，且，則、 若在區(qū)域上

8、可積，則在上也可積且、 若在區(qū)域上可積，且 則 這里是積分區(qū)域的的體積、 （中值定理）若在有界區(qū)域上連續(xù)，則存在，使得 ，這里 是積分區(qū)域的體積3 三重積分的計(jì)算方法3.1 化三重積分為累次積分 設(shè)想將積分區(qū)域縮為平面區(qū)域（投影法）定理1若函數(shù)在長(zhǎng)方體上的三重積分存在，且對(duì)任意，存在，則積分 也存在，且 （1）證 用平行于坐標(biāo)軸的直線做分割,它把分成有限多個(gè)小長(zhǎng)方體 設(shè)分別是在上的上確界和下確界對(duì)任意 ， 現(xiàn)按下標(biāo)相加，有以及 （2）上述不等式兩邊是分割的下和與上和由在上可積，當(dāng)時(shí)，下和與上和具有相同的極限，所以由（2）式得在上的連續(xù)函數(shù)，函數(shù)在上的三重積分存在，且對(duì)任意，亦存在，則積分存在，

9、且 （3）證 定義 其中，對(duì)應(yīng)用定理1，則有 設(shè)想將積分區(qū)域收縮為一條直線段（截平面法）定理2、 若函數(shù)在長(zhǎng)方體上的三重積分存在，且對(duì)任何，二重積分也存在，其中，則積分也存在，且推論，函數(shù)在上三重積分存在，且對(duì)任意固定的，積分存在，其中是截面，則存在，且. 三重積分化為累次積分的應(yīng)用例1 計(jì)算積分其中是點(diǎn)到軸的距離，即，為一棱臺(tái)，其六個(gè)頂點(diǎn)為 .（圖）解一：（投影法）積分區(qū)域在平面上的投影區(qū)域(梯形)對(duì)任意給定的點(diǎn)，點(diǎn)隨增大時(shí)，當(dāng)時(shí)穿入，當(dāng)時(shí)穿出，故所以解二：（截面法）將向軸上投影，得到的區(qū)間是，任意取定，在上截口為等腰直角三角形區(qū)域因此例2 設(shè)求積分分析作的旋轉(zhuǎn)變換則變成，即可見是以軸為對(duì)稱

10、軸的直角錐（如圖2）注意，化為極坐標(biāo)時(shí)變?yōu)橛纱斯视薪猓ń孛娣ǎ├脤?duì)稱性（圖2）3.2 三重積分換元法 一般坐標(biāo)變換和二重積分一樣，某些類型的三重積分作適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q后能使計(jì)算方便設(shè)變換，把空間中的區(qū)域一對(duì)一地映成空間中的區(qū)域，并設(shè)函數(shù)及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)在內(nèi)連續(xù)且函數(shù)行列式 于是與二重積分換元法一樣，可以證明成立下面的三重積分換元公式： 柱面坐標(biāo)變換（）由于變換的函數(shù)行列式按（）式，三重積分的柱面坐標(biāo)變換元公式為 球坐標(biāo)變換由于當(dāng)在上取值時(shí)，所以在球坐標(biāo)變換下，按公式（），三重積分的球坐標(biāo)換元公式為這里為在球坐標(biāo)變換下的原象 三重積分坐標(biāo)變換的應(yīng)用例3計(jì)算，其中是有曲面與為界的區(qū)域（如圖3）解

11、在平面上的投影區(qū)域?yàn)榘粗鴺?biāo)變換，區(qū)域可表為所以由公式（），有（圖）例4求，其中為由與所圍區(qū)域解作廣義球坐標(biāo)變換于是在上述廣義球坐標(biāo)變換下，的原象為則有例5計(jì)算積分其中是由曲面所圍成之立體解令即：于是從而（有對(duì)稱性，我們可以直接看出）3.3 利用奇偶性和對(duì)稱性計(jì)算三重積分在重積分計(jì)算中，充分運(yùn)用被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性，?？墒褂?jì)算更為簡(jiǎn)捷本文將對(duì)三重積分中應(yīng)用奇偶性和對(duì)稱性作一概述在給出若干基本結(jié)論的基礎(chǔ)上，對(duì)常見的幾類處理方法作一介紹 積分區(qū)域關(guān)于某平面對(duì)稱的情形.1 空間對(duì)稱區(qū)域上三元奇偶函數(shù)的定義設(shè)是定義在平面為對(duì)稱平面的三維區(qū)域上的三元函數(shù)， （與關(guān)于互為對(duì)稱點(diǎn)）若 .2 三

12、元奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上的積分公式及證明上述定義中，若以為對(duì)稱平面將區(qū)域分為和兩部分，則的體積=的體積，當(dāng)時(shí)，且有事實(shí)上，設(shè)區(qū)域以平面： 為對(duì)稱平面，則下面找出與的關(guān)系設(shè)過點(diǎn)與的直線為，由于直線與平面垂直，因此直線的方程為： 設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，解方程組得點(diǎn)的坐標(biāo)為 其中 由于點(diǎn)又是與連線的重點(diǎn)，所以 ，從而進(jìn)一步得：而 ，對(duì)作變換：雅克比式：當(dāng)為上的奇函數(shù)時(shí)，因此：當(dāng)為上的偶函數(shù)時(shí)，因此：故有.3 空間區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的情形作為上述問題的特例，當(dāng)取坐標(biāo)平面時(shí)，我們有：設(shè)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱，即若，則其對(duì)稱點(diǎn)若那么當(dāng)取坐標(biāo)平面時(shí)，我們有：設(shè)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱，即若，則其對(duì)稱點(diǎn)若那么當(dāng)取坐標(biāo)平面時(shí)

13、，我們有：設(shè)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱，即若，則其對(duì)稱點(diǎn)若那么 積分區(qū)域關(guān)于積分變量為輪換對(duì)稱的情形若當(dāng)時(shí)，有，就稱空間區(qū)域關(guān)于變量具有輪換對(duì)稱性若三重積分的積分區(qū)域具有輪換對(duì)稱性同時(shí)被積函數(shù) 關(guān)于變量也具有輪換對(duì)稱性（即 ）就有則： 三重積分對(duì)稱性的應(yīng)用例6 計(jì)算，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域解：積分區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱，而被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)（即）故所求積分等于0例7 計(jì)算,其中是由平面以及拋物面所圍成的區(qū)域.解: 積分區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱,而被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)(即),故所求積分為0.例8 計(jì)算,其中為三個(gè)坐標(biāo)平面及平面所圍成的閉區(qū)域.解: 由于被積函數(shù)和積分區(qū)域都滿足對(duì) 的輪換性,因此,得:例9 計(jì)算

14、,其中為三個(gè)坐標(biāo)平面及平面所圍成的立方體.解:利用被積函數(shù)和積分區(qū)域關(guān)于積分變量的對(duì)稱性,可知.因此:.利用三重積分的對(duì)稱性可以有效地簡(jiǎn)化計(jì)算,但在使用時(shí)必須兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)兩個(gè)方面,否則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果.另外,三重積分計(jì)算是曲面積分計(jì)算的基礎(chǔ),對(duì)三重積分對(duì)稱性的研究可為進(jìn)一步研究簡(jiǎn)化曲面積分計(jì)算做準(zhǔn)備.3.4 利用曲面積分計(jì)算三重積分在曲面積分的計(jì)算中，高斯公式建立了空間封閉曲面上的曲面積分與三重積分的聯(lián)系但是，由于高斯公式在結(jié)構(gòu)上的特殊性，在應(yīng)用高斯公式是往往事蔣曲面積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為三重積分的計(jì)算，卻很少利用高斯公式將三重積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化成曲面積分的計(jì)算，忽視了曲面積分在三重積分計(jì)算

15、中的作用本文給出把一類三重積分在三重積分轉(zhuǎn)化成曲面積分的一個(gè)定理，并舉例說明這個(gè)定理的一些應(yīng)用本文中列舉的例子其目的只是說明應(yīng)用這個(gè)定理如何計(jì)算三重積分，也許這個(gè)例子利用三重積分的計(jì)算公式直接計(jì)算更為簡(jiǎn)單一些 高斯公式的另一種表示方式定理3設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成，函數(shù)在上連續(xù)，且具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，若 而，則 其中取外側(cè)證明取，則，從而由于函數(shù)在上連續(xù)，且具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，所以，在上連續(xù)，且具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，由高斯公式：得從而推論 三重積分高斯公式的應(yīng)用例10 計(jì)算解 ,由定理得 其中是立方體的六個(gè)面,取外側(cè).取則 例11 計(jì)算.解: 考慮積分則 由定理得,其中是球面

16、與,并取外側(cè).取那么同理由于,所以4 小結(jié)綜上所述,化成低重積分的不同方式,采用不同坐標(biāo)系化成三次積分以及采取不同的積分次序這三者是計(jì)算三重積分的基本思路和方法.把三重積分化成低重積分而完成計(jì)算的技能技巧,還應(yīng)該注意下面幾個(gè)問題:1、坐標(biāo)系的選擇.包括了解各種坐標(biāo)系下的積分公式主要特點(diǎn),給定積分區(qū)域與被積函數(shù)時(shí)選用何種坐標(biāo)系更為簡(jiǎn)便,對(duì)于平面圍成的積分區(qū)域,不宜使用柱面或球面坐標(biāo)系.在柱面坐標(biāo)系下,當(dāng)積分區(qū)域與繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體有關(guān)時(shí),關(guān)于變量的積分可能有較為簡(jiǎn)單的積分限;當(dāng)積分區(qū)域有平行于面的邊界面時(shí),關(guān)于變量的積分可能的較簡(jiǎn)單的積分限.而在球坐標(biāo)系下,當(dāng)積分區(qū)域與球有關(guān)時(shí),關(guān)于三個(gè)變量的

17、積分都可能有較簡(jiǎn)單的積分限,選擇積分區(qū)域還要注意被積函數(shù)的特點(diǎn).2、積分方式的選擇,應(yīng)了解化成三次積分與化成一次積分及一個(gè)二重積分的公式的主要特點(diǎn),以及給定積分區(qū)域與被積函數(shù)下使用何種公式合適.3、積分次序的選擇.了解改換積分次序的方法,明確由于積分次序的不同,影響積分計(jì)算與繁簡(jiǎn)程度的可能性.4、積分區(qū)域.對(duì)于用方程或不等式的積分區(qū)域,可畫出示意圖;對(duì)于用圖形給出的積分區(qū)域,能求出其邊界方程.還可求出積分區(qū)域在某一坐標(biāo)平面的投影區(qū)域及這個(gè)投影區(qū)域的邊界線方程;能求出積分區(qū)域平行于某個(gè)坐標(biāo)面的截面;能求出積分區(qū)域經(jīng)坐標(biāo)變換后的新區(qū)域的邊界曲面的方程.參考文獻(xiàn)：1裴禮文數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 M北京：高等教育出版社，20032蘇霞三重積分先二后一的計(jì)算方法J江蘇：淮安淮陰工學(xué)院19973王子子.三重積分的對(duì)稱性及其應(yīng)用J山東：山東英才學(xué)院基礎(chǔ)部，20094蘇文珣三重積分計(jì)算法的一種直觀理解J重慶：重慶電力高等?？茖W(xué)校，20095宋勇三重積分計(jì)算中變量變換的應(yīng)用J內(nèi)蒙古：鄂爾多斯教育學(xué)院，20076潘鵡屏三重積分計(jì)算中奇偶性、對(duì)稱性的應(yīng)用 J南京：南京航務(wù)工程?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)教研組.7