Ch5 隨機變量序列的極限

1、第五章第五章 隨機變量序列的極限隨機變量序列的極限本章要點本章要點 本章討論兩類重要的極限分布本章討論兩類重要的極限分布.一、大數(shù)定律一、大數(shù)定律定義定義 設設 是一個隨機變量序列是一個隨機變量序列, 如果存在常如果存在常12,XX 數(shù)數(shù) 使得對于任意常數(shù)使得對于任意常數(shù), c0,總有總有 lim1,nnP Xc則稱隨機變量序列則稱隨機變量序列 依概率收斂于依概率收斂于 記作記作12,XX , c.nXcP 若隨機變量序列若隨機變量序列 依概率收斂于依概率收斂于 則則12,XX , clim0.nnP Xc定理定理 如果如果,nnXa YbPP且函數(shù)且函數(shù) 在點在點,g x y處連續(xù)處連續(xù),

2、則則, a b,.nng XYa bP定理定理 設設 是兩兩不相關的隨機變量序列是兩兩不相關的隨機變量序列, 如如12,XX 果存在常數(shù)果存在常數(shù) , c使得使得 ,1,2,iD Xc i則則 特別地特別地, 若若,1,2,iE Xi則上式表明則上式表明注意注意 該定理的條件為該定理的條件為方差有界方差有界.11110.nniiiiXE XnnP11.niiXXnP定理定理 （獨立同分布情形下的大數(shù)定律）（獨立同分布情形下的大數(shù)定律） 設設 12,XX 是獨立同分布的隨機變量序列是獨立同分布的隨機變量序列, 且且,iE X2,1,2,iD Xi則則 .XP 用獨立同分布情形下的大數(shù)定律可以證明

3、頻率的穩(wěn)用獨立同分布情形下的大數(shù)定律可以證明頻率的穩(wěn)定性。定性。設進行設進行n次獨立重復的試驗，每次試驗只有兩個結果次獨立重復的試驗，每次試驗只有兩個結果,A A10iiAXiA第 次試驗 發(fā)生第 次試驗 發(fā)生引進隨機變引進隨機變量量1,1,2., ,iiXBp E Xp in12,nXXX相互獨立，則在相互獨立，則在n次試驗中次試驗中A發(fā)生的發(fā)生的頻率頻率 11npniifAXXP Apn例例1 設設 是獨立同分布的隨機變量序列是獨立同分布的隨機變量序列, 且且12,XX 2,1,2,iiE XD Xi則則 22211.niiXnP有些情況下有些情況下, 可以得到其分布可以得到其分布. 例如

4、例如二、中心極限定理二、中心極限定理 在數(shù)理統(tǒng)計中經(jīng)常要用到在數(shù)理統(tǒng)計中經(jīng)常要用到 個獨立同分布的隨機變量個獨立同分布的隨機變量n1,niiXB n p進一步地有進一步地有12n,XXX的和的和 的分布的分布, 但要給出其精確分布有但要給出其精確分布有1niiX1,iXBp時很困難時很困難.則則,XB m pYB n p則則,.XYB mn p 但很多情況下這樣的分布并不能得到但很多情況下這樣的分布并不能得到, 有時也不一定有時也不一定有這個必要有這個必要. 人們在長期實踐中發(fā)現(xiàn)人們在長期實踐中發(fā)現(xiàn), 在相當一般的條件下在相當一般的條件下, 只要只要 充分大充分大, 總認為總認為 近似服從正態(tài)

5、分布近似服從正態(tài)分布.n1niiX 下面這個例子說明了這個情況下面這個例子說明了這個情況.例例 （高爾頓釘板實驗）（高爾頓釘板實驗） 高爾頓設計了一個釘板實驗高爾頓設計了一個釘板實驗,圖中每個黑點表示釘在板上的一個釘子圖中每個黑點表示釘在板上的一個釘子, 它們彼此間的它們彼此間的距離相等距離相等, 上一層的每一個釘子的水平位置恰好位于下上一層的每一個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩個釘子的正中間一層的兩個釘子的正中間. 從入口處放進一個直徑略小從入口處放進一個直徑略小于兩個釘子之間的距離的小球于兩個釘子之間的距離的小球. 在小在小球向下降落的過程中球向下降落的過程中, 碰到釘子后均碰到釘子后均

6、以以 的概率向左或向右滾下的概率向左或向右滾下, 于是于是0.5又碰到下一層釘子又碰到下一層釘子. 如此進行下去如此進行下去, 直直到滾到底板的一個格子里為止到滾到底板的一個格子里為止. 把許把許多同樣大小的小球不斷從入口處放下多同樣大小的小球不斷從入口處放下, 只要球的數(shù)目相只要球的數(shù)目相當大當大, 它們在底板將堆成近似正態(tài)分布它們在底板將堆成近似正態(tài)分布 的密的密20,N度函數(shù)圖形度函數(shù)圖形.Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 81, 1,kX(1,2,16)k kk程序如下程序如下 輸出圖形輸出圖形 定理定理 （獨立同分布的中心極限定理）（獨立

7、同分布的中心極限定理）2,0 1,2,iiE XD Xi則對任意的則對任意的 有有,xx 1lim.niinXnPxxn 獨立同分布的隨機變量序列獨立同分布的隨機變量序列, 且且設設 是是12,XX 其中其中 為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù). x 該定理的實際意義是該定理的實際意義是, 若隨機變量序列若隨機變量序列12,XX 滿足定理條件滿足定理條件, 記記1,nniiYX則則nnnYE YD Y近似服從標準正態(tài)分布近似服從標準正態(tài)分布.即即.1,.nninniYXN E YD Y例例2 某人要測量甲、乙兩地的距離某人要測量甲、乙兩地的距離, 限于測量工具限于測量工具, 他他

8、解解 設第設第 段的測量誤差為段的測量誤差為 所以累計誤差為所以累計誤差為i,iX12001,iiX又又 為獨立同分布的隨機變量為獨立同分布的隨機變量, 由由121200,XXX0.5,0.5iXR 得得分成分成1200段進行測量段進行測量, 每段測量誤差（單位每段測量誤差（單位: 厘米）服從厘米）服從0.5,0.5區(qū)間區(qū)間 上的均勻分布上的均勻分布, 試求總距離測量誤差的試求總距離測量誤差的20絕對值超過絕對值超過 厘米的概率厘米的概率. 10, 1,2,1200 .12iiE XD Xi由獨立同分布的中心極限定理由獨立同分布的中心極限定理:12001200112012020iiiiPXPX

9、 120012001111200 00,1200=100 12iiiiEXDX.10,100niiXN20020011010 122 2 120.0456. 作為上面定理的特例作為上面定理的特例, 如果如果1,1,2,iXBpi則則 ,0,iiE Xp D Xpq即隨機變量序列即隨機變量序列 滿足上面定理的條件滿足上面定理的條件. 從而有下面的定理從而有下面的定理. 定理定理 （中心極限定理（中心極限定理 ）1,nniiYX則對任意的則對任意的 有有,xx 221limed ,21txnnYnpPxtnpp即當即當 充分大時充分大時, 近似服從標準正態(tài)分布近似服從標準正態(tài)分布.n1nYnpnp

10、p布的隨機變量序列布的隨機變量序列, 且且 令令1,iXBp設設 是一個獨立同分是一個獨立同分12,XX 該定理的實際意義是該定理的實際意義是:1Xnpnpp若若,XB n p則則近似服從標準正態(tài)分布近似服從標準正態(tài)分布.即即.,1.XN np npp例例3 設一個車間有設一個車間有400臺同類型的機床臺同類型的機床, 每臺機床需用每臺機床需用解解 令令 表示在時刻表示在時刻 時正在開動的機器數(shù)時正在開動的機器數(shù), 則則XtQ電電 瓦瓦, 由于工藝關系由于工藝關系, 每臺機器并不連續(xù)開動每臺機器并不連續(xù)開動, 開動的開動的3/4,時候只占工作總時間的時候只占工作總時間的 問應該供應多少瓦電力能

11、問應該供應多少瓦電力能99%的概率保證該車間的車床能正常工作的概率保證該車間的車床能正常工作.（假定在工作（假定在工作期內每臺機器是否處于工作狀態(tài)是相互獨立的）期內每臺機器是否處于工作狀態(tài)是相互獨立的）.400,0.75 .XB由中心極限定理知由中心極限定理知: ,400 0.75400 0.75 0.25XPxx由條件所設由條件所設, 所求的概率為所求的概率為 0.99.x而而 為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù), 查表得查表得 x2.326.x 即即:2.3260.99.400 0.75400 0.75 0.25XP從而從而33002.326 204X 30020320.即即

12、: 只要供應只要供應 瓦的電力瓦的電力, 就能以就能以99%的把握保證該的把握保證該320Q車間的機器能正常工作車間的機器能正常工作.例例4 一本一本 萬字的長篇小說進行排版萬字的長篇小說進行排版, 假定每個字被假定每個字被20排錯的概率為排錯的概率為 試求這本小說出版后發(fā)現(xiàn)有試求這本小說出版后發(fā)現(xiàn)有6個字以個字以510 ,解解 設錯字總數(shù)為設錯字總數(shù)為 則則,X1200000,100000XB則有則有2,120.999991.414,npnpp上錯字的概率上錯字的概率, 假定各個字是否被排錯是相互獨立的假定各個字是否被排錯是相互獨立的.所求概率為所求概率為:615P XP X 5211.41

13、4 12.120.017, 即求概率為即求概率為0.017.例例5 為了測定一臺機床的質量為了測定一臺機床的質量, 將其分解成將其分解成75個部件個部件1,1 .iXR 解解 以以 表示第表示第 個部件的稱量誤差個部件的稱量誤差 由由iXi1,2,75 ,i 從而從而10, 1,2,753iiE XD Xikg來稱量來稱量. 假定每個部件的稱量誤差（單位假定每個部件的稱量誤差（單位: ）服從區(qū)）服從區(qū)1,1間間 上的均勻分布上的均勻分布, 且每個部件的稱量是獨立的且每個部件的稱量是獨立的, 試試kg求機床的稱量總誤差的絕對值不超過求機床的稱量總誤差的絕對值不超過10 的概率的概率.iX條件所設

14、條件所設, 知知 為獨立同分布序列為獨立同分布序列, 且且由獨立同分布的中心極限定理由獨立同分布的中心極限定理, 可以近似認為可以近似認為751175 0,750,25 .3iiXNN于是所求的概率為于是所求的概率為10010055 757511101010iiiiPXPX 2210.9544, 因此機床質量總誤差不超過因此機床質量總誤差不超過 的概率近似為的概率近似為 10kg0.9544.例例6 某單位有某單位有200臺分機臺分機, 每臺使用外線通話的概率為每臺使用外線通話的概率為15%, 若每臺分機是否使用外線是相互獨立的若每臺分機是否使用外線是相互獨立的, 問該單問該單位至少需要裝多少

15、多少條外線位至少需要裝多少多少條外線, 才能以才能以95%的概率保證的概率保證每臺分機能隨時接通外線電話每臺分機能隨時接通外線電話.解解 以以 表示在時刻表示在時刻 使用的外線數(shù)使用的外線數(shù), 則則Xt200,0.15 .XB此時有此時有30,25.5.E XD X若以若以 表示安裝的外表示安裝的外N線數(shù)線數(shù), 則分機能使用外線意味著此時有則分機能使用外線意味著此時有 .P XN由由 中心極限定理得中心極限定理得:30300.95,25.525.5XNP XNP查表得查表得:301.645,25.5N 即即: 38.3068,N 所以可取所以可取39N 方能以方能以95%的把握保證在該時刻分機

16、可以使用外的把握保證在該時刻分機可以使用外線線. 三、部分作業(yè)解答三、部分作業(yè)解答5.5 已知某廠生產(chǎn)的晶體管的壽命服從均值為已知某廠生產(chǎn)的晶體管的壽命服從均值為 的指的指100h數(shù)分布數(shù)分布, 隨機抽取隨機抽取 只只, 試求這試求這 只晶體管的壽命總和只晶體管的壽命總和6464超過超過 的概率的概率.7000解解 以以 表示第表示第 只晶體管的壽命只晶體管的壽命, 則則iXi0.01 .iXE此時此時100,10000,1,2,64.iiE XD Xi所求概率為所求概率為12647000 .P XXX又又12647000P XXX126417000 .P XXX 由中心極限定理得由中心極限定

17、理得12647000P XXX1001100 647000640064 1000064 10000iiXP30.7734,4 所以原概率近似為所以原概率近似為126470000.2266.P XXX試問試問, 最多可以把這臺機床分解成多少個部件最多可以把這臺機床分解成多少個部件, 才能以才能以5.6 為了測定一臺機床的質量為了測定一臺機床的質量, 將其分解成若干個部件將其分解成若干個部件來稱量來稱量. 假定每個部件的稱量誤差（單位假定每個部件的稱量誤差（單位: ）服從區(qū)）服從區(qū)kg間間 上的均勻分布上的均勻分布, 且每個部件的稱量是獨立的且每個部件的稱量是獨立的, 2,2不低于不低于 的概率保

18、證總重量的誤差的絕對值不超過的概率保證總重量的誤差的絕對值不超過99%10kg.解解 設將機床分解成設將機床分解成 個部件個部件, 而而 表示第表示第 個部件的個部件的NiXi重量重量, 則則2,2 ,1,2,.iXRiN所以所以40,.3iiE XD X由已知條件由已知條件1100.99.NiiPX又又11101010NNiiiiPXPX110104/34/34/3NiiXPNNN1021,4/3N 即有即有105 32121.994/3NN 5 30.995.N 5 32.57611.3024.NN所以取所以取 11.N 5.7 已知生男嬰的概率為已知生男嬰的概率為 求在求在 個嬰兒中個嬰兒中0.515,10000男孩個數(shù)多于女孩的概率男孩個數(shù)多于女孩的概率.10000解解 設設 個嬰兒中男嬰的個數(shù)為個嬰兒中男嬰的個數(shù)為 由條件知由條件知,X10000,0.515 ,XB此時此時5150,np 12497.75,npp由中心極限定理得由中心極限定理得5000515050002497.751XnpP XPnpp30.0013. 所以所求概率為所以所求概