第五章留數(shù)及其應用ppt課件

1、本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：1、孤立奇點及其分類、孤立奇點及其分類2、留數(shù)概念及其計算、留數(shù)概念及其計算3、留數(shù)在計算定積分中的應用、留數(shù)在計算定積分中的應用1 1、孤立奇點的分類、孤立奇點的分類定義定義1 1.)(,0,)(0000的孤立奇點的孤立奇點為為則稱則稱內(nèi)解析內(nèi)解析的某個去心鄰域的某個去心鄰域但在但在處不解析處不解析在在假設假設zfzzzzzzfd d - - 例如例如的的孤孤立立奇奇點點；為為zezfz1)(0 .1sin1)(), 2, 1(1, 0的的奇奇點點都都是是zzfnnzz 的的孤孤立立奇奇點點；為為11)(1- - zzfzxyo這說明奇點未這說明奇點未必是孤立的必

2、是孤立的.的的奇奇點點存存在在，總總有有鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不論論多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn .1sin10的的孤孤立立奇奇點點不不是是故故zz 注注: : 若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都是孤立奇點是孤立奇點. .2 2、孤立奇點的分類、孤立奇點的分類可可以以展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)：內(nèi)內(nèi)在在于于是是內(nèi)內(nèi)解解析析在在的的孤孤立立奇奇點點，則則存存在在為為若若ddd - - - - |0)(.|0)(,0)(000zzzfzzzfzfz)1(.)()()(10000 - - - - - - - - - -nnnnnnnnn

3、zzczzczzc.)()(100分分類類據(jù)據(jù)此此，將將孤孤立立奇奇點點進進行行的的主主要要部部分分的的性性質(zhì)質(zhì)完完全全體體現(xiàn)現(xiàn)在在級級數(shù)數(shù)在在點點 - - - -nnnzzczzf2.1 可去奇點：展式中不含可去奇點：展式中不含z-z0 負冪項，即負冪項，即,|0,)()()1(000d - - - - zzzzczfnnn.)!12()1(! 5! 31sin242 - - - - - - nzzzzznn的可去奇點，這是因為的可去奇點，這是因為是是zzzsin0 ;)(0的的可可去去奇奇點點稱稱為為則則zfz特點特點?.1cos102的的可可去去奇奇點點和和是是zzzezz- - - “

4、可去可去”一詞的一詞的解釋解釋?2.2 極點：展式中僅含有有限多個極點：展式中僅含有有限多個z-z0 負冪項，即負冪項，即點，這是因為級極點或者稱為簡單極的是10zezz;)(0級級極極點點的的稱稱為為則則mzfz特點特點?.)1(1102的的極極點點都都是是和和- - zzzz),1, 0()()()2(0 - - - - - - mczzczfmmnnn.!211!110 - - nzzznzzzennnz2.3 本性奇點：展式中含有無窮多個本性奇點：展式中含有無窮多個z-z0 負冪項負冪項,的的本本性性奇奇點點，這這是是因因為為是是zez10 .)(0的的本本性性奇奇點點稱稱為為則則zf

5、z特點特點?.1sin0的的本本性性奇奇點點是是zz .!1!211211 - - - -nznzzez3 3、 函數(shù)在孤立奇點的性質(zhì)函數(shù)在孤立奇點的性質(zhì).)(,)(000解解析析在在補補充充定定義義：zzfczf ;)(lim)()(0000czfzzczfzznnn - - 3.1z0為為 f (z) 的可去奇點的可去奇點的的主主要要部部分分為為零零；在在點點0)()(zzfi性質(zhì)性質(zhì)1若若z0為為 f (z) 的孤立奇點，則下列條件等價：的孤立奇點，則下列條件等價：);()(lim)(000為為常常數(shù)數(shù)cczfiizz .)()(0的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有界界在在點點zzfiii

6、3.2若若z0為為f (z)的的m (m 1) 級極點，那么級極點，那么mzzzhzfii)()()()(0- - . 1, 0)2(,)()()(00010 - - - - - - - - - - - mczzczzczzczfmnnnmm其其中中性質(zhì)性質(zhì)2若若z0為為 f (z) 的孤立奇點，則下列條件等價的孤立奇點，則下列條件等價 （都是（都是m級極點的特征）：級極點的特征）：).1,0()()()(0100 - - - - - - -mczzczzczzfimmm的的主主要要部部分分為為在在點點).0)()(00 zhzzh解解析析，在在422)1)(1(2)(- - zzzzf例如：

7、例如：z=1為為f (z)的一個的一個4級極點，級極點， z=i為為f (z)的簡單極點的簡單極點. 注意在判斷孤立奇點類型時，不要一看到函數(shù)注意在判斷孤立奇點類型時，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結論的表面形式就急于作出結論. 例如例如 利用洛朗展式容易知道，利用洛朗展式容易知道，z=0分別是它們的簡單分別是它們的簡單極點，可去奇點，二級極點極點，可去奇點，二級極點.1cos)(;sin)(;1)(433221zzzfzzzzfzezfz- - - - - - 性質(zhì)性質(zhì)3若若z0為為f (z)的孤立奇點，那的孤立奇點，那么么z0為為f (z)的極點的充要條件是的極點的充要條件是.)(li

8、m0 zfzz 在判斷函數(shù)的極點時，請比較性質(zhì)在判斷函數(shù)的極點時，請比較性質(zhì)2和性質(zhì)和性質(zhì)3.4 4、 零點與極點的關系零點與極點的關系2定定義義.)(0)()(000的的零零點點為為則則稱稱，解解析析，若若在在點點設設zfzzfzzf .)(,0)()1, 1 ,0(0)()(00)(0)(0級級零零點點的的為為則則稱稱但但，解解析析，若若在在點點設設mzfzzfmnzfzzfmn - - .)(,10的的單單零零點點也也稱稱為為zfzm ),()()(0zzzzfm- - . 0)()(00 zzzm點點解解析析，在在為為正正整整數(shù)數(shù)，其其中中可可以以表表示示為為如如下下形形式式鄰鄰域域內(nèi)

9、內(nèi)，的的某某級級零零點點的的充充要要條條件件是是在在為為以以)()(00zfzmzzf處處的的泰泰勒勒展展式式為為在在點點級級零零點點，故故的的為為若若00)()(zzfmzfz證明證明: :先證明必要性先證明必要性. . ).()()()()()()(00101010zzzzzcczzzzczzczfmmmmmmmm- - - - - - - - - - 性質(zhì)性質(zhì)4 4.)(0點點解解析析顯顯然然在在 zz.)1()(103與與三三級級零零點點的的一一級級分分別別是是與與- - zzzfzz例如：例如：. 0)(, 0, 0)(00)( zczfmm即即必要性證畢必要性證畢.充分性請自己完成

10、充分性請自己完成.結論：一個不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的結論：一個不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.)(0)()()(000的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不為為零零在在于于是是，連連續(xù)續(xù)，點點解解析析，則則在在事事實實上上，zzzzzz .)()()(000處處為為零零在在的的該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)僅僅在在所所以以zzzzzzfm- - 級級零零點點，則則的的是是若若mzfz)(0性質(zhì)性質(zhì)5.)(10級級極極點點的的是是mzfz證明：證明：)()()(0zzzzfm- - 由于由于z0為為f (z)的的m 級零點，所以級零點，所以 .0)(,)(00 zzz且且解解析析在在),()()(:)(1)(

11、1)(1000zzzzzhzzzzfmm - - - - .0)(,)(00 zhzzh且且解解析析在在.)(10級級極極點點的的是是從從而而mzfz 在判斷函數(shù)的極點級數(shù)時，下列結論有時是非在判斷函數(shù)的極點級數(shù)時，下列結論有時是非常有用的常有用的.級級零零點點；的的是是級級零零點點，則則級級和和的的和和分分別別是是若若nmzgzfznmzgzfz )()()1()()(00.)(/ )()2(0級級極極點點的的是是時時，當當mnzgzfznm- - ，設設23)1(sin)1()(- - zezzzzf例如，例如，;1sin0;5)1(023級級零零點點的的為為分分子子級級零零點點的的為為分

12、分母母容容易易判判斷斷zzezzz - - .4)(0級級極極點點的的為為所所以以zfz .)(lim)(0 不不存存在在，也也不不為為負負冪冪次次項項的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)有有無無窮窮多多項項zfzfzz性質(zhì)性質(zhì)6z0為為 f (z) 的本性奇點的本性奇點注：在求復變函數(shù)的極限時，也有同實函數(shù)類似注：在求復變函數(shù)的極限時，也有同實函數(shù)類似的羅必塔法則的羅必塔法則.，則則數(shù)數(shù)，且且兩兩個個不不恒恒為為零零的的解解析析函函和和若若0)()()()(00 zgzfzgzf. )()( )( lim)()(lim00 或或者者兩兩端端都都為為zgzfzgzfzzzz由性質(zhì)由性質(zhì)1 1和性質(zhì)和性質(zhì)3 3

13、，得，得.級級數(shù)數(shù)如如果果是是極極點點，指指出出它它的的孤孤立立奇奇點點，奇奇點點類類型型，練練習習：考考察察下下列列函函數(shù)數(shù)的的).1()3(sin;)2(;9)1(2242-zezzzz本講小結：本講小結：;2方方法法、知知道道奇奇點點類類型型的的判判定定,1分分類類情情況況、熟熟悉悉奇奇點點的的概概念念以以及及 非非孤孤立立奇奇點點本本性性奇奇點點，極極點點，可可去去奇奇點點，孤孤立立奇奇點點奇奇點點1 1、 留數(shù)的定義留數(shù)的定義.0,)()()(000rzzzzczfzfznnn - - - - - - 則則的的一一個個有有限限孤孤立立奇奇點點，是是設設；則則所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)

14、內(nèi)解解析析，及及在在若若0)()( cdzzfcczf1.1 1.1 引入引入？未未必必為為內(nèi)內(nèi)有有的的奇奇點點，則則在在若若 ccdzzfdzzfczf)(.0)()().1,2, 1,0)(1(0 - - nindzzzncn為為整整數(shù)數(shù)，則則設設.2)()()(,10100 - - - - - - - - - - - - - ccnnncnnnciczzdzcdzzzcdzzzcdzzfc得得：逐逐項項積積分分兩兩邊邊沿沿曲曲線線閉閉曲曲線線，則則的的一一條條簡簡單單內(nèi)內(nèi)，且且包包含含為為取取00|0zrzzc - - (*),)(21),(Re10dzzficzzfsc - -故故1.

15、2 1.2 定義定義1 1)0(,)()(0)(00000rzzzzczfrzzzzfznnn - - - - - - - - ，使使得得的的某某一一鄰鄰域域在在的的有有限限孤孤立立奇奇點點，則則存存是是設設).(),(,)()(000110zfReszzfResResiduezzfczzzz - - - -或或者者記記作作）留留數(shù)數(shù)（處處的的在在是是的的系系數(shù)數(shù)稱稱上上述述展展開開式式中中.|000閉閉曲曲線線的的一一條條簡簡單單內(nèi)內(nèi)，且且包包含含為為其其中中zrzzc - - .!4120,Re2131|13 iezsidzezzzz例例如如，注：注：一一個個求求積積分分的的新新方方法法；

16、的的重重要要意意義義在在于于提提供供了了(*)1(.)3(的的留留數(shù)數(shù)以以后后再再討討論論至至于于無無窮窮遠遠孤孤立立奇奇點點處處孤孤立立奇奇點點來來說說的的，此此處處的的定定義義只只是是對對有有限限；的的有有限限可可去去奇奇點點，則則為為若若0),(Re)()2(100 - -czzfszfz. 00 ,sinRe1 - -czzs例例如如，2 2、 留數(shù)定理留數(shù)定理)1(),(Re2)(,)(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc則則上上解解析析內(nèi)內(nèi)及及在在除除此此以以外外有有限限個個孤孤立立奇奇點點內(nèi)內(nèi)有有在在函函數(shù)數(shù)是是一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線設設定理定

17、理1)., 2 , 1(), 2 , 1(,nkcznkcnckkk，內(nèi)內(nèi)在在奇奇點點，使使得得，閉閉曲曲線線互互不不相相交交的的正正向向簡簡單單條條互互不不包包含含內(nèi)內(nèi)作作在在 證明證明Dcznz1z3z2 nkknkcczzfsdzzfidzzfik11),(Re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由復合閉路定理得：由復合閉路定理得：于是，得于是，得. ),(Re2)(1 nkkczzfsidzzf故故留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法！留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法！ 求沿閉曲線求沿閉曲線c的積分，歸之為求在的積分，歸之為求在c

18、中各孤立中各孤立奇點的留數(shù)奇點的留數(shù). 理論上講，只要知道將理論上講，只要知道將 f (z) 在在 z0 鄰域內(nèi)的洛朗鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)，也就求出了級數(shù)，也就求出了f (z) 在該點處的留數(shù)在該點處的留數(shù), 實際上，實際上，展開式有時候并不是很好求的展開式有時候并不是很好求的.；的的有有限限可可去去奇奇點點，則則為為若若0),(Re)()1(00 zzfszfzz以下就三類孤立奇點進行討論：以下就三類孤立奇點進行討論：3 3、 留數(shù)的計算留數(shù)的計算.),(Re)()3(00zzfsmzfzz求求法法級級極極點點時時，常常用用以以下下方方的的為為若若 則則級級極極點點的的是是若若,)(0mzfz定

19、理定理2 .)()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz- - - - - -.),(Re)()2(00zzfszfzz方方法法求求展展開開的的的的本本性性奇奇點點，往往往往采采用用為為若若 .210 ,1cosRe1- - - -czzs例例如如，證明證明: 由條件由條件,得得)0(,)()()()()(0101012020 - - - - - - - - - - - - - - - -mmmczzcczzczzczzczf得得于于是是,.)()()()()(00101010 - - - - - - - - - - - - -mmmmmzzczzczzccz

20、fzz,)( !)!1()()(,)1(01011 - - - - - - - - - -zzmcmzfzzdzdmmmm得得階階導導數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求 .)2(,)!1()()(lim10110式式成成立立- - - - - - -cmzfzzdzdmmmzz)|0(0rzz - - 注注:).()(lim),(Re,)(,10000zfzzzzfszfzmzz- - 則則的的單單極極點點時時是是即即當當.)( )(),(Re,)(,0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzPzzfszfzzQzQzPzzQzPzQzPzf 且且的的單單極極點點是是則則處處解解析析

21、在在設設定理定理3證明證明:,)(1,)(0)( 0)(0000的的單單極極點點為為從從而而的的單單零零點點為為，及及zQzzQzzQzQ .0)()()(1)(1,000 - - zzzzzzzQ處處解解析析且且在在因因此此),0)(,)()()()(1)(000 - - zgzzPzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 .0)( )( )()()()(lim)()(lim),(Re000000000 - - - - - zQzQzPzzzQzQzPzfzzzzfszzzz或或者者它它的的注注，知知道道由由定定理理的的單單極極點點為為則則1,)(0zfz證畢證畢. .,12izzeResz

22、求求例例1解解:簡單極點，是容易知道1)(2zezzfizz.2lim)()(lim),(Reizizizeizezzfizizfs - - .2)1(),(Re2iizzezezizfs 另另解解：.0,1為為自自然然數(shù)數(shù)，其其中中練練習習題題：求求nzeResnz 級級極極點點，的的是是提提示示：容容易易知知道道)1()(01 nzezfznz.)1(:32 - - zzdzzzeI計計算算例例2解解:. 1203)1()(2 - - zzzzzezfz級級極極點點和和一一個個極極點點的的內(nèi)內(nèi)部部有有一一個個單單在在; 1)1(lim)(lim0),(Re200 - - zezfzzfsz

23、zz)1()1()!12(1lim 1),(Re221- - - - zzezzfszz;0)(lim1 zezz.21),(Re0),(Re2)(2izfszfsidzzfz .)1(25:22 - - - zdzzzzI求求練練習習. 01),(Re0),(Re2 zfszfsiI提提示示：.cos13 zdzzzI計計算算例例3解解:級級極極點點，為為只只以以30cos)(3 zzzzf.0),(Re2izfsiI- - 故故,21)(cos21)(!210),(Re003- - zzzzfzzfs. )(tan為為正正整整數(shù)數(shù)計計算算nzdzInz 例例4解解:為為極極點點，只只以以)

24、,2,1,0(21cossintan kkzzzz,tan21的的單單極極點點為為并并且且zkz ), 1, 0(.1)(cossin21,tanRe21 - - kzzkzskz .422,tanRe22121ninikzsiInk- - - - .0sin)(6處處的的留留數(shù)數(shù)在在計計算算 - - zzzzzf例例5解解: - - - - - - - zzzzzzzzf1!511!31)!51!31(1)(3536 .!510),(Re- - zfs另解另解:,3)(0級級極極點點的的是是容容易易看看出出：zfz .sinlim)!13(10),(Re230 - - - zzzzfsz由由

25、定定理理 - - - 66550sinlim)!16(10),(Rezzzzdzdzfsz另解另解: 由定理由定理2 的推導過程知，在使用時，可將的推導過程知，在使用時，可將 m 取得比實際級數(shù)高，有時可使計算更簡單取得比實際級數(shù)高，有時可使計算更簡單.例如取例如取 m=6,.! 51)cos(lim! 51)sin(lim! 510550- - - - - - zzzdzdzz?)1(sin:13 - - zzdzezzI思思考考1 1、 留數(shù)的定義留數(shù)的定義2 2、 留數(shù)定理留數(shù)定理3 3、 留數(shù)的計算規(guī)則留數(shù)的計算規(guī)則本講小結本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容：考察三種類型的實函數(shù)的定積分的計算

26、考察三種類型的實函數(shù)的定積分的計算.;)sin,(cos120的的積積分分、形形如如dR ;)(2的的積積分分、形形如如dxxR - -).0()(3 - -adxexRaix的的積積分分、形形如如的的積積分分、形形如如dRI)sin,(cos120 這類積分可以化為單位圓上的復變函數(shù)積分這類積分可以化為單位圓上的復變函數(shù)積分. .則則令令,iez .2 , 0cos,sin)cos,(sin上上連連續(xù)續(xù)在在的的有有理理函函數(shù)數(shù)，且且為為這這里里R,izddedzi ,zidzd - - - -ieeii2sin,212ziz - - - -2cosiiee,212zz 的的有有理理函函數(shù)數(shù)，

27、為為則則設設zzfzizzzizRzf)(,1)21,21()(22 - - 1|.)(zdzzfI且且在高等數(shù)學中此積分一般是采用萬能代換求解在高等數(shù)學中此積分一般是采用萬能代換求解.下面用復變函數(shù)的方法求解該下面用復變函數(shù)的方法求解該題題. .解：解：).10(cos212cos202 - - pdppI計計算算例例1 1則則令令,iez . 0cos21, 102 - - ppp故故由由于于),1(2122cos2222zzeeii - -),1(212coszzeeii - -dzzipzzpzzIz - - - - 122221212112，單單極極點點級級極極點點內(nèi)內(nèi)有有兩兩個個極

28、極點點在在)(),2(01|)(pzzzzf - - - 1|124.)()(1(21zzdzzfdzpzpzziz于是于是,)1(21)()(lim),(Re224ppipzfpzpzfspz- - - - ,21)(1(21lim)(lim0),(Re224020pippzpzizzfzzfszz - - - - - 因而因而.1221)1(2122222224pppipppipiI- - - - - .?cos45cos0為為正正整整數(shù)數(shù)思思考考：mdxxxmI - - .23cos45cos2120mIdxxxmI - - ，提提示示：的的積積分分、形形如如 - - dxxRI)(2不

29、失一般性，設不失一般性，設.2)(次次至至少少比比分分子子的的次次數(shù)數(shù)高高次次數(shù)數(shù)的的有有理理函函數(shù)數(shù)，且且分分母母的的為為這這里里xxR.,)(現(xiàn)現(xiàn)在在來來說說明明其其求求法法積積分分是是存存在在的的在在實實軸軸上上沒沒有有奇奇點點時時并并且且，當當zR. 2,)(1111 - - - - -nmbzbzazazzRmmmnnn.011沒沒有有實實數(shù)數(shù)解解分分子子、分分母母互互質(zhì)質(zhì)，且且 - -mmmbzbz)1(. ),(Re2)()( - - RRCkkRzzRsidzzRdxxR根據(jù)留數(shù)定理，得到根據(jù)留數(shù)定理，得到xyO-RR.3z.2z1zRC.為為半半徑徑的的上上半半圓圓周周是是以

30、以原原點點為為圓圓心心，示示，其其中中我我們們?nèi)∪》e積分分路路徑徑如如圖圖所所RCR.)(在在該該半半圓圓內(nèi)內(nèi)都都包包含含的的所所有有極極點點上上半半平平面面內(nèi)內(nèi)可可使使充充分分大大時時，當當kzzRR.的的增增大大而而改改變變的的半半徑徑這這個個等等式式不不因因RCR RCRdzzR.0)(lim所所以以,|1|1|1|)(|221111zMzbzbzazazzRznmmmnnnm - - - - - - -足足夠夠大大，則則，只只要要因因為為.為為某某一一正正常常數(shù)數(shù)其其中中M為為充充分分大大的的圓圓周周上上，有有因因此此，在在半半徑徑 R RRCCRMRRMdszRdzzR.|)(|)(

31、2再由再由1 1），得），得. ),(Re2)( - - kkzzRsidxxR. ),(Re)()(0 kkzzRsidxxRxR為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則如如果果. 0, 0,)(2022222 babxaxdxxI其其中中計計算算例例解：解：因為被積函數(shù)是偶函數(shù)因為被積函數(shù)是偶函數(shù),.21)(21122222IbxaxxI記記為為所所以以 - -)()(22222bzazzzR其位于上半平面的奇點是其位于上半平面的奇點是: :, biai（均為單極點）（均為單極點）.)(2211baII .),(Re),(Re21bizRsaizRsiI 則則,)(2)()(lim),(Re2222222b

32、aiabzazzaizaizRsaiz- - - - 而而,)(2),(Re22abibbizRs- - 同同理理可可得得于是于是.125)1614873(2 - - - iiiI,48733),(ReiizRs- - 而而于是于是.91023242dxxxxxI - - - - 計計算算例例解：解：9102)(242 - - zzzzzR其位于上半平面的奇點是其位于上半平面的奇點是: :,3,ii（均為單極點）（均為單極點）,161),(ReiizRs - - 問題的處理方法：同第二種類型一樣，通過引進輔問題的處理方法：同第二種類型一樣，通過引進輔助半圓周，得到一個閉合路徑半圓周加實軸上的復

33、助半圓周，得到一個閉合路徑半圓周加實軸上的復變函數(shù)的積分，然后取極限令半徑趨于無窮），并且變函數(shù)的積分，然后取極限令半徑趨于無窮），并且可證明：可證明：的的積積分分、形形如如 - - )0()(3adxexRIiax.1)(分分子子、分分母母互互質(zhì)質(zhì)次次至至少少比比分分子子的的次次數(shù)數(shù)高高次次數(shù)數(shù)的的有有理理函函數(shù)數(shù)，且且分分母母的的為為這這里里xxR.,)(現(xiàn)現(xiàn)在在來來說說明明其其求求法法積積分分是是存存在在的的在在實實軸軸上上沒沒有有奇奇點點時時并并且且，當當zR.0)(lim RCaxiRdxexR事實上事實上.2sin,20 有有時時注注意意到到：當當,| )(|1zMzRznm - -足足夠夠大大，則則只只要要，樣樣，因因為為如如同同處處理理上上一一個個問問題題一一.為為某某一一正正常常數(shù)數(shù)其其中中M為為充充分分大大的的圓圓周周上上，有有因因此此，在在半半徑徑 R - - RRRCCayiazCiazdseRMdsezRdzezR|)(|)(.不不等等式式Jordan- - - -.220sin0sindeMdeMaRaR - - - 于是于是 RCRdzzR.0)(lim所所以以 - - - - 20)/2().1(2)(aRaRCiazeaRMdeMdzezRR)2(. ,)(Re2)( - - kkiaziaxzezRsidxexR故故.)(在在上上半半平平