數(shù)字圖像處理課件正交變換

1、1 圖像的頻域變換變換二維離散變換對于二維變換，其離散形式為：1 M -1 N -1é - j 2 p æ ux + vy ö ùF (u , v ) =åå f ( x , y )e êç M N ÷ úëèø ûMN x = 0 y = 0逆變換為：M -1 N -1é j 2p æ ux + vy öùf ( x, y) = åå F (u, v)e êç M N 

2、47;úëèøûu =0 v =0幅頻譜、相位譜：F (u , v ) = F (u , v ) e jj (u ,v ) = R (u , v ) + jI (u , v )F (u , v ) = R 2 (u , v ) + I 2 (u , v ) 21j (u , v ) = arctan I (u , v )R (u , v )第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站4 圖像的頻域變換變換變換的定義(一維)f(x)為連續(xù)可積函數(shù)，其變換定義為：¥F ( u ) = ò f ( x ) e - j 2p ux dx-

3、 ¥其反變換為：¥f ( x ) = ò F ( u ) e j 2 p ux du- ¥F(u)=R(u)+jI(u)F (u) = F (u) e jf (u)第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站3 上次課復(fù)習(xí)n 圖像的頻域變換Ø 頻域變換的理論基礎(chǔ)9線性系統(tǒng)、卷積與相關(guān)9正交變換及其特征9離散圖像的正交變換Ø 變換定義與特征Ø 葉變換的應(yīng)用第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站2數(shù)字圖像處理與分析第四章 圖像處理中的正交變換2遙感地面站2005年春季學(xué)期12 其他變換離散余弦變換n 由葉變換性質(zhì)Ø 當(dāng)f(x

4、)或f(x,y)為實的偶函數(shù)時，葉變換域中得到實的偶函數(shù)Ø 維離散變換1 N -1- j 2puxF (u) =å f (x)e Nu = 0,1,L, N -1N x=01 N -1- j 2p ux1 N -12p ux2p ux F (u) =å f (x)eN=å f (x)(cos() - j sin()N x=0N x=0NNØ 當(dāng)f(x)或f(x,y)為偶函數(shù)時，葉變換的計算公式虛部為零，只有余弦項第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站8余弦變換是簡化變換的法 其他變換離散余弦變換n 離散余弦變換Ø 問題的提出：葉變換的

5、一個最大問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站7第四章 圖像處理中的正交變換2n 其他變換¾其他變換9離散余弦變換9ü 變換99小波變換哈達(dá)瑪變換變換（主成分變換）第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站6二維離散變換的性質(zhì) 1. 線性性質(zhì)（加法定理）：2. 比例性質(zhì)（相似性定理）3. 可分離性：4. 空間位移(位移定理)：5. 頻率位移：請?zhí)釂枺?. 周期性：7. 共軛對稱性：8. 旋轉(zhuǎn)不變性：9. 平均值：10. 卷積定理：11. 相關(guān)定理： 12.拉斯函數(shù)

6、：第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站5其他變換離散余弦變換其他變換離散余弦變換n 一維離散余弦變換定義n 一維離散余弦反變換定義f ( x ) cos é p (2 x + 1)u ù 2 N1NN -1åé p 2 N -1ùF (u ) =åu = 0ëê 2 Nûúf ( x) =c(u ) F (u ) cos ê(2 x + 1)u úë 2 NûN1x = 0N -1ìåF (0) =f ( x )C (u ) = &#

7、239;u = 0u = 1,2,L, N - 1íïî120通常歸一化表示為：N -1f ( x) cos éê p (2 x + 1)u 2 åù矩陣表示：úF (u ) = c(u )N x = 0ë 2 NûF = Cf= CT Fìï 1 fu = 0C (u) = í2ïî1u = 1,2,L, N - 1第四章 圖像處理中的正交變換第四章 圖像處理中的正交變換910遙感地面站遙感地面站3 其他變換離散余弦變換n 二維離散余弦變換&#

8、216; 偶對稱偶函數(shù)：ì f (x, y)x ³ 0, y ³ 0ï f (-1- x, y)x < 0, y ³ 0f (x, y) = ïí f (x,-1- y)x ³ 0, y < 0ïïî f (-1- x,-1- y) x < 0, y < 0Ø 為關(guān)于(-1/2, -1/2)對稱的偶函數(shù)。第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 12 其他變換離散余弦變換n 任意函數(shù)離散余弦變換Ø 一個任意函數(shù)采樣從0, 1, 2, , N-1

9、，若向負(fù)方向折疊形成2N采樣的偶函數(shù)，就可以進(jìn)行2N 的偶函數(shù) 變換。此時可采用離散余弦變換進(jìn)行。第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 11 其他變換離散余弦變換表為矩陣形式：Fc = CfCf = CFcC矩陣C的元素為：é p (2i + 1)mêC= a (m )cosi , më2 Nûìïa (m) = íïïî 1N 2Nm = 0m ¹ 0第四章 圖像處理中的正交變換14遙感地面站4 其他變換離散余弦變換n 二維離散余弦變換Ø 奇對稱偶函數(shù)：ì f

10、(x, y)x ³ 0, y ³ 0ïf (x, y) = ï f (-x, y)x < 0, y ³ 0íï f (x,- y)x ³ 0, y < 0ïî f (-x,- y) x < 0, y < 0Ø 為折疊鏡像序列。第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 16其他變換離散余弦變換N=4時é11L1ùê222úêp3p(2 N - 1)pú 2 ê coscosLcosúN

11、ê2 N2 N2 NúêMMMúê( N - 1)p3( N - 1)p(2 N - 1)( N - 1)p úêcos2 Ncos2 NL cos2 Núëûé 0.50.50.50.5 ùê0.6530.271- 0.271 - 0.653 úêúê 0.5- 0.5- 0.50.5 úê0.271 - 0.6530.653- 0.271úëû第四章 圖像處理中的正交變換遙

12、感地面站 15其他變換離散余弦變換Ø 偶對稱偶函數(shù)二維離散余弦變換定義F(u,v) = 2 C(u)C(v åN-1åN-1 f (x, y)cos p (2x+1)ucos p (2y+1)v)Nx=0 y=02N2Nf (x, y) = 2 åN-1åN-1 (u)C(v)F(u,v)cos p (2x+1)ucos p (2y+1)vCN u=0 v=02N2Nìï 1 u,v =0C(u) =C(v) =í 2ïî1u,v =1,LN -1第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 135

13、其他變換離散余弦變換¾余弦變換的應(yīng)用壓縮編碼第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 20 其他變換離散余弦變換第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 19 其他變換離散余弦變換¾余弦變換的性質(zhì)9余弦變換為實的正交變換，變換核的基函數(shù)正 交9序列的余弦變換是DFT的對稱擴(kuò)展形式9核可分離，可以用兩次一維變換來執(zhí)行9余弦變換的能量向低頻集中9余弦變換有快速變換，和變換一樣，分奇偶組第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 18其他變換離散余弦變換Ø 奇對稱偶函數(shù)二維離散余弦變換N-1 N-1F(u,v) = 1 åå f(x, y), u = 0,v

14、 = 0N x=0 y=0F(u,v) = 2 åå f(x, y)cosé 2p uxùcosé 2p vyù, u,v ¹ 0N-1 N-1N x=0 y=0êë2N -1 úû êë2N -1 úû反變換：2 N -1 N -12p2p f (x, y) = åå F (u, v) cosux cosvyì1N u =0 v=02N -12N -1ï4 f (x, y) x = 0, y = 0

15、39;1f(x, y) = ï f (x, y) x = 0, y ¹ 0í2ï1 f (x, y) x ¹ 0, y = 0ï2ï f (x, y)x, y = othersî第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 17其他變換離散余弦變換¾余弦變換的應(yīng)用壓縮編碼第四章 圖像處理中的正交變換21遙感地面站6 三種不同排列的Walsh函數(shù)對比(a) Walsh排列(b)Paley排列(c) 按哈達(dá)瑪排列第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 24 其他變換哈達(dá)瑪變換 n 1893年法國數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪總結(jié)前人

16、研究只包含+1和-1的正交矩陣結(jié)果，形成哈達(dá)瑪矩陣，既簡單又有規(guī)律n 1923年 數(shù)學(xué)家 提出Walsh函數(shù)，具有特點Ø 函數(shù)取值僅有兩個（0,1 或-1,+1）Ø 由Walsh函數(shù) 的Walsh函數(shù)集，具備正交性和完備性n 將Walsh函數(shù)應(yīng)用于信號的變換，建立Walsh變換基礎(chǔ)n 后人發(fā)現(xiàn)，按照哈達(dá)瑪構(gòu)造矩陣的排列方式，對Walsh函數(shù)進(jìn)行排列，形成的函數(shù)集既滿足正交性和完備性，又特別容易記憶和產(chǎn)生，將該正交函數(shù)集應(yīng)用于信號變換，由此形成常用的 哈達(dá)瑪變換第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 23 其他變換哈達(dá)瑪變換n 哈達(dá)瑪變換 (Walsh-Hadamard)n

17、能否進(jìn)一步找到計算更簡單的變換？n 一：構(gòu)建更為簡單的正交函數(shù)集，只要滿足正交：A AT = In 對正弦函數(shù)集進(jìn)行深入研究，發(fā)現(xiàn)不考慮函數(shù)值， 僅考察函數(shù)值的過零點位置分布時，可形成包含+1和-1極值狀態(tài)下的正交函數(shù)集第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 22 其他變換哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換 (Walsh-Hadamard)é 11-1 1-1111-1-111-1-1 111111-11-1 1-1-111-1-1-11 ùêúê 1-1úêúúê-1úê 1ê

18、êúúú11H = 1 ×ê2 2 êú8ê 1-1úêúê 11 ú-1-1-1-111êêúúê 11 ú-1-1-1-1-1-111êúê 1-1ú-1111ëû第四章 圖像處理中的正交變換26遙感地面站7 其他變換K-L變換n K-L變換Ø 一幅圖象在某個通訊信道中傳輸了M 次，由于任何物理信道均 隨機(jī)干擾因素，接收到的

19、圖像系列總混雜有許多隨機(jī)干擾信號，稱之為隨機(jī)圖象集合，集合中各圖象之間 相關(guān)性但又不相等Ø K-L變換本質(zhì)上是 這類廣泛的隨機(jī)圖象提出來的， 當(dāng)對M 個圖象施加了K-L變換以后，變換后的M 新圖像組成的集合中各圖象之間互不相關(guān)Ø 由變換結(jié)果圖像集中取有限個圖像K (K<M )而恢復(fù)的圖像將是原圖象在統(tǒng)計意義上的最佳逼近第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 28 其他變換哈達(dá)瑪變換 n 哈達(dá)瑪變換特性1. WHT變換是實的、對稱的、正交變換2. WHT可由快速算法實現(xiàn)，因為DHT只加減，因此沒有任何乘法運(yùn)算。3. WHT有較能量集中特性n Walsh函數(shù)正交性的典型應(yīng)

20、用之一n 哈達(dá)瑪變換實例第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 27其他變換哈達(dá)瑪變換n 二維哈達(dá)瑪變換定義F = WHT f = HfHf = WHT -1F = HF HHHH變換矩陣H具有遞推公式：H =1H = 1 é1 1 ù122 ê1 -1úëûH = 1 éHNHN ù2N2 êH-H úë NN û第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 258 其他變換K-L變換n K-L變換計算（續(xù)）Ø 令F 和為Cx的特征和對應(yīng)的特征值，可有C x - I =

21、 0C x F = l F（5）Ø 特征F為N 維矢量，由上式可解出N 個特征值1，2， n，將其按降序排列1 > 2 > 3 >> nØ 將各特征值分別代入（5）式，可得出對應(yīng)各特征值的特征為：Fi=fi1， fi2， finT第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 32 其他變換K-L變換n K-L變換計算Ø 對N 維隨機(jī)X = x1，x2，xnT，其每個元素xi分別具有M 個樣本Ø 其平均值定義為：M 1 M xMx=EXxM å i（3）i =1Ø 其協(xié)方差矩陣為一個N×N 的矩陣，定義為：C

22、x=E(X- Mx)(X- Mx)T（4）C 1 åM (x - m )(x - m )T = 1 éx xT ù - m mTxMixixM êå i i úx xi=1ëû第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 31 其他變換K-L變換n K-L變換原理Ø 通過數(shù)學(xué)分析，可得出結(jié)論如下：對正交矩陣 = 1， 2， nØ 若取i 為X 的協(xié)方差矩陣Cx 的特征，則對X 進(jìn)行下述變換后Y = TX（1）其結(jié)果Y可滿足前述要求Ø 上述變換式(1)與反變換X=Y（2）稱之為K-L變換，通常

23、又稱之為Hotelling變換、特征向量變換或主成分分析（變換）第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 30其他變換K-L變換n K-L變換原理設(shè)X = x1，x2，xnT和Y = y1，y2，ynT為兩個n 維隨機(jī)，其元素xi ， yj 分別具有M 個隨機(jī)值X 能由Y 精確表示為：X=Y為n×n 正交矩陣，記為 = 1， 2， n若取Y的前m 個Ym 來表示X，記為Xm，可有誤差DXm= X Xm從統(tǒng)計角度，如何選擇，使得上述誤差的統(tǒng)計均方值達(dá)到極小第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 29其他變換K-L變換n K-L變換計算（續(xù)）Ø 將各特征轉(zhuǎn)置后即可變換矩陣：

24、33;FT ùé fùffffL L111121Nú2 N úúêúêFTfF = êú = ê21222(6)êúêLLMê T úêúë f N1f NN ûêëFN úûLL第四章 圖像處理中的正交變換33遙感地面站9 其他變換K-L變換n K-L變換計算實例Ø 2x6圖像矩陣為： X = é2 4 5 5 3 2

25、9;ê2 3 4 5 4 3úëûØ 將每一行作為一個隨機(jī)矢量，形成隨機(jī)為：2 Ø 其均值矢量為M = 1 é2 + 4 + 5 + 5 + 3 + 2ù = é3.5ù6 ê2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3úê3.5úëûëû第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 36 其他變換K-L變換n K-L變換性質(zhì)Ø 去相關(guān)性：上述變換結(jié)果Y的各分量互不相關(guān)，具有協(xié)方差矩陣為él1ù

26、êlúC = T C = ê2úyxêOúêl úën ûØ 最佳重構(gòu)特性：對變換后結(jié)果進(jìn)行截斷后恢復(fù)原數(shù)據(jù)， 其均方誤差是最小的取Y的前M個分量進(jìn)行反變換恢復(fù)X，其均方誤差為：Ne 2 (m ) = å lii = M +1第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 35 其他變換K-L變換確定隨機(jī)集合n K-L變換計算（續(xù)）X = x ，x ，x T12nØ 計算流程與K-L討論ü 確定隨機(jī)X及其樣本集合范圍ü 在確定的隨機(jī) 集合下，關(guān)鍵的是確定

27、協(xié)方差矩陣；進(jìn)而由協(xié)方差矩陣通過線性代數(shù)計算得出特征 與特征值ü 變換的實質(zhì)在于：輸入隨機(jī) X中各分量之間 很強(qiáng)的相關(guān)性，通過變換使輸出隨機(jī) Y中各分量之間互不相關(guān)ü 若定義不同的輸入隨機(jī)組成方式，則應(yīng)用變換公式1可導(dǎo)致不同的應(yīng)用方向獲取變換結(jié)果Y = y1，y2，ynT第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 34構(gòu)建變換矩陣公式6特征與特征值計算公式5協(xié)方差矩陣計算公式4均值矢量計算公式3Ø Y的協(xié)方差矩陣為：10 其他變換K-L變換n K-L變換的深入討論從另一種角度Ø 對圖像矩陣X，可看作為二維平面上一組像素點坐標(biāo)的集合，如圖所示X = ppppp

28、p = é2 4 5 5 3 2ù123456ê2 3 4 5 4 3úëûØ 變換結(jié)果Y，則可看作為一個新坐標(biāo)系下相同像素點的集合Y = é2.78 4.99 6.38 6.95 4.74 3.35ùê 0.5 0.18 0.43 1.25 1.57 1.32 úëûØ 該新坐標(biāo)系為原坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)， 旋轉(zhuǎn)矩陣即為K-L變換矩陣第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 40 其他變換K-L變換n K-L變換計算實例Ø 對X進(jìn)行變換：é 0

29、.82 0.57 ùé2 4 5 5 3 2ùY = ê- 0.57 0.82úê2 3 4 5 4 3úëûëû= é2.78 4.99 6.38 6.95 4.74 3.35ùê 0.5 0.18 0.43 1.25 1.57 1.32 úëûC = é2.67 0ù可見89%的能量集中在分量1中Yê0 0.33úëûØ 舍棄分量2，反變換結(jié)果為：X =

30、é0.82 -0.57ùé2.78 4.99 6.38 6.95 4.74 3.35ù =é 2.28 4.1 5.23 5.7 3.89 2.75 ùê 0.57 0.82 úê0 0 0 0 0 0ú ê1.58 2.84 3.64 3.96 2.7 1.91úëûëû ëû第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 39 其他變換K-L變換n K-L變換計算實例Ø 由協(xié)方差矩陣計算特征值：Ø 由

31、1 .9 - l1 .1= 01 .11 .1 - lØ 可解出：l2-3l+0.88=0l1=2.67l2=0.33Ø 將l1， l2分別代入公式（5），可解出特征并構(gòu)建變換矩陣為：F = é f T ù = é 0.820.57 ùê 1 úêúë f T ûë- 0.570.82û2第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 38其他變換K-L變換n K-L變換計算實例Ø 可有協(xié)方差矩陣：6C 1å(x -m )(x -m )T =x

32、 6ix ixi=11 ìé2.25 2.25ù+é 0.25 -0.25ù+é2.25 0.75ù+é2.25 2.25ù+é 0.25 -0.25ù+é2.25 0.75ùüM íê2.25 2.25ú ê-0.25 0.25ú ê0.75 0.25ú ê2.25 2.25ú ê-0.25 0.25ú ê0.75 0.25ú

33、ýîëû ëû ëû ëû ëû ëûþC = é1.9 1.1ùxê1.1 1.1úëû第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 3711 其他變換K-L變換Ø 為有效的發(fā)揮K-L變換的作用，待變換的對象中各分量之間應(yīng)具有較強(qiáng)的相關(guān)性；相關(guān)性越強(qiáng)，K-L變換的效果越明顯，表現(xiàn)為變換矩陣的特征值具有快速下降的曲線Ø 與葉變換、Hadamard變換等不同，K-L變換的變

34、l換矩陣隨不同圖像的統(tǒng)計性質(zhì)、不同的隨機(jī) 定義而不同Ø K-L變換域的圖像常常具有直接應(yīng)用的價值Ø 到目前為止，K-L變換尚無有效的快速算法，計算量巨大是其應(yīng)用發(fā)展上的瓶頸第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 44 其他變換K-L變換Ø 各主分量相互之間的互不相關(guān)，使得變換后的特征具有描述圖像的全部Ø 在遙感圖像處理中，將原始的多波段圖像轉(zhuǎn)換為主分量圖像，將使大量 地集中在少數(shù)幾個分量上，實現(xiàn)有效的特征抽取第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 43 其他變換K-L變換Ø K-L變換的目標(biāo)，即在于找出使X矢量中各分量相關(guān)性降低或去除的方向，對

35、圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使其新空間的坐標(biāo)軸指向各主分量方向主成分分析或主成分變換Ø 擴(kuò)展至空間，K-L變換可實現(xiàn)空間中的去相關(guān)，并將能量集中在少數(shù)主要分量上X2Y1Y2X1第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 42其他變換K-L變換n K-L變換的深入討論Ø 考察下圖二維X空間中框各矢量X：9圖(B)中，各點的x1變化時，其x2也必定增大或減小;表明矢量X的x1，x2 分量之間相關(guān)性很高9圖(A)中，各點的x1 變化時，其x2 變化很小或沒有變化; 表明矢量X的x1 ， x2分量之間相關(guān)性很低或沒有相關(guān)性X2X2X1X1A) 不相關(guān)B) 相關(guān)第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站

36、41其他變換K-L變換n K-L變換的應(yīng)用Ø 圖像目標(biāo)旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用ü 將圖像的坐標(biāo)作為隨機(jī)Ø 多波段圖像特征抽取應(yīng)用ü 將圖像的波段作為隨機(jī)Ø 圖像數(shù)據(jù)壓縮應(yīng)用的分量 X=x，y的分量 X=b ，b ，b 12nü 將圖像的波段或像素作為隨機(jī)的分量 X=p ，p ，p 12n第四章 圖像處理中的正交變換45遙感地面站12 其他變換變換Ø 對于i=0,1,N-1，令x=i/N，則形成一組基函數(shù)，除k=0時為常數(shù)外，每個基函數(shù)均具有獨(dú)特的一個矩形脈沖對Ø 這些基函數(shù)在尺度（寬度）和位置上均有所變化，索引p 規(guī)定了尺度，q

37、 決定了平移量Ø 可以計算N8時p 和q 的：第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 48 其他變換變換n 函數(shù)的定義Ø 令整數(shù)0kN-1由其他兩個整數(shù)p 和q 唯一決定k = 2 p + q - 1Ø 函數(shù)定義為：ì 2 p / 2q - 1 £ x < q - 0.5ï2 p2 ph ( x) = 1h ( x) = 1 ï- 2 p / 2q - 0.5 £ x < q0NkN í2 p2 pï 0其他ïî第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 47 其他變

38、換 變換 n 變換Haar TransformØ 與 哈達(dá)瑪變換的 相似，尋找其他可用的正交函數(shù)Ø Haar函數(shù)于1910年提出，其矩陣只有1，1和另一個以 2 為基礎(chǔ)的系數(shù)。它是正交稀疏矩陣，可實現(xiàn)快速計算Ø 函數(shù)具備完備性與歸一化正交性n 變換的定義Ø 利用 函數(shù)作為基函數(shù)的對稱、可分離酉變換，要求N =2nT = HFH第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 46其他變換變換Ø 由此形成8個函數(shù)，形成矩陣：第四章 圖像處理中的正交變換49遙感地面站13 其他變換變換n 變換的特性Ø Haar函數(shù)的一個重要特性收斂均勻而迅速

39、16; 葉變換的基函數(shù)僅是頻率不同，函數(shù)在尺度和位置上都不同Ø 變換具有尺度和位置的雙重性Ø 全域特性和區(qū)域特性： 函數(shù)系列可分為全域部分和區(qū)域部分。全域部分作用于整個變換區(qū)間，區(qū)域部分作用于局部區(qū)域Ø 小波特性：變換后子波的尺度c 2d 2遠(yuǎn)小于原始信號第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 52 其他變換變換n N圖像注意：右下象限部分可以用來搜索圖像中不同位置的小特征第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 51 其他變換變換n 函數(shù)波形如右圖， 可有特征：Ø 第一行反映一種整體變換，第二行反映兩個半幅變換，下兩行是N/4之間的變換，最后是相鄰兩像元

40、之間的變換Ø 矩陣既反映整體，又反映局部Ø 如果一個信號、或信號中的一部 分，可以近似地匹配上某一基函 數(shù)，則在變換后，會產(chǎn)生一個對 應(yīng)那個基函數(shù)的較大的變換系數(shù)， 而對于其他正交基函數(shù)產(chǎn)生較小 的系數(shù)。由此，變換可以給 出一些線和邊的和位置第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 50其他變換 其他變換小波變換小波變換變換第四章 圖像處理中的正交變換第四章 圖像處理中的正交變換5354遙感地面站遙感地面站14其他變換小波變換n 葉變換的引入，使人類對于自然界復(fù)雜信號或圖像的分析與處理，轉(zhuǎn)變?yōu)閷τ谄湎鄬^為簡單的頻域特征的分析與處理Ø 回憶調(diào)和信號與葉變換 e jw

41、 t = cos (w t )+ j sin (w t )Ø 實際上相當(dāng)于將調(diào)和信號頻率與實際信號相比較Ø 若實際信號中含有對應(yīng)頻率，則具有較大的變換系數(shù)Ø 若實際信號中沒有某特定頻率，則該頻率對應(yīng)的系數(shù)較小或為零第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 56F (w ) = ò f (t)e- jwt dtf (t) = 1 ò F (w )e jwtdw2p其他變換小波變換n 小波分析的發(fā)展非常迅速。最早可以追溯到1900年(Hilbert)的論述，和1910年 提出的規(guī)范正交基n 實際的主要工作還應(yīng)該是1984年法國的Morlet在分析地震

42、波局部性質(zhì)時，因 變換難以達(dá)到要求，因而引入小波概念n 以后，Grossman對Morlet的信號按一個確定函數(shù)的伸縮、平移系進(jìn)行了研究，為小波分析的形成開了先河n 小波變換理論的理解與解釋，可從嚴(yán)格的理論推導(dǎo)、傅里葉分析的延伸、多分辨分析、子帶編碼等不同角度展開第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 55其他變換小波變換 其他變換小波變換x1(t) = cos(2p × 5 × t)¥- jwtX ( jw ) = ò x(t) × edt-¥¥1jwtx(t) =ò X ( jw ) × e dt2p

43、-¥x2 (t) = cos(2p × 25 × t)Fx3 (t) = cos(2p ×50 × t)第四章 圖像處理中的正交變換第四章 圖像處理中的正交變換5758遙感地面站遙感地面站15 其他變換小波變換x4 (t) = cos(2p × 5 × t)+ cos(2p × 25 × t)+ cos(2p × 50 × t)x4 (t) F X 4 (w )第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 60 其他變換小波變換x1 (t) FX (w)1x2 (t) F X 2 (w)x3

44、 (t) F X 3 (w )第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 59 其他變換小波變換Ø 穩(wěn)態(tài)信號x4 (t) = cos(2p × 5 × t)+ cos(2p × 25× t)+ cos(2p × 50 × t)Ø 非穩(wěn)態(tài)信號x5 (t) = 3 第四章 圖像處理中的正交變換62遙感地面站16其他變換小波變換n 葉變換的局限性Ø 時間損失：什么時候特定的發(fā)生？Ø 位置的損失：葉變換不能確定某一的漂移、趨勢、突變、起始和結(jié)束等Ø 葉變換分析是全局性的分析，難以分析局部信號特征n

45、 葉變換的其他局限性Ø 對于瞬態(tài)信號或高度局部化的信號（例如邊緣），由于這些成分并不 類似于任何一個基函數(shù)，它們的變換系數(shù)（頻譜）不是緊湊的， 頻譜上呈現(xiàn)出一幅相當(dāng)混亂的Ø 這種情況下，變換是通過復(fù)雜的安排，以抵消一些正弦波的方式構(gòu)造出在大部分區(qū)間都為零的函數(shù)而實現(xiàn)的Ø 對于包含瞬態(tài)或局部變化成分的信號，葉變換分析將難于得到最佳的表示第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 64其他變換小波變換Ø 非穩(wěn)態(tài)信號的葉變換 5 Hz20 Hz50 Hz 第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 63可以準(zhǔn)確的知道頻率成分，但不知道這些頻率出現(xiàn)的位置和延續(xù)的時間其他

46、變換小波變換n 葉變換可以準(zhǔn)確地知道信號中含有哪些頻率成分，但不知道這些成分發(fā)生的時間、位置n 穩(wěn)態(tài)信號特征Ø 由一系列不隨時間變化的頻率組成Ø 不需要知道任何頻率的開始與停止時間Ø 變換基于在時間軸上無限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)， 十分適于表現(xiàn)穩(wěn)態(tài)信號n 非穩(wěn)態(tài)信號具有隨時間變化的頻率成分，分析中需要知道Ø 什么頻率在什么時候發(fā)生Ø 特定頻率發(fā)生的位置第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 61其他變換小波變換n 為了克服上述缺陷，使用有限寬度基函數(shù)的變換n Gabor變換（1946），或稱之為加窗付里葉變換、短時葉變換（STFT）首先

47、產(chǎn)生：g (t - t k )g (t - t k )tktntime第四章 圖像處理中的正交變換65遙感地面站17FrequencyAmplitude 其他變換小波變換n Gabor變換具有特征：Ø 實現(xiàn)了對于信號的頻率與時間觀察的折衷Ø 無論時間還是頻率的觀察均為有限精度；整體精度取決于窗口Ø 一旦窗口確定，將作用于所有頻率n 實際信號需要在時間與頻率方面更為靈活的觀察與分析第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 68 其他變換小波變換第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 67 其他變換小波變換n STFT變換步驟為：1） 選定一個有限窗口2） 將窗口放置于

48、信號的起點3） 計算窗口內(nèi)信號的葉變換4） 將窗口向右移動一個距離5） 重復(fù)3）4）步，直至達(dá)到信號的末尾由此，得到每個時間段內(nèi)信號的頻率成分第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 66 其他變換小波變換其他變換小波變換n 從葉變換到小波變換（續(xù)）n 從葉變換到小波變換（續(xù)）Ø 小波變換步驟：第一步第二步Ø 小波變換9結(jié)果產(chǎn)生小波變換系數(shù)9按照小波系數(shù)，原始信號分解為不同小波的組合第三步第四步第五步：對所有尺度的小波重復(fù)一至四步第四章 圖像處理中的正交變換第四章 圖像處理中的正交變換7172遙感地面站遙感地面站18其他變換小波變換n 從葉變換到小波變換（wavelet tr

49、ansforms）Ø 葉變換¥F ( w ) = ò f (t )e -iwt dt-¥ü 意味著信號在所有時間區(qū)間與復(fù)指數(shù)相乘，結(jié)果產(chǎn)生葉系數(shù)F(w)ü 按照葉系數(shù)，可將原信號分解為不同頻率的組合第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 70其他變換小波變換n 進(jìn)一步的發(fā)展采用頻率不同、位置不同、寬度有限的基函數(shù)進(jìn)行變換：小波變換出現(xiàn)n 變換最早出現(xiàn)的小波變換實例，其基均為一個函數(shù)通過不斷的平移和伸縮來產(chǎn)生。具有奇數(shù)矩形脈沖對的哈爾函數(shù)為最古老又最簡單的小波n 什么是小波？小波是具有有限區(qū)間和均值為零的波第四章 圖像處理中的正交變換遙

50、感地面站 6919 其他變換小波變換n 連續(xù)小波變換（續(xù)）Ø 連續(xù)小波變換的深入討論ü 觀察L2空間的內(nèi)積函數(shù)< f (t), g(t) >= ò f (t)g * (t)dt ü 以及互相關(guān)函數(shù)Rxy (t ) = ò x(t) × y*(t -t )dt=< x(t), y(t -t ) >ü 可有Ø W(a,b)是信號x(t)與小波基本函數(shù)在尺度因子a和位移因子b時的互相關(guān)函數(shù)Ø 如果信號在特定的尺度因子a和位移因子b下與基本小波函數(shù)具有較大的相關(guān)性（相似性），則W(a,b)

51、值將較大第四章 圖像處理中的正交變換遙感地面站 76W (a, b) =< x(t),y (a, b) >=< x(t),y a,0 (t - b) >= Rx,y (b)a ,o 其他變換小波變換n 連續(xù)小波變換（續(xù)）Ø 連續(xù)小波變換定義（又稱之為積分小波變換）：W f ( a , b ) =< f ,y a ,b ( t ) >=¥1¥t - b= ò f ( t )y a ,b ( t ) dt =a ò f ( t )y ( a) dt- ¥- ¥Ø 連續(xù)小波變換的逆變換為：1 ¥ ¥daf ( t ) = Cò