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1、 全國(guó)中考信息資源門戶網(wǎng)站 扇形、圓柱、圓錐面積公式扇形面積公式、圓柱、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握基本概念:正多邊形,正多邊形的中心角、半徑、邊心距以及平面鑲嵌等。 2. 扇形面積公式: n是圓心角度數(shù),R是扇形半徑,l是扇形中弧長(zhǎng)。 3. 圓柱是由矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)360°形成的幾何體,側(cè)面展開(kāi)是矩形,長(zhǎng)為底面圓周長(zhǎng),寬為圓柱的高 r底面半徑 h圓柱高 4. 圓錐側(cè)面積 圓錐是由直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)360°形成的幾何體。 側(cè)面展開(kāi)是扇形,扇形半徑是圓錐的母線,弧長(zhǎng)是底面圓周長(zhǎng)。&
2、#160; 5. 了解圓柱由兩平行圓面和一曲面圍成, 明確圓柱的高和母線,它們相等。 6. 了解圓錐由一個(gè)曲面和一個(gè)底面圓圍成,明確圓錐的高和母線,知道可以通過(guò)解高、母線、底面半徑所圍直角三角形,解決圓錐的有關(guān)問(wèn)題。 7. 圓柱 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面周長(zhǎng)的矩形。圓柱的側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘以圓柱的高。如圖所示,若圓柱的底面半徑為r,高為h,則:,。 8. 圓錐 圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面組成的。圓錐的底面是一個(gè)圓,側(cè)面是一個(gè)曲面,這個(gè)曲面在一個(gè)平面上展開(kāi)后是一個(gè)扇形,這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線,扇形的弧長(zhǎng)是圓錐底面的周長(zhǎng)。 因此,
3、圓錐的側(cè)面積是圓錐的母線與底面周長(zhǎng)積的一半。如圖所示,若圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,則 。 重點(diǎn)、難點(diǎn) 扇形面積公式及圓柱、圓錐側(cè)面積公式的理解和靈活應(yīng)用。 【典型例題】 例1. 已知如圖1,矩形ABCD中,AB1cm,BC2cm,以B為圓心,BC為半徑作圓弧交AD于F,交BA延長(zhǎng)線于E,求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面積。 圖1 解:AB1,BC2,F(xiàn)點(diǎn)在以B為圓心, BC為半徑的圓上, BF2,在RtABF中,AFB30°,ABF60° 例2. 已知扇形的圓心角150°,弧長(zhǎng)為,則扇形的面積為_(kāi)
4、。 解:設(shè)扇形的面積為S,弧長(zhǎng)為l,所在圓的半徑為R, 由弧長(zhǎng)公式,得: 由扇形面積公式,故填。 點(diǎn)撥:本題主要考查弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式。 例3. 已知弓形的弦長(zhǎng)等于半徑R,則此弓形的面積為_(kāi)。(弓形的弧為劣?。?。 解:弓形弦長(zhǎng)等于半徑R 弓形的弧所對(duì)的圓心角為60° 扇形的面積為。 三角形的面積為。 弓形的面積為。 即。故應(yīng)填。 點(diǎn)撥:注意弓形面積的計(jì)算方法,即弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的和或差。本題若沒(méi)有括號(hào)里的條件,則有兩種情況。 例4. 若圓錐的母線與底面直徑都等于a,這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_(kāi)。 解:圓錐的底面直徑等于a。
5、 底面半徑為, 底面圓的周長(zhǎng)為。瀝青保溫泵 又圓錐的母線長(zhǎng)為a, 圓錐的側(cè)面積為。 故應(yīng)填 點(diǎn)撥:圓錐的側(cè)面積即展開(kāi)圖的扇形面積,可利用扇形的面積公式求得。 例5. 如圖2所示,OA和OO1是O中互相垂直的半徑,B在上,弧的圓心是O1,半徑是OO1,O2與O、O1、OA都相切,OO16,求圖中陰影部分的面積。 圖2 解:設(shè)O2與O、O1、OA分別切于點(diǎn)D、C、E,設(shè)O2的半徑為r,連結(jié)O1O2,O2E,過(guò)點(diǎn)O2作O2FO1O于F,連結(jié)O1B、OB、OO2。 O1O6, l 又 , , , , (舍去)3GR螺桿泵 又是等邊三角形 , 扇形和扇形的面積相等
6、且都等于。瀝青齒輪泵 所組成的圖形面積為扇形O1BO和扇形OO1B的面積之和減去三角形O1OB的面積,即: 又扇形OAO1的面積為:瀝青泵 陰影部分的面積為: 點(diǎn)撥:本題比較復(fù)雜,考查的知識(shí)面比較多,要正確作輔助線,找出解題的思路。 例6. 在半徑為2的圓內(nèi),引兩條平行弦,它們所對(duì)的弧分別為120°和60°,求兩弦間所夾圖形的面積及周長(zhǎng)。 解:分兩條弦在圓心的同側(cè)或兩側(cè)這兩種情況: 如圖3所示,由題意, 圖3 則AOB120°,COD60° 又ABCD, , AOCBOD 又AOCBOD180
7、6; AOCBOD90° 又 故所求面積為 又AOC90°, , 同理 又OCD是等邊三角形, CDOCOD2 又 所求的周長(zhǎng) 如圖4所示,由第一種情況,得所求面積: 圖4 所求周長(zhǎng) 點(diǎn)撥:要注意本題的兩種情況,另外,弧長(zhǎng)公式和扇形以及弓形的面積求法要求正確掌握,熟練運(yùn)用。 瀝青保溫泵 例7. 如圖5所示,已知正方形的邊長(zhǎng)是4cm,求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積。(答案保留)(1999年廣州)圖5 解:設(shè)正方形外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R、r,面積為 。 。 常見(jiàn)錯(cuò)誤:此題最容易產(chǎn)生的問(wèn)題是找不出正方形邊長(zhǎng)的一半與兩圓的半
8、徑之間的勾股關(guān)系。即不會(huì)運(yùn)用圓內(nèi)接正方形與圓外切正方形的性質(zhì)來(lái)解題。這一點(diǎn)讀者應(yīng)認(rèn)真體會(huì)。 例8. 如圖6所示,已知ABC內(nèi)接于O,且ABBCCA6cm圖6 (1)求證:OBC30°; (2)求OB的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)); (3)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留)。 解:(1)ABBCCA,A60° BOC120°,又OBOC, OBC (2)過(guò)O作ODBC于D, OBOC,BC6cm, , (3) 即陰影部分面積是。3GR螺桿泵 常見(jiàn)錯(cuò)誤:此題常見(jiàn)的問(wèn)題是不會(huì)運(yùn)用正三角形這一條件,從而無(wú)法證明OBC30°;當(dāng)然,解直角三角形失誤,
9、求扇形面積時(shí)公式記錯(cuò)產(chǎn)生的錯(cuò)誤,也是考試中的常見(jiàn)錯(cuò)誤,應(yīng)引起警惕。 瀝青齒輪泵 例9. 一個(gè)圓錐的高是10cm,側(cè)面展開(kāi)圖是半圓,求圓錐的側(cè)面積。 點(diǎn)悟:如圖7所示,欲求圓錐的側(cè)面積,即求母線長(zhǎng)l,底面半徑r。由圓錐的形成過(guò)程可知,圓錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形即RtSOA,且SO10,SAl,OAr,關(guān)鍵找出l與r的關(guān)系,又其側(cè)面展開(kāi)圖是半圓,可得關(guān)系,即。圖7 解:設(shè)圓錐底面半徑為r,扇形弧長(zhǎng)為C,母線長(zhǎng)為l, 由題意得 在RtSOA中, 由、得:。 所求圓錐的側(cè)面積為 。 例10. 圓錐的軸截面是等腰PAB
10、,且PAPB3,AB2,M是AB上一點(diǎn),且PM2,那么在錐面上A、M兩點(diǎn)間的最短距離是多少? 點(diǎn)悟:設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形PBB',A點(diǎn)落在A'點(diǎn),則所求A'、M之間的最短距離就是側(cè)面展形圖中線段A'M的長(zhǎng)度。 解:如圖8所示,扇形的圓心角360°圖8 A'PB60°,在A'PM中,過(guò)A'作A'NPM于N, 則 , 【模擬試題】(答題時(shí)間:40分鐘) 一、填表 (1)已知:正n邊形邊長(zhǎng)為a正n邊形中心角半徑邊心距周長(zhǎng)面積n3 n4
11、; n6 (2)已知:正n邊形半徑R 正n邊形中心角半徑邊心距周長(zhǎng)面積n3 n4 n6 二、填空題: 1. 如果扇形半徑長(zhǎng)3cm,圓心角120°,則它的面積是_cm2。 2. 若圓錐母線長(zhǎng)5cm,高3cm,則其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是_度。 3. 若圓
12、錐底面半徑為3cm,母線長(zhǎng)5cm,則它的側(cè)面展開(kāi)圖面積是_cm2。 4. 有一圓柱狀玻璃杯,底面半徑3cm,高為8cm,今有一長(zhǎng)12cm的吸管斜放入杯中,若不考慮吸管粗細(xì),則吸管最少露出杯口處的長(zhǎng)度是_cm。 5. 用一個(gè)半徑為30cm,圓心角為120°的扇形紙片做成一圓錐側(cè)面,那么圓錐底面半徑是_cm。 6. 如圖1,正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,分別以AB、BC為直徑在正方形內(nèi)作半圓,則圖中陰影部分面積為_(kāi)平方單位。圖1 7. 如圖2,AB2cm,AOB90°,AOBO,以O(shè)為圓心,OA為半徑作弧AB,以AB為直徑做半圓AmB
13、,則半圓和弧AB所圍陰影部分面積是_cm2。 圖2 8. 若圓錐側(cè)面積為,母線長(zhǎng)5cm,則圓錐的高為_(kāi)cm。 9. 圓柱表面積為,它的高為2cm,則底面半徑為_(kāi)cm。 10. 矩形ABCD中,AC4cm,ACB30°,以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周,得到圓柱表面積為_(kāi)cm2。 三、解答題: 11. 已知扇形的半徑為,它的面積恰好等于一個(gè)半徑為的圓面積,那么這個(gè)扇形的圓心角為多少度?瀝青保溫泵 12. 如圖3,已知半圓O,以AD為直徑,AD2cm,B、C是半圓弧的三等分點(diǎn),求圖中陰影部分面積。圖3 13. 已知
14、如圖,割線PCD過(guò)圓心O,且PD3PC,PA、PB切O于點(diǎn)A、B,PAB60°,PA,AB與PD相交于E,求弓形ACB的面積。 【試題答案】一、填表: (1)正n邊形中心角半徑邊心距周長(zhǎng)面積n3120°3an490°4an660°a6a (2)正n邊形中心角半徑邊心距周長(zhǎng)面積n3120°n490°n660°R6R 二、填空題: 1. 2. 288 3. 4. 2 5. 10 6. 7. 1 8. 4cm 9. 3cm 10. 三、解答題: 11. 解:由題意,設(shè)所求圓心角為
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