數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、. . . . 數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位. 數(shù)列求和是數(shù)列的重要容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得 ， 當(dāng) ，即n8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法求和對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)項(xiàng)相減法。, 其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，記，則， 例3

2、 求和：解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè).（設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：求數(shù)列前n項(xiàng)的和.三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例5 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得（反序） 又由可得.+得 （反序相加）求的值四、分組分項(xiàng)法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得（分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組

3、求和）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè)五、裂項(xiàng)相消法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)（裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： （裂項(xiàng)） 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和（裂項(xiàng)求和） 六、并項(xiàng)法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例12 求cos1°

4、+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+（cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002（合并求和） 5七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)與特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)與其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例15 求之和