數(shù)學(xué)史第一大危機

1、數(shù)學(xué)史危機數(shù)學(xué)史危機主講人：陶秀峰5 4 3 2 1 數(shù)學(xué)史三大危機第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)第二次數(shù)學(xué)危機無窮小是零嗎第三次數(shù)學(xué)危機悖論的產(chǎn)生 數(shù)學(xué)史三大危機第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)第二次數(shù)學(xué)危機無窮小是零嗎第三次數(shù)學(xué)危機悖論的產(chǎn)生無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)第一次數(shù)學(xué)危機 發(fā)生的時間地點發(fā)生的時間地點NO.1 主要涉及的對象主要涉及的對象NO.2怎樣發(fā)生的怎樣發(fā)生的NO.3第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)目錄： 產(chǎn)生的意義及產(chǎn)物產(chǎn)生的意義及產(chǎn)物NO.5解決方法解決方法NO.4第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)NO.1 發(fā)生的時間地點時間：公元前時間：公元前580568年之間年之間地點：古希臘地點：古希臘第一次數(shù)學(xué)危機

2、無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)圖片欣賞畢達(dá)哥拉斯肖像畢達(dá)哥拉斯肖像第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)圖片欣賞畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)圖片欣賞公元前公元前6世紀(jì)的世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)NO.2 主要涉及的對象畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派希帕索斯希帕索斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：亦稱“南意大利學(xué)派” ，是一個集政 治、學(xué)術(shù)、宗教三位于一體的組織，由古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立。 是唯心主義流派。數(shù)學(xué)的知識是由于純粹的思維而獲得，并不需要觀察、直覺及日常經(jīng)驗。第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派其思想在當(dāng)時被認(rèn)為是絕對權(quán)威的真理，該學(xué)派倡導(dǎo)的是一種稱為

3、“唯數(shù)論”的哲學(xué)觀點，他們認(rèn)為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧。他們認(rèn)為“萬物皆數(shù)”。數(shù)只有兩種，就是正整數(shù)數(shù)只有兩種，就是正整數(shù)和可通約的數(shù)（即分?jǐn)?shù)，和可通約的數(shù)（即分?jǐn)?shù)，兩個整數(shù)的比），除此之兩個整數(shù)的比），除此之外不再有別的數(shù)，即是說外不再有別的數(shù)，即是說世界上只有整數(shù)或分?jǐn)?shù)。世界上只有整數(shù)或分?jǐn)?shù)。第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)者希帕索斯希帕索斯（希帕索斯（HippasusHippasus）是古希臘數(shù)學(xué)家）是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（畢達(dá)哥拉斯（PythagorasPythagoras）學(xué)派的弟子。）學(xué)派的弟子。發(fā)現(xiàn)了與畢達(dá)哥拉斯學(xué)說（發(fā)現(xiàn)了與畢達(dá)哥拉斯學(xué)說（“萬物皆數(shù)萬物

4、皆數(shù)”（指有理數(shù)）相悖的無理數(shù)。（指有理數(shù)）相悖的無理數(shù)。第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)者希帕索斯這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，認(rèn)為這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，認(rèn)為這將動搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，這將動搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，于是極力封鎖該真理的流傳，堅持真于是極力封鎖該真理的流傳，堅持真理的希帕索斯被迫流亡他鄉(xiāng)。理的希帕索斯被迫流亡他鄉(xiāng)。第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)者希帕索斯不幸的是，在一條海船上他還是遇到不幸的是，在一條海船上他還是遇到了畢氏門徒，經(jīng)過一番爭論，理屈詞了畢氏門徒，經(jīng)過一番爭論，理屈詞窮、氣急敗壞、保守頑固的的學(xué)閥們窮、氣急敗壞、保守頑固的的學(xué)閥們殘忍地將希帕索斯扔進(jìn)了大海

5、。殘忍地將希帕索斯扔進(jìn)了大海。 第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)者希帕索斯希帕索斯找到一個數(shù)不能用兩個希帕索斯找到一個數(shù)不能用兩個整數(shù)之比來表示，這觸犯了這個整數(shù)之比來表示，這觸犯了這個學(xué)派的信條，于是規(guī)定了一條紀(jì)學(xué)派的信條，于是規(guī)定了一條紀(jì)律：誰都不準(zhǔn)泄露存在根律：誰都不準(zhǔn)泄露存在根2（即無（即無理數(shù)理數(shù) ）的秘密。）的秘密。另一說法：另一說法：第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)者希帕索斯天真的希帕索斯無意天真的希帕索斯無意中向別人談到了他的中向別人談到了他的發(fā)現(xiàn)，結(jié)果被殺害。發(fā)現(xiàn)，結(jié)果被殺害。 （希帕索斯）希帕索斯希帕索斯用自己的生命捍衛(wèi)了用自己的生命捍衛(wèi)了科學(xué)，他的堅持帶給今天數(shù)學(xué)的新科學(xué)，他

6、的堅持帶給今天數(shù)學(xué)的新紀(jì)元。他只身一人，猶如大海中那紀(jì)元。他只身一人，猶如大海中那一滴水，就是這滴水，改變了數(shù)學(xué)一滴水，就是這滴水，改變了數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史！發(fā)展的歷史！第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)NO.3 如何發(fā)現(xiàn)的？211222d那么那么d 是多少呢？是多少呢？假設(shè)正方形邊長為假設(shè)正方形邊長為1，并設(shè)其對角線，并設(shè)其對角線長為長為d，依勾股定理應(yīng)有：，依勾股定理應(yīng)有：即即22d那它必是兩整數(shù)之比。那它必是兩整數(shù)之比。顯然顯然d 不是整數(shù)，不是整數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為為“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”，即整數(shù)和分?jǐn)?shù)即整數(shù)和分?jǐn)?shù)第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)NO.3 如何發(fā)現(xiàn)的？希帕索斯花了很多時間

7、來尋找這希帕索斯花了很多時間來尋找這反而找到了兩數(shù)反而找到了兩數(shù)不可通約性不可通約性的證明，的證明，兩個整數(shù)之比，結(jié)果沒找著，兩個整數(shù)之比，結(jié)果沒找著，并用反證法證明了該結(jié)論。并用反證法證明了該結(jié)論。第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)NO.3 如何發(fā)現(xiàn)的？采用反證法證明：采用反證法證明：設(shè)設(shè)ABC,兩直角邊為兩直角邊為a=b, 則則由勾股定理有由勾股定理有22222abac設(shè)已將設(shè)已將a和和c中的公約數(shù)約去，中的公約數(shù)約去， 即即a、c已經(jīng)互素，已經(jīng)互素，于是于是c為偶數(shù)，為偶數(shù)，a為奇數(shù)，為奇數(shù)， 不妨令不妨令 mc 2第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)NO.3 如何發(fā)現(xiàn)的？即即222ma于是于是a為偶數(shù)為

8、偶數(shù) ， 這與前面已證這與前面已證a為奇數(shù)為奇數(shù)矛盾！矛盾！,2)2(22am則則第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)NO.3 如何發(fā)現(xiàn)的？邊長相等的正方形其對角線長并邊長相等的正方形其對角線長并不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示。不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示。結(jié)論：第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)有理數(shù)和無理數(shù)有理數(shù)有理數(shù)簡單的幾何解釋：在一條水平直線上，標(biāo)簡單的幾何解釋：在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數(shù)端點分別表示數(shù)0和和1，則可用這條直線上的間隔，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在為單位長的點的集合來表

9、示整數(shù)，正整數(shù)在0的右的右邊，負(fù)整數(shù)在邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。以的左邊。以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一等分的點表示。于是，每一個有理數(shù)都對應(yīng)著直線上的一個點。個有理數(shù)都對應(yīng)著直線上的一個點。第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)有理數(shù)和無理數(shù)古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這樣能把直線上所有的點古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，因為希帕索斯發(fā)現(xiàn)用完。但是，因為希帕索斯發(fā)現(xiàn)2的存在的存在即直線上存在不對應(yīng)任何有理數(shù)的點，即直線上存在不對應(yīng)任何有理數(shù)的點，因此因此 人們把不是有理數(shù)的數(shù)稱為人們把不是有理數(shù)的數(shù)稱為無理數(shù)無理數(shù)第一次數(shù)學(xué)危機無

10、理數(shù)的發(fā)現(xiàn)NO.4 解決方法：此次危機通過在幾何學(xué)中引進(jìn)此次危機通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約不可通約量量概念而得到解決。概念而得到解決。兩個幾何線段，如兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是就稱這兩個線段是可通約可通約的，否則就稱的，否則就稱為為不可通約不可通約的。的。第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)不可通約量不可通約量的研究開始于公元前4世紀(jì)的歐多克斯，其成果被歐幾里得所吸收，部分被收入他的幾何原本中 正方形的一邊與對角線，不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)NO.5 產(chǎn)生的意義及產(chǎn)物第一次數(shù)學(xué)危機表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。第一次數(shù)學(xué)危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)同時也反映出，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。