八年級同步第2講：最簡二次根式與同類二次根式-教師版

1、Cxj最簡二次根式與同類二次根式1 / 17知識精講內(nèi)容分析最簡二次根式和同類二次根式是八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第一節(jié)內(nèi)容，是進(jìn)一步研究二次根式運(yùn)算的的知識基礎(chǔ).重點(diǎn)是最簡二次根式、同類二次根式的判 斷，難點(diǎn)是同類二次根式的合并及最簡二次根式的化簡.知識結(jié)構(gòu)最簡二次根式最簡二次根式與同類二次根式同類二次根式模塊一：最簡二次根式1、最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為 1; （2）被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式Is）例題解析【例1】判斷下列二次根式是不是最簡二次根式：（1）742a；（2）24x3；（3）ar'b；（4）tf'

2、;V.【難度】【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是.【解析】（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1; （2）被開方數(shù)不含分母.同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，所以（1） （3） （4）是最簡二次根式.【總結(jié)】本題考查了最簡二次根式的概念.八年級暑假班【例2】判斷下列二次根式是不是最簡二次根式:(1)(2)(3) . 1.5(a b).7 / 17(1)不是；(2)不是；(3)不是.(1)被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1; (2)被開方數(shù)不含分母.同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式, 所以這三個二次根式均不是最簡二次根式.【總結(jié)】本題考查了最簡二次根式的概念.

3、【例3】判斷下列二次根式是不是最簡二次根式：(1) - 2a 1)(a1);(2)(X y2)(x y)(x y 0)；(3)J9a2 6a 1 .【難度】【答案】(1)不是；(2)不是；(3)不是.【解析】(1)被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1; (2)被開方數(shù)不含分母.同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，因?yàn)橐阎娜齻€二次根式中，每個被開方數(shù)里都含有指數(shù)為2的因式，所以這三個二次根式均不是最簡二次根式.【總結(jié)】本題考查了最簡二次根式的概念.【例4】將下列二次根式化成最簡二次根式：(1) 位； J4x3y2(y 0); (3) J27a3b2c5 (a 0, b 0, c 0).【

4、難度】【答案】(1) 2點(diǎn)；(2) 2xy6;(3) 3abcW3ac .【解析】(1) 712 2點(diǎn)；(2) "x3y2 2xyVX;(3) J27a3b2c5 3abc273ac .【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.【例5】將下列二次根式化成最簡二次根式：(1)14xy2 8y2 (V 0);(2) J(a2 b2)(a b)(a b 0)；(3) 辰2x2x(x 1).【難度】【答案】(1) 2y4xl. -(2) (a b)qTT;(3) (x 1)Vx .解析(1) J4xy2 8y2 J4y2(x 2) 2y Jx 2 ; 1y(a2b2)(ab) 7(ab

5、)2(ab) (a b)Ja b ;(3) 尿2x2x >/x(x1)2 (x 1X/x .【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.【例6】將下列二次根式化成最簡二次根式:(4)(a 0, b 0, c 0). J1.5a3 ；0)【難度】2,6；3(3)b 3a；3a(4)b2 3abc9a2c【答案】（1）(2) J1.5a3(3)b2, b2b 3a3 a v3a3a(4)b5 _ 、b5 _ b2 b _ b2 3abc 27a3c27a3c 3a 3ac9a2c【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.【例7】將下列二次根式化成最簡二次根式:(3)(1)a b)；

6、(2)m n / (m nm n0)；(a 2)5 (a(a 2)3(a(3)(a 2)2 , a 4(a 2)2【答案】（1） 7a b ； b a【解析】（1）m n _ . m n _ . m1 【例8】如果aR是最簡二次根式，求* a的值.nv27I，m n m n m ne (a 2)5 (a 2)5 (a 2)2 a 2 (a 2)2 . a-4 3= (a 2) (a 2)3(a 2). a 2 (a 2)【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的各因式的符號.【難度】【總結(jié)】本題考查了二次根式的化簡以及最簡二次根式的概念.八年級暑假班# / 170【例9】將

7、下列式子化成最簡二次根式:的符1(1) aab?(0 a b);(2)(1)(2)xy(1) a本題綜合性較強(qiáng)，主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡,y xF22b a2.2 a b22y xa. b2a abF 2.y x x y.b2_a2b ；【例10】將下列式子化成最簡二次根式:(1) 寶;(2)a2K(y x 0).注意被開方數(shù)的各因式(3)(1a)1 a 1(1)(2) aG a ;(3)J1 a .(1)(2)2 a2 12 .7a2 a(3)(1 a)(1a) 1.1 a(1 a) 1 a1 a本題綜合性較強(qiáng)，主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的各因式的符班假暑級年

8、八模塊二：同類二次根式I知識精講1、同類二次根式的概念：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類 二次根式.例題解析【例11】判斷下列各組的二次根式是否為同類二次根式?(2)【難度】【答案】（1）是；（2）不是.【解析】（1）叵叵.強(qiáng)逅坦Y27b9b ' Y bJi00b5b【總結(jié)】本題主要考查同類二次根式的概念，先化簡再判斷.【例12】判斷下列各組的二次根式是否為同類二次根式?0),2國(y 0).（1）不是；（2）不是.（1）724=276； 屈=4百；(2) >/XV=x2Vy； 3Tx3y3xTXy； 2 Jxy3 2y7xy .【總結(jié)

9、】本題主要考查同類二次根式的概念，先化簡再判斷.八年級暑假班【例13】合并下列各式中的同類二次根式:(1) 2夜1我142 石; 23(3) 3/8 *50 5/72 ; 3Txy ajxy b/xy ;(4) (3b Jb a7b) W4ababjb).【難度】【答案】(1)子 與；(2)(3 a bR'Xy； (3)34及；【解析】(1) 2夜16 1夜石逋婦 2332(4) (3b a ab)而 2b/ab .(2) 3xy a'xy bjXy (3 a b)技;(3) 3718 回 5猴 9也 5& 3072 34中;(4) (3b .b a ,b) ( . 4

10、ab3 ab b) (3b aab)Vb 2b/ab .【總結(jié)】本題主要考查二次根式的加減運(yùn)算，注意先化簡后合并.【例14】判斷下列各組的二次根式是否為同類二次根式?15 / 17L23a2a2b 4b,和島【答案】(1)不是;(2)不是.ab bab b【例15】若最簡二次根式a% 2b與Ja b 3是同類二次根式，求a、b的值.【解析】(1) aja3 a2 a2Ja 1 ； bj313ab3 b3 /3a 2 b J3a2b. 1 a,3a2 2 ab寸 9a212ab4b2 3a2b V 3a 2b 3a 2b【總結(jié)】本題主要考查同類二次根式的概念，先化簡再判斷.【難度】【答案】a 5

11、, b 3.【解析】由題意得:a b 2a 2b a b【總結(jié)】本題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的概念，然后根據(jù)題意列出方程組并求 解.【例16 若最簡二次根式a幅和Ja 8b是同類二次根式，求 ab的值?【難度】9【解析】由題意得:ba4-3 2-3a b8 1 93b【例17】(1)合并下列各式中的同類二次根式:2鳥需槨(2)(4 054,0.125) 2 麻;(3)2 j36xy4 12 x2 4y241x3 3xx【難度】【答案】(1)述；板史;(3)竺立.332【解析】(1)2叵邛口矩述嶇述,27 3 339933(2) (4底4而西2 口痘=2四4出裂3 2/ .五包；343

12、3,414241 6y2 , x 24x2 , x 3x . x(3) 2 .36xy 12x . 3 3x.= 2- 4y. x x 4y x x24.x 3x 22【總結(jié)】本題主要考查二次根式的加減運(yùn)算，注意先化簡后合并.【例18】計(jì)算:【難度】【答案】(1)x11；(2) x W7.4126 3 6 5 611n解析】(1) x - ；2424- c 77c 5755(2) 2x , 2x , x 32612【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)求解不等式和方程.【例19】 合并下列各式中的同類二次根式:(1)8750m 島;(2)2(x 1)2 3, (xx 1 gT (3x(3),7

13、5x(x y)x y 2x2)(xxy).913224x(x y【答案】（1）(5p 5q 2),2p2q(2) 6vx;(3)(53 2v6x x y)J?一xy .【解析】（i）,50(p q)5 2P 2q3x 12、2P 2qp q(5p 5q 2)、2P 2q .2(2)原式二 2(x 1)33(x 1), x 1(x1)224x 1 4Jx 16jx 1 ;(3)原式=5 3 x2 xy(2.6,2x xyy± xy) (x2xxy)=53 , x2 xy26xx2 xy(x y) , x2 xy=(5 3 2 6xx y)J?xy .【總結(jié)】本題主要考查二次根式的加減運(yùn)

14、算，注意先化簡后合并.【例20 若dSx8與"是同類二次根式，求 x的最小正整數(shù)？【難度】【答案】x 4.【解析】由題意得：5x 8 n2 7 （n為正整數(shù)），解得：當(dāng)n 2時，x 4.【總結(jié)】本題主要考查同類二次根式的概念，此題中要注意前面一個二次根式并不是最簡的,因此要從多個角度考慮.【習(xí)題1】判斷下列二次根式是不是最簡二次根式: V727；(3) yiia3；(4) J5(a2 2a 1)(a 1).【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是； （4）不是；【解析】（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1; （2）被開方數(shù)不含分母.同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式,

15、【總結(jié)】本題考查了最簡二次根式的概念.【習(xí)題2將下列二次根式化成最簡二次根式：（1） 屈；（2） 772-（3） 斥； （4）相.【難度】【答案】（1） 3挺；（2） 6、5；（3） 3屈；（4） 3/10.【解析】（1） 718=372; （2） 772=6" （3） 斥=36；（4） 790=3710 .【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.【習(xí)題3】將下列二次根式化成最簡二次根式：(1) A/8xF(x 0)；(2) “5a2b ；(3) J9 a3b2(b 0)；(4) J 32a5 .【難度】3a 5b(a 0)【答案】(1)2x72; (2)0(a 0);(3)

16、 2abVa ;(4) 4a2/-2a .3a5b(a 0)3a , 5b(a 0)【解析】(1) 882xV2 ；(2) “5a2b0(a 0);3a 5b(a 0)(3) J4a3b2 2abVa ;(4) J 32a5 402yl 2a .注意被開方數(shù)的各因式的符號的討論.【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，【習(xí)題4】下列二次根式，哪些是同類二次根式:位，V24,J/, Vab , 2Va-3b(a 0) ,Tab3 (a 0).5 是同類二次根式；2jTb(a 0)與 阿'(a 0)是同類二次根式.2。a3b 2o/ab ；【解析】死2褥；應(yīng)42喬;1我,Va7ba

17、2Vb;279Jabbfab .【總結(jié)】本題主要考查同類二次根式的概念，注意先化簡再判斷.【習(xí)題5】將下列二次根式化成最簡二次根式:(1)532，；(3)27c砧(a 0，b 0)；(4)845a2b(1)10；8(3)3，4a b(4)2 10b(a 0)15ab2 1Ob(a 0) 15ab(1)54.210；(2)(3)3c2 32a2 - 2ab27 c4 8a5b3c2 6ab34a b(4)8-2 245a2b-3a 5b2 10b(a 0) 15ab2 10b/ c、-77-(a 0)15ab【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的各因式的符號的討論.【習(xí)題

18、6】判斷下列各組根式是否是同類根式:(1)(2)【難度】【答案】(1)【解析】(1)175,當(dāng)m n 0時,是；(2)是.71755 幣;7.73(n m). mnmnCT;楫手；尸【總結(jié)】本題主要考查同類二次根式的概念，注意先化簡再判斷.【習(xí)題7】已知最簡二次根式4j2m和*布"”是同類根式，求m的值.【難度】【答案】5.【解析】由題意得：2m 3 3m 2,解得：m 5.【總結(jié)】本題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的概念，然后根據(jù)題意列方程并求解.(1) (4J5 4問 2 串庇；(3)8Vx (1 /8x C2x3);22而2而歷；3(4) 40 褥 J1000 5M.【難度

19、】【答案】（1） 4君4J§6哈(3) 8Vx -V2x xj2x ; (4) 40j5 5/10 .2【解析】（1） （4祁4向2 73 &24褥4向(2) 2 而 2V3 厲 632/3 3.3 6 733【習(xí)題8】合并下列各式中的同類二次根式并計(jì)算.(3)8vx (1 J18x V2x3) 8G 3l2x xv'2x ; 22(4) 40 51000 5.而40新10質(zhì) 5J10 40新 5月.【總結(jié)】本題主要考查二次根式的加減運(yùn)算，注意先化簡后合并.【習(xí)題9】將下列二次根式化成最簡二次根式: 病""y2)(y x)(x y 0)；,4334

20、-/ 仆 x y x y x y -J-27(0 x y).y . x 2xy y(2)m 2nm 2n(m 2n 0);【難度】【答案】(1) (x y)jx-y； 4n-;(3)xjx2y xy2 .m 2n【解析】(1) d("xy2)(yx) 7(xy)(y_x)2 (x y)&_y ；八年級暑假班19 / 17(2)m 2n1.m 2n,m2 4n2m 2n(3)x yx2y2(x2y xy2)y (x y)2x y xy x y xyy y x2 xy【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的各因式的符號.【習(xí)題10】 把（a b） / -L-

21、化成最簡二次根式.【難度】11(a b). a-b(a b)【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.【習(xí)題11】 合并下列各式中的同類二次根式:(1) 1311 收 |如；I廊2卷2店x; xx x【難度】aA屈電 , a2m nm n(4)JJ m n . m n端);2 ( m n ,m n0).【答案】（1） 0；（2）包23b；(2 n(3) V2x ；(4)1) m2n2【解析】（1）屈+3（1；（5；48 30；332.3 33而;22m n22m n(mn) 22m n-2n(m n) . m2 n222m n22m n2m n22(2 n 1).

22、m n22m n【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查二次根式的加減運(yùn)算，注意先化簡后合并.班假暑級年八課后作業(yè)【作業(yè)1】下列式子中是最簡二次根式的是：（1） 歷；（2） J-； J（1 a）（1 a2）.【難度】【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；【解析】（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1; （2）被開方數(shù)不含分母.同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，【總結(jié)】本題考查了最簡二次根式的概念.【作業(yè)2】下列各組二次根式，是否是同類二次根式(1) .32,尻，4x3 ,【難度】【答案】（1）是；（2）不是；（3）是.78x2 (x 0)；【解析】（1）辰4屈；屈5衣；2j'

23、.183 AX 2xVX ； 2V2X 2岳；'/8xT 2x72 .辰的K=ax反耳喑【總結(jié)】本題主要考查同類二次根式的概念，注意先化簡再判斷.【作業(yè)3】合并下列二次根式中的同類二次根式：(1)670.12 748；(2)2v163V175 -V28；2(3)返1點(diǎn) 2/2 1 /6,1；(4)3次2<185辰.23 6 6【難度】【答案】(1) 51;(2)10"(3)573巫;(4)2072.563【解析】(1) 6點(diǎn)標(biāo)V48 6點(diǎn)理4點(diǎn)處也； 551 (2) 2廂 1755 -728 6。7 5。7 J7 10.萬； 2(3)施"2、7照6耳用7押孚依

24、海華;23 6. 623363(4) 3 8 2,18 5 32 6,2 6 2 20,2 20 2 .【總結(jié)】本題主要考查二次根式的加減運(yùn)算，注意先化簡后合并.【作業(yè)4若a 0 , b 0 ,則/a3b化簡得()(A)aj ab ；(B)a/ab；(C)ajab ；(D)a J ab.【難度】【答案】A.解析a a3b 4a a ab a J ab .【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.【作業(yè)5】(1)45x3y4 ;(3) 74a28ar(a 0)；【難度】【答案】(1) 3xy2 J5X ；(2) 4as/6ab ；【解析】()”5x3y4 3xy2 75X;(3) “a2 8a32aj1 2a ；將下列二次根式化成最簡二次根式.(2)96a3b a 0, b 0 ；(4) &x2y2 (x 0).(3)2aJ1 2a ；(4) xjx2 y2 .(2) J96a3b 4a。6ab ；(4)x4x2y2xv'x2y2 .【總結(jié)】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，注意被開方數(shù)的的符號.【作業(yè)6】將下列二次根式化成最簡二次根式.a 0, b 0 ；(2)(4)0,b 0);0, y 0).【難度】八年級暑假班【解析】(1)餐(2