高中數(shù)學函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)講義新人教A版必修一第一冊

1、第2課時 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)基礎(chǔ)自測1 .下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在 （0, +8）上單調(diào)遞增的是（）A. y = 1B. y=|x|xC. y = 2x D . y = x3一一 1 , 解析：y =-在（0, +8）上單調(diào)遞減，所以排除A； y=|x|是偶函數(shù)，所以排除B； y =x2x為非奇非偶函數(shù)，所以排除 C.選D.答案：D2.下列判斷正確的是（）A. 1.5 1.5 >1.5 2 B , 0.5 2< 0.5 3C. e2< 2e D0.9 0.2 >0.9 0.5解析：因為y= 0.9所以 0.9 0.2 > 0.9 0.5.、是減函數(shù)，且0.5 &

2、gt;0.2,答案：D3.已知y1 =1x丫2=3，y3= 10 x, y4= 10x,則在同一平面直角坐標系內(nèi)，它們的圖13象為（）解析：方法y2= 3x與y4= 10x單調(diào)遞增；y1 =與 y3=10 x3三單調(diào)遞減，在第10一象限內(nèi)作直線x=1,該直線與四條曲線交點的縱坐標對應(yīng)各底數(shù)，易知選 A.方法y2= 3x與y4= 10x單調(diào)遞增，且y4= 10x的圖象上升得快,y1 =弓）與y2=3x的圖象關(guān)于y軸對稱，y3=10x與y4=10'的圖象關(guān)于y軸對稱，所以選 A.答案：Ax 14.已知函數(shù)f（x） = 4+a （a>0且aw1）的圖象恒過定點 P,則點P的坐標是.解析

3、：令x1 = 0,得*= 1,此時f（1） = 5.所以函數(shù)f （x） = 4+a”'a>0且aw 1）的圖象恒過定點P（1,5）答案：(1,5)課堂I探院* I索I養(yǎng)回升I fflwaws題型一利用指數(shù)的單調(diào)性比較大小教材P117例3例1比較下列各題中兩個值的大?。?1)1.7 2.5, 1.7 3;(2)0.8 / 0.8 4；(3)1.7 0.3, 0.9 3'.【解析】(1)1.7 2.5和1.7 3可看作函數(shù)y=1.7x當x分別取2.5和3時所對應(yīng)的兩個函數(shù)值.因為底數(shù)1.7 >1,所以指數(shù)函數(shù)y=1.7x是增函數(shù).因為 2.5 <3,所以 1.7

4、2.5 V 1.7 3.(2)同(1)理，因為0V0.8V1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.8x是減函數(shù).因為一 <2><3,所以 0.8 d<0.8 y.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1. 70.3>1.7°=1,0. 93.1<0.9°=1,所以 1.7 0.3 > 0.9 3.1.狀元隨筆對于(1)(2),要比較的兩個值可以看作一個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值，因此可以直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；對于(3) , 1.7 0.3和0.9 3.1不能看作某一個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值.可以利用函數(shù)y=1.7x和y=0.9x的單調(diào)性，以及“ x= 0時，

5、y=1”這條性質(zhì)把它們聯(lián)系起來.教材反思1 .由例題可以看出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性， 通過自變量的大小關(guān)系可以判斷相應(yīng)函數(shù) 值的大小關(guān)系.2 .比較哥值大小的三種類型及處理方法跟蹤訓練1比較下列各題中兩個值的大小:(7尸與胃 獷與15； (3)0.2 0.3 與 0.30.2.，5一，5 x一一、一 ，解析：(1)因為0<7< 1,所以函數(shù)y=；j在其定義域R上單調(diào)遞減，又一1.8 >2.5,所以力8<斤.(2)在同一平面直角坐標系中畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，如圖所示.當=-0.5時，由圖象觀察可得(3)因為0V0.2V0.3 <1,所以指數(shù)函數(shù) y = 0.2x與y=

6、0.3x在定義域R上均是減函數(shù),且在區(qū)間(0 , +8)上函數(shù)y=0.2x的圖象在函數(shù)y=0.3x的圖象的下方，所以0.2 0.2 V 0.3 0.2.又根據(jù)指數(shù)函數(shù)丫=0.2'的性質(zhì)可得0.2°.3<0.20.2,所以0.2°.3<0.30.2.底數(shù)相同，指數(shù)不同；底數(shù)不同，指數(shù)相同；底數(shù)不同，指數(shù)不同.題型二指數(shù)函數(shù)的圖象問題例2 (1)如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖象:y=ax y=bx丫:/ y=dx則a, b, c, d與1的大小關(guān)系是()A. abv1vcv d B . bv a< 1 < d< cC. 1 <a<

7、b< c< d D . a< b v 1 v dv c(2)當a>0且awl時，函數(shù)f (x) = a"32必過定點 .【解析】(1)可先分為兩類，的底數(shù)一定大于1,的底數(shù)一定小于 1,然后再由比較c, d的大小，由比較a, b的大小.當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于 1時，圖象上升，且當?shù)讛?shù)越大，圖象向上越靠近y軸；當?shù)讛?shù)大于0小于1時，圖象下降，且當?shù)讛?shù)越小，圖象向下越靠近x軸，故選B.(2)當a>0且awl時，總有f(3) =a3 3-2=- 1,所以函數(shù)f (x)=成一32必過定點(3 , T) .【答案】 (1)B(2)(3 , 1)1 .先由a>

8、1,0 v av 1兩個角度來判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)圖象.2 .由y=ax過定點(0,1)來求f(x)過定點.方法歸納指數(shù)函數(shù)的圖象隨底數(shù)變化的規(guī)律可歸納為：(1)無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù) a如何變化，指數(shù)函數(shù)y= ax(a>0, aw 1)的圖象與直線 x= 1相交于點(1, a),由圖象可知：在 y軸右側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大.(2)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象間的關(guān)系可概括記憶為：在第一象限內(nèi)，底數(shù)自下而上依次 增大.跟蹤訓練2 (1)已知1>n>m>0,則指數(shù)函數(shù)y = mx,丫:個的圖象為()(2)若a>1, 1vbv0,則函數(shù)y=ax+b的圖象一定在(

9、)A.第一、二、三象限 B .第一、三、四象限C.第二、三、四象限 D .第一、二、四象限解析：(1)由于0Vm<n< 1,所以y=帚與y= nx都是減函數(shù)，故排除 A B,作直線x=1與兩個曲線相交，交點在下面的是函數(shù)y=m的圖象，故選C.(2) a>1,且一1vbv0,故其圖象如右圖所示.答案： (1)C(2)A由底數(shù)的范圍判斷函數(shù)圖象.題型三解簡單的指數(shù)不等式例3 (1)不等式3x 2>1的解為(2)若ax1 > '-) 3x(a>0,且aw 1),求x的取值范圍. a【解析】(1)3 "2>1? 3"2>3&#

10、176;? x2>0? x>2,所以解為(2 , +°o).(2)因為ax+1>i-13x,所以當a>1時，y=ax為增函數(shù)，可得x+ 1>3x 5,所以xv a3.當0vav1時，y=ax為減函數(shù)，可得 x+1v3x5,所以x>3.綜上，當a>1時，x的取值范圍為(一8, 3),當0vav1時，x的取值范圍為(3 , +8).【答案】(1)(2 , +8)(2)見解析狀元隨筆 首先確定指數(shù)不等式對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性確定 x的取值范圍.方法歸納解指數(shù)不等式應(yīng)注意的問題(1)形如ax>ab的不等式，借助于函數(shù)y=ax的單調(diào)性求

11、解，如果a的取值不確定，需 分a> 1與0v av 1兩種情況討論；(2)形如ax >b的不等式，注意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)哥的形式，再借助于函數(shù)yx=a的單調(diào)性求解.跟蹤訓練3(1)解不等式3x2-2W3;(2)已知(a2+2a+3)x>(a2+2a+3)1：求 x 的取值范圍.儲 X2 -2X222-x2解析：(1) 3)=(3 )=32 x21，原不等式等價于 3<3 .y=3x是 R上的增函數(shù),2- x2<1.1) x2>1,即 x>l 或 xw1.，原不等式的解集是x|x>l或x<- 1.2) ) a2 + 2a+3=(a+1

12、)2+2>1,.y=(a2+2a+3)x在R上是增函數(shù). /口1x>1-x,解得 x>2.x的取值范圍是ix x>2.(1)化成同底，確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(2)判斷a2+2a+3的范圍.題型四指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1例4 已知函數(shù)f (x) = a- 2*+i(xCR).(1)用定義證明：不論 a為何實數(shù)，f(x)在(00, +8)上為增函數(shù);(2)若f(x)為奇函數(shù)，求f(x)在區(qū)間1,5上的最小值.【解析】(1)證明：因為f(x)的定義域為R,任取xix2,xlx211a+ z2x2+ 1貝U f (x1) f(x2) = ax12+ 12- 2x1乂2(1 +

13、20 + 2因為x1<x2,x1X2所以22<0,x1x2又(1 +2)(1+2) >0.所以 f (x1) - f (x2) <0,即 f(x1) V f (x2).所以不論a為何實數(shù)，f (x)在(00, +8)上為增函數(shù).(2)因為f(x)在xC R上為奇函數(shù)，所以 f(0) =0,一 1 一 1即 a-2。+1 = °，斛得 a=2.-,11所以 f(x) = 22TT由(1)知，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間1,5上的最小值為f(1).1 1 1因為 f(1) =2.3=6， ,，一、，一，1所以f(x)在區(qū)間1,5上的最小值為6.(1)用定義

14、法證明函數(shù)的單調(diào)性需4步:取值；作差變形；定號；結(jié)論.(2)先由f(x)為奇函數(shù)求a ,再由單調(diào)性求最小值.方法歸納(1)求解含參數(shù)的由指數(shù)函數(shù)復合而成的奇、偶函數(shù)中的參數(shù)問題，可利用奇、偶函數(shù) 的定義，根據(jù)f ( x) = f (x)或f ( x) = f (x),結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)建立方程求參數(shù)；(2)若奇函數(shù)在原點處有定義，則可利用f(0) =0,建立方程求參數(shù).跟蹤訓練4已知定義在R上的函數(shù)f(x) = 21x2所以2<2+。，a為常數(shù)，若f(x)為偶函數(shù),(1)求a的值;(2)判斷函數(shù)f(x)在(0, +8)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明; 求函數(shù)f (x)的值域.即 2x(

15、1 -a)=x a 1x .解析：(1)由f(x)為偶函數(shù)得對任息頭數(shù) x都有2 +x=2x + a - 2成立,所以1 a=0,所以a=1.x 1一、,一(2)由(1)知 f(x) =2+2；, f(x)在(0, +oo)上單倜遞增.證明如下：任取x1,x2 (0 ,+8)且 x1< x2,貝U f (x1) -f (x2)=2x11十x12x22x21 = (2 x1x2-2x1x22x1 =(2x22)2x2-2x1=(2x1x22)1-x22) x1+ x22x1x22 2x1+x2 !=2(2x1x1+ x22因為x1<x2,且x1x1+ x22>1,所以 f (X

16、i) f (X2) V0,即 f(Xi) V f (X2),所以f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增. 由(2)知f(x)在0 , +8)上單調(diào)遞增，又由f(x)為偶函數(shù)知函數(shù)f (X)在(一8, 0上單調(diào)遞減,所以 f(X)小(0) =2.故函數(shù)f (X)的值域為2 ,+8).由偶函數(shù)求a.(2)4步法證明f(X)在(0, +8)上的單調(diào)性.(3)利用單調(diào)性求最值，得值域.慷胸腺觸海描觸曲據(jù)觸觸謝喃洲模期曲* EJ、選擇題1.設(shè) f(X) = 2 |X1 , XC R,那么"*)是()A.奇函數(shù)且在(0, +8)上是增函數(shù)B.偶函數(shù)且在(0, +8)上是增函數(shù)C.奇函數(shù)且在(0, +

17、8)上是減函數(shù)D.偶函數(shù)且在(0 , +8)上是減函數(shù)解析：因為 f ( X) = 0X1= g)X1 = f (X),所以f(X)為偶函數(shù).又當X>0時，f(X) =在(0 , +8)上是減函數(shù),故選D.答案：D2.函數(shù)y= a1X1(0< a<1)的圖像是()BDy軸對稱的圖像,解析：y=a|x|(0<a<i)是偶函數(shù)，先畫出 x>o時的圖像，再作關(guān)于 -0<a<1,故選 C.答案：C3.一2a,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1 , +8) B.I- +OO :C.(巴 1)D.12.解析：函數(shù)y=i；x在R上為減函數(shù)，所以2a+1>3

18、 2a,所以2答案：B4.設(shè) x>0,且 1vbxvax,則(A. Ovbvavl B . 0vav bv 1C. 1 <b<a D . 1vav bb>1.解析：: 1 v bx, b°v bx.又 x>0- bxvax,a>b,即 1<b< a.答案：C二、填空題35.三個數(shù)7 7434)7中，最大的是解析：因為函數(shù)y= 3在R上是減函數(shù),734所以前 >獨,4)的圖象的下方,3 ,又在y軸右側(cè)函數(shù)y= )j的圖象始終在函數(shù) y =7所以1 x2 4x+ 36 .函數(shù)y=I-；的單調(diào)增區(qū)間是2 一解析：令t=x24x+3,則其

19、對稱軸為x= 2.當xW2時，t隨x增大而減小,則y增大，即y= g)x2 4x+ 3的單調(diào)增區(qū)間為(一8, 2.答案：(一8, 27 .已知f(x)=a-x(a>0且awl),且f(2)>f( 3),則a的取值范圍是解析：f(x) = a x f(-2)>f(-3),3,即 a2>a3.a< 1,即 0<a< 1.答案：(0,1) 三、解答題8 .比較下列各組值的大小:(1)1.8 0.1 與 1.8 0.2;(2)1.9 0.3 與 0.7 3.1 ;(3) a1.3與 a2.5(a>0,且 aw1).解析：(1)由于1.8 >1,所以指數(shù)函數(shù) y=1.8x,在R上為增函數(shù).所以1.8一°.1>1.80.2(2)因為