2020年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)最值與軌跡問題專題訓(xùn)練測試卷含參考答案及試題解析

1、2020年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)最值與軌跡問題專題訓(xùn)練測試卷選擇題(共6小題，18分)1.已知點A,點B都在直線l的上方，試用尺規(guī)作圖在直線l上求作一點P,使得PA+PB2.如圖，點C為線段AB的中點,E為直線AB上方的一點，且滿足 CE=CB,連接AE,以AE為腰，A為頂角頂點作等腰C. 67.5°D. 90RtAADE ,連接CD,當(dāng)CD最大時，/ DEC的度數(shù)為3 .如圖，在銳角三角形 ABC中，BC=4, /ABC = 60° , BD平分/ ABC,交AC于點D,M, N分別是BD, BC上的動點，則 CM + MN的最小值是()A .:;B. 2C, 2. ：D.

2、44 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點0(0, 0), A (2, 0), B (0, 2)，C ( - 2, 0).將 OAB繞點。順時針旋轉(zhuǎn) a (0° V a< 360° )得到AOA' B'(其中點 A旋轉(zhuǎn)到點 A'第1頁(共28頁)A. |22-2B.2V3-2C. 2D. |2V5-2的位置），設(shè)直線AA'與直線BB'相交于點P,則線段CP長的最小值是（）A. 5B.2H3-2C. 6D, 2+25 .如圖，正方形 ABCD的邊長是4,點E是AD邊上一動點，連接 BE,過點A作AFXBE于點F,點P是AD邊上另一動點

3、，則 PC+PF的最小值為（）6 .如圖，AB是。的直徑，M、N是蛆（異于A、B）上兩點，C同上一動點，/ ACB 的角平分線交 OO于點D, / BAC的平分線交CD于點E,當(dāng)點C從點M運動到點N時， 則C、E兩點的運動路徑長的比是（）B.二.填空題（共8小題，32分）7 .如圖，在 RtAABC中，/ C=90° , / B= 30° ,以點A為圓心，任意長為半徑畫弧， 分別交AB, AC于點M, N,再分別以點 M, N為圓心，大于-iMN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D,則下列說法：AD是/BAC的平分線； /ADC = 60° ;

4、點D在 AB的中垂線上； SaADC: SaABC= 1 : 3.其中正確的個數(shù) 是.SaPCD,8 .如圖，矩形ABCD中，AB = 4, BC=6,點P是矩形 ABCD內(nèi)一動點，且S“AB、則PC+PD的最小值為 9 .平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若P (m, m2+4m+3), Q (2n, 4n-8)是兩個動點(m, n為實數(shù))，則PQ長度的最小值為10 .如圖，AB為。的直徑，AB=4, C為半圓AB的中點，P為AC上一動點，延長 BP至點 Q,使 BP?BQ=AB2.若點 P由A運動到C,則點Q運動的路徑長為11.如圖，已知半徑為4cm的扇形OAB,其圓心角/ AOB = 45

5、76; ,將它沿射線 OA方向作無滑動滾動，當(dāng)?shù)谝淮螡L動到扇形O' A' B'的位置時，點 。運動到點O'所經(jīng)過的路徑長為 cm.12. 如圖，在圓心角為 90°的扇形OAB中，OB = 2, P為友&上任意一點，過點 P作PEXOB于點E,設(shè)M為OPE的內(nèi)心，當(dāng)點P從點A運動到點B時，則內(nèi)心M所經(jīng)過的路13. 如圖，在矩形 ABCD中，AB = 4, / DCA = 30°，點F是對角線 AC上的一個動點，連第3頁(共28頁)接DF,以DF為斜邊作/ DFE=30°的直角三角形 DEF ,使點E和點A位于DF兩側(cè),點F從點

6、A到點C的運動過程中，點 E的運動路徑長是 14. 如圖，在 RtAABC中，/ ACB = 90° , AC=10, BC=5,將直角三角板的直角頂點與AC邊的中點P重合，直角三角板繞著點 P旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交 AB邊于M, N,則MN的最小值是.15. （12分）如圖，4ABC為等邊三角形，點P是線段AC上一動點（點P不與A, C重合）， 連接BP,過點A作直線BP的垂線段，垂足為點 D,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60 ° 得到線段AE,連接DE, CE.（1）求證：BD = CE;（2）延長ED交BC于點F,求證：F為BC的中點；（3）在（2）的條件下，若 ABC

7、的邊長為1,直接寫出EF的最大值.16. (12分)如圖，在平面直角些標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx-才豆的圖象經(jīng)過點 A ( - 1,0), C (2, 0),與y軸交于點B,其對稱軸與 x軸交于點D.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點的坐標(biāo)；(2)若P為y軸上的一個動點，連接 PD,求二PB+PD的最小值；2(3) M (x, t)為拋物線對稱軸上一個動點，若平面內(nèi)存在點N,使得以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有 個.備用團(tuán)第#頁(共28頁)17. （12分）如圖，已知 AB是圓。的直徑，F(xiàn)是圓。上一點，/ BAF的平分線交。于點E,交。的切線BC于點C,過點E作EDL

8、AF,交AF的延長線于點 D.（1）求證：DE是。的切線;(2)若 DE = 3, CE=2,求;二的值;施若點G為AE上一點，求 OGEG最小值.DB第9頁（共28頁）18. （14分）定義：長寬比為 Vn： 1 （n為正整數(shù)）的矩形稱為 右矩形.下面，我們通過折 疊的方式折出一個 比矩形，如圖a所示.操彳1:將正方形ABEF沿過點A的直線折疊，使折疊后的點B落在對角線 AE上的點G 處，折痕為AH.操彳2:將FE沿過點G的直線折疊，使點F、點E分別落在邊AF、BE上，折痕為CD.則 四邊形ABCD為的矩形.（1）證明：四邊形 ABCD為矩形；（2）點M是邊AB上一動點.如圖b,。是對角線

9、AC的中點，若點 N在邊BC上，OMXON,連接 MN .求tan/OMN的值;連接CM,作BR± CM,垂足為R.若AB=V2,求DR的最小值.圖aSb（備用圖）九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)最值與軌跡問題專題訓(xùn)練測試卷參考答案選擇題（共6小題）1 .已知點A,點B都在直線l的上方，試用尺規(guī)作圖在直線l上求作一點P,使得PA+PB的值最小，則下列作法正確的是（）解：作B關(guān)于直線l的對稱點，連接這個對稱點和A交直線l于P,則PA+PB的值最小,D的作法正確,2 .如圖，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一點，且滿足 CE=CB,連接AE,以AE為腰，A為頂角頂點作等腰 RtAADE ,連接

10、CD,當(dāng)CD最大時，/ DEC的度數(shù)為A. 60°B. 75°C. 67.5°D. 90解：如圖1中，將線段CA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AH,連接CH, DC. . / DAE = Z HAC = 90 ° , ./ DAH = Z EAC,. DA=EA, HA = CA, . DAHA EAC (SAS),DH =CE=定值，. CDWDH + CH, CH 是定值， 當(dāng)D, C, H共線時，DC定值最大，如圖 2中，此時/ AHD =/ACE= 135° ,，/ECB=45° , / DCE = /ACE-/ A

11、CH = 90° , . / ECB=Z CAE + Z CEA,.CA= CE, ./ CAE=Z CEA=22.5° , ./ ADH = Z AEEC = 22.5° , ./ CDE=45° 22.5° =22.5° , ./ DEC= 90° 22.5° = 67.5° .故選：C.3 .如圖，在銳角三角形 ABC中，BC=4, /ABC = 60° , BD平分/ ABC,交AC于點D, M, N分別是BD, BC上的動點，則 CM + MN的最小值是()D. 4解：如圖，在 BA上

12、截取BE=BN,因為/ ABC的平分線交AC于點D,所以/ EBM =/ NBM ,在 BME與 BMN中,BERNBM二BH所以BME0BMN (SAS),所以ME= MN .所以 CM + MN= CM+ME >CE.因為CM + MN有最小值.當(dāng)CE是點C到直線AB的距離時，即C到直線AB的垂線段時，CE取最小值為：4 X sin60 ° =二.故選：C.4 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點 0(0, 0), A (2, 0), B (0, 2d), C ( - 2, 0).將 OAB繞點。順時針旋轉(zhuǎn) a (0° V a< 360° )得到AO

13、A' B'(其中點 A旋轉(zhuǎn)到點 A' 的位置)，設(shè)直線AA'與直線BB'相交于點P,則線段CP長的最小值是()A, 22-2b, 23-2C. 2D, 25-2解： OAB是直角三角形，點P在以AB為直徑的圓上運動,- A （2, 0）, B （0, 2V3）,，AB=4, AB的中點為（1,碼）,- C （- 2, 0）,，CP的最小值為2后-2 ;故選：B.于點F,點P是AD邊上另一動點，則 PC+PF的最?。―C匚ABA . 5B. 273-2C. 6D cr/工.解：如圖：百直為（）D. 2歷+25.如圖，正方形 ABCD的邊長是4,點E是AD邊

14、上一動點，連接 BE,過點A作AFXBE第13頁（共28頁）取點C關(guān)于直線DA的對稱點C'.以AB中點。為圓心，OA為半徑畫半圓.連接OC'交DA于點P,交半圓O于點F,連AF.連BF并延長交DA于點E.由以上作圖可知， AFLEB于F.PC+PF=PC" +ef=c'f由兩點之間線段最短可知，此時PC+PF最小.1. C'B'=4, OB' = 6-CO = V4:2+62 = 2VT3,.C'F = 2/13-2,.PC+PF 的最/、值為 2713-2,6.如圖，AB是。的直徑，M、N是AB （異于A、B）上兩點，C是上一

15、動點，/ ACB 的角平分線交 OO于點D, / BAC的平分線交CD于點E,當(dāng)點C從點M運動到點N時， 則C、E兩點的運動路徑長的比是（）A.貝 B.勺解：如圖，連接EB.設(shè)OA=r., AB是直徑,ACB=90° ,.E是 ACB的內(nèi)心, ./ AEB=135° ,作等腰 RtAADB, AD = DB, /ADB = 90° ,則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是GF,點C的運動軌跡是MN,. / MON =2/ GDF ,設(shè)/ GDF = % 則/ MON = 2 a面的長的長 二.填空題（共8小題）7.如圖，在 RtAABC中，/ 0=90

16、° , / B= 30° ,以點A為圓心，任意長為半徑畫弧， 分別交AB, AC于點M, N,再分別以點 M, N為圓心，大于一MN的長為半徑畫弧，兩2弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D,則下列說法：AD是/BAC的平分線； /ADC = 60° ;點D在AB的中垂線上； Sa adc： Sa abc= 1 ： 3.其中正確的個數(shù)是 4 .證明：連接NP, MP,在 ANP與 AMP中， NP=MP, lap=af anpa AMP (SSS),則/ CAD = Z BAD,故AD是/ BAC的平分線，故此選項正確； 證明：在 ABC 中，/ 0=90

17、6; , / B=30° , ./ CAB=60° .AD是/ BAC的平分線，/ 1 = / 2 =停/ CAB =30° ,.Z 3=90° - / 2=60° , / ADC = 60° ,故此選項正確;證明：: / 1 = Z B= 30 ,AD= BD,點D在AB的中垂線上，故此選項正確； 證明：在 RtAACD 中，Z 2=30° ,.-.cd=_Lad, 2 .BC= BD+CD = AD+AD =區(qū)AD, Sadac=AC?CD =-LaO?AD , 2224Saabc=Aac?bc=Aac?_1ad=_1a

18、c?ad, 2224- SaDAC ： Saabc= 1 ： 3,故此選項正確;8.故答案為：4.如圖，矩形ABCD中，AB = 4, BC=6,點P是矩形ABCD內(nèi)一動點,且 SaPABSaPCD,2第17頁(共28頁)則PC+PD的最小值為4解：如圖，作 PMLAD于M,作點D關(guān)于直線PM的對稱點E,連接PE, EC.設(shè)AM.AB/ CD, AB = CD=4, BC = AD = 6,SaPAB= -Sa pcd,X4Xx=x x 4X (6-x)2x= 2,AM =2, DM = EM = 4,在 RtECD 中，EC = ,Jcd2+ed2=4/5, PM垂直平分線段DE ,PD=

19、PE,PC+PD = PC+PE'EC,.PD+PC>4,店P(guān)D+PC的最小值為氣閏.29.平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若P (m, m +4m+3), Q (2n, 4n - 8)是兩個動點(m, n為實數(shù))，則PQ長度的最小值為2_.解：Q點在直線I: y=2x-8上，P在拋物線y=x2+4x+3±直線與x, y標(biāo)軸交點分別為 B (4, 0), D (0, 8),設(shè)與直線y= 2x- 8平行的直線為 y= 2x+b,當(dāng)直線為y=2x+b與拋物線y=x2+4x+3有一個交點時，即 2x+b = x2+4x+3, -x2+2x+3- b=0, = - 8+4 b = 0

20、,b = 2,此時交點坐標(biāo)為 A (- 1, 0),過A作AC,直線I,V AB=5, DB = 4/5, .sin/ABC =_=,幣5AC=故答案為2后;10.如圖，AB為。的直徑，AB=4, C為半圓AB的中點，P為AC上一動點,BP至點Q,使BP?BQ=AB2.若點P由A運動到C,則點Q運動的路徑長為4解：如圖所示：連接 AQ, AP.又. / ABP=Z QBA,ABPAQBA, ./ APB=Z QAB = 90° ,QA始終與AB垂直.當(dāng)點P在A點時，Q與A重合，當(dāng)點P在C點時，AQ = 2OC=4,此時，Q運動到最遠(yuǎn)處,點Q運動路徑長為4.故答案為：4.11 .如圖，

21、已知半徑為 4cm的扇形OAB,其圓心角/ AOB = 45° ,將它沿射線 OA方向作 無滑動滾動，當(dāng)?shù)谝淮螡L動到扇形O' A' B'的位置時，點。運動到點O'所經(jīng)過的路徑長為 5兀 cm.解：.扇形 OAB的圓心角為45° ,半徑為4cm,AB 弧長=45*" X 4 =兀（cm）,180.點。到點O'所經(jīng)過的路徑長= 毀吧L2工X2+L 5兀（cm）.180故答案為：5兀.12 .如圖，在圓心角為 90°的扇形 OAB中，OB = 2, P為杷上任意一點，過點 P作PEXOB于點E,設(shè)M為OPE的內(nèi)心，當(dāng)點P

22、從點A運動到點B時，則內(nèi)心M所經(jīng)過的路 徑長為返氏.解：如圖，以O(shè)B為斜邊在OB的左邊作等腰 RtP' OB,以P'為圓心PB為半徑作OP，, 在優(yōu)弧OB上取一點 H,連接HB, HO, BM , MP. PEXOB,點M是內(nèi)心,OMP = 135° ,. OB=OP, /MOB = /MOP, OM = OM,OMBAOMP (SAS), ./ OMB = Z OMP= 135 . / H = Z BP' O=452.H+Z OMB= 180° , .O, M, B, H四點共圓,.點M的運動軌跡是OB,內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長=故答案為返兀.2竺一:

23、亞兀,180213.如圖，在矩形 ABCD中，AB = 4, / DCA = 30°，點F是對角線 AC上的一個動點，連接DF,以DF為斜邊作/ DFE=30°的直角三角形 DEF ,使點E和點A位于DF兩側(cè),EE'的長;點F從點A到點C的運動過程中，點 E的運動路徑長是第21頁（共28頁） AB=4, / DCA = 30° ,. BC_ W3BC3當(dāng)F與A點重合時，在 RtADE'中，AD =-, D DAE'=30° , /ADE'=60° ,3. DE' = _Z1, / CDE'=30&

24、#176; , 3當(dāng)F與C重合時，/ EDC = 60° , ./ EDE'=90° , / DEE'=30° ,在 RtDEE'中，EE'=W3 .14.如圖，在 RtAABC中，/ ACB = 90° , AC=10, BC=5,將直角三角板的直角頂點與AC邊的中點P重合，直角三角板繞著點 P旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交 AB邊于M, N,則MN的最小值是 2m1'*解：取MN的中點D連接PD, . / MPN = 90° ,MN = 2PD, 當(dāng)PDXMN時，PD值最小，此時 MN的值最小，如圖所示, .

25、 /A=/A, Z ADP = Z ACB=90° ,APDA ABC,.PE AP Rn PD 5BC AB 5 &V5 l- pd = V5,MN = 2PD = 2'/5.故答案為：加.三.解答題（共4小題）連接得到15.如圖， ABC為等邊三角形，點 P是線段AC上一動點（點P不與A, C重合）BP,過點A作直線BP的垂線段，垂足為點 D,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)6（ 線段AE,連接DE, CE.（1）求證：BD = CE;（2）延長ED交BC于點F,求證：F為BC的中點；（3）在（2）的條件下，若 ABC的邊長為1,直接寫出EF的最大值.證明：（1）二.將

26、線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,.AD= AE, / DAE = 60° . ADE是等邊三角形.ABC為等邊三角形 .AB=AC, Z BAC=Z DAE=60° ./ DAB = Z CAE,且 AB = AC, AD = AEADBA AEC (SAS)BD= CE（2）如圖，過點 C作CG/ BP,交EF的延長線于點 G,. / ADB = 90° , / ADE = 60 °BDG= 30° CG / BPG=Z BDG = 30° , ADBA AEC .BD=CE, / ADB =/AEC=90°/

27、 GEC= / AEC - / AED = 30 ° ./ G=Z GEC = 30°.GC=CE,.CG=BD,且/ BDG = Z G, / BFD = / GFCBFDA CFG (AAS)BF= FC 點F是BC中點(3)如圖，連接AF,.ABC是等邊三角形， BF= FC AFXBC ./ AFC =90 ° ./ AFC=Z AEC =90°，點A,點F,點C,點E四點在以AC為直徑的圓上， EF最大為直徑，即最大值為116.如圖，在平面直角些標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx-心的圖象經(jīng)過點 A (- 1, 0), C(2, 0),與y軸交于

28、點B,其對稱軸與 x軸交于點D.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點的坐標(biāo)；(2)若P為y軸上的一個動點，連接 PD,求LpB+PD的最小值；2(3) M (x, t)為拋物線對稱軸上一個動點，若平面內(nèi)存在點 N,使得以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有 5個.備，用國(1) ,二次函數(shù) y=ax2+bx-的圖象經(jīng)過點 A (- 1, 0) C (2, 0),4a+2b-Vs二次函數(shù)的表達(dá)式為 尸”/二應(yīng)廣6, 2(2)如圖，連接 AB,作DHXAB于H,交OB于P,此時PB+PD最小.理由：OA=1, OB = a/3, .tan/ABO=X, OB 3 ./ ABO =30

29、° ,pb+pd = ph + pd= DH , 2.:此時pb+pd最短(垂線段最短).q在 RtAADH 中，. / AHD = 90° , AD=, / HAD = 60° ,2sin60 =AB. DH =blL, 4 二pb+pd的最/、值為 川m ；24(3)以A為圓心AB為半徑畫弧，因為 AB>AD,故此時圓弧與對稱軸有兩個交點,且AM=AB,即M點存在兩個，所以滿足條件的 N點有兩個；以B為圓心AB為半徑畫弧，因為 AB得，故此時圓弧與對稱軸有兩個交點，且 BMbi= AB,即M點有兩個，所以滿足條件的 N點有兩個；線段AB的垂直平分線與對稱

30、軸有一個交點，此時AM = BM,因為M點有一個，所以滿足條件的N點有一個；則滿足條件的N點共有5個，故答案為：5.第25頁(共28頁)17.如圖，已知AB是圓O的直徑，F(xiàn)是圓O上一點，/ BAF的平分線交 OO于點E,交。O 的切線BC于點C,過點E作EDLAF,交AF的延長線于點 D.(1)求證：DE是。的切線;(2)若 DE = 3, CE=2,求三蛆的值;若點G為AE上一點，求OG+,EG最小值.(1)證明：連接OE .OA= OEOAE=Z OEA AE 平分/ BAFOAE=Z EAFOEA=Z EAFOE / AD ED，AFD=90°OED= 180° -

31、/ D=90° .OELDEDE是。O的切線(2)解：連接BEAB是。O直徑AEB = 90°BEA=/D=90° , / BAE+/ABE = 90 BC是。O的切線 ./ ABC=Z ABE+ZCBE = 90° ./ BAE=Z CBE . / DAE = Z BAE ./ DAE = Z CBEADEA BEC.AE _D&BC -CE第29頁（共28頁）. DE=3, CE = 2過點E作EH ±AB于H ,過點G作GP / AB交EH于P,過點P作PQ / OG交AB于 .EPXPG,四邊形OGPQ是平行四邊形 ./ EPG=90° , PQ= OG.收上AE 3 設(shè) BC = 2x, AE=3x .AC= AE+CE=3x+2 . /BEC=/ABC =90° , /C=/C . BEC