圓錐曲線必背法

1、圓錐曲線必背口訣(紅字為口訣)-橢圓一、橢圓定義橢圓三定義，簡(jiǎn)稱(chēng)和比積.1、定義1：(和)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為長(zhǎng)軸.（定值=）2、定義2：(比)到定點(diǎn)和到定直線的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線，定值為離心率.（定值=）3、定義3：(積)到兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓.定點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，定值為負(fù)值. （定值）二、橢圓的性質(zhì)定理長(zhǎng)軸短軸與焦距，形似勾股弦定理準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，方、方除以通徑等于 2 ，切線方程用代替焦三角形計(jì)面積，半角正切連乘注解：1、長(zhǎng)軸短軸與焦距，形似勾股弦定理長(zhǎng)軸，短軸，焦距，則：2、準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦

2、距，方、方除以準(zhǔn)線方程： （方除以）準(zhǔn)焦距：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離： （方除以）3、通徑等于2 ，切線方程用代替橢圓的通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓的兩交點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為橢圓的通徑.（通徑）過(guò)橢圓上點(diǎn)的切線方程，用等效代替橢圓方程得到. 等效代替后的是切線方程是：4、焦三角形計(jì)面積，半角正切連乘焦三角形：以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上的三角形稱(chēng)為焦三角形.半角是指的一半. 則焦三角形的面積為：證明：設(shè)，則.由余弦定理：即：，即：.即：故：又：所以：橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為.三、橢圓的相關(guān)公式切線平分焦周角，稱(chēng)為弦切角定理切點(diǎn)連線求方程，極線定理須牢記弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距細(xì)看

3、中點(diǎn)弦方程，恰似弦中點(diǎn)軌跡注解：1、切線平分焦周角，稱(chēng)為弦切角定理弦切角定理：切線平分橢圓焦周角的外角，平分雙曲線的焦周角. 焦周角是焦點(diǎn)三角形中，焦距所對(duì)應(yīng)的角.弦切角是指橢圓的弦與其切線相交于橢圓上時(shí)它們的夾角，當(dāng)弦為焦點(diǎn)弦時(shí)（過(guò)焦點(diǎn)的弦），那么切線是兩個(gè)焦點(diǎn)弦的角平分線.2、切點(diǎn)連線求方程，極線定理須牢記若在橢圓外，則過(guò)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則點(diǎn)和切點(diǎn)弦分別稱(chēng)為橢圓的極點(diǎn)和極線.切點(diǎn)弦的直線方程即極線方程是（稱(chēng)為極線定理）3、弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距弦指橢圓內(nèi)的一弦.中線指弦的中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線，即得中線.這兩條直線的斜率的乘積，等于準(zhǔn)線距離去除準(zhǔn)焦距，其結(jié)果是：4、細(xì)看中點(diǎn)弦方

4、程，恰似弦中點(diǎn)軌跡中點(diǎn)弦的方程：在橢圓中，若弦的中點(diǎn)為，弦稱(chēng)為中點(diǎn)弦，則中點(diǎn)弦的方程就是，是直線方程.弦中點(diǎn)的軌跡方程：在橢圓中，過(guò)橢圓內(nèi)點(diǎn)的弦，其中點(diǎn)的方程就是，仍為橢圓.這兩個(gè)方程有些相似，要擦亮眼睛，千萬(wàn)不要搞混了.圓錐曲線必背口訣(紅字為口訣)-雙曲線一、雙曲線定義雙曲線有四定義，差比交線反比例 1、定義1：(差)平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值（小于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙曲線。定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)。即： 2、定義2：(比)平面內(nèi)，到給定一點(diǎn)及一直線的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙曲線。定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線。3、定義3：(交線)一平面截一圓錐面

5、，當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行，且與圓錐面的兩個(gè)圓錐都相交時(shí)，交線稱(chēng)為雙曲線。4、定義4：(反比例)在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象稱(chēng)為雙曲線。 證明：反比例函數(shù)圖象是雙曲線軌跡經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到. 證明：因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸是, ，而的對(duì)稱(chēng)軸是軸，軸，所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn). 設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為（，順時(shí)針）（為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角）則有：，取，則：而，所以，即： ()或 ()由此證得，反比例函數(shù)其實(shí)就是雙曲線的一種形式，只不過(guò)是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式.二、雙曲線的性質(zhì)定理基本同橢圓，有所區(qū)別：長(zhǎng)軸短軸與焦距，形似勾股弦定理準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，方、方除以通徑等于 2 ，切線方程用代替焦三角形計(jì)面積，半角余

6、切連乘注解：1、長(zhǎng)軸短軸與焦距：形似勾股弦定理長(zhǎng)軸，短軸，焦距，則：實(shí)際上，雙曲線是實(shí)軸、虛軸、與焦距，但為了方便記憶，也不至于造成混亂，我們還是按橢圓的口訣記憶.2、準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，方、方除以準(zhǔn)線方程： （方除以）準(zhǔn)焦距：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離： （方除以）3、通徑等于2 ，切線方程用代替雙曲線的通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線與雙曲線的兩交點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為雙曲線的通徑.（通徑）過(guò)雙曲線上點(diǎn)的切線方程，用等效代替雙曲線方程得到，等效代替后的是切線方程是：4、焦三角形計(jì)面積，半角余切連乘焦三角形：以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上的三角形稱(chēng)為焦三角形.半角是指的一半. 雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，

7、點(diǎn)為雙曲線上異于頂點(diǎn)任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)三角形滿足：其面積為；.證明：設(shè)，則在中，由余弦定理得：，即：即：即：，即：即：，即：那么，焦點(diǎn)三角形的面積為：故：同時(shí)：，故： 雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積為：.三、雙曲線的相關(guān)公式切線平分焦周角，稱(chēng)為弦切角定理切點(diǎn)連線求方程，極線定理須牢記弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距細(xì)看中點(diǎn)弦方程，恰似弦中點(diǎn)軌跡注解：1、切線平分焦周角，稱(chēng)為弦切角定理弦切角定理：切線平分橢圓焦周角的外角，平分雙曲線的焦周角. 焦周角是焦點(diǎn)三角形中，焦距所對(duì)應(yīng)的角.弦切角是指雙曲線的弦與其切線相交于雙曲線上時(shí)它們的夾角，當(dāng)弦為焦點(diǎn)弦時(shí)（過(guò)焦點(diǎn)的弦），那么切線是兩個(gè)焦點(diǎn)弦的角平分線.

8、如圖，是焦點(diǎn)三角形，為焦周角，為雙曲線的切線. 則平分.2、切點(diǎn)連線求方程，極線定理須牢記若在雙曲線外，以包含焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閮?nèi)，不包含焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橥?，則過(guò)作雙曲選的兩條切線，切點(diǎn)為、，則點(diǎn)和切點(diǎn)弦分別稱(chēng)為雙曲線的極點(diǎn)和極線，切點(diǎn)弦的直線方程即極線方程是（稱(chēng)為極線定理）3、弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距弦指雙曲線內(nèi)的一弦.中線指弦的中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線，即得中線.這兩條直線的斜率的乘積，等于準(zhǔn)線距離去除準(zhǔn)焦距，其結(jié)果是：4、細(xì)看中點(diǎn)弦方程，恰似弦中點(diǎn)軌跡中點(diǎn)弦的方程：在雙曲線中，若弦的中點(diǎn)為，稱(chēng)弦為中點(diǎn)弦，則中點(diǎn)弦的方程就是：，它是直線方程.弦中點(diǎn)的軌跡方程：在雙曲線中，過(guò)雙曲線外一點(diǎn)的弦，其中點(diǎn)的方

9、程就是，仍為雙曲線.這兩個(gè)方程有些相似，要擦亮眼睛，千萬(wàn)不要搞混了.圓錐曲線必背口訣(紅字為口訣)-拋物線一、拋物線定義拋物線，有定義，定點(diǎn)定線等距離1、到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線距離相等得點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為拋物線.2、二次函數(shù)的圖象是拋物線.二、拋物線性質(zhì)焦點(diǎn)準(zhǔn)線極點(diǎn)線，兩臂點(diǎn)乘積不變焦弦切線成直角，切點(diǎn)就是兩端點(diǎn)端點(diǎn)投影在準(zhǔn)線，連結(jié)焦點(diǎn)垂直線焦弦垂直極焦線，切線是角平分線直角梯形對(duì)角線，交點(diǎn)就是本原點(diǎn)焦弦三角計(jì)面積，半個(gè)方除正弦注解：1、焦點(diǎn)準(zhǔn)線極點(diǎn)線 拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線是一對(duì)極點(diǎn)和極線.拋物線方程：，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(拋物線的頂點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線距離相等)焦弦：過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)和，則稱(chēng)為焦弦

10、.弦中點(diǎn)，焦弦方程：，為斜率.2、兩臂點(diǎn)乘積不變焦點(diǎn)三角形兩邊和的點(diǎn)乘積為定值，且?jiàn)A角是鈍角.證明：焦弦滿足的條件由韋達(dá)定理得：，即：， 且：.故：焦點(diǎn)三角形兩邊之點(diǎn)乘積為定值.3、焦弦切線成直角，切點(diǎn)就是兩端點(diǎn)即：焦弦兩端點(diǎn)的切線互相垂直.證明：如圖，由拋物線方程：得到導(dǎo)數(shù)：，即：故：，于是：將式代入上式得：即：，故焦弦端點(diǎn)在準(zhǔn)線的投影點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.4、端點(diǎn)投影在準(zhǔn)線，連結(jié)焦點(diǎn)垂直線即：焦弦端點(diǎn)在準(zhǔn)線的投影點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.證明：坐標(biāo),則：，于是：將式代入上式得：故：即：焦弦端點(diǎn)在準(zhǔn)線的投影點(diǎn)，則，即：焦弦端點(diǎn)在準(zhǔn)線的投影點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.5、焦弦垂直極焦線若焦弦對(duì)應(yīng)的

11、極點(diǎn)，則為極焦線，于是用向量方法可證. 由于是的中點(diǎn)，為直角三角形，計(jì)算可得是的中點(diǎn)，故：由向量法可證即：焦弦與極焦線互相垂直.6、切線是角平分線即：切線平分焦弦的傾角(或傾角的外角)如圖：因?yàn)楹投际侵苯侨切危矣啥x知：，故，則對(duì)應(yīng)角相等.即：是的角平分線同理，是的角平分線7、直角梯形對(duì)角線，交點(diǎn)就是本原點(diǎn)即：直角梯形對(duì)角線相交于原點(diǎn)即：三點(diǎn)共線；三點(diǎn)共線. 用向量法證明：，證明：坐標(biāo)，向量：，各分量之比：，將式代入上式得：故：，即：同理：.直角梯形對(duì)角線相交于原點(diǎn).8、焦弦三角計(jì)面積，半個(gè)方除正弦即：焦弦三角形的面積為： （為焦弦的傾角）證明：FMEGO如圖：則：于是：故：附：圓錐曲線必

12、背-極坐標(biāo)一、極坐標(biāo)通式圓錐曲線的極坐標(biāo)以準(zhǔn)焦距和離心率來(lái)表示常量，以極徑和極角來(lái)表示變量. ，以焦點(diǎn)為極點(diǎn)(原點(diǎn))，以橢圓長(zhǎng)軸、拋物線對(duì)稱(chēng)軸、雙曲線的實(shí)軸為極軸的建立極坐標(biāo)系. 故準(zhǔn)線是到極點(diǎn)距離為準(zhǔn)焦距、且垂直于極軸的直線.極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的換算關(guān)系是：，或者：，特別注意：極坐標(biāo)系中，以焦點(diǎn)為極點(diǎn)(原點(diǎn))，而直角坐標(biāo)系中以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為原點(diǎn)得到標(biāo)準(zhǔn)方程.如圖，為極點(diǎn)，為準(zhǔn)線，則依據(jù)定義，到定點(diǎn)(極點(diǎn))和到定直線(準(zhǔn)線)的距離之比為定值(定值)的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線.所以，對(duì)極坐標(biāo)系，請(qǐng)記住： 極坐標(biāo)系的極點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)、雙曲線的右焦點(diǎn)； 曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，到準(zhǔn)線的距離是

13、，根據(jù)定義：即：，即：，即： 這就是極坐標(biāo)下，圓錐曲線的通式. 對(duì)應(yīng)不同的，呈現(xiàn)不同的曲線. 對(duì)雙曲線，只是右邊的一支；對(duì)拋物線，開(kāi)口向右.二、極軸旋轉(zhuǎn)將極軸旋轉(zhuǎn)，和分別對(duì)應(yīng)變換前后的極角，即轉(zhuǎn)角為，則極坐標(biāo)方程變換前方程為：變換后方程為： 此時(shí)的極坐標(biāo)系下，此時(shí)有： 極坐標(biāo)系的極點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)、雙曲線的左焦點(diǎn)； 對(duì)應(yīng)不同的，呈現(xiàn)不同的曲線. 對(duì)雙曲線，只是左邊的一支；對(duì)拋物線，開(kāi)口向左.三、極軸旋轉(zhuǎn)將極軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即：，則情況如圖.圓錐曲線的方程為： 此時(shí)的極坐標(biāo)系下：對(duì)應(yīng)于直角坐標(biāo)系下，焦點(diǎn)在軸的情況，且極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于橢圓下方的焦點(diǎn)，雙曲線上方的焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn). 對(duì)雙曲線，只是軸上邊的一支；對(duì)拋物線，開(kāi)口向上.如果將極軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即：，則情況如圖.圓錐曲線的方