哈工大碩士課程小波題庫(kù)

1、1. 從傅立葉變換到小波變換的三個(gè)階段：*）信號(hào)加窗；*）基加窗；*）小波基；2. Shannon小波的計(jì)算：*）Shannon采樣定理；*）采樣定理與尺度函數(shù)；*）寫(xiě)出Shannon小波的時(shí)域和頻域表達(dá)式；*）寫(xiě)出兩個(gè)不同的Shannon小波，并說(shuō)明它們都是正交小波；3. 描述MRA；4. 分析和說(shuō)明MRA構(gòu)造正交小波的關(guān)鍵步驟；5. 說(shuō)明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；6. Meyer小波的構(gòu)造方法；7. 構(gòu)造Daubechies系列小波中的一個(gè)或兩個(gè)；8. 給出Malvar小波的構(gòu)造方法（共有3種）；9. 說(shuō)明正交小波包的思想（空間再分割）；10. 正交小波包的定義；11. 小波

2、包的頻域表達(dá)形式；12. 小波包的兩種正交性；13. 小波空間的小波包再分割；14. 小波空間的小波包再分割；15. 小波算法：分解和合成；矩陣形式；16. 小波包算法：分解和合成；矩陣形式；17. MATLAB中的Wavelet Toolbox的使用和理解；18. Gabor變換的時(shí)-頻分析特性；19. 連續(xù)小波的時(shí)-頻分析特性；20. 二進(jìn)小波的時(shí)-頻分析特性；21. 正交小波的時(shí)-頻分析特性；22. 小波包的時(shí)-頻分析特性；23. Malvar小波的時(shí)-頻分析特性；24. 二維小波分析和圖像處理；25. 小波采樣定理；26. 小波與快速算法；27. 分?jǐn)?shù)傅立葉變換：*）經(jīng)典分?jǐn)?shù)傅立葉變換

3、（旋轉(zhuǎn)）；*）加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換（置換）；28. 小波變換的數(shù)值含義分析；29. 小波變換的工程含義分析；30. 小波變換與局部分析和奇性分析。1從傅立葉變換到小波變換的三個(gè)階段*）信號(hào)加窗；*）基加窗；*）小波基；傅里葉變換的局限性和Gabor變換的提出傅里葉變換是一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號(hào)的傅里葉變換表示信號(hào)的頻譜。正是傅里葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅里葉變換在信號(hào)分析和信號(hào)處理中的獨(dú)特地位，特別是作為平穩(wěn)信號(hào)分析的最重要的工具。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，所遇到的信號(hào)大多數(shù)并不是平穩(wěn)的，因此，傅里葉變換的局限性就漸漸顯現(xiàn)出來(lái)了：(1) 傅里葉變換對(duì)信號(hào)的局部畸變沒(méi)

4、有標(biāo)定和度量能力；(2) 傅里葉變換不能反映信號(hào)在各個(gè)指定時(shí)刻之附近我們所希望的任何頻率范圍內(nèi)的頻譜信息。在這種情況下，D.Gabor在1946年提出了Gabor變換，它繼承了Fourier變換所具有的“信號(hào)頻譜”這樣的物理解釋，同時(shí)，它克服了Fourier變換只能反映信號(hào)的整體特征而對(duì)信號(hào)的局部特征沒(méi)有任何分析能力的缺陷，大大地改進(jìn)了Fourier變換的分析能力。為了提取信號(hào)的局部信息，這包括時(shí)間和頻率兩方面的局部信息，引入了一個(gè)時(shí)間局部化的“窗口函數(shù)”，其中參數(shù)用于平行移動(dòng)窗口，以便于覆蓋整個(gè)時(shí)域。對(duì)于函數(shù)，其Gabor變換定義為是Gaussian函數(shù)，是固定常數(shù)，這個(gè)函數(shù)被稱為“窗口函數(shù)

5、”。2Shannon小波的計(jì)算：*）Shannon采樣定理；*）采樣定理與尺度函數(shù)；*）寫(xiě)出Shannon小波的時(shí)域和頻域表達(dá)式；*）寫(xiě)出兩個(gè)不同的Shannon小波，并說(shuō)明它們都是正交小波；Shannon小波的構(gòu)造要復(fù)雜一些，但構(gòu)造的過(guò)程具有一般意義，很象多分辨分析，所以，在這里詳細(xì)介紹。為了敘述得容易些，直接引用信息論中的Shannon采樣定理。Shannon定理 設(shè)信號(hào)，如果存在B>0，使 a.e.這里是f(x)的Fourier變換，則稱f(x)是B頻率截?cái)嗟?，這時(shí)，只要采樣間隔，信號(hào)f(x)按間隔進(jìn)行采樣就不會(huì)損失信息，而且，利用采樣序列可按如下公式構(gòu)造原信號(hào) ()(1) 稱為S

6、hannon插值公式。特別地，在Shannon定理中，當(dāng)B=時(shí)，可得 ()取函數(shù)，那么，()可改寫(xiě)為 ()即對(duì)頻率截?cái)嗟男盘?hào)f(x), ()總是成立的。利用Fourier變換的Parseval恒等式可以驗(yàn)證其中函數(shù)是的Fourier變換這說(shuō)明函數(shù)族 ()是空間的標(biāo)準(zhǔn)正交系。同時(shí)，容易驗(yàn)證 ()是空間的閉線性子空間，()說(shuō)明函數(shù)族(4)構(gòu)成子空間(2.1.5)的標(biāo)準(zhǔn)正交基，而空間的任意信號(hào)都有(3)式的唯一的表達(dá)式。我們知道，中許多信號(hào)其Fourier變換在時(shí)并不為零，甚至于對(duì)任何的，當(dāng)時(shí)它都不為零，所以，前述的只是中的極其有限的一部分。雖然這樣，利用Shannon采樣定理可逐步“逼近”全空間。

7、在這里詳細(xì)說(shuō)明一種具體的逼近過(guò)程。根據(jù)Shannon采樣定理，對(duì)于任何整數(shù)j，當(dāng)信號(hào)f(x)是頻率截?cái)鄷r(shí)，即那么 ()利用Fourier變換的Parseval恒等式可得因此，函數(shù)族 ()構(gòu)成空間 ()的標(biāo)準(zhǔn)正交基。這樣，隨著j取遍所有的整數(shù)，就可以得到的一系列子空間，它們之間有如下關(guān)系： 對(duì)任何整數(shù)j ()因?yàn)?，?duì)任何信號(hào)來(lái)說(shuō)，它是頻率截?cái)鄷r(shí)，必定是頻率截?cái)嗟模? 這些子空間中，“最小的”子空間是零空間，即 ()這說(shuō)明具有任意頻率截?cái)嗟男盘?hào)只能是零信號(hào)；3 這些子空間能很好地“逼近”空間 ()利用時(shí)域和頻域的等價(jià)性以及中的任何信號(hào)的譜都可以用它的有限截?cái)噙M(jìn) 行有效逼近的事實(shí)可以說(shuō)明這個(gè)等式；4

8、 利用信號(hào)的時(shí)間伸縮在Fourier變換下的特點(diǎn)容易驗(yàn)證 ()這說(shuō)明，雖然相鄰的兩個(gè)子空間之間有的包含關(guān)系，但它們的信號(hào)的自變量即時(shí)間之間卻具有二倍的伸縮關(guān)系；顯然，隨著j的不斷增大，子空間對(duì)空間的逼近越來(lái)越“好”，而空間具有前面給出的標(biāo)準(zhǔn)正交基，因此，容易想到的是，讓構(gòu)造空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而得到正交小波。遺憾的是，這樣得不到象正交小波所給出的的標(biāo)準(zhǔn)正交基?；仡櫿恍〔ǖ亩x可知，如果正交小波已經(jīng)得到，即 ()構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基，這時(shí)如下的子空間列 ()j取全部整數(shù)，將構(gòu)成的完全的正交直和分解 ()不僅如此，而且相鄰的兩個(gè)分解子空間之間除了正交之外，它們的信號(hào)的時(shí)間變量之間還具有二倍的伸縮關(guān)系

9、，即 ()這由構(gòu)造()可以直接得到。在使用空間對(duì)進(jìn)行逼近時(shí)，顯然沒(méi)有(2.1.15)的關(guān)系。而恰恰是這個(gè)關(guān)系保證了將每個(gè)的標(biāo)準(zhǔn)正交基放在一起就可以構(gòu)成全空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此，必須由的逼近構(gòu)造滿足(2.1.13) (2.1.16)的分割。具體的構(gòu)造方法是，對(duì)于任何整數(shù)j，選取是空間在中的如下的正交補(bǔ)空間 ()其中記號(hào)suppG的含義是稱為函數(shù)的支集。這樣得到的子空間序列滿足()(2.1.16)。因此，為了構(gòu)造滿足(2.1.13)(2.1.14)的函數(shù)，只需對(duì)一個(gè)空間比如進(jìn)行構(gòu)造就可以了。這樣，問(wèn)題變成：選取函數(shù)，使函數(shù)族構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基由函數(shù)生成的標(biāo)準(zhǔn)正交基和生成的標(biāo)準(zhǔn)正交基的特點(diǎn)以及空間關(guān)系

10、可以構(gòu)造函數(shù)。對(duì)的任何信號(hào)，可得如下分解其中而且：為了直觀，圖2給出了函數(shù)、和的圖形， 圖3是和的圖形。 1 -2p 2p 1 -p p x 1 -2p -p p 2p圖2 函數(shù)、和圖3 函數(shù)和的圖形下面給出小波函數(shù)的時(shí)域和頻域的解析表達(dá)式。頻域形式是在時(shí)間域可表示為 ()這就是一個(gè)Shannon小波?；仡櫼幌耂hannon小波的構(gòu)造過(guò)程可知，滿足條件()-(2.1.12)的單調(diào)上升的逼近空間的子空間序列在構(gòu)造中起了關(guān)鍵作用，它把整個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為兩個(gè)子空間和之間的關(guān)系問(wèn)題；另外值得注意的是，F(xiàn)ourier分析起了重要作用。事實(shí)上，在小波分析中，無(wú)論是理論分析還是數(shù)值計(jì)算，都要經(jīng)常用到Fourie

11、r分析，它是一種非常有效的工具。3描述MRA；正交多分辨分析和正交小波仿照構(gòu)造Shannon小波的方法，可以得到構(gòu)造正交小波的一般方法，即正交多分辨分析。正交多分辨分析(Multiresolution Analysis)定義1 設(shè)是上的一列閉子空間，是中的一個(gè)函數(shù)，如果它們滿足如下的五個(gè)條件，即 單調(diào)性: ()2 唯一性: () 稠密性: () 伸縮性: ()5 可構(gòu)造性: ()構(gòu)成子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。那么，稱是上的一個(gè)正交多分辨分析，簡(jiǎn)記為MRA.由多分辨分析的定義，容易得到一個(gè)重要結(jié)果，即函數(shù)族 ()是空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。下面將要討論的是如何由這個(gè)正交MRA去構(gòu)造的一個(gè)正交小波，使 ()構(gòu)成

12、的標(biāo)準(zhǔn)正交小波基。4分析和說(shuō)明MRA構(gòu)造正交小波的關(guān)鍵步驟；正交小波的構(gòu)造仿照Shannon小波的構(gòu)造方法，對(duì)，定義如下的子空間： ( )容易驗(yàn)證，子空間序列具有下述性質(zhì)： ;2 ;3 ( )因此，根據(jù)可知，為了得到空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，只需構(gòu)造每一個(gè)子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基；再由得到，這只需構(gòu)造的標(biāo)準(zhǔn)正交基就足夠了。這樣，關(guān)鍵的問(wèn)題就是構(gòu)造函數(shù)，使得函數(shù)族是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。和Shannon小波一樣，具體的構(gòu)造是在Fourier變換域?qū)崿F(xiàn)的。詳細(xì)過(guò)程分成以下幾個(gè)步驟。.1尺度方程和構(gòu)造方程由于而且有標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，必存在唯一的系數(shù)序列，使得 ( )通常稱它為尺度方程，實(shí)際上，系數(shù)序列的計(jì)算公式是另一方面

13、，待構(gòu)造的小波函數(shù)，應(yīng)該存在序列，使得 ( )稱之為構(gòu)造方程。這樣，小波函數(shù)的構(gòu)造就轉(zhuǎn)化為尋找相應(yīng)的序列。引入記號(hào) ( )和分別稱為低通和高通濾波器的頻率響應(yīng)，顯然，它們都在空間中。這時(shí)，可以得到()(2.2.11)兩式的頻域形式 ( ).2標(biāo)準(zhǔn)正交系的頻域形式引理 設(shè)函數(shù)，那么構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交系，即 ( )的充分必要條件是 ( )事實(shí)上，利用函數(shù)的Fourier變換可得由于函數(shù)族是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，因此，()等價(jià)于(2.2.15)。.3尺度函數(shù)和低通濾波器由于尺度函數(shù)的整數(shù)平移生成的函數(shù)族構(gòu)成子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，因此，將()代入等式左邊得于是，低通濾波器的頻率響應(yīng)滿足下述等式 ().4小波函數(shù)和高

14、通濾波器 因?yàn)樾〔ê瘮?shù)的整數(shù)平移族應(yīng)該構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，由()的第二式得 ().5低通濾波器和高通濾波器由于子空間是在中的正交補(bǔ)空間，因此，函數(shù)族和函數(shù)族是相互正交的，即 ()利用Fourier變換和()可得因?yàn)楹瘮?shù)族是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，()等價(jià)于 ().6正交小波的充要條件首先，引入矩陣記號(hào) ()構(gòu)造定理 如果函數(shù)形如()，那么，函數(shù)族構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即成為正交小波的充要條件是，矩陣是酉矩陣，即 () 事實(shí)上，必要性就是()、(2.2.17)和(2.2.19)，即(2.2.21)成立。下面討論充分性，顯然，由(2.2.21)容易得到以下結(jié)果，即函數(shù)族構(gòu)成子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交系，函數(shù)族構(gòu)成

15、的標(biāo)準(zhǔn)正交系，而且，它們是相互正交的。最后的問(wèn)題是，這兩個(gè)函數(shù)族合在一起構(gòu)成空間的完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系，即標(biāo)準(zhǔn)正交基。具體地說(shuō)，對(duì)于的任何函數(shù)，如果對(duì)任何整數(shù)n和k都成立，那它必定就只能是零函數(shù)，即=0。事實(shí)上，因?yàn)椋?，其Fourier變換是這里。類似.5的推理可得寫(xiě)成矩陣形式因是酉矩陣，所以，=0，于是=0而且=0。這說(shuō)明了充分性。.7正交小波的構(gòu)造選取高通濾波器 ()這時(shí)，由()定義的必為酉矩陣，所以，可得小波函數(shù)的頻域形式 ()由()可知 ()從而，小波函數(shù)的時(shí)域形式為 ()綜合上述討論，從的一個(gè)正交多分辨分析出發(fā)，利用尺度方程()給出的系數(shù)列和(2.2.12)給出的濾波器及形如(2.2

16、.22)的濾波器，最后得到用(2.2.23)或(2.2.25)表示的正交小波，完成正交小波的形式構(gòu)造。5說(shuō)明Haar小波是正交小波(直接或MRA)； Haar小波Haar函數(shù)h(x)是數(shù)學(xué)家A.Haar在本世紀(jì)三十年代給出的。具體定義是這時(shí)，函數(shù)族構(gòu)成函數(shù)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，Haar函數(shù)h(x)是正交小波，稱為Haar小波。驗(yàn)證是比較容易的，只要注意到的圖形隨(j,k)變化的特點(diǎn)就可以了。這里示范性地給出h(x)和的幾個(gè)圖形，如圖1.h1,1(x) 10-h1,0(x) 0 x -h(x) 1 1 0 x -1圖1. 小波函數(shù)的圖形2.3.1 Haar的多分辨分析定義函數(shù):它是的特征函數(shù)，

17、構(gòu)造生成的閉子空間，。容易驗(yàn)證，是上的一個(gè)正交多分辨分析，這就是Haar的多分辨分析。實(shí)際上，這里的閉子空間具有如下的具體表表達(dá)形式即由能量有限的臺(tái)階函數(shù)組成，這些臺(tái)階函數(shù)的跳躍點(diǎn)至多出現(xiàn)在這樣的點(diǎn)上，其中是任意整數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)族是標(biāo)準(zhǔn)正交系，從而它必是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。這時(shí)，雙尺度方程是因此，所以，這樣得到如下構(gòu)造方程是一個(gè)正交小波，容易看出，她與前面的Haar小波函數(shù)相差一個(gè)符號(hào)。構(gòu)造過(guò)程中相應(yīng)的低通濾波器是高通濾波器是而且是酉矩陣6Meyer小波的構(gòu)造方法；2.3.3 Meyer的多分辨分析選取函數(shù)（即只在有限區(qū)間范圍內(nèi)取值不為零而且任意次可微函數(shù)全體構(gòu)成的族）具有如下形式：而且，當(dāng)時(shí)，這時(shí)，

18、構(gòu)造尺度函數(shù)為是的Fourier逆變換則于是，是中的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族。構(gòu)造中的閉子空間序列和可以證明，是上的一個(gè)多分辨分析，它就是Meyer的多分辨分析。這時(shí)，雙尺度方程的頻域形式可寫(xiě)成從而，得到低通濾波器的公式相應(yīng)的高通濾波器為最后得到Meyer小波的頻域形式因?yàn)?，所以，。另外還可以證明，對(duì)于任意自然數(shù)n,這說(shuō)明Meyer小波非常光滑而且具有良好的波動(dòng)特性。這一性質(zhì)保證了Meyer小波在函數(shù)空間分析和其他一些對(duì)光滑性有特殊要求的理論分析中的重要作用。7構(gòu)造Daubechies系列小波中的一個(gè)或兩個(gè)；例1 選定，這時(shí)，由得方程組解之得根據(jù)系數(shù)有限共軛濾波器的構(gòu)造及定義得最后得到共軛濾波器的系數(shù)是

19、這時(shí)，尺度方程是構(gòu)造方程是所以，尺度函數(shù)都是緊支的。例2 選，這時(shí)，。假設(shè)，則得方程組解之得根據(jù)系數(shù)有限共軛濾波器的構(gòu)造及定義得最后解得這時(shí)，尺度方程是構(gòu)造方程是所以，尺度函數(shù)都是緊支的。8給出Malvar小波的構(gòu)造方法（共有3種）；9說(shuō)明正交小波包的思想（空間再分割）；10正交小波包的定義；11. 小波包的頻域表達(dá)形式；12. 小波包的兩種正交性；13. 小波空間的小波包再分割；14. 小波空間的小波包再分割；15. 小波算法：分解和合成；矩陣形式；16. 小波包算法：分解和合成；矩陣形式；17. MATLAB中的Wavelet Toolbox的使用和理解；18. Gabor變換的時(shí)-頻分析

20、特性；Gabor變換是D.Gabor在1946年給出的，它繼承了Fourier變換所具有的“信號(hào)頻譜”這樣的物理解釋，同時(shí)，它克服了Fourier變換只能反映信號(hào)的整體特征而對(duì)信號(hào)的局部特征沒(méi)有任何分析能力的缺陷，大大地改進(jìn)了Fourier變換的分析能力，為信號(hào)處理提供了一種新的分析和處理工具，即信號(hào)的時(shí)-頻分析。在介紹小波分析的時(shí)-頻分析能力之前，先說(shuō)明信號(hào)的Gabor變換和時(shí)-頻分析。事實(shí)上，F(xiàn)ourier變換是一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號(hào)的Fourier變換 ()表示信號(hào)的頻譜。正是Fourier變換的這種重要的物理意義，決定了Fourier變換在信號(hào)分析和信號(hào)處理

21、中的獨(dú)特地位，特別是作為平穩(wěn)信號(hào)分析的最重要的工具。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，所遇到的信號(hào)大多數(shù)并不是平穩(wěn)的，至少在觀測(cè)的全部時(shí)間段內(nèi)它不是平穩(wěn)的，所以，隨著應(yīng)用范圍的逐步擴(kuò)大和理論分析的不斷深入，F(xiàn)ourier變換的局限性就漸漸展示出來(lái)了：首先，從理論上說(shuō)，為了由Fourier變換研究一個(gè)時(shí)域信號(hào)的頻譜特性，必須獲得信號(hào)在時(shí)域中的全部信息，以致于包括將來(lái)的信息；其次，從應(yīng)用的角度來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)信號(hào)只在某一時(shí)刻的一個(gè)小的范圍內(nèi)發(fā)生了變化，那么信號(hào)的整個(gè)頻譜都要受到影響，而頻譜的變化從根本上來(lái)說(shuō)又無(wú)法標(biāo)定發(fā)生變化的時(shí)間位置和發(fā)生變化的劇烈程度，也就是說(shuō)，F(xiàn)ourier變換對(duì)信號(hào)的局部畸變沒(méi)有標(biāo)定和度量

22、能力。但是，在許多實(shí)際應(yīng)用中，畸變正是我們所關(guān)心的信號(hào)在局部范圍內(nèi)的特征，比如對(duì)音樂(lè)和語(yǔ)音信號(hào)，人們關(guān)心的是什么時(shí)刻演奏什么音符、發(fā)出什么音節(jié)；對(duì)圖形邊緣檢測(cè)，很關(guān)心信號(hào)突變發(fā)生的位置和突變程度；對(duì)地震勘測(cè)而言，我們關(guān)心的主要問(wèn)題是在什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波；另外，F(xiàn)ourier變換不能反映信號(hào)在各個(gè)指定時(shí)刻之附近我們所希望的任何頻率范圍內(nèi)的頻譜信息，即信號(hào)在局部時(shí)間范圍內(nèi)和局部頻帶上的譜信息分析，或稱為局部化時(shí)-頻分析，而這正是許多實(shí)際應(yīng)用最感興趣的問(wèn)題之一；最后，因?yàn)橐粋€(gè)信號(hào)的頻率與它的周期長(zhǎng)度成反比，所以，在應(yīng)用中的一個(gè)自然而然的要求是，對(duì)于分析信號(hào)的高頻信息，參與分析的信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度

23、應(yīng)相對(duì)較短，以給出精確的高頻成分，對(duì)于低頻信息，參與分析的信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度應(yīng)相對(duì)較長(zhǎng)，以給出一個(gè)周期內(nèi)的完整的信息，換言之，就是要給出進(jìn)行分析的一個(gè)靈活多變的時(shí)間和頻率的“窗口”，使得由它給出的時(shí)域和頻域的聯(lián)合“窗口寬度”具有如下的制約關(guān)系，即在“中心頻率(或稱為平均頻率、主頻)”高的地方，時(shí)間窗自動(dòng)變窄，而在“中心頻率”低的地方，時(shí)間窗應(yīng)自動(dòng)變寬。Gabor在1946年的論文中，為了提取信號(hào)的局部信息，這包括時(shí)間和頻率兩方面的局部信息，引入了一個(gè)時(shí)間局部化的“窗口函數(shù)”，其中參數(shù)用于平行移動(dòng)窗口，以便于覆蓋整個(gè)時(shí)域。Gabor取為一個(gè)Gaussian函數(shù)，其原因有二：一是Gaussian函數(shù)的

24、Fourier變換仍為Gaussian函數(shù)，這使得Fourier逆變換也是用窗函數(shù)局部化了的，同時(shí)體現(xiàn)了頻率域的局部化；二是Gabor變換作為一般的“窗口Fourier變換”的最優(yōu)性，這在后面將詳細(xì)說(shuō)明。第一個(gè)原因是Gabor當(dāng)時(shí)的直接原因，第二個(gè)原因是在Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理明確之后才看出的，即在時(shí)-頻窗面積最小的意義下，Gabor變換是最優(yōu)的窗口Fourier變換。只是Gabor變換出現(xiàn)之后，才有了真正意義上的時(shí)-頻分析。對(duì)于函數(shù)，其Gabor變換定義為 ()其中 ()是Gaussian函數(shù)，是固定常數(shù)，這個(gè)函數(shù)被稱為“窗口函數(shù)”。計(jì)算知 ()所以 ()()說(shuō)明，信號(hào)的Gabor變

25、換對(duì)任何在時(shí)間的附近使信號(hào)的Fourier變換局部化了，對(duì)，這種局部化完成的如此之好以致于達(dá)到了對(duì)的精確分解，從而完整地給出了的頻譜的局部信息，這充分體現(xiàn)了Gabor變換在時(shí)間域的局部化思想。接下來(lái)討論Gabor變換是如何實(shí)現(xiàn)在頻率域的局部化的。為此，引入記號(hào) ()那么Gabor變換可表示為 (3.1.7)這個(gè)等式可理解為，是對(duì)函數(shù)開(kāi)了一個(gè)形如(6)的窗口，這也是稱為窗函數(shù)的理由。將的Fourier變換記為，則 ()再由中Fourier變換的Parseval恒等式，即對(duì)總有公式 ()可將()和(3.1.7)變形為 ()于是得()這說(shuō)明，對(duì)于給定的觀測(cè)時(shí)刻和固定的頻率分量，除常數(shù)項(xiàng)之外，信號(hào)在具

26、有時(shí)間窗函數(shù)的Gabor變換與信號(hào)在具有頻率窗函數(shù)的Gabor變換是一致的，即兩者給出的信息是一樣的。只不過(guò)前者是時(shí)域形式，而后者是頻域形式。這體現(xiàn)了Gabor變換在時(shí)域和頻域觀測(cè)的等效性。另一方面，如果引入記號(hào) ()則由()知 ()即，在時(shí)域中用“量具”對(duì)信號(hào)的測(cè)量與在頻域中用“量具”對(duì)信號(hào)的測(cè)量是一致的。這就是Gabor變換能對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)-頻分析的理論依據(jù)。19. 連續(xù)小波的時(shí)-頻分析特性；設(shè)小波函數(shù)及其Fourier變換都滿足窗口函數(shù)的要求，它們的中心和窗寬分別記為和與和，容易驗(yàn)證，對(duì)任意的參數(shù)，連續(xù)小波及其Fourier變換都滿足窗口函數(shù)的要求，它們的中心和窗寬分別為和 ()因此，連續(xù)

27、小波的時(shí)窗是 ()頻窗是 ()因此，連續(xù)小波的時(shí)-頻窗是時(shí)-頻平面上一個(gè)可變的矩形 ()時(shí)-頻窗的面積是 ()只與小波母函數(shù)有關(guān)而與參數(shù)毫無(wú)關(guān)系，但是，時(shí)-頻窗口的形狀隨著參數(shù)a而變化，這是與窗口Fourier變換和Gabor變換完全不同的時(shí)-頻分析特性，正是這一特點(diǎn)決定了小波變換在信號(hào)時(shí)-頻分析中的特殊作用。具體地說(shuō)，對(duì)于較小的，這時(shí)，時(shí)間域的窗寬隨著一起變小，時(shí)窗變窄(為了方便起見(jiàn)假定小波母函數(shù)的中心)，主頻(中心頻率)變高，檢測(cè)到的主要是信號(hào)的高頻成分，由于高頻成分在時(shí)間域的特點(diǎn)是變化迅速，因此，為了準(zhǔn)確檢測(cè)到在時(shí)域中某點(diǎn)處的高頻成分，只能利用該點(diǎn)附近很小范圍內(nèi)的觀察數(shù)據(jù)，這必然要求在該

28、點(diǎn)的時(shí)間窗比較小，小波變換正好具備這樣的自適應(yīng)性；反過(guò)來(lái)，對(duì)于較大的，這時(shí)，時(shí)間域的窗寬隨著一起變大，時(shí)窗變寬，主頻(中心頻率)變低，檢測(cè)到的主要是信號(hào)的低頻成分，由于低頻成分在時(shí)間域的特點(diǎn)是變化緩慢，因此，為了完整地檢測(cè)在時(shí)域中某點(diǎn)處的低頻成分，必須利用該點(diǎn)附近較大范圍內(nèi)的觀察數(shù)據(jù)，這必然要求在該點(diǎn)的時(shí)間窗比較大，小波變換也恰好具備這種自適應(yīng)性。這是小波變換作為時(shí)-頻分析方法的獨(dú)到之處，也是小波變換的又一迷人之處。 另外，因?yàn)楹瘮?shù)或者信號(hào)的小波變換 ()實(shí)際上提取的是在時(shí)間點(diǎn)附近和頻率點(diǎn)附近本質(zhì)上集中在時(shí)-頻窗中的那部分時(shí)-頻信息(為了方便起見(jiàn)，假定小波母函數(shù)的中心)。所以，從頻率域的角度來(lái)

29、看，小波變換已經(jīng)沒(méi)有象Fourier變換那樣的“頻率點(diǎn)”的概念，取而代之的則是本質(zhì)意義上的“頻帶”的概念；從時(shí)間域來(lái)看，小波變換所反映的也不再是某個(gè)準(zhǔn)確的“時(shí)間點(diǎn)”處的變化，而是體現(xiàn)了原信號(hào)在某個(gè)“時(shí)間段”內(nèi)的變化情況。具體地說(shuō)，信號(hào)的小波變換自適應(yīng)地提取原信號(hào)在“時(shí)間段”內(nèi)和“頻帶”內(nèi)的時(shí)-頻信息。所以，從信號(hào)到小波變換實(shí)際上是把信號(hào)在時(shí)間域局部化到范圍內(nèi)，而且在頻率域局部化到范圍內(nèi)。這體現(xiàn)的正是小波變換所特有的能夠?qū)崿F(xiàn)時(shí)間局部化同時(shí)頻率局部化的時(shí)-頻局部化能力。這在信號(hào)故障時(shí)間或者故障位置的診斷、圖象邊緣提取、圖象數(shù)據(jù)壓縮、信號(hào)濾波等方面都有重要應(yīng)用。20. 二進(jìn)小波的時(shí)-頻分析特性；由上

30、述分析知，信號(hào)的小波變換實(shí)際上只是提取了在時(shí)-頻窗中的那部分時(shí)-頻信息(假定)，從頻率域的角度來(lái)看，小波變換本質(zhì)上是按“頻帶”的方式分析和處理信號(hào)，它本質(zhì)上是信號(hào)在“頻帶”內(nèi)的時(shí)-頻信息，在參數(shù)固定的條件下，隨著參數(shù)取遍非負(fù)實(shí)數(shù)，這些頻帶全體覆蓋了原信號(hào)在固定時(shí)間點(diǎn)附近的各種頻率成分，當(dāng)然，它們之間的覆蓋也是很嚴(yán)重的。根據(jù)小波變換的反演公式 ()和吸收反演公式 ()可知，一般來(lái)說(shuō)，雖然的各部分之間有許多是重復(fù)的，但是，為了重現(xiàn)原始信號(hào)，每一個(gè)都是必要的缺一不可。當(dāng)然，這并不是說(shuō)在任何情況下都是這樣，實(shí)際上，離散小波變換就是例外，特別是二進(jìn)小波變換和正交小波變換，它們本質(zhì)上成功地解決了“頻帶”重

31、疊問(wèn)題。由于連續(xù)小波的頻窗是而主頻或者中心頻率是，顯然，隨著主頻變高即參數(shù)的數(shù)值變小，自適應(yīng)地使頻窗變寬即變大，所以，從頻率絕對(duì)分辨率來(lái)說(shuō)，主頻越高則頻率分辨率越低，同時(shí)，參數(shù)的離散化方式必須滿足這樣的要求。二進(jìn)小波變換的離散方式是，將參數(shù)離散化為序列，這時(shí)，二進(jìn)小波函數(shù)對(duì)應(yīng)的頻帶是 ()因此，在一般情況下，頻域劃分實(shí)現(xiàn)如下 ()顯然，對(duì)一般的二進(jìn)小波，這種劃分雖然比連續(xù)小波的劃分從數(shù)目上減少了許多，但仍然還有大量的重復(fù)，只有在二進(jìn)小波的Fourier變換作為頻窗函數(shù)滿足 ()時(shí)，頻域的二進(jìn)頻帶劃分 ()才是沒(méi)有重疊的。這是一種真正的二進(jìn)劃分。相應(yīng)的分析就是有名的二進(jìn)小波分析。因?yàn)槎M(jìn)小波變換

32、按頻帶而不是按頻率點(diǎn)的方式處理頻域信息，那么，它是怎樣描述原信號(hào)在頻帶中的信息的呢？實(shí)際上，二進(jìn)小波變換是用這個(gè)頻帶的中心頻率處的“小波譜”來(lái)描述在中的局部頻率信息的，即所謂的以“點(diǎn)”代替“帶”的方式。這是二進(jìn)小波時(shí)-頻分析的特點(diǎn)。然而，對(duì)于數(shù)值計(jì)算來(lái)說(shuō)，這還不夠，因?yàn)椤靶〔ㄗV”中的參數(shù)應(yīng)該取遍全部實(shí)數(shù)域，所以，對(duì)于任何整數(shù)，“小波譜”必須按參數(shù)進(jìn)行重采樣或者離散化參數(shù)。這個(gè)問(wèn)題或者描述為利用離散數(shù)據(jù)重建，這時(shí)，問(wèn)題集中表現(xiàn)為尋找函數(shù)空間的“子空間”的一組基或者一組標(biāo)架(frame)，而這組基或標(biāo)架應(yīng)該由二進(jìn)小波函數(shù)按某種方式表示出來(lái)，最后將展開(kāi)成以為系數(shù)的線性組合；或者將這個(gè)問(wèn)題改述為利用離

33、散數(shù)據(jù)重建，進(jìn)一步由小波反演公式最后重建原始信號(hào)，這時(shí)，問(wèn)題表現(xiàn)為尋找函數(shù)空間的基或標(biāo)架，而將原始信號(hào)表示為或展開(kāi)為以離散數(shù)據(jù)為組合系數(shù)的線性組合。第二種解決方案導(dǎo)致正交小波的概念。21. 正交小波的時(shí)-頻分析特性；考慮到數(shù)值計(jì)算和理論分析的特殊需要，對(duì)二進(jìn)小波變換處理頻域的方式進(jìn)行時(shí)間參數(shù)的離散化，獲得離散數(shù)據(jù)，為了保證原始信號(hào)域和變換域分析的一致性，當(dāng)然應(yīng)該要求離散后獲得的數(shù)據(jù)按某種方式可以完全重建信號(hào)的小波變換或者原始信號(hào)本身。由第一章的介紹我們知道，最完美的一種解決方案就是正交小波分析。即選擇小波，使函數(shù)族生成函數(shù)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，這時(shí)，稱為正交小波，而這個(gè)函數(shù)族稱為的標(biāo)準(zhǔn)正交小波基。

34、在這里，時(shí)間中心參數(shù)的離散化是與尺度參數(shù)的離散化有聯(lián)系的，具體地說(shuō)，對(duì)任意整數(shù)，當(dāng)尺度參數(shù)時(shí)，時(shí)間中心參數(shù)，與此相應(yīng)，頻域中的“頻帶”是，而且對(duì)應(yīng)于時(shí)間域上的就是函數(shù)空間上的閉子空間而且，與頻域中互不相交的頻帶分割公式()相對(duì)應(yīng)的是時(shí)間域中函數(shù)空間的正交閉子空間分解 ()只有在這時(shí)，信號(hào)的時(shí)-頻分析才具有明確的時(shí)域空間再分割的意義。正交小波分析顯得異常的簡(jiǎn)單明了，信號(hào)分析過(guò)程的物理意義和數(shù)學(xué)意義同時(shí)都顯得很清晰。另一方面，將函數(shù)空間的正交閉子空間分解的思想分別用于閉子空間，就產(chǎn)生了正交小波包的頻域再分割理論。這在后面將得到充分的討論。在正交小波分析的特殊情況下，原始信號(hào)的小波變換結(jié)果就是在離散

35、二進(jìn)網(wǎng)格點(diǎn)上的“正交小波譜”利用小波譜對(duì)原始信號(hào)的重建公式就是類似于Fourier級(jí)數(shù)的正交小波級(jí)數(shù) ()其中，是由正交小波產(chǎn)生的在各種不同尺度下中心在不同網(wǎng)格點(diǎn)處的再生正交小波，它們代表了一切可能的“基本單元”或者“時(shí)-頻原子”，從“時(shí)-頻原子分解”的觀點(diǎn)來(lái)看，公式(40)說(shuō)明，正交小波分析對(duì)應(yīng)的時(shí)-頻分析實(shí)質(zhì)上是實(shí)現(xiàn)函數(shù)空間中任何信號(hào)“時(shí)-頻原子分解”的一種有效途徑。22. 小波包的時(shí)-頻分析特性；23. Malvar小波的時(shí)-頻分析特性；前面已經(jīng)從一般的形式介紹了時(shí)-頻分析小波，這里只簡(jiǎn)單介紹以H.Malvar的名字命名的特定的時(shí)-頻小波。在這里，我們從小波變換的角度來(lái)分析前面已經(jīng)詳細(xì)討

36、論過(guò)的Gabor變換。這時(shí)，所用的連續(xù)小波就是Gabor的時(shí)-頻小波它的基本特征是，將一個(gè)諧波按照時(shí)間參數(shù)分割成許多段，每次只保留一個(gè)小段，而將其余的全都仍掉，保留的小段在時(shí)間域本質(zhì)上是有限長(zhǎng)度的。所以，它在時(shí)間上是有開(kāi)始和結(jié)尾的，在這兩者之間存在一個(gè)振蕩階段，并以這種特定形式構(gòu)成了一個(gè)小波。因此，可以抽象認(rèn)為，Gabor的時(shí)-頻小波由三段信息構(gòu)成即開(kāi)始、振蕩和結(jié)束。但是，由于Gabor小波是由Gaussian窗函數(shù)與諧波的乘積組成，在進(jìn)行信號(hào)分析時(shí)它沒(méi)有離散快速算法，以至阻礙了Gabor小波的實(shí)際應(yīng)用；另一方面，盡管全部的Gabor時(shí)-頻小波構(gòu)成的集合好象是的“基”一樣，可以將空間中的任何信

37、號(hào)展開(kāi)成的“線性組合”即Gabor變換的反演公式但是，由于Gabor小波的時(shí)-頻分析特性，人們最終還是放棄了它，而選中后來(lái)由Malvar構(gòu)造的具有良好時(shí)-頻分析特性的時(shí)-頻小波，這些小波全都構(gòu)成函數(shù)空間上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，這就是著名的Malvar小波。有許多著名的小波都與它很相似。它實(shí)際上代表了一大類小波，這些小波之間可以用遞推算法互相生成，而且Malvar小波本質(zhì)上還包含時(shí)間-尺度小波作為其特例。因此，Malvar小波為信號(hào)處理提供了極其豐富的分析工具，最典型的應(yīng)用就是信號(hào)的最優(yōu)描述問(wèn)題。關(guān)于小波理論與應(yīng)用課程中幾個(gè)問(wèn)題的理解本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了小波理論與應(yīng)用這門(mén)課程，通過(guò)半個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識(shí)了

38、小波變換這種新的變換分析方法。在老師的生動(dòng)介紹和講解的過(guò)程中，我逐漸地對(duì)小波分析的基本方法，基本思想，基本工具有了一定的了解。下面就把我對(duì)這門(mén)課程中幾個(gè)問(wèn)題的理解進(jìn)行一下總結(jié)。小波分析是一種新的分析方法，是繼Fourier分析之后純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)殊途同歸的又一光輝典范。由于小波變換是從經(jīng)典傅里葉變換發(fā)展起來(lái)的，而從傅里葉變換發(fā)展到小波變換的中間階段是Gabor變換，因此首先談一下我對(duì)傅里葉變換的局限性和Gabor變換的提出的一些認(rèn)識(shí)。2窗口傅里葉變換的時(shí)-頻分析下面談一下我對(duì)窗口傅里葉變換的時(shí)-頻分析特性的理解。窗口Fourier變換就給出了信號(hào)在時(shí)-頻相平面上的一個(gè)時(shí)-頻窗中的時(shí)-頻局部信

39、息。對(duì)于窗口Fourier變換的時(shí)-頻分析能力，使用時(shí)-頻窗之矩形的形狀和面積來(lái)衡量。在時(shí)-頻窗的形狀固定不變時(shí)(這正是Gabor變換和窗口Fourier變換的時(shí)-頻分析特性之一)，窗口面積越小，說(shuō)明它的時(shí)-頻局部化描述能力就越強(qiáng)；窗口面積越大，說(shuō)明它的時(shí)-頻局部化描述能力就越差。窗口傅里葉變換和Gabor變換發(fā)展了傅里葉變換,但是也存在著不足:(1) 沒(méi)有離散正交基,沒(méi)有快速算法;(2) 一旦窗函數(shù)選定之后,對(duì)窗口傅里葉變換和Gabor變換來(lái)說(shuō),時(shí)-頻窗的窗口形狀是固定的,它不能隨著要分析的信號(hào)成分是高頻信息或低頻信息而相應(yīng)變化,因此對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析能力是很有限的。 3.幾種小波變換工具的

40、時(shí)-頻分析首先看一下小波變換的時(shí)-頻分析特性,看它是如何解決以上不足的.(1) 小波時(shí)-頻窗的面積恒等于 ；(2) 小波的時(shí)-頻窗是時(shí)-頻相平面中的可變的矩形；(3) 小波時(shí)-頻窗的變化規(guī)律： （a） 尺度參數(shù)a增大時(shí)，小波的時(shí)窗變寬，同時(shí)，它的主頻變低，頻窗變窄；由于低頻成分在時(shí)間域的特點(diǎn)是變化緩慢，因此，為了完整地檢測(cè)在時(shí)域中某點(diǎn)處的低頻成分，必須利用該點(diǎn)附近較大范圍內(nèi)的觀察數(shù)據(jù)，這必然要求在該點(diǎn)的時(shí)間窗比較大；（b） 尺度參數(shù)a減小時(shí)，小波的時(shí)窗變窄，同時(shí)，它的主頻變高，頻窗變寬. 由于高頻成分在時(shí)間域的特點(diǎn)是變化迅速，因此，為了準(zhǔn)確檢測(cè)到在時(shí)域中某點(diǎn)處的高頻成分，只能利用該點(diǎn)附近很小范圍內(nèi)的觀察數(shù)據(jù)，這必然要求在該點(diǎn)的時(shí)間窗比較小。由此可見(jiàn),小波變換具備的這種自適應(yīng)性,這是小波變換作為時(shí)-頻分析方法的獨(dú)到之處.?？墒? 從頻率域的角度來(lái)看，小波變換本質(zhì)上是按“頻帶”的方式分析和處理信號(hào)，它本質(zhì)上是信號(hào)在“頻帶”內(nèi)的時(shí)-頻信息, 在參數(shù)固定的條件下，隨著參數(shù)取遍非負(fù)實(shí)數(shù)，這些頻帶全體覆蓋了原信號(hào)在固定時(shí)間點(diǎn)附近的各種頻率成分，當(dāng)然，它們之間的覆蓋也是很嚴(yán)重的。當(dāng)然,并不是任何情況下都這樣,離散小波變換就是例外,特別是二進(jìn)小波變換和正交小波變換,它們本質(zhì)上成功地解決了頻帶重疊問(wèn)題.這里總結(jié)一下我對(duì)二進(jìn)小波變換時(shí)-頻分析特點(diǎn)的理解。二進(jìn)小波變換的離散方式是