福建省廈門市廈門第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題含解析

福建省廈門市廈門第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）2．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、大寒、雨水的日影長(zhǎng)的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長(zhǎng)的和為18.3尺，則冬至的日影長(zhǎng)為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺3．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的極值情況為（）A.2個(gè)極大值，1個(gè)極小值 B.1個(gè)極大值，1個(gè)極小值C.1個(gè)極大值，2個(gè)極小值 D.1個(gè)極大值，無極小值6．若復(fù)數(shù)的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.7．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C對(duì)任意， D.對(duì)任意，8．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.49．已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.11．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.12．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一條直線經(jīng)過，并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為__________14．《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的最早巔峰，書中有這樣一道題：“今有大夫、不更，簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五只鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”其譯文是“現(xiàn)在有從高到低依次為大夫，不更，簪裹，上造、公士的五個(gè)不同爵次的官員，共獵得五只鹿，要按爵次商低分（即根據(jù)爵次高低分配得到的獵物數(shù)依次成等差數(shù)列），向各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，則不更所得的鹿數(shù)為_______只15．橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在橢圓上，，直線交橢圓于點(diǎn)B，，則橢圓的離心率為______16．某市開展“愛我內(nèi)蒙，愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評(píng)委給參賽作品A打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，記分員算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：18．（12分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）當(dāng)為何值時(shí)，最大，并求的最大值.20．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6.（1）求拋物線的方程；（2）若不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)并求出定點(diǎn)坐標(biāo).21．（12分）如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長(zhǎng)為10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn).（1）求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；（2）P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線FP的距離為，且直線FP與點(diǎn)M的軌跡沒有公共點(diǎn)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.22．（10分）已知橢圓焦距為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，故選：A2、C【解析】設(shè)等差數(shù)列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，記為數(shù)列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長(zhǎng)為16.1尺.故選：C3、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：因?yàn)?，?/，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.4、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充分條件；等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的必要條件.所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充要條件.故選：C5、B【解析】根據(jù)圖象判斷的正負(fù)，再根據(jù)極值的定義分析判斷即可【詳解】由，得，令，由圖可知的三個(gè)根即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以為的極大值點(diǎn)，為的極大值，當(dāng)時(shí)，，即，所以為的極小值點(diǎn)，為的極小值，故選：B6、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，設(shè)切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A7、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.8、A【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?，所?故選：A9、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結(jié)合，聯(lián)立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.10、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.11、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B12、D【解析】先設(shè)，代入化簡(jiǎn)，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出直線傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，則可求出直線的斜率，進(jìn)而可求出直線的方程【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以直線的方程為，即，故答案為：14、【解析】由題意分析，利用等差數(shù)列基本量代換列方程組即可求解.【詳解】記大夫，不更，簪裹，上造、公士得到的獵物數(shù)為等差數(shù)列，公差為d，由題意可得，即，解得，∴故答案為：15、（也可以）【解析】可以利用條件三角形為等腰直角三角形，設(shè)出邊長(zhǎng)，找到邊長(zhǎng)與之間等量關(guān)系，然后把等量關(guān)系帶入到勾股定理表達(dá)的等式中，即可求解離心率.【詳解】由題意知三角形為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，故答案為：（也可以）16、1【解析】由平均數(shù)列出方程，求出x的值.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用和項(xiàng)可求得的通項(xiàng)公式，注意別漏了說明；（2）先用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，從而可知【詳解】（1）,①當(dāng)時(shí)，，②由①—②可得：,且數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即（2）由（1）知數(shù)列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.【點(diǎn)睛】本題主要考查給出的一個(gè)關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用分組求和法求和即可；【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得，解得或，因?yàn)?，所以【小?詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以19、（1）（2）n為6或7；126【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?所以，解得，所以；【小問2詳解】，當(dāng)或7時(shí)，最大，的最大值是126.20、（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0).【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求出結(jié)果；（2）由題意直線方程可設(shè)為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)求解，即可求出定點(diǎn).【小問1詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)，設(shè)拋物線的方程為，到焦點(diǎn)的距離為6，即有點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，即解得，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】證明:由題意知直線不能與軸平行，故直線方程可設(shè)為,與拋物線聯(lián)立得，消去得,設(shè)，則,則，,由，可得，所以，即，亦即，又，解得，所以直線方程為，易得直線過定點(diǎn).21、（1）（2）【解析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.(2)由題意可得點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離，點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離，從而可得答案.【小問1詳解】分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)成功點(diǎn)，可得即,化簡(jiǎn)得因?yàn)辄c(diǎn)需在矩形場(chǎng)地內(nèi)，所以故所求軌跡方程為【小問2詳解】設(shè)，直線方程為直線FP與點(diǎn)M軌跡沒有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離大于依題意，動(dòng)點(diǎn)需滿足兩個(gè)條件：點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離即,解得②點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離即,解得綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是22、（1）；（2）