變系數(shù)線性微分方程的求解

1、本科畢業(yè)論文題 目：變系數(shù)線性微分方程的求解問題院 （部）： 理學院專 業(yè)： 信息與計算科學班 級： 信計081姓 名： 張倩學 號： 2008121191指導教師： 龐常詞完成日期： 2012年6月1日目 錄摘 要································

2、·························ABSTRACT1前 言1.1 微分方程的發(fā)展和應用11.2 二階變系數(shù)線性常微分方程的重要性21.3 本文的研究內容及意義22 二階變系數(shù)線性微分方程特、通解與系數(shù)的關系 2.1 基本概念32.2 二階變系數(shù)線性微分方程的求解定理32.3 二階變系數(shù)線性微分方程特、通解與系數(shù)的關系53 微分方程的

3、恰當方程解法3.1 恰當方程的概念83.2 恰當微分方程解法104 微分方程的積分因子解法4.1 積分因子的概念144.2 積分因子解法145 二階變系數(shù)微分方程可積的條件結 論22謝 辭23參考文獻24摘 要微分方程在數(shù)學理論中占有重要位置，在科學研究、工程技術中有著廣泛的應用。在微分方程理論中，一些特殊的微分方程的性質及解法也已經(jīng)有了深入的研究，它們總是可解的，但是變系數(shù)微分方程的解法比較麻煩的。如果能夠確定某一類型的二階變系數(shù)線性微分方程的積分因子或恰當方程，則該二階變系數(shù)線性微分方程就可以求解，問題在于如何確定積分因子和恰當方程及該類方程在何種情況下可積。本文通過對微分方程的理論研究，

4、用不同的方法探討這類問題，擴展了變系數(shù)線性微分方程的可積類型，借助積分因子和恰當方程的方法求解方程。關鍵詞：變系數(shù)；二階微分方程；積分因子；恰當因子Solve For Varied Coefficient Second OrderLiner Differential EquationABSTRACT Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and techn

5、ology. In differential equation theory, some special differential equations solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard. If we can make integrating factor or

6、 exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition. This article utilizes different

7、ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation.Key Words: varied coefficient; sec

8、ond order liner differential equation; integrating factor; exact equation1前 言1.1 微分方程的發(fā)展和應用數(shù)學分析中所研究的函數(shù)，是反映客觀現(xiàn)實世界運動過程中量與量之間的一種關系。但是在大量的實際問題中遇到稍微復雜的一些運動過程時，反映運動規(guī)律量與量之間的關系往往不能直接寫出來，卻比較容易的建立這些變量和它們的導數(shù)間的關系式。這種聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的倒數(shù)的關系式，數(shù)學上稱為微分方程。微分方程是研究自變量、未知函數(shù)及它的導數(shù)之間的關系的數(shù)學科學。它是伴隨著微積分的產(chǎn)生和發(fā)展而形成的一門歷史悠久的學科，至今已有30

9、0多年的歷史了。微分方程來源于生產(chǎn)實踐，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動的解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預測未來的可能情況。常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學方法。牛頓在研究天體力學和經(jīng)典力學的時候，利用了微分方程這個工具，證實了地球繞太陽的運動軌跡是一個橢圓，從理論上得到了行星運動的規(guī)律。此后，法國天文學家勒維烈利用微分方程計算出海王星的位置，這些都是表面微分方程在自然科學領域和社會科學領域有著廣泛的應用。在常微分方程發(fā)展的初期，人們主要是針對各種實際問題列出方程，用積分得方法求其準確的解析表達式，也就是初等積分法。這種方法

10、一直沿用到十九世紀中期，直到法國數(shù)學家劉維爾與1841年在他的一篇論文中提到大多數(shù)常微分方程不能用初等積分法求解，由此促使人們放棄這種方法。從此常微分方程進入了基礎定理和新型方法的研究階段。隨著科學的發(fā)展和社會的進步，常微分方程在越來越多的領域內有著重要的作用，例如化學，生物學，自動控制，電子技術等，都提出了大量的微分方程問題，同樣在社會科學的領域也存在著微分方程問題。此外，微分方程與數(shù)學的其他分支的關系也是非常密切的，他們往往互相聯(lián)系，互相促進，例如幾何學就是常微分方程理論的豐富源泉之一和有力工具，對微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。反過來，微分方程進一步發(fā)展的需要，也推動著其他 數(shù)學分支的發(fā)

11、展。1.2 二級變系數(shù)線性常微分方程的重要性常微分方程作為其他自然科學和偏微分方程的基礎，一直以來受到很多學者們的重視，很多專家 發(fā)表相關著作和論文，從而使微分方程的理論發(fā)展的了比較完善的程度。眾所周知，所有的常系數(shù)一階、二階微分方程都是可解的，而變系數(shù)二階線性微分方程卻很難解，除了近似解法外，至今還沒有一個普遍方法，但是冪級數(shù)解法計算了大，而且不能得到解析解，不便于理論上的分析。因此，變系數(shù)二階線性微分方程的求解在微分方程理論中有著十分重要的地位，尋求一種簡便的計算方法是完全有必要的。1.3 本文的研究內容及意義變系數(shù)二階線性微分方程的求解基本理論已發(fā)展到了一定程度，很多學者也提出了很多不同

12、的特殊方法解決一些具體某種特點的變系數(shù)方程，特別是在利用積分因子及恰當方程的方法領域取得了顯著成就。但是大家對于如何判斷方程是否可積及如何確定積分因子和恰當方程仍然存在疑惑，感覺無從下手。論文正是在這種情況下通過對有關變系數(shù)二階微分方程的教材和文獻的研究，總結了前人的成果，從本質上闡述了確定積分因子和恰當方程的思想和方法，同時給出了判斷方程是否可積的條件。通過積分一種法和恰當方程法，進一步從整體上闡述了變系數(shù)二階線性微分方程的基本思想和步驟。2 二階變系數(shù)線性微分方程特、通解與系數(shù)的關系2.1 基本概念 如果在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，我們稱這種方程為常微分方程。 若、為連續(xù)非常數(shù)的函

13、數(shù)，方程則稱為二階變系數(shù)線性微分方程。其中、及都是某區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果恒等于零，那么該方程稱為二階變系數(shù)齊次線性微分方程；如果非恒等于零，那么該方程稱為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程。我們把含有2個獨立的任意常數(shù)的解 稱為二階方程的通解。為了確定微分方程的一個特定的解，我們通常給出這個解所必須的條件這就是所謂的定解條件，常見的定解的條件是初值條件和邊值條件。所謂二階微分方程的初值條件通常是指以下兩個條件： 當時，這里是給定的3個常數(shù)。2.2 二階變系數(shù)線性微分方程的求解定理已知 變系數(shù)二階常微分方程，在相對應Riccati方程可知一個特解的情況下，給出了方程 (2.1)求解的積分公式。引理1

14、 設及是連續(xù)函數(shù)，且是Riccati方程的一個特解，則方程(2.1)的通解積分公式為 。引理2 設及是連續(xù)函數(shù)，且（常數(shù)），則方程(2.1)的通解可求出。定理2.1 若（常數(shù)），則方程(2.1)相對應的Riccati方程的特解是： （i）當 時， ； （ii）當時， ； （iii）當時， 。推論 設及是連續(xù)函數(shù)，且（常數(shù)），則方程（2.1）對應其次方程 (的通解是：（i）當時， ；（ii）當時， ；（iii）二階變系數(shù)線性微分方程(2.1)能化為常系數(shù)線性微分方程的充要條件是：（為常數(shù)）。定理2.2 設方程(2.1)滿足條件(常數(shù))。其中則方程(2.1)可化為 。推論2.3.1 若存在常數(shù)使得

15、 ，則方程(2.1)的通解為： 。推論2.3.2 ，則方程(2.1)的通解為： 。推論2.3.3 若 ，則方程(2.1)的通解為： 。推論2.3.4 若是關于的連續(xù)函數(shù)，且 ，則方程的解為。當時， 。2.3 二階變系數(shù)線性微分方程特、通解與系數(shù)的關系約定1）對所討論問題的特解均約定其常系數(shù)部分為1（否則視為同一解）；2）均假定系數(shù)滿足進行運算所需要的分析性質，必要時假定滿足一些其他性質，但行文時不會另指出；3）在一個問題上已達成共識：對一般的方程而言，其兩線性無關特解一般不能由其系數(shù)唯一決定；4）以下不再驗證特解之線性無關性，且文中的等式皆是對論域中的任意自變量成立。討論方程 ( 2.2) 假

16、定、是其二特解。命題2.1 設，若，則方程(2.2)兩特解為、 。反之，若方程有、兩解滿足，則(2.2)式成立。命題2.2 若 ，則方程(2.2)兩特解為、 ，反之，若，是原方程的解，且 ，則(2.2)式成立。命題2.3 若 ，則方程(2.2)兩特解為 、 ，反之，若，是原方程的解，且，則(2.2)式成立。命題2.4 若 ，則方程(2.2)兩特解為、，反之，若，則(2.2)式成立。命題2.6 若 ，則方程(2.2)兩特解為、，反之，若，則(2.2)式成立。命題2.7 方程(2.2)有特解。命題2.8 方程(2.2)有特解(為常數(shù)。)命題2.9 方程(2.2)有特解。命題2.10 方(2.2)程

17、有特解。例2.1 求方程 的一個特解，并求此方程的通解。解 方程可改寫為 ，其中 。設 。滿足上式，所以方程有一個特解。該方程通解為 。3 微分方程的恰當方程解法3.1 恰當方程的概念 考慮方程(3.1)、(3.2) (3.1) (3.2) 定義3.1 若存在2個可微函數(shù)，使得 ，成立，則稱方程(3.1)為恰當方程。定義3.2 若存在兩個具有二階連續(xù)導數(shù)的函數(shù)使得下式成立 ，則稱方程(3.1)為恰當方程。推論3.1 若方程(3.1)和(3.2)為恰當方程，則它們一定可積。僅就方程(3.1)證明。證 因為方程(3.1)為恰當方程，則存在使得： ，又連續(xù)，所以 。這是一階線性非齊次方程，它是可積，

18、故方程(3.1)可積。結論3.1 若方程(3.1)的系數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)，則方程(3.1)為恰當方程的充要條件為： 。證 充分性。 取，則有 ，由已知 可得： ，故方程(3.1)為恰當方程。必要性。 若方程(3.1)是恰當方程，由定義3.1知，存在可微函數(shù)使得： 。即對所有x成立，因為具有二階連續(xù)導數(shù)，故具有二階連續(xù)導數(shù)，從而有：，即 。結論成立。結論3.2 若方程(3.1)的系數(shù)具有三階連續(xù)導數(shù)，則方程(3.1)為恰當方程的充要條件為： 同時成立。證 充分性。取定義3.2中的，則有：由已知條件 得 ，所以方程(3.1)為恰當方程。必要性 若方程(3.1)為恰當方程，則存在具有二階導數(shù)的函數(shù)使

19、得下式恒成立。 。將上式左端展開并整理得： 。從而有恒成立，即有 同時成立。推論3.2 若結論3.1成立，定義3.1中的取，取。推論3.3 若結論3.2成立，定義3.2中的取，取。用上述結論很容易求出恰當方程的通解例3.1 已知方程 取，則有。其中為任意常數(shù)。下面討論如何將非恰當方程化為恰當方程。定義3.3 若存在一個使得：為恰當方程，則稱為方程(3.1)的恰當因子。 同樣可定義方程(3.2)的恰當因子，恰當因子的選取，對于一般方程來講比較困難，但對某些特殊情況比較容易找到。3.2 恰當微分方程解法 例3.2 考慮方程 (3.3)(1)當滿足時，為方程(3.3)的恰當因子。 例3.3 求的通解

20、。解 此方程不是恰當方程，但滿足，方程兩邊同乘以得： ， 。兩邊對積分得： 。解此方程得 ，其中為任意常數(shù)，此解即為所求。 (2)當滿足時，取其恰當因子為x。例3.4 求的通解。解 因為滿足 。其中是的展開式中的系數(shù)，是的展開式的系數(shù)，顯然，或1，或1，從而有，故 ，即 ，由此得 ，由定義3.2 ， 用歸納法易證 。利用上述引理可得以下重要結論。定理3.1 證 若n的3個部分分拆滿足條件，則確定一個周長為n的整數(shù)邊三角形；反之，任一符合條件的三角形都確定一個的上述分拆，為此只須求的符合上述條件的3部分分拆。 現(xiàn)在考察的3部分分拆中，不滿足條件的分拆的個數(shù)。 對任意正整數(shù)，及的2部分分拆，令,則

21、 ，也即 ，且 。即對每一個及j的每一個2部分分拆，對應一個的不能生成三角形的分拆 。反之，對的任意一個不能生成三角形的分拆 ，即 ， ，令 。則是的一個2部分分拆。因為為整數(shù)，則 ，于是得到一個正整數(shù)及的一個2部分分拆。例3.5 用“分項組合”法求的通解。解 把方程重新“分項組合”，得到 ，即 ，或者寫成 。于是，方程的通解為 ，其中為任意常數(shù)。例3.6 求解方程 。解 因為 ， ，故方程是恰當微分方程。把方程重新“分項組合”，得到 ，即 ，或者寫成 。于是，方程的通解為 ，這里是任意常數(shù)。4 微分方程的積分因子解法 4.1 積分因子的概念如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得 (4.1) 為一恰當方

22、程，即存在函數(shù)，使，則稱為方程(4.1)的積分因子，這時是該方程的通解。同一方程可以有不同的積分因子，可以證明只要方程有解存在，則必有積分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具體過程中由于求出的積分因子不同，從而解有不同的形式。函數(shù)為方程的積分因子的充要條件是 即 (4.2) 例如 對于方程，如果只存在與有關的積分因子，則，這時方程（4.2）變成 ，即 。由此可知方程有只與有關的積分因子的充要條件是 ，同理方程只有與有關的積分因子的充要條件是 。4.2 積分因子解法例4.1 試用積分因子法解線性微分方程 。解 將方程改寫成 (4.3) 這時，算得 ，因而，線性方程有只與有關的積分因子。以乘以(4

23、.3)得到 ，即 ，或者寫成 。因此方程(4.3)的通解為 ，或者改寫為 。 積分因子一般是不容易求得的，我們可以先從求特殊形狀的積分因子開始或者通過觀察法進行分項組合而求得積分因子。例4.2 求解方程 。解 方程可以寫為 ，或者 ，容易看出，此方程有積分因子 ，以乘之得 ，故通解為 ，或者 。例4.3 求解方程 。解 方程可以寫成為 ，或 ，容易看出，此方程有積分因子 ，以乘之得 ，故通解為 ，或者 。例4.4 求解方程 。解 這里 ，方程不是恰當?shù)?。因?只與有關，故方程有只與有關的積分因子 ， 以乘方程兩邊，得到 ，因而，通解為 。 5 二階變系數(shù)微分方程可積的條件定義5.1 一元二次方

24、程 (5.1)為方程 (5.2)的特征方程，它的兩個根稱為特征根。定理5.1 二階變系數(shù)非齊線性方程(5.2)可積的一個充分條件是為特征方程(5.1)的根，不妨設，且方程(5.2)的通解為 ，這里是特征根，為任意常數(shù)。推論5.1 二階變系數(shù)非齊線性方程可積的一個充分條件是為特征方程(5.1)的根，不妨設，且上式的通解為這里是特征根，為任意常數(shù)。推論5.2 二階變系數(shù)齊線性方程可積的一個充分條件是為特征方程(5.1)的根，不妨設，且上式的通解為，這里是特征根，為任意常數(shù)。推論5.3 變系數(shù)齊線性方程可積的一個充分條件是為特征方程(5.1)的根，不妨設，且上式的通解為，這里是特征根，為任意常數(shù)。定

25、理5.4二階變系數(shù)非齊線性方程可積的一個充分條件是為特征方程(5.1)的根，不妨設，且上式的通解為：，這里是特征根，為常數(shù)，為任意常數(shù)。推論5.5 二階變系數(shù)非齊線性方程可積的一個充分條件是為特征方程(5.1)的根，不妨設，且上式的通解為 這里是特征根，為常數(shù)，為任意常數(shù)。定理5.2 若二階變系數(shù)線性微分方程 (5.3) ，存在可微函數(shù)滿足關系式 (5.4) ，則方程(5.3)有通積分在(5.4)中若 ， 則方程(5.3)的通積分為： 。推論5.6 若方程(5.3)滿足條件，則方程(5.3)可積，其通積分為 。 應用舉例例5.1 解方程 。解 由于方程 ，且 ，取則有，于是根據(jù)定理5.2，原方程的通積分為 。例5.3 解方程 。解 方程改寫為，取，再取，則特征方程，特征根，由定理得方程的通解為例5.4 求解方程： 。解 將原方程兩端同除以，得 ，取 ，由于此方程滿足條件取，原方程的通積分為 = 。例5.6 解方程 。解 將原方程兩端同除以，取，則方程化為 ，由于 ，于是根據(jù)推論5.6，原方程的通積分為 。結 論通過本文了解了變系數(shù)線性微分方程的求解問題，變系數(shù)線性微分方程的問題還有很多，由于自己學識疏淺只研究了二階變系數(shù)線性微分方程的問題，本論文對二階變系數(shù)線性微分方程的特、通解與系數(shù)的關系展開了理論與方法上的研究，利用積分因子與恰當方程求解微分方程，具體討論了二階變系數(shù)線性微