第09部分計算機(jī)圖形學(xué)參數(shù)曲線和曲面

1、2022-2-5李輝 副教授參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)R第2頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)內(nèi)容n曲線曲面參數(shù)表示n位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率n插值、擬合、逼近和光順n參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式n連續(xù)性n參數(shù)曲面基本概念第3頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n表示方法 顯式表示y=f(x) 隱式表示f(x,y)=0 參數(shù)表示P(t)=x(t), y(t)P(t)=x(t), y(t), z(t)曲線曲面參數(shù)表示第4頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n顯式或隱式表示存在下述問題：1. 與坐標(biāo)軸相關(guān)；2. 可能出現(xiàn)斜率為無窮大的情形(如垂線)；3. 不便于計算

2、機(jī)編程。第5頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)參數(shù)表示實例n直線n圓 1 , 012,11)(222ttttttP 1 , 0)()(121ttPPPtP第6頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)1.便于處理斜率無窮大的情形，不會因此而中斷計算。2.規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必考慮邊界問題。3.對曲線、曲面進(jìn)行變換，可對其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。4.便于把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間。5.易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。6.有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀第7頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基

3、礎(chǔ)位置矢量、切矢量、法矢量第8頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n位置矢量P(t)=x(t), y(t), z(t)n切矢量(切向量) 將弧長s作為參數(shù)，則 是單位切矢量 單位切矢量的計算 根據(jù)弧長微分公式有：sPdsdPTs0lim2222dzdydxds22222)(/tPdtdzdtdydtdxdtds0)(tPdtds第9頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ) 于是有即為單位切矢量。)()(tPtPdsdtdtdPdsdP第10頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n法矢量 與 平行的法矢稱為曲線在該點(diǎn)的主法矢量N 矢量積 B=TN 是第三個單位矢量，它垂直

4、于T和N。把平行于矢量B的法矢稱為曲線的副法矢量dsdT)()()()()()()()()()(tPtPtPtPtPtPTBNtPtPtPtPB 第11頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ) T、N和B構(gòu)成了曲線上的活動坐標(biāo)架 N、B構(gòu)成的平面稱為法平面 N、T構(gòu)成的平面稱為密切平面 B、T構(gòu)成的平面稱為從切平面密切面從切面法平面TBN主法線圖3.1.2 曲線的法矢第12頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n曲率 其幾何意義是曲線的單位切矢對弧長的轉(zhuǎn)動率 曲率k的倒數(shù) 稱為曲率半徑n撓率 撓率的絕對值等于副法線方向(或密切平面)對于弧長的轉(zhuǎn)動率曲率和撓率ss0lim1ssli

5、mdsdTdsdB第13頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ))(ssT)(sTTO（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1B3)()()(tPtPtP 2)()()(),(),(tPtPtPtPtP 第14頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)插值、擬合、逼近和光順n插值 給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。n線性插值 假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個不同點(diǎn)x1和x2的值，用一個線形函數(shù)y=ax+b近似代替，稱為的線性插值函數(shù)。第15頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n拋

6、物線插值 已知在三個互異點(diǎn)x1,x2,x3,的函數(shù)值為y1,y2,y3 ,要求構(gòu)造一個函數(shù)(x)=ax2+bx+c使拋物線(x)在結(jié)點(diǎn)x1,x2,x3處與f(x)在 x1,x2,x3處的值相等。第16頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)xyo1y2y)(xfy )(xy1x2xxyo1y2y)(xfy )(xy1x2x3x3y(a)(b)第17頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n擬合 構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(但未必通過這些點(diǎn))，所構(gòu)造的曲線為擬合曲線。n逼近 在計算數(shù)學(xué)中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計算機(jī)圖形學(xué)中，

7、逼近繼承了這方面的含義，因此插值和擬合都可以視為逼近。第18頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n光順光順(Firing)指曲線的拐點(diǎn)不能太多。對平面曲線而言，相對光順的條件是：1. 具有二階幾何連續(xù)性(G2)；2. 不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；3. 曲率變化較小。第19頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式n代數(shù)形式(3次)n矢量形式zzzzyyyyxxxxatatatatztatatatatyatatatatx012233012233012233)( 1 , 0)()( 1 , 0)(012233tatatatatP第20頁2022-2-5第9部分 參

8、數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n幾何形式 將P(0)、P(1)、P(0)和P(1)簡記為P0、P1、P0和P1代入得 1 , 0)(012233tatatatatP1010310102010022233PPPPaPPPPaPaPa 1 , 0)()2()32() 132()(123023123023tPttPtttPttPtttP第21頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ) 令 于是 上式是三次Hermite(Ferguson)曲線的幾何形式. P0、P1、P0和P1是幾何系數(shù) F0、F1、G0和G1稱為調(diào)和函數(shù)132)(230tttF23132)(tttFttttG2302)(231)(tttG

9、1 , 0)(11001100tPGPGPFPFtP第22頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)0P0P1P1P)(tP)(tP0Fto11to111Fto11to110G1G第23頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)四點(diǎn)式曲線 1 , 0)(012233tatatatatP4012330123201231032942783191271PaaaaPaaaaPaaaaPa 1 , 0)(44332211tPGPGPGPGtP第24頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)連續(xù)性n曲線間連接的光滑度有兩種度量：1. 參數(shù)連續(xù)性組合參數(shù)曲線在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n階連

10、續(xù)可微，這類光滑度稱之為Cn 或n階參數(shù)連續(xù)性。2. 幾何連續(xù)性組合曲線在連接處不滿足Cn的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續(xù)性，簡記為Gn .第25頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)n結(jié)論 若要求在結(jié)合處達(dá)到G0連續(xù)或C0連續(xù)，即兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù)。 若要求在結(jié)合處達(dá)到G1連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足G0連續(xù)的條件下，并有公共的切矢量。Q(0)=P(1) 當(dāng)a1時，G1連續(xù)就成為C1連續(xù)。)(tP)(tQ)0(P) 1 (P)0(Q) 1 (Q第26頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)21,3)(213 10,3)(01010010tVVtVVVttVVVt

11、0131)1 (VV 0132)1 (VV 第27頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ) 若要求在結(jié)合處達(dá)到C2連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足G2連續(xù)的條件下，并有相同的曲率。 C1連續(xù)保證G1連續(xù)， C2連續(xù)能保證G2連續(xù)，但反過來不行。 也就是說Cn連續(xù)的條件比Gn連續(xù)的條件要苛刻。第28頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)參數(shù)曲面一張定義在矩形域上的參數(shù)曲面可以表示為可記為 1 , 0 1 , 0),(,),().(),(vuvuzzvuyyvuxx),(),(),(),(vuzvuyvuxvuP第29頁2022-2-5第9部分 參數(shù)曲線和曲面基礎(chǔ)P00P00P00P00 xyzw=