第13講Lyapunov穩(wěn)定性ppt課件

1、http:/ Lyapunov穩(wěn)定性穩(wěn)定性穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí)穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫第一方法間接法）李雅普諾夫第一方法間接法）李雅普諾夫第二方法直接法）李雅普諾夫第二方法直接法）（四川理工學(xué)院自動(dòng)化教研室（四川理工學(xué)院自動(dòng)化教研室 2021-4-11）Modern Control Thttp:/ BCAxuBCA x x yHyyyeeeHCAxxtAeeeet)0()(xx漸進(jìn)性要求漸進(jìn)性要求A-HC的特征根具有負(fù)實(shí)部。的特征根具有負(fù)實(shí)部。http:/ 已知系統(tǒng)已知系統(tǒng)(A, B, C)，設(shè)計(jì)觀測(cè)器的步驟是：，設(shè)計(jì)觀測(cè)器的步驟是： 1、判斷

2、系統(tǒng)的能觀性。能觀則一定可以設(shè)計(jì)、判斷系統(tǒng)的能觀性。能觀則一定可以設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器。全維狀態(tài)觀測(cè)器。 2、根據(jù)期望的觀測(cè)器極點(diǎn)位置，計(jì)算期望的、根據(jù)期望的觀測(cè)器極點(diǎn)位置，計(jì)算期望的觀測(cè)器特征多項(xiàng)式觀測(cè)器特征多項(xiàng)式 3、計(jì)算觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式、計(jì)算觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式 detsI-(A-HC) 4、比較系數(shù)，得到增益矩陣、比較系數(shù)，得到增益矩陣HRhttp:/ xBuHyxAxBuyCxuvKx原系統(tǒng)方程原系統(tǒng)方程觀測(cè)器方程觀測(cè)器方程狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)方程為閉環(huán)系統(tǒng)方程為 xABKxBvHCAHCBKxBxxyC0 xBCAx xuyBAHC x xHKvRhttp:/ xABKxBvHC

3、AHC BKxBxxyC0 xBCAx xuyBAHC x xHKvRevieweeeCBHCABKBKAxxyvxxxx000狀態(tài)變換后閉環(huán)系統(tǒng)方程狀態(tài)變換后閉環(huán)系統(tǒng)方程BCAx xuyAHCKvexKex http:/ xuyAHCKvexKex http:/ 穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí)穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí) 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 李雅普諾夫第一方法間接法）李雅普諾夫第一方法間接法） 李雅普諾夫第二方法直接法）李雅普諾夫第二方法直接法）http:/ 系統(tǒng)總會(huì)受到內(nèi)部或外部因素的影響，系統(tǒng)總會(huì)受到內(nèi)部或外部因素的影響，例如負(fù)載、能源波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)變化、例如負(fù)載、能源波動(dòng)、系統(tǒng)

4、參數(shù)變化、環(huán)境條件改變等。環(huán)境條件改變等。 我們關(guān)心：穩(wěn)定的平衡點(diǎn)、不穩(wěn)定的平我們關(guān)心：穩(wěn)定的平衡點(diǎn)、不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定區(qū)域全局、部分）衡點(diǎn)和穩(wěn)定區(qū)域全局、部分）單擺單擺小球小球Rhttp:/ 令V(x)是向量x的標(biāo)量函數(shù)，S是x空間包含原點(diǎn)的封閉有限區(qū)域。如果對(duì)于S中的所有x，都有：（1V(x)對(duì)對(duì)x中各個(gè)分量有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；中各個(gè)分量有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（2V(0)=0;（3若若x0時(shí)，時(shí)，V(x) 0 ( V(x) 0 )。則稱則稱V(x)是正定的正半定的）。是正定的正半定的）。 如果條件如果條件3中的符號(hào)反向，則稱中的符號(hào)反向，則稱V(x)是負(fù)是負(fù)定的負(fù)半定的）。若可正可負(fù)，則稱不定的。

5、定的負(fù)半定的）。若可正可負(fù)，則稱不定的。http:/ 當(dāng)上式中的P是對(duì)稱矩陣時(shí)，V(x)為正定的充分必要條件是P的各階主子行列式都是正的。如果P的所有主子行列式為非負(fù)的其中有0），那么V(x)是半正定的。假設(shè)-V(x)是正定的半正定的），則V(x)將是負(fù)定的負(fù)半定的）。http:/ 00 xxxx當(dāng)且僅當(dāng)，有若xxxkk, k，有向量數(shù)，有和向量http:/ 穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí)穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí) 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 李雅普諾夫第一方法間接法）李雅普諾夫第一方法間接法） 李雅普諾夫第二方法直接法）李雅普諾夫第二方法直接法）http:/ 1892年，博士論文年，博士論

6、文 The General Problem of the Stability of Motion 提出了為當(dāng)今廣為應(yīng)用且影響巨大的李亞普諾提出了為當(dāng)今廣為應(yīng)用且影響巨大的李亞普諾夫方法，已成為當(dāng)今自動(dòng)控制理論課程講授的夫方法，已成為當(dāng)今自動(dòng)控制理論課程講授的主要內(nèi)容之一。主要內(nèi)容之一。 適用于單變量、線性、非線性、定常、時(shí)變、適用于單變量、線性、非線性、定常、時(shí)變、多變量等系統(tǒng)。多變量等系統(tǒng)。http:/ 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的基本概念 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 李雅普諾夫第一方法李雅普諾夫第一方法 李雅普諾夫第二方法李雅普諾夫第二方法 LTI系統(tǒng)漸

7、近穩(wěn)定性判別法系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判別法 基本要求基本要求 正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普洛夫意義正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普洛夫意義穩(wěn)定穩(wěn)定 性概念性概念 理解李氏第一法，李氏第二法理解李氏第一法，李氏第二法 掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析方法掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析方法http:/ 例例11一線性定常系統(tǒng)的平衡態(tài)一線性定常系統(tǒng)的平衡態(tài)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)nRttxxxxfx,)(),(000 x etxx0 xf零解即),(無窮多平衡態(tài)唯一平衡態(tài), 00nrankAnrankAAexxx 例例22非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)令令 ，可以得到三個(gè)平衡狀態(tài)，可以得到三個(gè)平衡狀態(tài) 1132122x

8、xxxxx120 xx000,011 http:/ 孤立平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分孤立平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分小的鄰域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。小的鄰域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。 這說明，對(duì)于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)這說明，對(duì)于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。所以，一般考慮平衡狀態(tài)在原點(diǎn)處即可。點(diǎn)。所以，一般考慮平衡狀態(tài)在原點(diǎn)處即可。http:/ 如果對(duì)給定的任一正實(shí)數(shù)如果對(duì)給定的任一正實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)地，都對(duì)應(yīng)地存在一個(gè)正實(shí)數(shù)存在一個(gè)正實(shí)數(shù)(,t0)，使得從不等式，使得從不等式穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義000),(ttt

9、exx000,),;(ttttexxx 若狀態(tài)方程在初始時(shí)刻若狀態(tài)方程在初始時(shí)刻t0初始狀態(tài)初始狀態(tài)x0的解的解x(t;x0,t0)滿足存在性和唯一性，則稱此解為滿足存在性和唯一性，則稱此解為系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)。限制的任一初始狀態(tài)限制的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式超球域）足不等式超球域）則稱平衡態(tài)則稱平衡態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。http:/ 如果平衡狀態(tài)如果平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，并且對(duì)于定的，并且對(duì)于(, t0)和任意給定正數(shù)和任意給定正數(shù)，對(duì)，對(duì)應(yīng)地存在正實(shí)數(shù)應(yīng)地存在正實(shí)數(shù)T

10、(,t0)，使得由不等式，使得由不等式的任一初態(tài)的任一初態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式則稱平衡態(tài)則稱平衡態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是漸進(jìn)穩(wěn)在李雅普諾夫意義下是漸進(jìn)穩(wěn)定的。若實(shí)數(shù)定的。若實(shí)數(shù)T和和都不依賴于都不依賴于t0，則稱一致，則稱一致漸進(jìn)穩(wěn)定。若漸進(jìn)穩(wěn)定。若范圍很大，甚至充滿整個(gè)空范圍很大，甚至充滿整個(gè)空間，則稱系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。間，則稱系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。http:/ 如果對(duì)給定的任一正實(shí)數(shù)，和任意一個(gè)無論多么小的正實(shí)數(shù)，在超球域S()內(nèi)始終存在狀態(tài)x0使得從該狀態(tài)開始的受擾運(yùn)動(dòng)要突破超球域S()，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。穩(wěn)定受擾運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定受擾運(yùn)動(dòng)x(t;x0,

11、t0)漸進(jìn)穩(wěn)定受擾漸進(jìn)穩(wěn)定受擾運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)x(t;x0,t0)不穩(wěn)定受擾運(yùn)不穩(wěn)定受擾運(yùn)動(dòng)動(dòng)x(t;x0,t0)http:/ 穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí)穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí) 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 李雅普諾夫第一方法間接法）李雅普諾夫第一方法間接法） 李雅普諾夫第二方法直接法）李雅普諾夫第二方法直接法）http:/ )( , )ttxf xxAx系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處把狀態(tài)方程線性化，得到用間接法來判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們?cè)缫咽煜ぁttp:/ 0)(),(effxxx 在平衡態(tài)處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開 2)(!2)()()()(eeeeexxxfxxxfxfxfzxfxfxzxxzee)()

12、(令z=x-xe，并取線性化一次項(xiàng)，得同理得向量形式的線性化狀態(tài)方程 2)(!2)()()()(eeeeeffffxxxxxxxxzxz)(ef ),(),()(212211xxfxxff x例Afeexxxxxfxfxfxfe221122122111)(x則雅可比矩陣http:/ xx 3cos2101221122122111exxxxxfxfxfxfxAee0cos233cos21)det(121eexxAI穩(wěn)定否？http:/ 穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí)穩(wěn)定性回顧與準(zhǔn)備知識(shí) 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 李雅普諾夫第一方法間接法）李雅普諾夫第一方法間接法） 李雅普諾夫第二方法直

13、接法）李雅普諾夫第二方法直接法）http:/ 假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為負(fù)定）（正定）（),(2,),(1tVtVxx如果存在一個(gè)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，且滿足：那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。如果還滿足),(3tV xx時(shí)）（則它還是大范圍穩(wěn)定的。我們把該標(biāo)量函數(shù)V(x,t)稱為李雅普諾夫函數(shù)。http:/ 可同時(shí)適用于線性和非線性、時(shí)變和時(shí)不變動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。具有普適性和直觀性。2 可把正定標(biāo)量函數(shù)理解為廣義的能量，則標(biāo)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是能量的變化率。導(dǎo)數(shù)為負(fù)則含義為能量是減少的。即只要系統(tǒng)的能量有限且能量在減少，則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)必然歸于平衡點(diǎn)。3 該正定函數(shù)是人為構(gòu)造的，首選Lya

14、punov函數(shù)為二次型函數(shù)。對(duì)較復(fù)雜系統(tǒng)，主要憑借研究者的經(jīng)驗(yàn)試取，總的說來，目前還缺少一般性的構(gòu)造方法。http:/ 對(duì)于系統(tǒng)的狀態(tài)方程負(fù)半定）（正定）（),(2,),(1tVtVxx假設(shè)并且0),(03不衡等于時(shí)）（tV xx 則系統(tǒng)在原點(diǎn)一致漸進(jìn)穩(wěn)定。0,),(),(ttt00fxfx 對(duì)于系統(tǒng)的狀態(tài)方程正定）（正定）（),(2,),(1tVtVxx假設(shè)則系統(tǒng)在原點(diǎn)處不穩(wěn)定。http:/ 1)()(22212122221121xxxxxxxxxx試用Lyapunov第二方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解易知系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是原點(diǎn)Te00 x，則候選2221)(Vxx x2222121)( 222)(V

15、21xxxxdtdVxVxVxxx定，故系統(tǒng)大范圍漸進(jìn)穩(wěn)負(fù)定，且滿足正定而容易知道2lim)(lim)(VV(x)xxxxxVhttp:/ 2)1 (221221xxxxxx試用Lyapunov第二方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解易知系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是原點(diǎn)Te00 x2221)(Vxx x候選222221)1 (222)(Vxxxxxx100)(V22xx或的情況有：可以看出使x。不衡等于動(dòng)解，故他們不是系統(tǒng)的受擾運(yùn)知代入狀態(tài)方程可以驗(yàn)算或分別將0)(1022xVxx定的。知系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)以及半負(fù)定但不衡等于正定，由)(lim0)()(xxxxVVVhttp:/ 3212211xxxxxx試用Lyap

16、unov第二方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解易知系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是原點(diǎn)Te00 x2221)(Vxx x候選2221212222)(Vxxxxxx所以系統(tǒng)不穩(wěn)定的。正定。正定，易知)()(xxVVhttp:/ Lyapunov函數(shù)不是唯一的。5 關(guān)于穩(wěn)定性的條件是充分的，不是必要的。6 如果系統(tǒng)的原點(diǎn)是穩(wěn)定的或漸進(jìn)穩(wěn)定的，則Lyapunov函數(shù)是一定存在的。7 Lyapunov函數(shù)只能判定其定義域內(nèi)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，對(duì)于非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)也能提供大范圍穩(wěn)定的信息。http:/ 0, xx LTI系統(tǒng)大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定判別定理：xxxxxxxxxx)()()(PAPAPPVPVTTTTT取標(biāo)量函數(shù)及其推導(dǎo)

17、如下：則系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)任意給定的一個(gè)正定對(duì)稱矩陣Q，有唯一的正定對(duì)稱矩陣P使李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程成立，即xxxQVQPAPATT)(則令QPAPAThttp:/ 除較為簡(jiǎn)單的情形外，應(yīng)用該判據(jù)的困難主要在于Lyapunov方程的求解。因此，在系統(tǒng)控制理論中，Lyapunov判據(jù)的意義主要在于理論分析和推導(dǎo)的應(yīng)用。實(shí)際中可以借助MATLAB軟件來求解。評(píng)注評(píng)注1 矩陣Q可以任意選取。常將矩陣Q取為單位陣，以簡(jiǎn)化計(jì)算過程3 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部?；诖死斫?，提供了把Lyapunov判據(jù)推廣為其他形式的可能。http:/ 4212212,xxxxx

18、已知LTI自治系統(tǒng)22121211,ppppPPIQPAPATT試用李雅普諾夫方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：1001121011202212121122121211pppppppp11134122121211ppppP由于p110，|P|0，可知系統(tǒng)在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定。http:/ 0),() 1(xxLTI離散系統(tǒng)一致漸進(jìn)穩(wěn)定判別定理：原點(diǎn)平衡處漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件為G的全部特征值的幅值均小于1。即當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一給定n維正定對(duì)稱矩陣Q，離散Lyapunov方程有惟一正定對(duì)稱n維解陣P。QPPGGThttp:/ 6)(15 . 05 . 00) 1(kkxxIppppppppPPGGT2331233

19、115 . 05 . 0015 . 05 . 00用李雅普諾夫方法判定如下LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：2710027402752321312321125. 005 . 025. 1125. 0ppppppppp27100274027402752P由于p110，|P|0，可知系統(tǒng)在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定。http:/ 1、典型機(jī)電系統(tǒng)建模，選狀態(tài)變量，列寫狀態(tài)方程、典型機(jī)電系統(tǒng)建模，選狀態(tài)變量，列寫狀態(tài)方程2 2、傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間描述之間的相互轉(zhuǎn)換、傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間描述之間的相互轉(zhuǎn)換3 3、齊次狀態(tài)方程的求解，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算、齊次狀態(tài)方程的求解，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算4 4、線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀性判

20、定，能控標(biāo)準(zhǔn)、線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀性判定，能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型的求取型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型的求取5 5、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)反饋與極點(diǎn)任意配置、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)反饋與極點(diǎn)任意配置6 6、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)7 7、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫方法判定、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫方法判定http:/ 1、已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其狀態(tài)變量為、已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其狀態(tài)變量為x1,x2,x3x1,x2,x3。試列。試列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫其狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖。寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫其狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖。2 2、已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為、已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試列寫系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式之能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)試列寫系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式之能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型、對(duì)角或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型方程。準(zhǔn)型、對(duì)角或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型方程。)(2sX)(sU)(sYs)1(2ss32s)(1sX)(3sX)34)(2(865)()(22ssssssUsYhttp:/ 3、已知系統(tǒng)矩陣、已知系統(tǒng)矩陣A A為為試求系統(tǒng)的特征方程、特征值、特征向量，并求出試求系統(tǒng)的特征方程、特征值、特征向量，并求出變換陣將變換陣將A A對(duì)角化。對(duì)角化。4 4、已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式和初始條件為、已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式和初